reflexion et transmission d`une onde electromagnetique a l`interface
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PC-PC*16/17 LycéeSCHWEITZERMulhouse REFLEXIONETTRANSMISSIOND’UNEONDEELECTROMAGNETIQUE AL’INTERFACEENTREDEUXMILIEUX 1. Interfaces entre deux milieux Réflexion d’une onde plane progressive Exploiter la continuité (admise) du champ harmonique entre deux demi-espaces électromagnétique dans cette configuration d’indices complexes n1 et n2 sous incidence pour obtenir l’expression du coefficient de normale : coefficients de réflexion et de réflexion en fonction des indices complexes. transmission du champ électrique. Cas d’une interface vide-plasma. Distinguer les comportements dans le Coefficients de réflexion et de transmission domaine de transparence et dans le en puissance. domaine réactif du plasma. Établir les expressions des coefficients de Cas d’une interface vide-conducteur réflexion et transmission du champ pour un ohmique de conductivité réelle constante. métal réel. Passer à la limite d’une épaisseur de peau nulle. Identifier le comportement du métal dans ce Cas d’une interface vide-conducteur domaine, avec celui d’un plasma localement ohmique dans le domaine optique visible. neutre peu dense en-dessous de sa pulsation de plasma. Associer la forme du coefficient complexe de réflexion à l’absence de propagation d’énergie dans le métal en moyenne temporelle. Identifier l’incidence de Brewster et Polarisation par réflexion vitreuse sous utiliser cette configuration pour repérer incidence oblique. la direction absolue d’un polariseur. Ons’intéressedanscechapitreàlaréflexionetàlatransmissiond’uneondeélectromagnétiquesur uneinterfaceplaneinfinieséparantdeuxmilieux. Onconsidèrequel’interfaceestleplanx=0. Onseplaceraenincidencenormale. x 0 PC-PC*16/17 LycéeSCHWEITZERMulhouse 1. Champsréfléchisettransmis: 1.1.Indicecomplexe: Définition:l’indicecomplexenestdéfinipar: 𝑛= Onpose: 𝑘. 𝑐 𝜔 n(ω)=n'(ω)-jn"(ω):n'estl'indicederéfraction,n"l'indiced'absorption. Lechampélectriques’écritalors: 𝑛! 