Théorie de la diffusion pour l`opérateur de Schrödinger

Théorie de la diffusion pour l’opérateur de
Schrödinger
Roux Ph.
Table des matières
1 La mécanique quantique
1.1 Les fondements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 L’équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Les relations avec la théorie classique . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
5
2 Théorie de la diffusion
6
2.1 Une expérience de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 L’approche quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 L’approche mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Mon travail de recherche
12
1
Introduction
La description
des objets peut être modélisée par la donnée
³−−→ classique
−−→´
d’un couple x(t), v(t) de vecteurs symbolisant la position et la vitesse
de la particule étudiée . Si l’on adjoint à cette représentation le principe
fondamental de la dynamique :
−−−−→
−−−−−−−−→
Σ f orces = masse × accélération
−−→
−−→
d2 x(t)
dv(t)
−−→
− −
→
→
→
−
⇐⇒ F ( x (t), v (t)) = ma(t) = m
=m
dt2
dt
on obtient le cadre général de la physique classique . Par sa simplicité, pendant près de deux siècles la physique classique a permis de comprendre la
plupart des phénomènes observables : mouvements d’objets, mécanique des
milieux continus, thermodynamique statistique ... . Cependant à l’aube du
XX ième siècle plusieurs nouveaux problèmes se posent :
• impossibilité d’expliquer les nombreuses constante ” fondamentales” qui
apparaissent dans chaque situation
• le caractère discontinu du rayonnement émit par le corps noir
•mise en évidence du comportement ondulatoire, dans certaines conditions,
de faisceaux de particules (interférences) et le caractère corpusculaire de la
lumière (effet photo-électrique) non expliqué par la théorie ondulatoire .
L’explication de tous ces phénomènes par un formalisme unique marque la
naissance de la physique quantique .
1
1.1
La mécanique quantique
Les fondements
2
La première pierre de cet édifice est apporté par Max Planck qui isole la
constante fondamentale de l’univers quantique suite à l’étude du rayonnement
du corps noir(vers 1900) :
h
(1)
≈ 10−34 U.S.I.
2π
L’analyse dimensionnelle de h amène à introduire l’action d’un système quantique, définie par combinaisons des données du système ayant la même dimension que ~ :
h = 6.625 10−34 U.S.I.,
~=
[S] = [~] =
[masse][longueur]2 [temps]−1
=
[énergie][temps]
= [quantité de mouvement][longueur]
Le domaine d’application de la physique quantique recouvre l’ensemble des
systèmes pour lesquels S est de l’ordre de ~ (S ≈ ~) .
En 1924 Louis De Broglie pose, dans sa thèse, la correspondance entre
ondes et particules (dualité onde -corpuscule) en leur substituant le concept
de quantum . Pour le faire il associe à toute particule de quantité de mouve→
−
→
ment −
p (d’énergie E) une onde de vecteur d’onde k (de pulsation ω) telle
que :
−
→
p
→
−
k =
E = ~ω
(2)
~
Cette hypothèse élargie les relations de Einstein-Planck, établient dans les
cas du corps noir et de l’effet photo-électrique, à l’ensemble des particules
et permis d’expliquer les phénomènes d’interférence entre faisceaux de particules .
1.2
L’équation de Schrödinger
C’est Erwin Schrödinger qui en 1926 établit l’équation que doit vérifier la
→
fonction d’onde ψ(−
x , t) d’une particule quantique de masse m plongée dans
un champs électrique V . Pour cela il procède par analogie avec le modèle
ondulatoire de la lumière en posant qu’une particule libre de quantité de
→
→
mouvement −
p = m−
v est décrite par une onde plane
→−
−
→
→−
−
→
→
ψ(−
x , t) = a ei( k . x −ωt) = a ei( p . x −Et)/~ .
