Les distances - Editions Pelckmans

1
Les distances
Tu as déjà appris à
1 tracer la médiatrice d’un segment à l’aide de l’équerre à parallèles
2 tracer un cercle
3 déterminer le milieu d’un segment
4 déterminer les coordonnées d’un point
5 déterminer la distance d’un point à une droite ou entre deux points
6 tracer des droites parallèles
7 tracer la bissectrice d’un angle à l’aide du rapporteur
Teste-toi
Il n’y a qu’une réponse correcte à chaque question. Vérifie tes
réponses dans le solutionnaire. Après chaque question, tu trouveras
une référence à des exercices supplémentaires dans ton livre 
d’exercices.
A
1
Sur quel dessin, la droite m est-elle
la médiatrice d’un côté du triangle
ABC ?
B
C
C
C
Ex. 692
A
B
2 Sur quel dessin, les points A et B
sont-ils à égale distance du
point O ?
4 Quelles sont les
coordonnées
du point A ?
autres exercices ?
m
m
A
A
B
A
O
B
| AB |= | BM |
A, B, M sont alignés
(2 ; −2)
B
A
A
O
3 Si M est le milieu du segment [AB],
quelle proposition est correcte ?
C
m
B
| AM |= | MB |
Ex. 693
B
O
A, B, M sont alignés
| AM |= | BA |
A, B, M sont alignés
Ex. 694
(2 ; 2)
(−2 ; 2)
Ex. 695
S
S
y
1
0 1
x
A
5 Quel dessin permet de
déterminer la distance entre le
point S et la droite k ?
S
Ex. 696
k
k
6 Quelles droites sont parallèles ?
k
c
a
d
b
7
Sur quel dessin, la droite d est-elle
la bissectrice de l’angle A ?
f
Ex. 697
d
d
A
A
De quoi as-tu besoin ?
Sommaire
•
•
•
•
•
•
•
G1
G2
G3
G4
G5
G6
livre de géométrie p. 7–34
livre d’exercices p. 209–248
feuilles de brouillon
latte graduée
compas
équerre à parallèles
crayons et feutres de couleur
e
d
Ex. 698
A
Découverte de lieux géométriques
À égale distance d’un point, de deux points
À égale distance d’une droite, de deux droites parallèles
À égale distance de deux droites sécantes
Positions relatives d’une droite par rapport à un cercle
Positions relatives de deux cercles et inégalités triangulaires
p. 8
p. 10
p. 16
p. 20
p. 24
p. 28
7
G1
Découverte de lieux géométriques
Exploration
Une unité de scouts organise un rassemblement pour les troupes de la région.
Un grand jeu de nuit est préparé sur le thème de Harry Potter.
Celui-ci se déroule dans le bois de Favence (en référence à la forêt interdite dans les
livres de Harry Potter).
« La forêt ? On ne va quand même pas y aller en pleine
nuit ! Il y a des tas de bestioles là-dedans, même des
loups-garous. » Drago Malefoy
Pour gagner des points, les scouts doivent apporter de la nourriture aux créatures
magiques, qui sont jouées par des animateurs déguisés et cachés dans le bois.
Aide-les à localiser les différentes zones sur le plan ci-dessous en fonction des
consignes données à la page suivante, afin d’acheminer la nourriture à bon port.
(1 cm sur le plan représente 100 m dans la réalité.)
Trolls, à gauche
de la droite bleue
Château
P
Cabane d’Hagrid
H
Les hiboux
sont sur le
contour
mauve.
S
Saule cogneur
Limite des
broussailles
Mygales,
à gauche de la
droite jaune
A
B
C
Toile d’araignée
Rivière
8
chapitre 1 – les distances
Allée
des bouleaux
Consignes :
1
Les licornes se trouvent à moins de 200 mètres du saule cogneur (S).
Place 4 points rouges (L1, L2, L3, L4) représentant les licornes sur le plan.
2
Un groupe de trolls se trouve plus près de la porte d’entrée de la cabane d’Hagrid (H) que
de la porte d’entrée du château (P).
Place 4 points verts (T1, T2, T3, T4) représentant les trolls sur le plan.
3
Les centaures, afin de s’abreuver, se promènent à moins de 200 mètres de la rivière.
Place 4 points noirs (E1, E2, E3, E4) représentant les centaures sur le plan.
4
Les pythons se trouvent dans l’allée formée par les bouleaux et les broussailles, plus près des
bouleaux que des broussailles.
Place 4 points bleus (Y1, Y2, Y3, Y4) représentant les pythons sur le plan.
5
Une colonie de mygales se trouve sur l’immense toile d’araignée, plus près du fil [BA que
du fil [BC.
Place 4 points jaunes (M1, M2, M3, M4) représentant les mygales sur le plan.
6
Les hiboux se trouvent dans le bois, à 100 mètres autour des murs de la cabane d’Hagrid.
Place 4 points orange (I1, I2, I3, I4) représentant les hiboux sur le plan.
Tu viens de placer des objets à des endroits répondant à des conditions bien précises.
Il s’agit de lieux.
Dans les leçons qui vont suivre, tu vas apprendre à construire avec précision ces différents lieux. Ces objets deviendront
des éléments de la géométrie : des points, des cercles, des droites et des parties du plan.
Notion – lieu géométrique
En mathématiques, un lieu géométrique est un ensemble de
points qui possèdent tous une même caractéristique ou
une même propriété.
La frontière franco-belge est l’ensemble des points
séparant la France et la Belgique.
En cartographie, une courbe de niveau est un lieu
géométrique.