𝜔𝑥 𝑛"𝜔𝑥 𝐸 𝑡 = 𝐸! . cos 𝜔𝑡 − . exp (− ) 𝑐 𝑐 Lechampmagnétiques’écrit: 𝑘! 𝑢! ∧ 𝐸! 𝐵! 𝑟, 𝑡 = exp𝑗𝜔 𝑡 − 𝑛! 𝑥/𝑐 𝜔 Définition:lorsquenestréel,lemilieuestdittransparent;iln’yapasd’absorption. Lechampd’uneondeplanesepropageantselonOxdansunmilieutransparents’écritdonc: nω E(r , t)=E0 .expj( ωt x ) c PC-PC*16/17 LycéeSCHWEITZERMulhouse Lavitessedephaseest: vϕ=ω/k=c/n. 1.2.Conditionsdecontinuitédeschamps: Onadmetque: Leschampsélectriqueetmagnétiquesontcontinusàlatraverséedel’interface. 1.3.Champsréfléchisettransmis: OnchoisitunchamppolariséselonOy;lechamparrivantsurl’interfaceenincidencenormaledansle milieud’indicen1s’écritalors: 𝐸! 𝑟, 𝑡 = 𝐸! . 𝑒! . exp 𝑗𝜔 𝑡 − 𝑛! 𝑥/𝑐 ParsymétrieleschampsréfléchisettransmissepropagentégalementselonladirectionOx: 𝜔 𝜔 𝑘! = −𝑘! 𝑢! = −𝑛! 𝑢! ; 𝑘! = 𝑛! 𝑢! 𝑐 𝑐 Leschampsréfléchisettransmiss’écrivent: 𝐸! 𝑟, 𝑡 = 𝐸!! . exp𝑗𝜔 𝑡 + 𝑛! 𝑥/𝑐 et𝐵! 𝑟, 𝑡 = !!! !! ∧!!! ! Leschampstransmiss’écrivent: 𝐸! 𝑟, 𝑡 = 𝐸!! . exp 𝑗𝜔 𝑡 − 𝑛! 𝑥/𝑐 et𝐵! 𝑟, 𝑡 = !! !! ∧!!! ! exp𝑗𝜔 𝑡 + 𝑛! 𝑥/𝑐 exp 𝑗𝜔 𝑡 − 𝑛! 𝑥/𝑐 1.4.Coefficientsderéflexionetdetransmissionenamplitude: Lacontinuitéde𝐸enx=0s’écrit: 𝐸! + 𝐸!! = 𝐸!! Lacontinuitéde𝐵enx=0s'écrit: 𝑘! 𝑢! ∧ 𝐸! 𝑘! 𝑢! ∧ 𝐸!! 𝑘! 𝑢! ∧ 𝐸!! − = 𝜔 𝜔 𝜔 ⟺ 𝑘! 𝑢! ∧ 𝐸! − 𝑘! 𝑢! ∧ 𝐸!! = 𝑘! 𝑢! ∧ 𝐸!! ⟺ 𝑛! 𝑢! ∧ 𝐸! − 𝑛! 𝑢! ∧ 𝐸!! = 𝑛! 𝑢! ∧ 𝐸!! soitenmultipliantvectoriellementpar𝑢! etenutilisantl’identité: a ∧ (b ∧ c) =(a.c).b −(a.b).c 𝑛! 𝐸! − 𝑛! 𝐸!! = 𝑛! 𝐸!! Onendéduit: !! !!! 𝐸!! = ! ! !!! 𝐸! et𝐸!! = ! !!! ! !!! 𝐸! LesondesréfléchiesettransmisessontdoncpolariséesrectilignementselonOy. PC-PC*16/17 LycéeSCHWEITZERMulhouse Lescoefficientsderéflexionetdetransmissionpourlechampélectrique: 𝒏𝟏 − 𝒏𝟐 𝟐𝒏𝟏 𝒓𝑬 = ; 𝒕𝑬 = 𝒏𝟐 + 𝒏𝟏 𝒏𝟐 + 𝒏𝟏 Remarque:onconstatequecescoefficientsontlesmêmesformesquelescoefficientsderéflexionet detransmissiondel’ondeacoustique;cen’estpasunhasard,carpouruneondeélectromagnétique l’impédanceest: 𝑍= Onretrouvealors: 𝑟! = 𝑍! − 𝑍! 𝑍! + 𝑍! 1 𝜇! 𝑛 𝜀! ; 𝑡! = 2𝑍! 𝑍! + 𝑍! 1.5.Coefficientsderéflexionetdetransmissionenpuissance: 1 1 𝑘∗ ∧ 𝐸∗ ∗ 𝜋 = 𝑅𝑒 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝑅𝑒 𝐸 ∧ 2𝜇! 2𝜇! 𝜔 1 ! 𝜖! 