3
On a les calculs suivants :
→
→
→
x , t) = ~ωψ(−
x , t) = Eψ(−
x , t)
i~∂t ψ(−
m2 v 2 −
2m
→
→
→
→
−∆x ψ(−
x , t) = k 2 ψ(−
x , t) =
ψ(
x
,
t)
=
Ec ψ(−
x , t)
~2
~2
où Ec est l’énergie cinétique de la particule et E est l’énergie totale de la
particule . Donc en écrivant le théorème de l’énergie mécanique E = Ec +
→
V (−
x , t) on obtient :
~2
−
→
→
→
→
i~∂t ψ( x , t) = −
x , t) + V (−
x , t)ψ(−
x , t)
(3)
∆x ψ(−
2m
On impose la condition de normalisation suivante pour l’amplitude de la
fonction d’onde du système :
µZ
¶ 12
2
→
−
|ψ( x , t)| dx
= nombres de quantums décrit par ψ
R3
Avec ce modèle les quantités physiques observables sont définis comme suit :
Z
→
xj |ψ(−
x , t)|2 dx
< xj >=
Z
< vj >=
R3
R3
→
vj |ψ(−
x , t)| dx =
2
Z
R3
→
→
−i~∂xj ψ(−
x , t)ψ(−
x , t)dx
→
→
on peut de même associer à toute quantité classique a(−
x ,−
v ) l’opérateur
pseudo-différentiel a(x, −i~∇x ), c’est le principe de correspondance . Par
exemple le moment cinétique est représenté par l’opérateur A = 2i~ (x.∇x +
∇x .x). Ainsi |ψ|2 peut être interprété comme la densité de probabilité de
présence de la particule considérée . Cette approche peut être généralisé de
la manière suivante :
théorème 1
A tout système quantique on associe un espace de Hilbert (H; <, >) dont
les éléments sont appelés fonctions d’onde . A chaque grandeur physique,
réelle, de ce système on associe un opérateur A sur H, auto-adjoint, appelé
observable et on admet que la valeur physique observée pour un quantum
décrit par la fonction d’onde ψ est < Aψ, ψ >∈ σ(A) . si H est l’opérateur
d’énergie, l’équation d’évolution du quantum s’écrit :
i~∂t ψ = Hψ
4
Ces axiomes permettent d’expliquer le caractère discret de certaines observable, comme pour le mode d’émission du corps noir . Dans l’exemple
précédant H = L2 (R3 ) .
1.3
Les relations avec la théorie classique
La validité de l’équation de Schrödinger impose que lorsque l’on se place
dans les conditions de la physique classique on retrouve les équation de la
mécanique classique . On peut le vérifier aisément .Si on écrit ψ(x, t) =
a(x, t) eiS(x,t)/~ avec a, S ∈ R et qu’on applique l’équation de Schrödinger on
obtient :
½
~2
a
a∂t S − 2m
∆x a + 2m
|∇x S|2 + V a = 0
a
a
∂t a + m ∇x a.∇x S + 2m
∆x S = 0
la seconde équation peut être réécrite comme la conservation de la probabilité
totale (ou du flux) :
µ 2
¶
a ∇x S
2
=0
∂t (a ) + div
m
Pour la première équation on considère S comme l’action quantique du système et dans le cas où S >> ~ on peut négliger le terme en ~2 et on obtient
l’équation :
1
|∇x S|2 + V = 0
2m
→
qui est bien l’équation d’Hamilton-Jacobi classique pour l’action S(−
x , t) =
→
−
→
−
p . x − Et que l’on trouve en utilisant la conservation de l’énergie et la
→
→
définition −
p = m−
v . Cependant la vision probabiliste apportée par la
théorie quantique nous amène à souligner un phénomène nouveau pour la
physique classique : les relations d’incertitudes de Heinsenberg . Pour une
fonction d’onde ψ et une observable A on a déjà défini la valeur moyenne
< A > qui représente la valeur observée pour A dans une expérience . On
1
peut aussi définir l’écart type de l’observable A : δA = (< A2 > − < A >2 ) 2
.