La caractéristique des points de cet ensemble est d’être
tous situés à la même altitude.
Application
1
Retourne un vélo et pose-le sur la selle et le guidon.
Marque un trait rouge vif sur le pneu arrière du vélo.
Tourne la pédale et observe le déplacement du trait.
Augmente la cadence et essaie de faire tourner la roue arrière le plus vite possible.
Quel lieu géométrique vois-tu se dessiner ?
699
700
Le
cercle dont le centre est l’axe de la roue et le rayon est égal
��
à
celui de la roue (distance du centre au trait rouge)
��
Tu es capable de
ττ comprendre la notion de lieu géométrique
9
G2
À égale distance d’un point, de deux points
Exploration
a
À égale distance d’un point
Dans les carrés ci-dessous,
–– colorie en vert la zone où
l’ensemble des points se
trouve à moins de 2 cm
du point S.
–– colorie en vert la zone où
l’ensemble des points se
trouve à plus de 2 cm
du point S.
L1
L1
L4
L2
L1
L5
L2
S
–– colorie en vert la zone où
l’ensemble des points se
trouve exactement à 2 cm
du point S.
S
L5
S
L5
L3
L4
L3
L3
d(S,L) < 2cm
L2
L4
d(S,L) > 2cm
��
d(S,L) = 2cm
��
��
Dans chaque cas, tu as utilisé une même «frontière» pour déterminer les zones. Quelle est-elle ?
Un cercle de centre S et de rayon 2 cm.
��
Propriété – lieu des points situés à égale distance (équidistants) d’un point donné
1 cm
X
Le savais-tu ?
Le lieu géométrique des points du plan L’ensemble des points situés à 1 cm
situés à égale distance d’un point
du point X est le cercle de centre X
donné est le cercle dont le centre est
et de 1 cm de rayon.
ce point et le rayon est égal à la distance
donnée.
La distance à vol d'oiseau
est la distance la plus
courte entre deux points.
b À égale distance de deux points
Un animateur se trouve sur le chemin ci-dessous, à égale distance de la porte d’entrée du château (P) et de la porte
de la cabane d’Hagrid (H). Représente sa position par un point T.
m
X
P
C
B
D
T
H
A
Y
10
chapitre 1 – les distances
•
•
•
•
•
•
Dessine le segment représentant la distance à vol d’oiseau entre la porte du château (P) et la porte de la cabane (H).
Le chemin coupe-t-il ce segment en son milieu ? ..non
..........................................................................
Dans la partie supérieure, construis un point X à 3 cm de H et de P et dans la partie inférieure, un point Y à 4 cm
de H et de P.
–– Dessine la droite m passant par les points X et Y.
la médiatrice
–– m est .........................................................................................................
du segment [HP].
Place deux autres points A et B sur la droite m.
Ces points se trouvent-ils à égale distance de H et P ? ..oui
........................................................................
Place deux points différents C et D qui ne sont pas sur la droite m.
non
Ces points se trouvent-ils à égale distance de H et P ? ..........................................................................
À ton avis, où doivent se trouver tous les points qui sont à égale distance des points H et P ?
Sur la médiatrice du segment [HP]
..............................................................................................................................................................................................
•
Place le point T à l'endroit où se trouve le troll.
•
Dans les carrés ci-dessous : –– colorie en vert la zone où l’ensemble des
points se trouve plus près du point H
que du point P.
–– colorie en vert la zone où l’ensemble des points se
trouve plus près du point P que du point H.
P
P
H
•
H
Dans chaque cas, tu as utilisé une même « frontière » pour déterminer les zones. Quelle est-elle ?
La médiatrice du segment dont les extrémités sont les points H et P donnés.
��
��
Propriété – lieu des points situés à égale distance (équidistants) de deux points donnés
Le lieu géométrique des points du plan
situés à égale distance de deux points
donnés est la médiatrice du segment
dont les extrémités sont ces deux
points.
L’ensemble des points situés à égale
distance des points X et Y est la
médiatrice de [XY].
Si un point se trouve sur la médiatrice
d’un segment, alors il est à égale
distance des extrémités de ce segment.
Z est un point qui se trouve sur la
médiatrice m de [XY].
Si un point est situé à égale distance
des extrémités d’un segment, alors il se
trouve sur la médiatrice de ce segment.
| ZX |= | ZY |
m
X
Y
Z
X
m
Y
11
G2
À égale distance d’un point, de deux points (suite)
c
Construction de la médiatrice d’un segment au compas
Étape par étape – construire la médiatrice d'un segment au compas
 Prends une ouverture de compas supérieure à la
moitié de la longueur du segment [AB]. Trace deux
arcs de cercle ayant cette ouverture, l’un de centre
A et l’autre de centre B.

