Semi-normes - IMJ-PRG

Semi-normes
Dans tout ce qui suit, K désignera selon le contexte le corps R des réels ou celui C des
complexes. Pour un élément λ de K, la notation |λ| désignera dans le premier cas la valeur
absolue de λ, et dans le second son module.
Définition. Soit E un K-espace vectoriel. On appelle semi-norme sur E une fonction
p : E → R+ satisfaisant les deux conditions :
(i) ∀x ∈ E ∀λ ∈ K p(λx) = |λ| p(x)
(ii) ∀x ∈ E ∀y ∈ E p(x + y) 6 p(x) + p(y).
Une norme est une semi-norme satisfaisant pour tout x de E : p(x) = 0 =⇒ x = 0.
1 - Topologie définie par une famille de semi-normes.
Soient E un K-espace vectoriel et P un ensemble de semi-normes sur E. On appellera
P -boule de E centrée en a ∈ E tout ensemble de la forme
W (a, p1 , p2 , . . . , pk , r1 , r2 , . . . , rk ) := {x ∈ E : ∀j 6 k
pj (x − a) < rj } ,
où les pj appartiennent à P , et les rj sont strictement positifs. Lorsque P est un ensemble
constitué d’une seule norme, ces P -boules centrées en a sont exactement les boules ouvertes
de centre a pour cette norme.
Théorème 1.1. Si P est une famille de semi-normes sur E, il existe une unique topologie
sur E (qu’on appellera la P -topologie) pour laquelle, pour tout a ∈ E, les P -boules de centre
a forment une base de voisinages de a.
Pour cette topologie, la fonction : (x, y) 7→ x + y est continue de E × E dans E, et la
fonction (λ, x) 7→ λx continue de K × E dans E (on dira que c’est une topologie d’espace
vectoriel).
Il est clair que l’intersection de deux P -boules de centre a est encore une P -boule
de centre a. De plus, si W = W (a, p1 , p2 , . . . , pk , r1 , r2 , . . . , rk ) est une P -boule de centre
a contenant b, les nombres si = ri − pi (x − a) sont strictement positifs et on vérifie
immédiatement que W (b, p1 , p2 , . . . , pk , s1 , s2 , . . . , sk ) ⊂ W (a, p1 , p2 , . . . , pk , r1 , r2 , . . . , rk ),
donc que W est un voisinage de b. Il en résulte que ceci définit une topologie sur E.
Si W = W (a + b, p1 , p2 , . . . , pk , r1 , r2 , . . . , rk ) est un voisinage de a + b, on a pour
x ∈ W (a, p1 , p2 , . . . , pk , r1 /2, r2 /2, . . . , rk /2) et y ∈ W (b, p1 , p2 , . . . , pk , r1 /2, r2 /2, . . . , rk /2) :
pj (x + y − a − b) 6 pj (x − a) + pj (y − b) < rj /2 + rj /2 = rj , donc x + y ∈ W : ceci montre
la continuité en (a, b) de la fonction (x, y) 7→ x + y.
De même, puisque
pj (λx − µa) 6 |λ| pj (x − a) + |λ − µ| pj (a) 6 |µ| pj (x − a) + |λ − µ| pj (a) + |λ − µ| pj (x − a)
rj
rj rj
on voit qu’en assurant pj (x − a) < inf(1,
) et |λ − µ| < inf( ,
), on assure
3µ
3 pj (a)
pj (λx − µa) < rj . On en déduit la continuité en (µ, a) de la fonction (λ, x) 7→ λx.
•
version du 20 Octobre 2009
Proposition 1.2. Si P est une famille de semi-normes sur E, la P -topologie est séparée si
et seulement si, pour tout x 6= 0 de E, il existe une p ∈ P telle que p(x) > 0.
Si la P -topologie est séparée et si x est non nul dans E, il existe une P -boule
W (0, p1 , p2 , . . . , pk , r1 , r2 , . . . , rk ) de centre 0 ne contenant pas x : il existe donc un j 6 k tel
que pj (x) > rj > 0.
Inversement, si x 6= y et s’il existe p ∈ P telle que p(x − y) = r > 0, les P -boules
W1 = W (x, p, r/2) et W2 = W (y, p, r/2) sont des voisinages disjoints de x et y : en effet, si
r
r
on avait z ∈ W1 ∩ W2 , on aurait r = p(x − y) 6 p(x − z) + p(y − z) < + = r.
•
2 2
Théorème 1.3. Si P est une famille de semi-normes sur E, chacune des fonctions p ∈ P
est continue pour la P -topologie, et toute P -boule est un ensemble convexe ouvert.
On a en effet, pour p ∈ P : p(x + h) 6 p(x) + p(h) et p(x) 6 p(x + h) + p(−h) =
p(x + h) + p(h), donc |p(x + h) − p(x)| 6 p(h), donc |p(x + h) − p(x)| < ε dès que
x + h ∈ W (x, p, ε).
Soit p ∈ P . Puisque p est continue, l’ensemble {x : p(x − a) < r} est ouvert. Donc toute
P -boule, intersection finie d’ouverts, est ouverte.
Enfin, si p ∈ P , p(x − a) < r, p(y − a) < r et 0 6 t 6 1, on a
p((tx+(1−t)y)−a) = p(t(x−a)+(1−t)(y−a)) 6 tp(x−a)+(1−t)p(y−a) < tr+(1−t)r = r
Il en résulte que l’ensemble {x = p(x − a) < r} est convexe ; toute P -boule, intersection de
convexs, est donc convexe.
•
Théorème 1.4. Si P est une famille de semi-normes sur E, et q une semi-norme sur E.
Alors il y a équivalence entre
(i) q est continue pour la P -topologie.
(ii) il existe un nombre fini (p1 , p2 , . . . , pk ) d’éléments de P et un nombre M tels que
q(x) 6 M supj6k pj (x) pour tout x de E.
(iii) q est bornée sur un voisinage de 0.
Si q est une semi-norme continue, il existe un voisinage V de 0 pour la P -topologie
pour lequel on a |q(x) − q(0)| < 1 pour tout x de V . Il existe donc une P -boule
W (0, p1 , p2 , . . . , pk , r1 , r2 , . . . , rk ), de centre 0 sur laquelle q est majorée par 1.
Si maintenant q est bornée par M sur un voisinage V de 0, il existe une P -boule
W = W (0, p1 , p2 , . . . , pk , r1 , r2 , . . . , rk ), de centre 0 sur laquelle q est majorée par µ. Soit
rj
x ∈ E : si 0 < t < inf j
, on a pj (tx) = tpj (x) < rj pour tout j, donc tx ∈ W , et
pj (x)
µ
1
q(tx) = tq(x) < µ, ou encore q(x) < , c’est-à-dire q(x) 6 µ supj pj (x). On peut donc
t
rj
µ
prendre M = supj .
rj
Enfin, si q vérifie (ii), puisque l’on a
|q(y) − q(x)| 6 q(x − y) 6 M sup pj (x − y)
j
on a |q(y) − q(x)| < ε en tout point y de W (x, p1 , p2 , . . . , pk , ε/M, ε/M, . . . , ε/M ), ce qui
montre la continuité de q en x.
•
2
Corollaire 1.5. Soient P une famille de semi-normes sur E, Q une famille de semi-normes
sur F et f : E → F une application linéaire. Alors f est continue de E muni de la P topologie dans F muni de la Q-topologie si et seulement si q ◦f est une semi-norme continue
sur E pour tout q ∈ Q.