∂t S +
5
théorème 2 (relations d’incertitudes de Heinsenberg)
Soient deux observables réelles A et B qui vérifient
[A, B] = AB − BA = i~
et ψ une fonction d’onde normalisée alors
δA.δB ≥
~
2
Si on pose à = A− < A > Id on a (δ Ã)2 =< Ã2 > . On est donc amené à
considérer une observable centrée . On a alors :
| < Aψ, Bψ > |2 ≤ kAψk2 kBψk2 =< A2 >< B 2 >
de plus AB =
AB+BA
2
+
AB−BA
2
=C+
i~
Id
2
avec C ∗ = C donc
| < Aψ, Bψ > |2 = k < Cψ, ψ > k2 +
~2
~2
kψk2 ≥ .
4
4
Par exemple si on compare les observable de position et de quantité de mouvement on obtient :
[xj , −i~∂j ] = i~(∂j xj − xj ∂j ) = i~(1 + xj ∂j − xj ∂j ) = i~
donc
2
2.1
→
→
δ−
p .δ −
x ≥
3~
2
.
Théorie de la diffusion
Une expérience de diffusion
6
figure 1
une expérience de diffusion peut être décrite de la manière suivante : on
dirige un flux de particule vers une cible fixe et on observe les trajectoires
suivant lesquelles repartent les particules après avoir interagit avec la cible
avec la cible . Pour une énergie donnée λ, l’expérimentateur peut alors
mesurer le rapport du flux diffusé dans une direction ω par rapport au flux
incident dans la direction ω 0 . Cette quantité s’appelle la section efficace
différentielle χ(ω 0 , ω, λ) . La quantité
Z
χ(ω 0 , ω, λ)dω 0
σ(ω, λ) =
Sd−1
appelée section efficace totale est homogène à une surface et mesure l’efficacité
de la cible . Dans le centre diffuseur on peut relier χ au paramètre d’impact
b par la formule dN = χ(ω 0 , ω, λ)dω 0 = F bdb . Pour un centre diffuseur
n’agissant que par collision élastique on trouve :
1
χ(ω 0 , ω, λ) = r2 sin(θ)
4
ω = (θ, ϕ) ∈ [0, π[×[0, 2π[
⇒ σ(ω, λ) = πr2 = surf ace que la cible présente au f lux
Dans le cas du potentiel de Coulomb engendré par une particule de charge
électrique Q, on trouve pour la diffusion Coulombienne de particules de
charge q :
Qq
χ(ω 0 , ω, λ) = χ(θ, λ) =
cotan(θ/2)
8πε0 λ
En particulier σ(ω, λ) = +∞ dû au caractère longue portée de l’interaction
Coulombienne . Les observations permettent ici de mettre en évidence un
phénomène purement quantique : la section efficace différentielle se comporte comme l’intensité d’une onde lumineuse diffractée . Il convient donc
7
de reprendre la description de l’expérience dans le cadre quantique et de
réinterpréter la section efficace .