𝑐 ! = 𝑅𝑒 𝑘 ∗ 𝐸 = 𝑛′ 𝐸 2𝜔𝜇! 2 𝑹= 𝝅𝒓 𝝅𝒊 𝟐 = 𝒓𝑬 ; 𝑻 = 𝝅𝒕 𝝅𝒊 = 2. Interfacevide-plasma: 𝟐 𝒏′𝟐 𝒕𝑬 𝒏′𝟏 Onconsidèreuneondeprovenantd’unmilieuassimiléauvideetentrantdansunplasmaàl’interface caractériséeparleplanx=0. Onadonc: 𝜔! −𝜔! ! 𝜔 𝑘! = 𝑒𝑡 𝑘! ! = 𝑐 𝑐! 2.1. Domainedetransparence: C’estledomainepourlequelω>ωp. Onaalors: 𝑛! = 1 𝑒𝑡 𝑛! = 1− 𝜔! ! 𝜔! Lescoefficientsderéflexionetdetransmissionsontalorsréels. 3.2.Domaineréactif: C’estledomainepourlequelω<ωp. Onaalors: PC-PC*16/17 LycéeSCHWEITZERMulhouse 𝜔! ! 𝑛! = 1 𝑒𝑡 𝑛! = 𝑗 − 1 𝜔! Lescoefficientsderéflexionetdetransmissionsontalorscomplexes. 2.2. Coefficientsderéflexionettransmissionenpuissance: Lecoefficientderéflexionenpuissanceestdéfinipar: 𝜋! 𝑅= 𝜋! !!! Ilestpratiquedecalculer 𝜋 par: 1 𝜋 = 𝑅𝑒 𝐸 ∧ 𝐵∗ 2𝜇! Lescalculsmènentalors: • Dansledomainedetransparence: 𝜔 − 𝜔 ! −𝜔! ! 𝑅= • 𝜔 + 𝜔 ! −𝜔! ! ! 𝑒𝑡 𝑇 = 4𝜔 𝜔 ! −𝜔! ! 𝜔 + 𝜔 ! −𝜔! ! ! Dansledomaineréactif: R=1etT=0. Leplasmasecomportealorscommeunmiroirparfait. 3. Interfacevide-conducteur: Rappel:laconductivités’écritdanslecasgénéral: 𝛾(0) 𝑛. 𝑞! . 𝜏 𝛾(𝜔) = 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛾(0) = 1 + 𝑗𝜔𝜏 𝑚 4.1.Casoù𝜔𝜏 ≪ 1: Laconductivitéduconducteurestréelle;larelationdedispersionest: 𝑘 ! = −𝑗𝜇! 𝛾𝜔 Onaalors: 𝑐 1−𝑗 𝑛! = 1 𝑒𝑡 𝑛! = 𝜔 𝛿 où: 𝛿= Oncalculealors: Danslalimiteδ⇾0,ona: ! !! !" estl'épaisseurdepeauduconducteur. 𝜔𝛿 𝜔𝛿 1−𝑗− 𝑐 2 𝑐 𝑟! = − 𝑒𝑡 𝑡! = 𝜔𝛿 𝜔𝛿 1−𝑗+ 𝑐 1−𝑗+ 𝑐 𝑟! = −1 𝑒𝑡 𝑡! ≃ 0 Uneondebassefréquenceestentièrementréfléchieparunmétalbonconducteur. PC-PC*16/17 LycéeSCHWEITZERMulhouse 4.2.Casdudomaineoptique: Onaalors: 𝜔𝜏 ≫ 1 Larelationdedispersionpeuts’écrire: 𝜔! 𝛾 0 − 𝑗𝜔𝜇 ! 𝑐! 1 + 𝑗𝜔𝜏 𝜔 ! 𝜇! 𝛾 0 ≃ !− 𝑐 𝜏 𝜔! 𝜇! 𝑛. 𝑒 ! . 𝜏 = !− 𝑐 𝜏 𝑚 𝜔! −𝜔! ! = 𝑐! 𝑘! = Ellealamêmeformequel’équationdedispersiond’unplasma. Dansunbonconducteurcommelecuivre,ona: ωp≃2.1016rad.s-1. Dansledomaineoptique,ona: ω≃1015rad.s-1. L’indiceoptiqueestdoncimaginairepur,etcommeleplasmadansledomaineréactif,l’ondeest totalementréfléchie.C’estcequiexpliquel’éclatmétallique,etl’utilisationdecouchesmincesde métaux(argent,aluminium)pourlaréalisationdemiroirs.