Si f est continue et si q ∈ Q, alors q est continue sur F et q ◦f est continue sur
E. Inversement, si W = W (f (a), q1 , q2 , . . . qk , r1 , r2 , . . . , rk est une Q-boule de E, on a
f −1 (W ) = W (a, q1 ◦f, . . . qk ◦f, r1 , . . . rk ), qui est un voisinage de a dans E pour la P topologie si chacune des semi-normes qj ◦f est continue.
•
On notera L (E, F ) l’espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F .
Corollaire 1.6. Si P est une famille de semi-normes sur E, et f : E → K une forme
linéaire, alors f est continue pour la P -topologie si et seulement s’il existe un nombre
fini (p1 , p2 , . . . , pk ) d’éléments de P et un nombre M tels que, pour tout x ∈ E, on ait
|f (x)| 6 M. supj6k pj (x).
Il suffit de remarquer que, lorsque f est une forme linéaire, la fonction q : x 7→ |f (x)|
est une semi-norme, que q est continue si f l’est, et que si q est continue, on a
|f (x) − f (y)| = |f (x − y)| = q(x − y) < ε
•
en tout point y d’un voisinage de x.
Si E est un K-espace vectoriel muni d’une P topologie, on appelle dual de E l’espace
vectoriel E 0 = L (E, K) des formes linéaires continues sur E.
Proposition 1.7. Soient P une famille de semi-normes sur E, Q une famille de semi-normes
sur F et u : E → F une application linéaire continue de E muni de la P -topologie dans F
muni de la Q-topologie. Alors il existe une application linéaire t u du dual F 0 de F dans le
dual E 0 de E, appelée transposée de u telle que, pour tout x ∈ E et tout f ∈ F 0 on ait
ht u(f ), xi = hf, u(x)i .
Il suffit de remarquer que si f ∈ F 0 la forme linéaire f ◦u est continue sur E, et que
l’application f 7→ f ◦u est linéaire.
•
Théorème 1.8. Si P est une famille de semi-normes sur E, alors E est localement compact
pour la P -topologie si et seulement s’il est séparé et de dimension finie.
Ceci résulte des deux lemmes suivants.
Lemme 1.9. Si P est une famille de semi-normes sur un espace E de dimension finie pour
laquelle la P -topologiePest séparée, et si (a1 , a2 , . . . , an ) est une base de E, l’application
ϕ : (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ xj aj est un homéomorphisme de Kn sur E.
Puisque chaque p◦ϕ, pour p ∈ P , est une semi-norme sur Kn , on se ramène
immédiatement au cas où E = Kn .
On remarque d’abord que toute semi-norme p sur Kn est continue : si (e1 , e2 , . . . , en )
est la base canonique de Kn , on a
n
X
X
p(x) = p(
xj ej ) 6
|xj | p(ej ) 6 M kxk
j=1
j
3
P
où on a posé M = j p(ej ), donc |p(y) − p(x)| 6 p(y − x) 6 M ky − xk. Il en résulte que
toute P -boule est ouverte, pour la topologie définie par la norme.
Inversement, pour toute semi-norme p, l’ensemble p−1 (0) est un sous-espace vectoriel.
Si la P -topologie est séparée, on peut donc construire par récurrence une suite strictement
décroissante (Vk ) de sous-espaces vectoriels de E et des pk dans P telle que V0 = E et
Vk+1 = Vk ∩ p−1
k (0) où pk (xk ) > 0 pour un xk ∈ Vk si Vk 6= {0}. Cette suite est finie, de
longueur ` 6 n, Alors supk6` pk est une semi-norme ne s’annulant qu’en 0, donc une norme,
qui est équivalente à la norme k.k puisque la dimension est finie : on a kxk 6 M supk6` pk (x),
ce qui montre que la norme k.k est continue pour la P -topologie, c’est-à-dire que cette
dernière est plus fine que la topologie usuelle sur Kn .
•
Lemme 1.10. Si E est localement compact pour la P -topologie, E est de dimension finie.
Si E est localement compact, il existe une P -boule W (0, p1 , p2 , . . . , pk , r1 , r2 , . . . , rk )
qui est relativement compacte dans E. Soit a 6= 0 un point de cette P -boule W . Il existe,
puisque E est séparé une p ∈ P telle que p(a) > 0 ; comme p est continue, elle est bornée
M
sur le compact W par un nombre M , ce qui montre que na ∈
/ W si n >
, donc qu’il
p(a)
existe j 6 k telle que npj (a) = pj (na) > rj > 0, et enfin que pj (a) > 0. Il en résulte que
q = supj6k pj est une norme sur E, et que W est un voisinage de 0 dans l’espace E normé
par q. La topologie définie par q est moins fine que la P -topologie, et séparée : W est donc
compact dans cet espace normé. Celui-ci est donc localement compact, donc de dimension
finie.
•
Théorème 1.11. Si P est une famille dénombrable de semi-normes sur E, la P -topologie
peut être définie par une distance d invariante par translation, c’est-à-dire vérifiant pour tout
x, tout y et tout z de E : d(x + z, y + z) = d(x, y), pour laquelle les boules sont convexes.
Inversement, si P est une famille de semi-normes et si la P -topologie est métrisable, il
existe une suite croissante (pk ) de semi-normes pour laquelle la P -topologie coı̈ncide avec la
topologie définie par la famille des (pk ).
Une suite (xn ) de E converge alors vers a ∈ E si et seulement si pk (xn − a) → 0 pour
tout k. Et une suite (xn ) est de Cauchy si et seulement si, pour tout k, pk (xn − xm ) → 0,
c’est-à-dire si (xn − xm ) tend vers 0 lorsque n et m tendent vers l’infini.
Si (pk )k>1 est une énumération de P , on définit une distance d sur E en posant :
°
¢
1
d(x, y) = sup inf( , pk (x − y)
k
k>1
et cette distance est clairement invariante par translation. On peut remarquer également
que si λ ∈ K vérifie |λ| = 1, on a d(x, 0) = d(λx, 0). On a, pour cette distance
B(a, r) = {x : ∀k 6
1
r
pk (x − a) < r}
qui est une P -boule centrée en a, ce qui montre que la P -topologie est plus fine que la
topologie associée à d et que les boules de d sont convexes. Inversement, chacune des semi1
normes pk est continue pour la distance d, puisque, pour ε < , on a, si d(x, y) < ε :
k
1
|pk (y) − pk (x)| 6 pk (y − x) = inf( , pk (x − y)) 6 d(x, y) < ε .
k
4
Si, maintenant, la P -topologie est métrisable, définie par une distance d, chaque boule
Bd (0, 2−k ) est un voisinage de 0, donc contient une P -boule ; il existe donc une partie finie Jk
de P et un εk tels que Bd (0, 2−k )S⊃ {x : ∀p ∈ Jk p( x) < εk }. Si (qm ) est une énumération
de l’ensemble dénombrable P0 = k Jk , on remarque que chaque qm est continue,P
et que la
P0 -topologie est plus fine que la P -topologie initiale. Il suffit alors de prendre pk = m6k qm
pour avoir la suite croissante cherchée.
Il résulte de ce qui précède qu’une suite (xn ) converge alors vers a si pk (xn − a) → 0
pour tout k. Une suite (xn ) est de Cauchy pour d si et seulement si, pour tout k et tout
ε > 0, il existe un rang N tel que pk (xm − xn ) < ε pour m et n supérieurs à N , ou encore
que (xm − xn ) tende vers 0 quand m et n tendent vers l’infini.