figure 2
2.2
L’approche quantique
On reprend l’équation de schrödinger avec un potentiel stationnaire V =
V (x) . on s’attend donc à trouver des solutions stationnaires de cette équation . On écrit donc ψ(x, t) = e−i(Et)/~ Ψ(x) on injecte cette relation dans
l’équation 3 et l’on trouve :
~2
∆x Ψ(x) + V (x)Ψ(x) − EΨ(x) = 0
−
2m
(4)
Si V = 0 on peut résoudre l’équation précédente avec comme condition
√ initiale une onde plane de direction incidente ω sous la forme Ψ(x) = ei λω.x ,
avec λ = 2m
E . pour V ”petit” on peut écrire la solution comme une per~2
turbation de la précédente par une onde évanescente à l’infini, sous la forme
d’une onde sphérique et d’un reste :
µ
¶ i√λ|x|
√
x
e
i λω.x
Ψ(x) = e
+a
, ω, λ
+ o(|x|−1 )
|x|
|x|
|a|2 peut alors être considéré comme la nouvelle définition de la section efficace différentielle . Cependant si on calcule la densité de probabilité de
l’onde obtenue on obtient :
|Ψ(x)|2 = 1 +
aei
√
λ(|x|−ω.x)
+ ae−i
|x|
8
√
λ(|x|−ω.x)
+
|a|2
+ o(|x|−2 )
|x|2
le terme supplémentaire est appelé terme d’interférence et contribue à l’aspect
ondulatoire de l’expérience dans la zone ou sa phase stationne, c’est à dire
x = |x|ω . La conservation de la probabilité totale impose donc que :
Z
Z
Z
2
0
ρint r dω +
ρdif f r2 dω 0 dr = 0
[0,+∞[
S2
S2
x
et r = |x| . En écrivant ω 0 = ω + (θ, φ) et en ne tenant
avec ω 0 = |x|
compte que des zone ou la phase stationne on obtient :
R
S2
R
R
√
x
2Re(a(ω, |X|
, λ)ei λ|x|(1−cosθ) |x|sinθdθdϕ
[0,2π[ [0,π[ ³
´
√
R
x
i λ|x|(1−cosθ)
|x|dcosθ
= 2π [0,π[ 2Re a(ω, |X| , λ)e
³
h i√λ|x|(1−cosθ) i´
≈ 4πRe a(ω, ω, λ) e −i√λ
´
³
√
2i λ|x|
≈ 4πRe a(ω, ω, λ) 1−e−i√λ
ρint |x|2 dω 0 =
figure 3
le seul terme qui contribue à l’intégration en r est donc −4πIm
d’ou :
théorème 3 (Théorème optique)
4π
4π
σ(ω, λ) = √ Im (a(ω, ω, λ)) =
Im (a(ω, ω, λ))
|p|
λ
9
³
a(ω,ω,λ)
√
λ
´
,
ce résultat précise la diminution du flux incident par interférence avec l’onde
diffractée . L’ensemble de ces résultats peut être justifié sous l’hypothèse
V (x) = O(|x|−ρ ) avec ρ > 3 .
2.3
L’approche mathématique
On considère les deux Hamiltonniens H, H0 et les équations d’évolution
associées :
½
i∂t ψ = Hψ ψ|t=0 = ψ0
i∂t ψ = H0 ψ ψ|t=0 = ψ0
On résoud ces équations en utilisant le groupe unitaire associé à chaque
opérateur :
½
avec dtd U (t, 0) = HU (t, 0)
ψ(t) = U (t, 0)ψ0
ψ(t) = e−itH0 ψ0 car H0 est indépendant de t
On pose H = H0 + V (t), l’idée de base est que si V (t) est ”petit” pour de
grand temps t → ±∞ les solutions de l’équation d’évolution de H doivent
être proche d’une solution du problème pour H0 :
∀ψ0 ∈ Hac ∃ψ± ∈ H
tel que
⇐⇒
lim kU (t, 0)ψ0 − e−itH0 ψ± kH = 0
t→±∞
lim kψ0 − U (0, t)e−itH0 ψ± kH = 0
t→±∞
si cette condition est réalisée on peut définir des opérateurs d’onde :
W± (H, H0 ) = lim U (0, t)e−itH0
t→±∞
(5)
et si ces derniers sont inversible on peut définir :
S = W+−1 (H, H0 )W− (H, H0 ) : H → H
(6)
qui permet de passer directement de l’onde incidente à l’onde sortante Sψ− =
ψ+ .
