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Seconde 1
2007 2008
Chapitre 19 : enchaînement de fonctions.
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Programme : identifier l'enchaînement des fonctions conduisant de x à f ( x ) quand f est donnée par une formule.
Objectif 1 ) se préparer à la composée de fonctions que vous étudierez en classe de première.
Objectif 2 ) savoir démontrer des variations de fonctions.
Méthode : pour deviner le lien entre x et son image f ( x ) penser aux fonctions simples et bien connues :
fonctions affines, fonction carré, fonction inverse.
E1 Connaître le vocabulaire de base.
Associer à chaque étiquette la fonction qui lui correspond :
a ) je double
b ) je prends la moitié
c ) je double puis j'ajoute 3
d ) j'ajoute 3 puis je double
1. x
2. x
3. x
4. x
e ) je soustrais 4 puis je double
f ) je soustrais 4 puis je prends la moitié
g ) je double puis je soustrais 4
a 2x + 3
a2(x+3)
a 2x
a2(x−4)
5. x a x
2
6. x a 2x − 4
7. x a x−4
2
1 Savoir enchaîner deux fonctions.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = 2x + 1 et soit g la fonction définie sur par g ( x ) = x3.
1. Compléter le tableau suivant :
Première étape
Soit x un nombre réel
Deuxième étape
L'image de x par f est
Troisième étape
L'image du résultat précédent par g est
2. Compléter le tableau suivant :
Première étape
Soit x un nombre réel
Deuxième étape
L'image de x par g est
Troisième étape
L'image du résultat précédent par f est
Construire un enchaînement de fonctions.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x + 3 et g la fonction définie sur par g ( x ) = x².
Si l'on enchaîne la fonction f avec la fonction g dans cet ordre on associe d'abord au réel x le réel x + 3 puis par g
au réel x + 3 on associe le réel ( x + 3 )². L'enchaînement décrit permet d'associer au réel x le réel ( x + 3 )².
On a défini une nouvelle fonction h telle que h ( x ) = ( x + 3 )²
x a x + 3 a ( x + 3 )².
E2 Trouver l'expression d'une fonction f à partir d'un algorithme de calcul.
A ) Exemple : La suite des instructions : prendre un nombre x, le multiplier par 3, retrancher 5, élever le résultat
au carré, ajouter 7 au résultat, constitue un algorithme de calcul qui permet d'obtenir successivement :
x ; 3x ; 3x − 5 ; ( 3x − 5 )² ; ( 3x − 5 )² + 7.
B ) Qu'obtient -on avec l'algorithme suivant : Prendre un nombre x, ajouter 2 et prendre le carré du résultat, puis
prendre l'inverse du résultat, et ensuite ajouter 5.
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C ) On définit une fonction f dans par le procédé de calcul suivant : on choisit x, on ajoute 7, on multiplie par
4 puis on élève au carré pour obtenir f ( x ) . Donner l'expression de f ( x ) .
D ) x est un réel différent de 2 et f est une fonction. Pour trouver l'image de x par f, on effectue la suite des
opérations ci-dessous : enlever 2 à x ; élever le résultat au carré ; prendre l'inverse ; multiplier par -3 ; ajouter 4
au résultat. Recopier et compléter f ( x ) =
E ) Tu prends un nombre, tu lui ajoutes 5, tu divises le tout par 2, tu prends la racine carrée et enfin
tu retranches 6.
En désignant par f cette fonction et par x le nombre de départ, exprimer f ( x ) en fonction de x.
2 Rédaction d'une chaîne d'instructions.
Dans ce paragraphe, nous allons décomposer une fonction en une suite d'opérations simples.
Exemples :
Pour passer de x à 2 − x , en premier, je prends l'opposé de x cad - x puis en second, j'ajoute 2 cad 2 − x.
L'ordre des opérations est très important…
Pour passer de x à
3 , en premier je prends l'opposé de x cad - x puis en second, j'ajoute 2 cad 2 − x et
2− x
enfin en troisième, je prends l'inverse de ( 2 − x ) cad
1 puis en quatrième, je multiplie par 3 cad 3
2− x
2− x
Exemple : rédiger une chaîne d'instructions permettant d'obtenir à partir du nombre x, le nombre f ( x ) = 3x² + 4.
E3 Savoir rédiger une chaîne d'instructions.
A ) Rédiger une chaîne d'instructions permettant d'obtenir à partir d'un nombre x, le nombre f ( x ).
f ( x ) = 2x² + 3
f(x)=
1
2x +3
B ) Construire un tableau indiquant les diverses façons de passer de x à h ( x ) .
h(x)=
C)
1.
x2 + 1
h(x)=
1 .
x² + 1
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = - ( x − 3 )² + 4.