•
On remarque ainsi que la complétude de E ne dépend alors que de la topologie, et pas
de la distance invariante par translation choisie.
Definition 1.12. On appelle espace de Fréchet un espace vectoriel muni d’une P -topologie
métrisable, et complet pour cette topologie.
2 - Topologies faibles
Soient E un espace vectoriel sur K et F un espace vectoriel de formes linéaires sur E.
Pour tout f ∈ F , la fonction pf : x 7→ |f (x)| est une semi-norme sur E. On définit alors
la topologie faible σ(E, F ) sur E comme la P -topologie où P = {pf : f ∈ F }. On notera
souvent hf, xi le nombre f (x).
Théorème 2.1. Une forme linéaire f sur E est continue pour la topologie σ(E, F ) si et
seulement si f ∈ F .
Il résulte immédiatement de la définition que si f ∈ F , on a |f (x)| 6 pf (x) pour tout
x ∈ E, donc que f est continue pour σ(E, F ).
Inversement, si g est une forme linéaire continue pour σ(E, F ), il existe f1 , f2 , T
. . . fk dans
F et M tels que, pour tout x, on ait |g(x)| 6 M. supj pfj (x). En particulier, si x ∈ j ker(fj ),
on a nécessairement g(x) = 0. Si on note Φ l’application linéaire de E dans Kk définie par
Φ(x) = (fj (x))j6k , et par G le sous-espace Φ(E) de Kk , on remarque que si Φ(x) = Φ(y),
on a fj (x − y) = 0 pour tout j, donc g(x − y) = 0. Il en résulte qu’existe une unique fonction
ϕ de V dans K telle que g(x) = ϕ(Φ(x)). On voit aisément que cette fonction ϕ est linéaire
et peut se prolonger en une forme linéaire ψ sur Kk . On a alors
X
ψ(u1 , u2 , . . . , uk ) =
αj uj
j6k
avec des coefficients αj dans K.
P
On
en
déduit
que,
pour
x
∈
E,
g(x)
=
ψ
◦Φ(x) =
j6k αj fj (x), c’est-à-dire que
P
g = j6k αj fj ∈ F .
•
Théorème 2.2. Si E est un espace vectoriel muni d’une P -topologie et E 0 son dual, la
topologie faible σ(E, E 0 ) (appelée topologie affaiblie de E) est moins fine que la P -topologie
initiale.
Puisque chaque élément de E 0 est continu pour la P -topologie initiale O, on voit
immédiatement que chaque semi-norme pf pour f ∈ E 0 est O-continue, donc que toute
boule pour la topologie σ(E, E 0 ) est ouverte pour O, donc que la topologie affaiblie est
moins fine que O.
•
5
Théorème 2.3. Si P est une famille de semi-normes sur E, Q une famille de semi-normes
sur F et u une application linéaire continue de E muni de la P -topologie dans F muni de la
Q-topologie, l’application t u transposée de u est continue de F 0 muni de σ(F 0 , F ) dans E 0
muni de σ(E 0 , E).
Il suffit pour cela de montrer que pour tout x ∈ E la semi-norme px sur E 0 définie par
px (g) = |hg, xi| satisfait que px ◦t u est continue sur F 0 pour σ(F 0 , F ). Or px ◦t u(f ) = qy (f ),
où y = u(x) et qy est la semi-norme f 7→ |hf, yi|, qui est continue par définition de la
topologie σ(F 0 , F ).
•
3 - Jauge d’un ensemble convexe
Définition 3.1. Une fonction p : E → R est dite sous-linéaire si elle vérifie les deux
conditions :
(i) ∀x ∈ E ∀t ∈ R+ p(tx) = tp(x)
(ii) ∀x ∈ E ∀y ∈ E p(x + y) 6 p(x) + p(y).
Une semi-norme est donc une fonction sous-linéaire satisfaisant en plus p(λx) = p(x)
pour tout λ ∈ K tel que |λ| = 1.
Lemme 3.2. Une fonction sous-linéaire est convexe.
Si x et y sont des vecteurs de E , t ∈ [0, 1] et z = tx + (1 − t)y, on a
p(z) 6 p(tx) + p((1 − t)y) = tp(x) + (1 − t)p(y)
•
ce qui montre le résultat.
Théorème 3.3. Soient E un K-espace vectoriel et C une partie convexe de E contenant
l’origine. On suppose que pour tout x de E on peut trouver un t > 0 tel que tx ∈ C. Alors
il existe une fonction sous-linéaire p : E → R+ appelée jauge de C telle que, pour tout x de
E on ait
p(x) < 1 =⇒ x ∈ C =⇒ p(x) 6 1
On pose, pour x ∈ E :
p(x) = inf{s > 0 : s−1 x ∈ C}
qui est bien défini dans R+ puisqu’il existe des s > 0 tels que s−1 x ∈ C. Si λ > 0 et y = λx,
on a t−1 y ∈ C ⇐⇒ (t−1 λ)x ∈ C, donc p(y) = λp(x).
Soient x et y dans E, avec p(x) = α et p(y) = β. On veut montrer que p(x + y) 6 α + β.
Soit donc s > α + β. On veut trouver s1 < s que s−1
1 (x + y) ∈ C ; il existe u > α et v > β
tels que s = u + v, donc u1 < u tel que x0 = u−1
x
∈ C et v1 < v tel que y 0 = v1−1 y ∈ C.
1
Alors, en posant s1 = u1 + v1 ,
s−1
1 x=
1
(u1 x0 + v1 y 0 ) ∈ C
u1 + v1
ce qui achève la preuve.
Si x ∈ C, le nombre 1 appartient à {s : s−1 x ∈ C}. Donc p(x) 6 1. Et si p(x) < 1,
il existe s ∈ ]p(x), 1[ tel que s−1 x ∈ C. Alors x = s.(s−1 x) + (1 − s).0 ∈ C, puisque C est
convexe et contient 0 et s−1 x.
•
6
Théorème 3.4. Soient E un K-espace vectoriel muni d’une topologie O pour laquelle la
fonction : (x, y) 7→ x + y est continue de E × E dans E, et la fonction (λ, x) 7→ λx continue
de K × E dans E. On suppose que, pour tout voisinage V de 0 dans E, il existe un voisinage
convexe W de 0 contenu dans V . Alors, il existe une famille P de semi-normes sur E telle
que O soit la P -topologie.
On définit P comme l’ensemble de toutes les semi-normes continues sur (E, O). Le
P -boules sont alors ouvertes pour O, c’est-à-dire que la P -topologie est moins fine que O.
Inversement, si V est un voisinage de 0 pour O, il existe par T
hypothèse un voisinage
convexe V0 de 0 pour O, contenu dans V . On définit alors W = |λ|=1 λV0 , qui est une
partie convexe de E contenant 0. Pour a ∈ E, la continuité de l’application µ 7→ µa entraı̂ne
l’existence d’un r > 0 tel que µa ∈ V0 si |µ| 6 r, donc que ra ∈ W . On note alors p la jauge
de W . Puisque λW = W pour |λ| = 1, on voit que s−1 (λx) ∈ W ⇐⇒ s−1 x ∈ W , donc que
p(λx) = p(x) si x ∈ E et |λ| = 1. Ceci montre que p est une semi-norme.