 Nomme P et Q, les deux points d’intersection des
arcs de cercle tracés.

A
B
A
B
P
A
B
Q
 Trace la droite m passant par les points
d'intersection P et Q.
Cette droite est la médiatrice de [AB].
m
P

A
B
Q
 Place les symboles de perpendicularité et d’égalité
de longueurs sur le dessin.
CONTRÔLE 1
En utilisant le compas, construis en vert le lieu des points situés à égale distance des points E et G.
E
12
chapitre 1 – les distances
G
d À égale distance de trois points donnés (non alignés)
• Dans le carré ci-contre, colorie en vert la zone où l’ensemble des points
est à égale distance des points P, H et S.
P
– Explique la manière de procéder pour construire cette zone.
•
––
Il��
faut construire la médiatrice de chaque
côté
du triangle dont les sommets sont les
��
3��
points donnés.
1
Combien de solution(s) as-tu trouvée(s) ? ��
T
H
S
Que peux-tu en conclure ?
Les
3 médiatrices des côtés d’un triangle sont
��
concourantes
(se coupent en un même point).
��
��
–– Ce point, que tu peux nommer T, est à égale distance des points P, H et S.
Construis le cercle de centre T, passant par P. Qu’observes-tu ?
Ce
cercle passe par les points P, H et S, sommets du triangle PHS.
��
��
cercle circonscrit au triangle PHS
Ce cercle est appelé ��
Propriété – lieu des points situés à égale distance (équidistants) de trois points donnés (non alignés)
Le lieu géométrique des points du plan
situés à égale distance de trois points
donnés est le point d’intersection des
médiatrices des segments délimités par
ces trois points.
L’ensemble des points situés à
égale distance des points X, Y
et Z est le point O, centre du
cercle circonscrit au triangle
XYZ.
Z
O
Ce point d’intersection est le centre du
cercle circonscrit au triangle dont les
trois points sont les sommets.
X
Y
CONTRÔLE 2
Dessine le cercle circonscrit au triangle PQR.
Q
R
O
Le savais-tu ?
P
Les trois médiatrices des côtés
d’un triangle étant concourantes,
il suffit d’en tracer deux pour
déterminer le centre du cercle
circonscrit. La troisième sert de
vérification.
13
G2
À égale distance d’un point, de deux points (suite)
e
Coordonnées du milieu d’un segment.
Quel est le lieu des points situés sur le segment [CP] à égale distance des points C et P ?
Le milieu du segment [CP]
��
Dessine-le et nomme-le M.
•
45
Détermine les coordonnées de P ( ……………
; …………… )
21
C ( ……………
; …………… )
P
â
33
; …………… )
M ( ……………
M
•
Place le point N, milieu du segment [CS].
21
Détermine les coordonnées de C ( ……………
; …………… )
1
C
6–3
S ( ……………
; …………… )
â
1
4–1
N ( ……………
; …………… )
N
•
En utilisant les coordonnées de P et C, écris le calcul qui permet de
5 + 1
4 + 2 _____
( _____
2
2 )
  ;        = (3 ; 3)
   
déterminer celles de M : ��
S
•
( 
Vérifie ton procédé en calculant les coordonnées de N :
)
3   
____
  2+6
 = (4 ; −1)
  ; _______
 1+ –   
2
2
(
)
��
Règle de calcul – coordonnées du milieu d’un segment
Soit un point A de coordonnées (xA, yA)
et un point B de coordonnées (xB, yB),
les coordonnées du point M, milieu du
segment [AB] s’obtiennent en calculant
la moyenne des abscisses et celle des
ordonnées des deux points :
y  + y
xA  + xB ______
M  ______
 
 
 
  ;    A   B 
2
2
( 
Soit A(−2 ; 4) , B(3 ; 2), et M,
milieu de [AB].
Les coordonnées de M sont
4 + 2
M ______
  −2 + 3
 