Donner le procédé de calcul permettant de passer de x à f ( x ).
−2 + 4
(x −3)²
Donner le procédé de calcul permettant de passer de x à g ( x ).
2.
Soit g la fonction définie sur − { 3 } par g ( x ) =
3.
Soit h la fonction définie sur ] - ∞ ; 2 ] par h ( x ) =
2−x
Donner le procédé de calcul permettant de passer de x à h ( x ).
Un des objectifs de ce chapitre est de déterminer le sens de variation d'une fonction à l'aide des fonctions de
référence données dans les chapitre 8 et 9.
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3 Sens de variation de fonctions.
Liste des opérations simples
Conservation ou non conservation du sens de variation
Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux
Le sens est conservé.
membres d'une inégalité.
Attention : le sens est conservé si le nombre est
Multiplier ou diviser par un même nombre les deux
strictement positif et l'ordre n'est pas conservé si le
membres de l'inégalité.
nombre est strictement négatif.
Même remarque. On utilise le sens de variation de la
Passer aux carrés les deux membres de l'inégalité.
fonction carrée.
Passer aux inverses les deux membres de l'inégalité.
La fonction 1 est strictement décroissante sur des
x
intervalle précis…
Etudier le sens de variation d'une fonction f sur un intervalle noté I , c'est écrire sur sa copie :
Soient deux réels x1 et x2 de l'intervalle I tels que x1 < x2.
Puis appliquer à l'inégalité précédente une ( ou plusieurs ) opération choisie dans la liste écrite ci dessus.
Exemple : Soit f la fonction définie sur ] - ∞ ; -1 [ par f ( x ) =
1 .
x +1
Déterminons le sens de variation de f sur ] - ∞ ; - 1 [.
Soient x1 et x2 deux réels de l'intervalle ] - ∞ ; - 1 [ tels que x1 < x2 < - 1
Alors x1 + 1 < x2 + 1 < 0 car ajouter un même réel aux deux membres d'une inégalité ne change pas le sens.
Ainsi
1 > 1 car la fonction inverse est strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 [.
x1 +1
x 2 +1
Donc f ( x1 ) > f ( x2 ). D'où f est une fonction strictement décroissante sur ] - ∞ ; -1 [.
E4 Savoir déterminer des sens de variations de fonctions.
Dans chacun des cas suivants déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle proposé.
1)
f(x)= 1
sur l'intervalle ] - ∞ ; 2 [.
2− x
2)
f ( x ) = ( 3x − 6 )² + 5
sur l'intervalle ] 2 ; + ∞ [.
3)
f ( x ) = 2x² + 1
sur l'intervalle ] - ∞ ; 0 [.
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E5 Etude d'une fonction trinôme.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = 2x² − 4x + 9.
1.
a. Démontrer que pour tout x réel, on a f ( x ) = 2 ( x − 1 )² + 7.
b. Donner le procédé de calcul permettant de passer de x à f ( x ).
2.
a. Déterminer le sens de variation de f sur ] - ∞ ; 1 ].
b. Déterminer le sens de variation de f sur [ 1 ; + ∞ [.
E6 Aire d'un rectangle maximale.
Soit ABC un triangle rectangle et isocèle en A tel que AB = AC = 6. Soit M un point du segment [ AB ].
La parallèle à ( AC ) passant par M coupe ( BC ) en N et la parallèle à ( AB ) passant par N coupe [ AC ] en P.
On pose AM = x.
1.
Quel est l'intervalle des valeurs possibles de x ?
2.
Démonter que le quadrilatère AMNP est un rectangle.
3.
a. Justifier que BM = MN
BA
AC
b. En déduire que MN = 6 − x.
c. En déduire que l'aire du rectangle AMNP est donnée par A ( x ) = 6x − x².
4.
a. Vérifier que A ( x ) = - ( x − 3 )² + 9.
b. Donner alors le procédé de calcul permettant de passer de x à A ( x ).
c. Etudier en raisonnant par inégalités successives les variations de A sur [ 0 ; 3 ] puis sur [ 3 ; 6 ].
d. Dresser le tableau de variation de A.
5.
Quelle est la position du point M pour laquelle l'aire du rectangle AMNP est maximale ?
Quelle est cette aire maximale.
6.
Quelles sont les positions possibles du point M pour lesquelles l'aire du rectangle est
a. égale à 8 ?
b. supérieure ou égale à 8 ?
Test de compréhension du chapitre 19.
1)
lorsque l'on ajoute un nombre négatif aux deux membres d'une inégalité alors …
2)
lorsque l'on multiplie les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif alors …
3)
lorsque l'on élève aux carré les deux membres d'une inégalité alors…
4)
lorsque l'on passe aux inverses les deux membres d'une inégalité alors …