On vérifie maintenant que p est continue : il suffit pour cela de montrer que W est un
voisinage de 0. En effet, par continuité de l’application (λ, x) 7→ λx en (0, 0), il existe un
voisinage V1 de 0 et ρ > 0 tels que λx ∈ V0 si x ∈ V1 et |λ| 6 ρ. L’homothétie x 7→ ρx est
alors un homéomorphisme de E sur lui-même, et V2 = ρV1 est un voisinage de 0. On a alors,
pour x ∈ V2 et |λ| = 1 : λx ∈ V0 , ce qui montre que W ⊃ V2 est un voisinage de 0, que
p ∈ P et que V est un voisinage de 0 pour la P -topologie.
•
4 - Le théorème de Hahn-Banach
Théorème 4.1. Soient E un R-espace vectoriel, p une fonction sous-linéaire sur E, V un
sous-espace vectoriel de E et f une forme linéaire sur V satisfaisant f (x) 6 p(x) pour tout
x de V . Alors il existe une forme linéaire g sur E qui prolonge f et qui satisfait f (x) 6 p(x)
pour tout x de E.
Désignons par V l’ensemble des couples (M, ϕ), où M est un sous-espace vectoriel de
E et ϕ une forme linéaire sur M vérifiant ϕ(x) 6 p(x) pour tout x de M . On munit V de
l’ordre 6 défini par (M, ϕ) 6 (N, ψ) ⇐⇒ M ⊂ N et ψ|M = ϕ.
On montre d’abord que V est inductif
S pour 6 : soit en effet (Mi , ϕi )i∈I une famille
totalement ordonnée. Si on pose M = i∈I Mi , il est aisé de vérifier que M est un sousespace vectoriel de E, qu’il existe une fonction ϕ : M → R qui prolonge chacune des ϕi et
que ϕ est linéaire. De plus, pour tout x ∈ M , il existe un i ∈ I tel que x ∈ Mi et on a
ϕ(x) = ϕi (x) 6 p(x). Donc (M, ϕ) appartient à V et est dans V la borne supérieure de la
famille (Mi , ϕi )i∈I .
D’après le théorème de Zorn, l’élément (V, f ) de V est majoré dans V par un élément
maximal (M, g). Il suffit donc de démontrer que cet élément maximal satisfait M = E
pour achever la démonstration. Supposons donc par l’absurde qu’existe un a ∈ E \ M .
On va construire alors un élément (N, ϕ) de V qui majore strictement (M, g). On pose
pour cela N = M ⊕ R.a, on choisit α ∈ R et on définit la forme linéaire ϕ sur N par
ϕ(x + ta) = g(x) + tα. Il suffit donc de montrer qu’on peut choisir α de sorte que l’on ait
g(x) + tα 6 p(x + ta) pour tout x de M et tout t ∈ R.
La condition précédente est satisfaite pour t = 0 quel que soit x ∈ M . Pour t > 0 cette
x
x
x
condition est équivalente à la condition g( ) + α 6 p( + a), et puisque ∈ M , équivalente
t
t
t
à α 6 p(y + a) − g(y) pour tout y de M . Enfin, pour t < 0, la condition précédente est
7
x
x
équivalente à g(− ) − α 6 p(− − a), c’est-à-dire à α > −p(y − a) + g(y) pour tout y de
t
t
x
M puisque − ∈ M . On doit donc choisir α tel que
t
sup g(y) − p(y − a) 6 α 6 inf p(x + a) − g(x) ,
x∈M
y∈M
ce qui est possible si, pour tout y et tout x de M , on a g(y) − p(y − a) 6 p(x + a) − g(x).
Or, pour x et y dans M ,
(p(x + a) − g(x)) − (g(y) − p(y − a)) = p(x + a) + p(y − a) − g(x + y)
> p(x + a + y − a) − g(x + y)
= p(x + y) − g(x + y) > 0
puisque x + y ∈ M . Ceci montre que le choix de α est possible, et que (N, ϕ) majore
strictement (M, g), contrairement à la maximalité de ce dernier. Donc M = E et g est une
forme linéaire sur E.
•
Corollaire 4.2. Soient E un K-espace vectoriel, p une semi-norme sur E, V un sous-espace
vectoriel de E et f une forme linéaire sur V satisfaisant |f (x)| 6 p(x) pour tout x de V .
Alors il existe une forme linéaire g sur E prolongeant f et satisfaisant |g(x)| 6 p(x) pour
tout x de E.
Si K = R, il suffit de remarquer que la semi-norme p est sous-linéaire et d’appliquer
le théorème précédent pour obtenir une forme linéaire g sur E prolongeant f et vérifiant
g(x) 6 p(x) pour tout x de E. Mais on a alors aussi −g(x) = g(−x) 6 p(−x) = p(x), dont
on déduit |g(x)| 6 p(x) pour x ∈ E.
Si K = C, la fonction f˜ : x 7→ <e(f (x)) est R-linéaire sur V et vérifie, pour tout x de V :
f˜(x) 6 |f (x)| 6 p(x). Le théorème précédent permet alors de trouver une forme R-linéaire
ϕ sur E prolongeant f˜ et vérifiant ϕ(x) 6 p(x) pour tout x de E. On pose alors
g(x) = ϕ(x) − iϕ(ix)
ce qui définit une application R-linéaire de E dans C telle que <e(g) = ϕ. Mais on a
g(ix) = ϕ(ix) − iϕ(−x) = iϕ(x) + i(−iϕ(ix)) = ig(x)
ce qui montre que g est en fait C-linéaire. Pour v ∈ V , on a iv ∈ V , donc
g(v) = ϕ(v)−iϕ(iv) = f˜(v)−if˜(iv) = <e(f (v))−i <e(if (v)) = <e(f (v))+=m(f (v)) = f (v)
ce qui montre que g prolonge f . Enfin, si x ∈ E et g(x) = |g(x)| eiθ , on a
|g(x)| = g(x)eiθ = <e(g(x)eiθ ) = <e(g(xeiθ )) = ϕ(xeiθ ) 6 p(xeiθ ) = p(x) ,
•
ce qui achève la démonstration.
Corollaire 4.3. Soient E un espace normé et a 6= 0 un point de E. Alors il existe une forme
linéaire g sur E de norme 1 telle que g(a) = kak.
Si on considère le sous-espace V = Ka et la forme linéaire f sur V définie par
f (λa) = λ kak, on a |f (x)| 6 kxk pour tout x de V . Il existe donc, d’après le corollaire 4.2 une
forme linéaire g sur E prolongeant f et vérifiant |g(x)| 6 kxk pour tout x de E, c’est-à-dire
kgk 6 1. Puisque g(a) = kak, on a aussi kgk > 1. Donc kgk = 1.
•
8
Théorème 4.4. Soient E un K-espace vectoriel muni d’une P -topologie, C une partie
convexe fermée non vide de E et a un point de E n’appartenant pas à C. Alors il existe une
forme linéaire continue g sur E et un nombre réel α < <e(g(a)) tels que <e(g(x)) 6 α pour
tout x de C.
Puisque a n’est pas adhérent à C, il existe une P -boule W = W (0, p1 , . . . , pk , r1 , . . . rk )
telle que a + W = W (a, p1 , . . . , pk , r1 , . . . rk ) soit disjointe de C. Alors, puisque W = −W et
que l’ensemble convexe
[
[
C0 = C − W =
c−W =
W (c, p1 , . . . , pk , r1 , . . . rk )
c∈C
c∈C
est une réunion d’ouverts de E, on voit que C 0 est ouvert. Le point a n’appartient pas à C 0 :
sinon il existerait c ∈ C et w ∈ W tels que a = c − w, donc que c = a + w ∈ C ∩ (a + W ) = ∅.