  ;  _____
  1   ; 3 
 
     = __
2
2
2
( 
y
A
) (  )
M
3
B
)
1
O
1 1
2
Application
2 Détermine, en vert, le lieu des points situés à 2 cm de A et à 2,5 cm de B.
Explique ton procédé.
701 - 703
704 - 705
Construire un cercle de centre A et de rayon 2 cm.
⇒ Les points de ce cercle sont à 2 cm du point A.
��
Construire un cercle de centre B et de rayon 2,5 cm.
��
⇒ Les points de ce cercle sont à 2,5 cm du point B.
��
Les solutions se trouvent à l’intersection de ces
��
deux cercles.
��
Il y a deux solutions S1 et S2.
��
��
��
14
chapitre 1 – les distances
A
A
S2
S1
B
B
3 Construis le lieu des points équidistants de A et de B.
m
A
706 - 710
711 - 715
B
4 Construis :
–– le point O, situé à égale distance des points M, N et P ;
–– le cercle circonscrit au triangle MNP.
716 - 719
720 - 724
P
M
O
N
5 Place les points A (−1 ; 2), B (5 ; 6), C (6 ; −2) ainsi que M milieu de [AB], N milieu de [AC] et P milieu de [BC].
Calcule les coordonnées de M, N et P.
Vérifie sur le dessin.
( 
( 
( 
B
M (2 ; 4)
A
P (5,5 ; 2)
1
)
2 + 6
M
______
  −1 + 5
 
 ;  _____
 
     = (2 ; 4)
��
2
2
)
2 + ( −2 
  −1 + 6
 
 ;  ________
 = (2,5 ; 0)
 
   
N
______
��
2
2
)
6 + ( −2 
  5 + 6
  ;  ________
 = (5,5 ; 2)
 
