Question no 1

CONCOURS DE MATHÉMATIQUES POINCARÉ 2011
Département de mathématiques et de statistique
Personne ressource: Donald Violette, fondateur du Concours
Directives :
Le concours comporte six questions de 10 points chacune.
Lorsque vous rédigez les solutions, des points sont accordés pour la
clarté et le style de la présentation. Une solution correcte, mais mal
présentée pourrait se voir accorder moins que la moitié des points
pour cette question. En revanche, si une réponse n’est pas correcte,
mais que le travail est pertinent, il y aura des points d’attribués.
Le jeudi 21 avril 2011 à 9 h 00 : Personne ne doit sortir de la salle
avant la fin de la première heure de l’examen. Ceci permet, par
exemple, à une école de commencer le concours au plus tard à
10 h 00.
Durée : 3 heures
Montrez tout votre travail et justifiez vos réponses.
L’usage des calculatrices n’est pas permis.
Écrivez lisiblement et proprement.
Numéro de district :
Numéro de l’école :
Numéro de l’élève :
Question no 1 : La beauté du nombre d’or
Le nombre d’or est le nombre irrationnel
1+√5
2
. Il est noté 𝛷 (la lettre grecque
phi) et plusieurs le considèrent comme étant le plus beau de l’Univers.
1
a) Montrez que 𝛷 est la solution positive de l’équation 𝑥 = 1 + .
𝑥
(2 points)
b) En déduire que pour chaque entier positif 𝑛, 𝛷𝑛+1 = 𝛷𝑛 + 𝛷 𝑛−1 .
(2 points)
𝜋
𝛷
5
2
c) Démontrez l’identité trigonométrique cos( ) = . (6 points)
(Suggestion : utilisez des identités trigonométriques connues, comme par
exemple sin 2𝜃 = 2 sin 𝜃 cos 𝜃 et (cos 𝜃)2 =
1+cos 2𝜃
2
).
Question no 2 : Jouons avec les suites
Déterminez les trois prochains termes de la suite
1 (2,3) 2 (5,6) 4 (11, 30) 26 (? , ? ) ? (10 points)
Question no 3 : Tout n’est qu’une question
d’âge et d’algèbre
Si l’on additionne l’année de naissance d’une mère, celle de sa fille, l’âge de
la mère et celui de la fille, qu’obtient-on? (10 points)
Question no 4 : Et la logique dans tout ça?
La sorcière est furieuse. On lui a volé son balai et elle est CERTAINE que c’est
l’un de ses lutins qui a fait le coup. Elle interroge ses trois lutins, Cric, Crac,
Croc.
Cric répond que c’est Croc qui a volé le balai.
Crac répond que ce n’est pas lui qui a pris le balai.
Croc répond que c’est lui le voleur.
Or la sorcière sait qu’il y en a toujours au moins un qui dit la vérité et au moins
un qui ment lorsqu’elle les interroge en même temps. Pourtant, elle sait
maintenant qui lui a volé son balai. Qui est-ce et comment a-t-elle pu le
découvrir ? (10 points)
Question no 5 : En géométrie, les
constructions nous facilitent la vie
a) Montrez que si 𝑃 est un point intérieur d’un triangle équilatéral, la
somme des distances entre 𝑃 et les trois côtés du triangle est égale à la
hauteur de ce triangle. (5 points)
b) Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un quadrilatère quelconque; montrez que si l’on relie les
points milieux des côtés de ce quadrilatère, on obtient un
parallélogramme. (5 points)
Question no 6 : Une fonction bizarre
Soit une fonction 𝑓 de l’ensemble des entiers positifs ℕ dans l’ensemble des
3
nombres réels ℝ définie par 𝑓(1) = 3, 𝑓(2) = et pour chaque entier 𝑛 ≥
2
3, 𝑓(𝑛) =
𝑓(𝑛−1)+𝑓(𝑛−2)
2
. Trouvez une formule générale pour 𝑓(𝑛) et
montrez qu’elle est correcte. (Suggestion : 3 = 2 + 1 𝑒𝑡
(10 points)
FIN DU CONCOURS !
3
2
1
=2− )
2