Soit b un point de C. On a b+W ⊂ C 0 , donc W ⊂ −b+C 0 et b ∈ C 0 , donc a−b ∈
/ −b+C 0 .
00
0
La jauge p de C = −b + C est une fonction sous-linéaire qui vérifie donc p(x) 6 1 pour
x ∈ W et p(a − b) > 1. En appliquant le théorème 4.1 avec M = R(a − b) et f la forme
R-linéaire sur M définie par f (t(b − a)) = t, on trouve donc une forme R-linéaire ϕ sur E
vérifiant ϕ(b − a) = 1 et ϕ(x) 6 p(x) pour tout x ∈ E. Si K = R, on prend g = ϕ. Si K = C,
on voit comme dans la démonstration du corollaire 4.2 que la fonction g : x 7→ ϕ(x) − iϕ(ix)
est alors une forme C-linéaire vérifiant <e(g) = ϕ. Et on a dans tous les cas <e(g(a−b)) = 1.
Puisque ϕ(x) 6 p(x) 6 1 pour x ∈ W , la fonction ϕ est continue sur E., de même que
la fonction x 7→ iϕ(ix) dans le cas K = C. Il en résulte que g est continue.
Puisque la fonction t 7→ t(a − b) est continue, il existe ε > 0 tel que ε(a − b) ∈ W . Pour
tout x ∈ C, on a alors x + ε(a − b) ∈ C 0 , donc x − b + ε(a − b) ∈ C 00 . Il en résulte que
<e(g(x) − <e(g(b)) + ε = <e(g(x) − <e(g(b)) + ε <e(g(a − b)) = <e(g(x − b + ε(a − b))) 6 1
ainsi que <e(g(a)) − <e(g(b)) = 1. Donc, avec α = <e(g(b)) + 1 − ε, on a <e(g(x)) 6 α pour
x ∈ C et <e(g(a)) > α.
•
Corollaire 4.5. Soient E un K-espace vectoriel muni d’une P -topologie, C une partie
convexe fermée équilibrée de E (c’est-à-dire que λx ∈ C chaque fois que x ∈ C et |λ| 6 1)
et a un point de E n’appartenant pas à C. Alors il existe une forme linéaire continue f sur
E telle que |f (a)| > supx∈C |f (x)|.
Si on applique le théorème précédent, on trouve une forme linéaire continue f sur E
et un α ∈ R tels que <e(f (x)) 6 α < <e(f (a)) 6 |f (a)| pour tout x ∈ C. On a alors
λx ∈ C, pour x ∈ C et λ ∈ K avec |λ| = 1 ; donc <e(λf (x)) 6 α < |f (a)|. Et puisque
|f (x)| = sup|λ|=1 <e(λf (x)), on obtient le résultat cherché.
•
5 - Dualité des espaces normés
Théorème 5.1. Si E est un K-espace vectoriel normé, la fonction f 7→ supx∈E,kxk61 |f (x)|
est une norme (appelée norme duale) sur le dual E 0 de E, pour laquelle E 0 est un espace de
Banach.
Si f appartient à E 0 , elle est bornée sur toute boule. Il en résulte que kf k :=
supx∈E,kxk61 |f (x)| < +∞. On vérifie alors sans difficulté que ceci définit une semi-norme sur
9
E 0 , qui est même une norme puisque si f s’annule sur une boule, elle est identiquement nulle.
1
Pour tout x 6= 0 dans E, le point x0 =
x appartient à la boule unité B := {y : kyk 6 1},
kxk
on a donc
Ø
Ø
Ø 1
Ø
0
Ø
Ø
Ø kxk f (x)Ø = |f (x )| 6 kf k
ce qui montre que |f (x)| 6 kf k kxk.
Si, maintenant, (fk ) est une suite de Cauchy dans E 0 muni de cette norme, on a
|fk (x) − f` (x)| = |(fk − f` )(x)| 6 kfk − f` k kxk, ce qui montre que la suite numérique
(fk (x))k est une suite de Cauchy dans K, donc converge vers un nombre f (x). Pour x
et y dans E et λ ∈ K, on a
fk (x + λy) = fk (x) + λfk (y) → f (x) + λf (y) ,
donc f (x + λy) = f (x) + λf (y), ce qui montre que f est linéaire de E dans K. De plus, il
existe un entier N tel que kfk − f` k 6 1 si k > N et ` > N . Il en résulte que kfk k 6 1+kfN k,
donc que |fk (x)| 6 (1 + kfN k) kxk pour k > N . On en déduit que |f (x)| 6 (1 + kfN k) kxk,
donc que f est continue, c’est-à-dire appartient à E 0 .
Plus précisément, si ε > 0, il existe Nε tel que kfk − f` k 6 ε si k et ` sont supérieurs
à ε. On voit alors que |fk (x) − f` (x)| 6 ε kxk si k et ` sont supérieurs à Nε et on en déduit
que |fk (x) − f (x)| 6 ε kxk, c’est-à-dire kfk − f k 6 ε, si k > Nε . Et ceci signifie que fk → f
dans l’espace normé E 0 . L’espace normé E 0 est donc complet.
•
Théorème 5.2. Soient E un espace normé et E 0 son dual muni de la norme duale. Alors,
pour tout x ∈ E, la fonction ϕx : f 7→ f (x) est une forme linéaire continue sur E 0 , et
l’application j : x 7→ ϕx est une application linéaire isométrique de E dans le bidual de E,
c’est-à-dire le dual E 00 de E 0 .
L’espace normé E est dit réflexif si j est surjective.
Par définition des opérations sur les formes linéaires, on a (f1 + f2 )(x) = f1 (x) + f2 (x)
et (λf )(x) = λ.f (x). Ceci montre que l’application ϕx : f 7→ f (x) est linéaire de E 0 dans K.
Puisque |j(x)(f )| = |f (x)| 6 kf k kxk, on voit que j(x) est une forme linéaire continue sur
E 0 et même que kj(x)k 6 kxk. Par ailleurs, par linéarité des éléments de E 0 , on a :
j(x + λy)(f ) = f (x + λy) = f (x) + λf (y) = (j(x) + λj(y))(f ) ,
c’est-à-dire que j est linéaire. On en conclut que j est une application linéaire continue de
E dans E 00 de norme au plus 1.
Enfin, si a ∈ E, il résulte du corollaire 4.3 qu’il existe g ∈ E 0 telle que kgk = 1 et
g(a) = kak. On a ainsi j(a)(g) = kak, donc kj(a)k > kak. On conclut de ce qui précède
que kj(a)k = kak, donc que j est isométrique de E dans E 00 . En particulier j est injective.
Lorsque E est un espace de Banach, j(E) est complet, donc fermé dans E 00 .
Définitions 5.3. Soit E un espace vectoriel normé. On appelle topologie faible sur E la
topologie affaiblie σ(E, E 0 ).
On appelle topologie préfaible (ou ∗-faible) sur E 0 la topologie faible σ(E 0 , E), où on a
identifié par l’application j ci-dessus l’espace E à un espace de formes linéaires sur E 0 .