   
P _____
��
2
2
725
726 - 729
)
)
��
N (2,5 ; 0)
1
��
C
��
Tu es capable de
ττ énoncer les lieux géométriques des points du plan situés à égale distance d’un point, de deux points distincts et de
trois points distincts non alignés
ττ énoncer la propriété des points de la médiatrice d’un segment
ττ construire la médiatrice d’un segment à l’aide d’un compas
ττ déterminer l’ensemble des points du plan situés à égale distance d’un point, de deux points distincts et de trois
points distincts non alignés
ττ construire le cercle circonscrit à un triangle
15
G3
À égale distance d’une droite, de deux droites parallèles
Exploration
a
Distance d’un point à une droite
•
Lequel des segments suivants sert à mesurer la
distance entre le point E et le côté [OA de l’angle ?
•
[EF]
Lequel des segments ci-dessous sert à mesurer la
distance entre les droites parallèles a et b ?
[AC]
��
��
B
a
E
A
C
b
A
D
F
B
C
D
O
•
Justifie.
•
Justifie.
[EF] ⊥ [OA [AC] ⊥ a et [AC] ⊥ b
��
��
Définition – distance d’un point à une droite, entre deux droites parallèles
La distance d’un point à une droite est la
mesure de la longueur du segment qui joint ce
point au pied de la perpendiculaire à la droite
passant par ce point donné.
A
a
P
Il s’agit de la plus courte distance entre ce point
P est le pied de la perpendiculaire à a passant par A.
et un point de la droite.
d(A,a) = d(A,P) = 12 mm
d(A,a) se lit la distance du point A à la droite a.
La distance entre deux droites parallèles est La distance entre les
la distance entre les points d’intersection d’une droites a et b est
perpendiculaire à ces deux droites parallèles.
lPQl = 9 mm
On note d(a,b) = lPQl. a
P
b
Q
b À égale distance d’une droite
•
Dans les carrés ci-dessous,
–– colorie en vert la zone où
l’ensemble des points se
trouve à moins de 2 cm de
la droite r.
–– colorie en vert la zone où
l’ensemble des points se
trouve à plus de 2 cm de
la droite r.
2 cm
2 cm
r
2 cm
16
chapitre 1 – les distances
–– colorie en vert la zone où
l’ensemble des points se
trouve exactement à 2 cm de
la droite r.
2 cm
r
2 cm
r
2 cm
•
Dans chaque cas, tu as utilisé une même « frontière » pour déterminer les zones. Quelle est-elle ?
Deux droites parallèles à r, de part et d’autre de r et à 2 cm de r.
��
��
Propriété – lieu des points situés à égale distance (équidistants) d’une droite
Le lieu géométrique des points du plan
situés à égale distance d’une droite est
la paire de droites parallèles menées
de part et d’autre à la distance donnée
de cette droite.
c
L’ensemble des points du plan
situés à 1 cm de la droite a est la
paire de droites parallèles à a, de
part et d’autre de a et à 1 cm de a.
1 cm
a
1 cm
À égale distance de deux droites parallèles distinctes
•
Dans les carrés ci-dessous,
–– colorie en vert la zone où
l’ensemble des points se
trouve plus près de la
droite i que de la droite p.
–– colorie en vert la zone où
l’ensemble des points se
trouve plus près de la
droite p que de la droite i.
i
i
p
•
–– colorie en vert la zone où
l’ensemble des points se
trouve à égale distance des
droites i et p.
i
p
p
Dans chaque cas, tu as utilisé une même «frontière» pour déterminer les zones. Quelle est-elle ?
La droite parallèle aux droites i et p, située à égale distance de i et p.
��
��
Propriété – lieu des points situés à égale distance (équidistants) de deux droites parallèles distinctes
Le lieu géométrique des points du plan
situés à égale distance de deux droites
parallèles distinctes est la droite
parallèle et équidistante de ces deux
droites.
L’ensemble des points du plan situés
à égale distance de a et b est la
droite x, parallèle et à égale distance
de a et b.
a
x
b
17
G3
À égale distance d’une droite, de deux droites parallèles (suite)
Application
6 Détermine les distances demandées.
2 cm
3,6 cm
d(B,D) = …………………………………
d(B,x) = …………………………………
730 - 731
1,1 cm
3 cm
d(C,z) = …………………………………
d(x,y) = …………………………………
1, 9 cm
5 cm
d(D,z) = …………………………………
d(A,y) = …………………………………
732
x
B
y
C
D
z
A
7
Dessine en vert le lieu des points situés à 2 cm de la droite m et à 3 cm du point X.
733 - 735
S2
736 - 737
m
2 cm
S1
3 cm
2 cm
X
S3
S4
18
chapitre 1 – les distances
8 Dessine en vert le lieu des points situés à égale distance des droites p et q.
738
p
739 - 741
q
9 Des piranhas ont été repérés par des pêcheurs dans une rivière de Guyane Française.
Ils se trouvent à moins de 150 m du pont et à égale distance des bords de la rivière (représentés par les
traits noirs parallèles).
Détermine, en vert, le(s) endroit(s) où ils ont été repérés.
100
(échelle 1/10 000 ⇒ 1 cm sur le plan représente ……………………………
m dans la réalité).
742
743
pont
rivière
Tu es capable de
ττ mesurer la distance d’un point à une droite
ττ mesurer la distance entre deux droites parallèles
ττ énoncer le lieu géométrique des points du plan situés
à égale distance d’une droite
ττ énoncer le lieu géométrique des points du plan situés
à égale distance de deux droites parallèles distinctes
ττ construire l’ensemble des points du plan à égale
distance d’une droite, de deux droites parallèles
distinctes
19
G4
À égale distance de deux droites sécantes
Exploration
a
À égale distance de deux droites sécantes
Les scouts ont repéré les 4 animateurs déguisés en mygales (E, F, G, H) près des fils tendus en forme de toile
d’araignée. En voici un détail.