10
figure 4
théorème 4 (théorème de Cook)
Si kV (t, .)kL∞ (R3 ) = O(|t|−ρ ) avec ρ > 1, alors ∃W± (H, H0 )
Dans ce cas on dit que V est à courte portée . La démonstration du théorème
repose sur l’écriture suivante pour f ∈ H
Z ±∞
¢
d ¡
U (0, t)e−itH0 f dt
(W± − I)f =
dt
0Z
±∞
=
U (0, t)V e−itH0 f dt
0
il faut donc montrer la convergence absolue de l’intégrale, qui découle de
l’estimation suivante :
kU (0, t)V e−itH0 f kH = kV (x, t)e−itH0 f kH ≤ kV (., t)kL∞ (R3 ) kf kH ∈ L1 (Rt )
Le problème de l’inversion des opérateurs d’onde (complétude asymptotique)
est en fait déjà résolu . En effet kW± (H, H0 )f kH = kf kH donc W± (H, H0 )
est unitaire et
W± (H, H0 )−1 = W± (H, H0 )∗ = W± (H0 , H)
l’existence des opérateurs d’onde W± (H0 , H) découlant du théorème 4 on
peut construire l’opérateur de diffusion S. On s’intéresse surtout à l’action
de l’opérateur de diffusion S pour une énergie donnée (λ), ce
√ qui revient à
considérer la trace de l’opérateur S sur la sphère de rayon λ en variable
Fourier (appelée matrice de diffusion) . Après calcul on obtient la formulation
suivante :
S(λ) = Γ0 (λ)SΓ∗0 (λ) = I − 2iπΓ0 (λ)(V − V R(λ + i0)V )Γ∗0 (λ)
Γ0 (λ) : L
à 2 (Rd−1 ) → L
à 2 (Sd−1 ), (Γ0 (λ)f )(ω) = 2−1/2 k (d−2)/2 fb(kω), λ = k 2 > 0
11
3
Mon travail de recherche
Le lien entre la théorie dépendant du temps (de l’approche mathématique)
et la théorie stationnaire (de l’approche physique) peut être précisée : pour
ρ > d on peut construire les opérateurs d’onde à partir des solutions de 4 de
la manière suivante :
ξ
, |ξ|2 ) = Ψ+ (x, −ξ)
|ξ|
Z
1
W± (H, H0 )f (x) =
Ψ± (x, ξ)fb(ξ)dξ
(2π)d/2 Rd
Ψ− (x, ξ) = Ψ(x,
Pour ρ > d+1
on peut encore construire de telles solutions, mais pour ρ plus
2
petit on ne peut construire que des solutions approchées (par une méthode
B.K.W.) en dehors d’une direction pathologique :
Γ± (θ) = ± < x, ξ >≥ ±θ|x|.|ξ|
1 > θ > −1 .
Après avoir tronqué ces solutions hors de Γ± (θ) (à l’aide d’une fonction de
troncature ζ± ) on peut encore construire les opérateurs d’onde de la même
manière :
Z
1
J± f (x) =
Ψ± (x, ξ)ζ± (x, ξ)fb(ξ)dξ
(2π)d/2 Rd
On peut dès lors construire la matrice de diffusion, et exprimer les différentes
quantités physiques observable dans l’expérience directement en fonction du
potentiel V :
S(λ) = Γ0 (λ)SΓ∗0 (λ) = Ω+ (λ) − 2iπΓ0 (λ)(J+∗ T− − T+∗ R(λ + i0)T− )Γ∗0 (λ)
Ω+ = slim eiH0 t J+∗ J− e−iH0 t et T± = HJ± − J± H0
t→+∞
On cherche à étudier l’asymptotique de certains termes pour les hautes énergies, en particulier montrer que pour tout n ∈ N il existe un choix de
solution suffisamment approché de 4 tel que :
¡
¢
kS(λ) + 2iπΓ0 (λ)J+∗ T− Γ0 (λ)∗ k = O λ−n
On est confronté à plusieurs difficultés :
• montrer la concordance des résultats de la théorie stationnaire avec ceux
de la théorie dépendant du temps
12
• exhiber les éléments intrinsèques de la construction de la matrice de diffusion (en particulier éliminer les termes contenant les fonctions de troncature)
Références
[1] L.D. Landau & E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics, non-relativistic
theory, Pergamon press 1958
[2] Messiah, Quantum Mechanics I,II, North-Holland Publishing Company
1962
[3] D. Yafaev, The Scattering Amplitude for the Schrödinger Equation with
a Long-Range Potential, Comm. Math. Phys. 191 (1998)
[4] D. Yafaev, Mathematical Scattering Theory, Am. Math. Soc. 1992
13