Si l’espace E est réflexif, la topologie faible σ(E 0 , E 00 ) sur E 0 coı̈ncide avec la topologie
préfaible σ(E 0 , E).
10
Théorème 5.4. (Banach-Alaoglu) Si E est un espace normé, la boule unité de son dual E 0
est compacte pour la topologie préfaible σ(E 0 , E).
Notons B 0 la boule unité de E 0 . Pour tout f ∈Q
B 0 on a |f (x)| 6 kxk. On peut donc définir
une application Φ de B 0 dans le compact K = x∈E Dx , où Dx = {λ ∈ K : |λ| 6 kxk}
par Φ(f ) = (f (x))x∈E . Par définition de la topologie préfaible sur E 0 , chaque fonction
coordonnée f 7→ f (x) est continue, ce qui montre que Φ est continue.
L’image Φ(B 0 ) est formée des fonctions f ∈ K satisfaisant pour tout x ∈ E, tout y ∈ E
et tout λ ∈ K : f (x + λy) − f (x) − λf (y) = 0. Donc Φ(B 0 ) est l’ensemble fermé
H=
\
{f ∈ K : f (x + λy) − f (x) − λf (y) = 0} ,
x,y,λ
qui est compact dans K. Pour chaque semi-norme px : f 7→ |f (x)| sur E 0 , l’application
px ◦Φ−1 est continue sur H puisque elle y coı̈ncide avec l’application f 7→ |f (x)| qui est
continue pour la topologie produit. On en déduit que Φ−1 est continue de H dans E 0 pour
la topologie préfaible, donc que Φ est un homéomorphisme de B 0 sur le compact H. Ceci
montre que B 0 est préfaiblement compact.
•
Corollaire 5.5. Si E est un espace de Banach séparable, toute suite bornée de E 0 possède
une sous-suite faiblement convergente.
fn
), on se ramène au cas où
R
la suite (fn ) est dans la boule unité B 0 de E 0 . Si D est une partie dénombrable dense de
E, l’application ψ : B 0 → KD définie par ψ(f ) = (f (x))x∈D est continue à valeurs dans
l’espace métrisable KD (produit dénombrable d’espaces métriques) quand on munit B 0 de la
topologie préfaible. De plus, l’application ψ est injective : en effet, si ψ(f ) = ψ(g), la forme
linéaire continue f − g s’annule en tout point de l’ensemble dense D, donc est identiquement
nulle. Puisque B 0 est compact, ceci montre que ψ est un homéomorphisme, donc que B 0 est
un compact métrisable. La suite (fn ) possède donc une sous-suite convergente.
•
Soit R = supn kfn k < +∞. Quitte à remplacer (fn ) par (
Théorème 5.6. Soient E un espace normé, E 0 son dual et E 00 le bidual de E. Alors la
boule unité de E, identifiée par j à une partie de E 00 , est dense dans la boule unité de E 00
pour la topologie préfaible σ(E 00 , E 0 ).
Notons B la boule unité de E et B 00 celle de E 00 . On a j(B) ⊂ B 00 . Si j(B) n’était
pas dense dans B 00 pour la topologie préfaible σ(E 00 , E 0 ) son adhérence serait un convexe
fermé équilibré B̃ ne contenant pas B 00 . On pourrait donc trouver un ξ ∈ B 00 \ B̃. D’après le
corollaire 4.5, il existerait alors une forme linéaire g sur E 00 , continue pour σ(E 00 , E 0 ) telle
que |g(ξ)| > supy∈B̃ |g(y)| > supx∈B |g ◦j(x)|. D’après le théorème 2.1, il existe f ∈ E 0 tel
que g(z) = z(f ) pour z ∈ E 00 .
On a donc g ◦j(x) = f (x) et supx∈B |g ◦j(x)| = supx∈B |f (x)| = kf k. Mais, puisque
ξ ∈ B 00 , |g(ξ)| = |ξ(f )| 6 kξk kf k 6 kf k. Et cette contradiction achève de prouver la densité
préfaible de j(B) dans B 00 .
•
Théorème 5.7. Soit E un espace normé. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) E est réflexif
(ii) E 0 est réflexif.
11
(iii) La boule unité de E est faiblement compacte.
Si E est réflexif, le dual de E 0 est égal à E : le bidual de E 0 est donc égal au dual de
E, c’est-à-dire E 0 . Et ceci montre que E 0 est réflexif.
Supposons que E 0 soit réflexif et qu’il existe un élément a de E 00 n’appartenant pas à
E. Alors j(E) est un sous-espace vectoriel fermé de E 00 ne contenant pas a, et il existe par le
corollaire 4.5 une forme linéaire f sur E 00 satisfaisant |f (a)| > supz∈j(E) |f (z)|. S’il existait
un z ∈ j(E) tel que f (z) 6= 0, il existerait un entier n tel que |f (nz)| = n |f (z)| > |f (a)|. Et
puisque nz ∈ j(E), on obtient une contradiction qui montre que f = 0 sur j(E). Et comme
E 0 est réflexif, le dual de E 00 est E 0 : donc f ∈ E 0 . On a ainsi f (x) = 0 pour tout x ∈ E,
c’est-à-dire f = 0, contrairement à |f (a)| > 0. Donc E est réflexif.
Si E est réflexif, la boule de E munie de la topologie faible σ(E, E 0 ) est égale à la boule
de E 00 munie de la topologie préfaible σ(E 00 , E 0 ), qui est compacte d’après le théorème de
Banach-Alaoglu.
Enfin, si la boule B de E est faiblement compacte, j(B) est compacte pour la topologie
σ(E , E 0 ), donc fermée dans B 00 . Et puisqu’elle est dense dans B 00 d’après le théorème 5.6,
on a j(B) = B 00 , donc j(E) = E 00 . Et E est réflexif.
•
00
Définition 5.8. Une norme k.k sur un espace E est dite uniformément convexe si, pour tout
ε > 0, il ∞existe ∞
un α > 0 tel que, pour tout x et tout y de la boule unité, on a kx − yk < ε
∞x + y ∞
∞
dès que ∞
∞ 2 ∞ > 1 − α.
Théorème 5.9. Un espace dont la norme est uniformément convexe est réflexif.
Il suffit de montrer que si a est un point de la boule unité B 00 de E 00 , alors a ∈ E. Pour
toute famille finie f1 , f2 , . . . , fk d’éléments de E 0 on considère l’ensemble convexe fermé et
borné de E :
Hf1 ,f2 ,...,fk = {x ∈ B : |hfi , xi − ha, fi i| 6 1 , i = 1, 2, . . . , k} .
Puisque a est adhérent à B pour la topologie σ(E 00 , E 0 ), chacun de ces ensembles est non
vide. Et l’intersection de deux ensembles de la famille H des Hf1 ,f2 ,...,fk est encore dans H .
Si on considère δ = supH∈H d(0, H) 6 1, la boule de centre 0 et de rayon δ + 2−k dans E
(k)
−k
rencontre chaque H ∈ H . Alors, si H (k) est un élément de H tel
∞ que d(0,
∞ H ) > δ−2 ,
∞x + y ∞
(k)
−k
∞
et si x et y appartiennent à H0 = H (k) ∩ B(0, δ + 2−k ), on a ∞
∞ 2 ∞ > δ − 2 puisque
(k)
(k)
H0 est convexe. La condition de convexité uniforme montre alors que le diamètre des H0
tend vers 0. Comme ces ensembles se coupent deux-à-deux, si on choisit un point zk dans
(k)
H0 , la suite (zk ) est une suite de Cauchy dans E, donc converge vers un point b ∈ E.