Détermine ceux qui se trouvent à égale distance des deux fils AB et BC.
• Comment mesures-tu la distance entre une droite et un point ?
Il faut mesurer la distance entre le point et le pied de la perpendiculaire à la
droite passant par ce point.
��
��
•
Détermine sur le dessin la distance entre chaque point et les droites AB et BC.
Compare-les (= ou ≠).
A
1,7
b
0,9
1,35
H
B
1,1
0,4
E
F
G
1,3
1,7
1,35
C
cm 0,4 cm
≠
–– d(AB,E) = 1,1
………………….
d(BC,E) = ………………….
⇒ d(AB,E) ………………….
d(BC,E)
cm 1,3 cm
≠
–– d(AB,F) = 0,9
………………….
d(BC,F) = ………………….
⇒ d(AB,F) ………………….
d(BC,F)
cm 1,7 cm
=
–– d(AB,G) =1,7
………………….
d(BC,G) = ………………….
⇒ d(AB,G) ………………….
d(BC,G)
cm 1,35 cm
=
–– d(AB,H) =1,35
………………….
d(BC,H) = ………………….
⇒ d(AB,H) ………………….
d(BC,H)
•
Dessine, en vert, la droite b passant par les points situés à égale distance des droites AB et BC.
•
Comment s’appelle cette droite b par rapport à l’angle ˆ
ABC  
?
C’est la bissectrice de l’angle ˆ
ABC   .
��
•
Que peux-tu dire de l’ensemble des points situés sur la droite b par rapport à l’angle ˆ
ABC  
?
Ils sont à égale distance des côtés de l’angle ˆ
ABC   .
��
•
Dans les carrés ci-dessous,
–– colorie en vert la zone où l’ensemble des
points se trouve plus près de [BA que de [BC.
–– colorie en vert la zone où l’ensemble des points
se trouve plus près de [BC que de [BA.
A
B
B
C
20
chapitre 1 – les distances
A
C
•
Dans chaque cas, tu as utilisé une même « frontière » pour déterminer les zones. Quelle est-elle ?
La bissectrice des angles formés par les demi-droites.
��
Propriété – lieu des points situés à égale distance (équidistants) de deux droites sécantes
Le lieu géométrique des points
du plan situés à égale distance
de deux droites sécantes est la
paire de bissectrices des angles
formés par les deux droites
sécantes.
L’ensemble des points du plan
situés à égale distance des droites
sécantes x et y est la paire de
bissectrices des angles formés par
les droites x et y.
Si un point se trouve sur la
bissectrice d’un angle, alors il est
à égale distance des côtés de cet
angle.
P est un point situé sur la
Si un point est situé à égale
distance des côtés d’un angle,
alors il se trouve sur la bissectrice
de cet angle.
d( P, [AB ) = d( P, [AC )
b1
x
b2
y
BAC   .
bissectrice b de ˆ
B
b A
P
b
C
b Construction de la bissectrice d’un angle au compas
Étape par étape – construire la bissectrice d'un angle au compas
Construis un arc de cercle de centre A, et de rayon
quelconque, interceptant chacun des côtés de
l’angle.
A
Nomme X et Y, les deux points d'intersection
formés par l'arc de cercle et les côtés de l'angle de
sommet A.
X
A
Y
Des points X et Y comme centre, trace un arc de
cercle de même rayon. Les deux arcs se coupent au
point Z.
X
A
Z
Y
Trace la droite passant par Z et le sommet de
l’angle Â. Cette droite est la bissectrice de A.
X
A
Z
Y
Place les symboles d’égalité d’amplitudes sur le
dessin.
21
G4
À égale distance de deux droites sécantes (suite)
CONTRÔLE 3
En utilisant le compas, construis en vert, le lieu des
points situés à égale distance des côtés de l’angle
BÂC.
B
A
C
c
À égale distance des trois côtés d’un triangle
A
Dans le carré ci-contre, construis en vert la zone où
l’ensemble des points se trouve à égale distance des
segments [AB], [BC] et [AC].
B
O
C
•
– ––
Explique la manière de procéder dans cette situation
Il faut construire la bissectrice de chaque angle du triangle ABC
1
Combien de solution(s) as-tu trouvée(s) ? .........................................................
Les bissectrices des angles d’un triangle sont
Que
peux-tu en conclure : ��
concourantes (se coupent en un même point).
��
��
–– Ce point, que tu peux nommer O, est à égale distance des segments [AB], [BC] et [AC].
Construis le cercle de centre O, dont le rayon est la distance entre O et [AB].
Le cercle est sécant à chaque côté du triangle en un point.
Qu’observes-tu ? ��
On dit que le cercle est tangent aux côtés du triangle.
��
cercle inscrit au triangle ABC.
Ce cercle est appelé ��
Propriété – lieu des points situés à égale distance (équidistants) des côtés d’un triangle
Ce point d’intersection est le centre du
cercle inscrit au triangle.
Le rayon est la distance du centre à un
des côtés du triangle.
Pour le trouver, tu dois construire le
segment perpendiculaire à un côté,
joignant ce côté au point d’intersection
des bissectrices.
22
chapitre 1 – les distances
Le lieu des points du
plan situés à égale
distance des côtés du
triangle XYZ est le centre
du cercle inscrit au
triangle XYZ.
Y
O r
X
Z
Le savais-tu ?
Le lieu géométrique des points du plan
situés à égale distance des trois côtés
d’un triangle est le point
d’intersection des bissectrices des
angles intérieurs du triangle.
Les trois bissectrices des angles d’un
triangle étant concourantes, il suffit
d’en tracer deux pour déterminer
le centre du cercle inscrit.
La troisième sert de vérification.
Application
<
10 Construis le lieu des points équidistants des côtés de l'angle X.
b
744 - 746
747 - 749
X
11 Construis toutes les bissectrices des angles formés par les droites sécantes a et b.
c
750 - 751
a
d
752 - 755
b
a
Combien d'angles deux droites sécantes forment-elles ? b Combien de bissectrices as-tu dessinées ? c
Quatre
Quatre
��
��
Coche la fin de phrase correcte.
Les bissectrices des deux angles obtus formés par les droites sécantes a et b
x forment une même droite.