Puisque a 6= j(b), il existe f ∈ E 0 tel que |ha − j(b), f i| > 1, ce qui montre que d(b, Hf ) > 0,
(k)
et que Hf ne peut rencontrer tous les H0 . Il existe donc un k tel que Hk ∩H (k) ne rencontre
pas B(0, δ + 2−k ), en contradiction avec la définition de δ, puisque Hk ∩ H (k) ∈ H . Il en
résulte que a ∈ E, donc que E est réflexif.
•
On peut noter que cette condition suffisante de réflexivité n’est en fait pas nécessaire :
il existe des espaces réflexifs dont la norme n’est pas uniformément convexe.
12
Définition 5.10. Soient E et F deux espaces de Banach, et ϕ : (x, y) 7→ hx, yi une forme
bilinéaire continue sur E × F . On dira que ϕ identifie F au dual de E si l’application linéaire
y 7→ ϕy , où ϕy est la forme linéaire x 7→ hx, yi, est un isomorphisme de F sur E 0 .
On a pour x ∈ E et y ∈ F , |hx, yi| = |ϕ(x, y)| 6 kϕk kxk kyk. La forme linéaire ϕy
vérifie donc |ϕy (x)| 6 kϕk kxk kyk, c’est-à-dire kϕy k 6 kϕk kxk. Et cette dernière inégalité
montre que l’application linéaire Φ : y 7→ ϕy est continue de E à valeurs dans E 0 .
Lorsque E est réflexif, le produit (f, x) 7→ hf, xi = f (x) défini sur E 0 × E identifie ainsi
E au dual E 00 de E 0 . Dans ce cas l’application Φ définie ci-dessus coı̈ncide avec le plongement
canonique j de E dans E 00 .
On peut remarquer, dans le cas général, que d’après le théorème de l’application ouverte,
il suffit que Φ soit bijective de F sur E 0 , pour que ϕ identifie F à E 0 .
6 - Le théorème de l’application ouverte pour les espaces de Fréchet
Théorème 6.1. Soient E et F deux espaces de Fréchet et u une application linéaire continue
de E dans F . Si u(E) n’est pas maigre dans F , l’application u est surjective et ouverte.
On peut choisir sur E et sur F des distances invariantes par translation pour lesquelles
les boules sont convexes et équilibrées, et qui définissent respectivement la topologie de E
et de F , rendant ainsi complets E et F .
Fixons r > 0 et ε ∈ ]0, 1[, puis posons, pour n ∈ N : Bn = {x ∈ E : d(x, 0) < rεn }.
S
Puisque u(F ) ⊂ k∈N u(k.Bn ) n’est pas maigre, l’un au moins des u(k.Bn ) n’est pas rare.
Et puisque l’homothétie de rapport k est un homéomorphisme, u(Bn ) n’est pas rare non
plus. Il existe donc un a ∈ F et un ρn > 0 tel que BF (a, ρn ) ⊂ u(Bn ). Par symétrie,
1
BF (−a, ρk ) ⊂ u(Bn ), et par convexité BF (0, ρn ) ⊂ (BF (a, ρn ) + BF (−a, ρn )) ⊂ u(Bn ).
2
r
On va montrer qu’alors u(BE (0,
)) contient BF (0, ρ0 ). Quitte à diminuer ρn , on peut
1−ε
supposer que ρn 6 ρ0 .2−n .
Soit donc y ∈ BF (0, ρ0 ). On va construire par récurrence une suite (xn ) dans E telle
Pn−1
que xn ∈ Bn et que y − j=0 u(xj ) ∈ BF (0, ρn ), ce qui est possible pour n = 0. Si la
Pm−1
construction est faite pour n < m, on a ym := y − j=0 u(xj ) ∈ BF (0, ρm ) ⊂ u(Bm ). Il
existe donc un xP
m ∈ Bm tel que
P∞ym −j u(xm ) ∈ BF (0, ρm+1 ).
Alors on a j d(0, xj ) < 0 r.ε < +∞, ce qui montre la convergence de la série (xn ).
Pn−1
Pn
Et puisque d(y, u( 0 xj )) 6 ρn → 0, on voit que x := limn→∞ j=0 xj est un point de E
P∞
r
r
tel que u(x) = y. Comme on a d(0, x) < j=0 r.εj =
, on voit que y ∈ u(BE (0,
).
1−ε
1−ε
Etr ceci achève de montrer que u est surjective et ouverte. En particulier, si u est injective,
c’est un isomorphisme.
•
Théorème 6.2. Soient E et F deux espaces de Fréchet, et u une application linéaire de E
dans F . Si le graphe de u est fermé dans E × F , alors u est continue.
Notons G le graphe de E × F , qui est un espace de Fréchet puisque fermé dans
l’espace complet E × F , π1 et π2 les restrictions à G des projections de E × F sur E
et F respectivement. Puisque π1 est bijective, il résulte du théorème précédent que π1 est
un isomorphisme, et puisque u = π2 ◦π1−1 , ceci montre la continuité de u.
•
13
7 - Limites inductives d’espaces de Fréchet
Théorème 7.1. Soient E un espace de Fréchet et (Fn ) une
S suite de sous-espaces vectoriels
fermés de E. alors il existe sur l’espace vectoriel sur F = n Fn une unique P -topologie O
vérifiant :
(i) la topologie O coı̈ncide sur chaque Fn avec la topologie induite par E.
(ii) Une application linéaire f de F dans un espace normé G (en particulier une forme
linéaire) est continue pour O si et seulement si la restriction de f à chaque Fn est continue.
De plus, cette topologie vérifie la propriété :
(iii) Toute suite convergente (xk ) est contenue dans l’un des Fn .
Désignons par P la famille de toutes les semi-normes p sur F telles que la restriction
de p à chaque Fn soit continue pour la topologie d’espace de Fréchet sur Fn . On va montrer
que cette P -topologie, O, a les propriétés cherchées. Il existe sur E, d’après le théorème
1.11, une distance d invariante par translation qui définit la topologie de E et pour laquelle
les boules sont convexes, distance elle-même définie à partir d’une suite croissante (pk ) de
semi-normes sur E.
Puisque toute semi-norme dans P est continue sur Fn muni de d, on voit que la topologie
induite par O sur Fn est moins fine que la topologie induite par d. Inversement, si V est un
voisinage de 0 dans Fn , il existe un k et un r > 0 tels que
Fn ∩ {x ∈ E : pk (x) < r} ⊂ Vn
et puisque pk est continue sur chaque Fn , on a pk ∈ P , ce qui montre que V est un voisinage
de 0 dans Fn pour la topologie induite par O. On en déduit que O induit sur Fn la même
topologie que E.
Si G est un espace normé et f une application linéaire de F dans G, continue sur chaque
Fn , la fonction q : x 7→ kf (x)k est une semi-norme sur F , dont la restriction à Fn est continue
pour tout n : il en résulte que q ∈ P , ce qui montre que f est continue pour la topologie O.
On vérifie maintenant que si O 0 est la Q-topologie définie par une famille de semi-normes
sur E avec les propriétés (i) et (ii), les semi-normes continues pour O et O 0 sont les-mêmes,
c’est-à-dire que O = O 0 , ce qui est le résultat d’unicité annoncé.