 ne forment pas une même droite.
Les bissectrices des deux angles aigus formés par les droites sécantes a et b
x forment une même droite.

 ne forment pas une même droite.
d Sur ce schéma, quelle est la position relative des deux bissectrices (différentes) ?
Les bissectrices sont perpendiculaires.
��
��
Tu es capable de
ττ énoncer le lieu géométrique des points du plan situés
égale distance de deux droites sécantes ou des côtés
à égale distance de deux droites sécantes
d’un triangle
ττ énoncer la propriété des points de la bissectrice d’un angle ττ énoncer le lieu géométrique des points du plan situés
ττ construire la bissectrice d’un angle à l’aide d’un compas
à égale distance des côtés d'un triangle
ττ construire à la latte et au compas le cercle inscrit à un ττ résoudre un problème en construisant un ensemble
triangle
de points vérifiant des conditions de distance
ττ rechercher l’ensemble des points du plan situés à
23
G5
Positions relatives d’une droite par rapport à un cercle
Exploration
Le quidditch est le sport pratiqué par Harry Potter dans l’univers imaginé par J. K Rowling.
Des passionnés y jouent réellement et le championnat d’Europe 2014 a eu lieu à Bruxelles.
Le quidditch dans la vie réelle est un mélange de rugby, de handball et d’éléments
indescriptibles.
Il n’y a pas de balais volants mais ils ont gardé l’idée du balai qu’ils placent entre leurs
jambes, ce qui rend les déplacements particuliers.
Ils attrapent le ballon d’une seule main, puisque l’autre tient le balai.
a
Positions relatives d’une droite par rapport à un cercle
Une sorcière jouant au quidditch à la pleine lune !
•
Modélise le balai par une droite b et la lune par un cercle (de rayon 2 cm et de centre A) et représente les 3
situations.
b
b
A
•
1
......................................................
2 cm
d(A,b) = .............................................................................
rieure à 2 cm
•
rieure à 2 cm
=
d(A,b) ......................................................
2 cm
<
d(A,b) ......................................................
2 cm
non
Une droite peut-elle avoir plus de deux points d’intersection avec un cercle ? ��
Détermine le nombre de positions relatives différentes d’une droite b par rapport à un cercle de centre A et
de rayon x.
3
......................................................
24
valeur inféd(A,b) = une
..................................................................
Dans chaque situation, compare la distance entre le centre A et la droite b au rayon du cercle.
>
d(A,b) ......................................................
2 cm
•
2
......................................................
Dans chaque situation, détermine la distance entre le centre A et la droite b.
une valeur supé- d(A,b) = .............................................................................
•
b
Dans chaque situation, détermine le nombre de points d’intersection entre le cercle et la droite b.
0
......................................................
•
A
A
chapitre 1 – les distances
Notion – positions relatives d’une droite par rapport à un cercle
C( O, r  ) , une droite g et
M ∈ g tel que OM ⊥ g
M
Une droite est extérieure à un cercle si la
distance entre le centre du cercle et la droite
est plus grande que le rayon du cercle.
g
d(O,g) = lOMl > r
r
O
M
Une droite est tangente à un cercle si la
distance entre le centre du cercle et la
droite est égale au rayon du cercle.
g
d(O,g) = lOMl = r
r
O
M
Une droite est sécante à un cercle si la
distance entre le centre du cercle et la
droite est plus petite que le rayon du cercle.
r
d(O,g) = lOMl < r
O
g
CONTRÔLE 4
Un fromager a placé son couteau dans 3 positions différentes pour essayer de couper une roue de fromage.
Détermine, dans chaque cas, la position du couteau par rapport au fromage.
Est-ce possible d’obtenir deux morceaux de fromage dans chaque cas ? Justifie.
Le
couteau est extérieur au
Le couteau est sécant au
Le
couteau est tangent au
��
��
��
fromage.
fromage.
fromage.
��
��
⇒
impossible d’obtenir
⇒ le fromage sera coupé
⇒
impossible d’obtenir
��
��
��
deux morceaux de fromage ��
en deux morceaux
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
deux morceaux
25
G5
Positions relatives d’une droite par rapport à un cercle (suite)
b Construction d’une tangente à un cercle
• Construis un cercle de centre O et de rayon 2,5 cm.
• Place un point P sur ce cercle.
• Trace le rayon [PO].
• Construis la droite t, perpendiculaire au rayon [PO] passant par P.
Tu viens de construire la droite t, tangente au cercle passant par le point P.
P est appelé point de contact (ou point de tangence).
t
P
2,5
O
Propriété – la tangente à un cercle
La tangente à un cercle en un point de t est la tangente au cercle de centre O dont P est le point de contact.
ce cercle est une droite perpendiculaire
au rayon (ou au diamètre) passant par ce
P
point de contact.
t
26
chapitre 1 – les distances
O
Application
12 Applique le programme de construction suivant.
•
•
•
•
•
Trace le cercle de centre A et de rayon 2 cm.