Soit en effet q une semi-norme continue pour O 0 : alors q est continue sur chaque Fn , donc
appartient à P , et est continue pour O. Inversement, si p ∈ P , l’ensemble {x ∈ F : p(x) = 0}
est un sous-espace vectoriel H de F . Si x et y sont deux points de F tels que x − y ∈ H, on a
p(x) 6 p(y)+p(x−y) = p(y) et de même p(y) 6 p(x) donc p(x) = p(y). Sur l’espace vectoriel
quotient G = F/H, il existe donc une fonction q : E/H → R+ telle que q(π(x)) = p(x) si π
est la projection canonique de F sur G. On vérifie immédiatement que q est une semi-norme
sur G, et même une norme puisque , si q(π(x)) = 0, on a p(x) = 0 donc x ∈ H et π(x) = 0.
Alors l’application linéaire π : F → G est continue sur chaque Fn , donc continue pour O 0 ,
ce qui signifie que q ◦π est une semi-norme continue pour O 0 . Et ceci montre l’unicité de la
topologie O.
Pour montrer le point (iii), on va montrer d’abord un lemme permettant de construire
les voisinages de 0 dans O.
14
Lemme 7.2. On suppose que (nk ) est une suite strictement croissante d’entiers, (εk ) une
1
suite de nombres réels telle que 0 < εk+1 < εk . Et on définit les ensembles convexes Ck
2
par
k
k
X
X
Ck =
Fnj ∩ B(0, εj ) = {
xj : xj ∈ Fnj , d(xj , 0) 6 εj }
j=0
j=0
S∞
où B(0, r) désigne la boule de centre 0 et de rayon r pour la distance d, puis C = k=0 Ck .
Alors C est un voisinage de 0 pour O. De plus, si x ∈ C, on a d(x, Fnk ) < εk pour tout k.
De plus, tout voisinage de 0 dans F pour O contient un tel voisinage.
Si on a construit la distance d comme en 1.11, on a λCk = Ck pour tout λ ∈ K tel que
|λ| = 1. Il en résulte que Ck est un convexe équilibré. La suite (Ck ) est clairement croissante.
Si x ∈ F , il existe un k tel que x ∈ Fnk , donc un t > 0 tel que tx ∈ Fnk ∩ B(0, εk ) ⊂ Ck ⊂ C.
On peut alors considèrer la jauge p de C, qui est une semi-norme.
Puisque C ∩ Fnk ⊃ Fnk ∩ B(0, εk ), C ∩ Fnk est un voisinage de 0 dans Fnk sur lequel
p 6 1. Il en résulte que la restriction de p à Fnk est continue, et a fortiori la restriction de p
à Fn si n 6 nk . On en déduit que p ∈ P , et que C est un voisinage de 0 pour O.
Soient x ∈ C et k entier.
que x ∈ C` , donc
P` Il existe, par définition de C, un ` tel P
k
des (xi )i6` tels que x =
x
et
x
∈
F
∩
B(0,
ε
).
Alors
y
=
i
i
i=0 xi ∈ Fnk et
P` i=0 i
P` ni
d(x, Fnk ) 6 d(x, y) 6 i=k+1 d(0, xi ) 6 i=k+1 εi . Pour i > k, on a εi < 2k−i εk , donc
P`
d(x, Fnk ) 6 εk i=k+1 2k−i < εk .
Inversement, si p ∈ P et r > 0, l’ensemble Wn = {x ∈ Fn : p(x) < r.2−n−1 } est un
voisinage de 0 dans Fn , et on peut construire par récurrence une suite (εn ) telle P
que que
εn < εn−1 et que Wn contienne une boule Fn ∩ B(0, εn ) de Fn . Alors, si x =
j6k xj
P
P
−j−1
avec S
xj ∈
< r, ce qui montre que
PFj ∩ B(0, εj ), on a p(x) 6 j6k p(xj ) 6 j6k r.2
C = k j6k Fj ∩ B(0, εj ) ⊂ {x : p(x) < r}, donc que tout voisinage de 0 pour O contient
un voisinage du type décrit ci-dessus.
•
On achève maintenant la démonstration de (iii). Si (xn ) était une suite de F qui
converge vers a pour O sans que les (xn ) soient tous dans un même Fk , la suite (xn − a)
convergerait vers 0 sans que tous ses termes soient dans un même Fk . On se ramène ainsi
au cas où a = 0. Puisque, pour tout `, il existe une infinité de termes de la suite situés
hors de F` , on peut construire par récurrence deux suites strictement croissantes d’entiers
(nk ) et (mk ) telles que : xmk ∈ Fnk et xmk+1 ∈
/ Fnk . ainsi qu’une suite (εk ) de réels telle
1
que 0 < εk+1 < εk et εk < d(xmk+1 , Fnk ). Le voisinage C de 0 construit dans le lemme
2
précédent ne peut contenir alors aucun des points xmk pour k > 1, ce qui contredit la
convergence de la suite (xn ) vers 0, et achève la démonstration.
•
Théorème 7.3. Soient E et F deux espaces de Fréchet, (En ) une suite croissante de sousespacesSfermés de E, et
S (Fn ) une suite croissante de sous-espaces fermés de F . On munit
E∞ = n En et F∞ = n Fn de la topologie limite inductive. Alors, si u est une application
linéaire continue surjective de E∞ dans F∞ , l’application u est ouverte.
Pour tout n et tout p , le sous-espace Hn = u−1 (FnS
) est fermé dans E∞ et la restriction
de u à Ep ∩ Hn est continue de Hn dans Fn . De plus p u(Ep ∩ Hn ) = Fn , ce qui montre
que l’un des u(Ep ∩ Hn ) n’est pas maigre dans Fn . Alors la restriction de u à Ep ∩ Hn est
15
surjective et ouverte de Ep ∩ Hn sur Fn . Et si W est un voisinage convexe de 0 dans E∞ ,
on en déduit que W ∩ Ep ∩ Hn est un voisinage de 0 dans Ep ∩ Hn et que u(W ) ∩ Fn est un
voisinage de 0 dans Fn . Et par définition de la topologie de F∞ , le convexe u(W ) est alors
un voisinage de 0, ce qui montre que u est ouverte.
Et si u est bijective, elle est alors un isomorphisme.
•
Théorème 7.4. Soient E et F deux espaces de Fréchet, (En ) une suite croissante de sousespacesSfermés de E, et
S (Fn ) une suite croissante de sous-espaces fermés de F . On munit
E∞ = n En et F∞ = n Fn de la topologie limite inductive. Alors, si u est une application
linéaire de E∞ dans F∞ dont le graphe est fermé dans E∞ ×F∞ , l’application u est continue.
Si on note π1 et π2 les restrictions au graphe G de u des projections de E∞ ×F∞ sur E∞
et F∞ respectivement, on remarque d’abord que sur G la topologie limite inductive G0 des
sous-espaces fermés G ∩ (En × Fn ) est plus fine que la topologie de sous-espace de E∞ × F∞ :
en effet tout voisinage convexe de 0 dans E∞ × F∞ coupe G ∩ (En × Fn ) suivant un voisinage
de 0 dans l’espace de Fréchet G ∩ (En × Fn ), donc est un voisinage de 0 dans G0 . Il en résulte
que π1 , qui est linéaire continue et bijective de G0 sur E∞ , est un isomorphisme. Donc π1−1
est continue de E∞ sur G0 et a fortiori sur G. Donc u = π2 ◦π1−1 est continue.
•
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