Place un point X tel que lAXl = 3 cm.
Place un point B sur le cercle tel que A, B, X soient alignés.
Construis la droite t perpendiculaire à AB, passant par B.
Construis la droite m perpendiculaire à AB, passant par X.
756 - 757
758
t // m
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont
��
parallèles entre elles (si t ⊥ AB et si m ⊥ AB alors t//m).
��
Quelle est la position relative des droites t et m ? Justifie. ��
��
Quelle est la position relative de la droite t par rapport au cercle de centre A ?
t est tangente au cercle
��
Quelle est la position relative de la droite m par rapport au cercle de centre A ?
m est extérieure au cercle
��
A
2 cm
t
m
B
X
3 cm
13 Applique le programme de construction suivant.
•
•
•
t
Construis un cercle de centre O et de rayon quelconque.
Place un point X sur ce cercle.
Construis la droite t, tangente au cercle au point X.
759 - 760
X
761 - 764
O
Tu es capable de
ττ déterminer les positions relatives d’une droite par
rapport à un cercle
ττ en fonction des positions relatives d’une droite par
rapport à un cercle, déterminer le nombre de points
d’intersection entre la droite et le cercle
ττ en fonction des positions relatives d’une droite par
rapport à un cercle, comparer le rayon du cercle et la
distance entre le centre du cercle et la droite
ττ énoncer et exploiter la propriété de la tangente à un
cercle
27
G6
A2
Positions relatives de deux cercles et inégalités triangulaires
Exploration
Un professeur affirme que pour construire un triangle, connaissant la
longueur des 3 côtés, il est plus aisé d’utiliser son compas et de construire
des cercles.
Est-il toujours possible de construire un triangle à partir de 2 cercles ?
Six élèves ont décidé de placer, au hasard, deux points A et B, sommets d’une
base du triangle ABC.
Pour déterminer le point C, ils décident de tracer un cercle de centre A et de rayon
1,5 cm, ainsi qu’un cercle de centre B et de rayon 2,5 cm.
a Positions relatives de 2 cercles
Voici la position des points A et B, donnée par les 6 élèves.
• Dans chaque cas, trace les cercles et complète les pointillés.
• Est-il possible de construire un triangle ABC ? Coche la bonne réponse (oui ou non).
1er élève :
C2
0
Nombre de points d’intersection entre les 2 cercles : ………
4
4,5 lr1 – r2l = …………
1 r1 + r2 = …………
lABl = …………
C1
< lABl …………
> r1 + r 2
⇒ lr1 – r2l …………
r2 = 2,5
r1 = 1,5
A
x Non
Construction possible ?  Oui 
B
4,5
C et C sont disjoints extérieurement.
��
1
2
��
2e élève :
C2
C1
1
Nombre de points d’intersection entre les 2 cercles : ………
4 lr1 – r2l = …………
1 r1 + r2 = …………
4
lABl = …………
< lABl …………
= r1 + r 2
⇒ lr1 – r2l …………
r1 = 1,5
A
x Non
Construction possible ?  Oui 
r2 = 2,5
C et C sont tangents extérieurement.
B
4
��
1
2
��
3e élève :
C2
C1
r1 = 1,5
2
Nombre de points d’intersection entre les 2 cercles : ………
3 lr1 – r2l = …………
1 r1 + r2 = …………
4
lABl = …………
< lABl …………
< r1 + r 2
⇒ lr1 – r2l …………
r2 = 2,5
x Oui  Non
Construction possible ? 
A
3
B
C et C sont sécants.
��
1
2
��
28
chapitre 1 – les distances
4e élève :
C2
1
Nombre de points d’intersection entre les 2 cercles : ………
4
1 r1 + r2 = …………
1 lr1 – r2l = …………
lABl = …………
C1
= lABl …………
< r1 + r 2
⇒ lr1 – r2l …………
r2 = 2,5
r1 = 1,5 A
x Non
Construction possible ?  Oui 
B
C et C sont tangents intérieurement.
��
1
2
��
0
Nombre de points d’intersection entre les 2 cercles : ………
5e élève :
C2
> lABl …………
< r1 + r 2
⇒ lr1 – r2l …………
C1
r2 = 2,5
r1 = 1,5
A
1 r1 + r2 = …………
4
0,5 lr1 – r2l = …………
lABl = …………
x Non
Construction possible ?  Oui 
C
et C2 sont disjoints intérieurement.
��
1
B
��
0
Nombre de points d’intersection entre les 2 cercles : ………
6e élève :
C2
r2 = 2,5
C1
r1 = 1,5
A=B
4
0 lr1 – r2l = 1………… r1 + r2 = …………
lABl = …………
> lABl …………
< r1 + r 2
⇒ lr1 – r2l …………
0
⇒ lABl = …………
x Non
Construction possible ?  Oui 
C et C sont concentriques.
��
1
2
��
•
Si deux cercles ont un seul point d’intersection, on dit qu’ils sont tangents.
Quels sont les élèves qui ont tracé ces cercles tangents ?
Le
2e élève (tangents extérieurement) et le 4e élève (tangents intérieurement)
��
•
Si deux cercles n’ont aucun point d’intersection et ont un centre différent, on dit qu’ils sont disjoints.
Quels sont les élèves qui ont tracé ces cercles disjoints ?
Le 1er élève (disjoints extérieurement) et le 5e élève (disjoints intérieurement)
��
•
Si deux cercles ont deux points d’intersection, on dit qu’ils sont sécants.
Quel est l'élève qui a tracé ces cercles sécants ?
Le 3e élève
��
•
Si deux cercles ont le même centre, on dit qu’ils sont concentriques.
Quel est l'élève qui a tracé ces cercles concentriques ?
Le 6e élève
��
•
Indique à côté de chaque dessin de cette page et de la précédente, le nom attribué à la position des cercles.
29
G6
Positions relatives de deux cercles et inégalités triangulaires
(suite)
Notion – positions relatives de deux cercles
Deux cercles, C1 de centre O1 et de rayon
r1 et C2 de centre O2 et de rayon r2, situés
dans un même plan sont :
C1( O , r   ) et C2( O , r   )
disjoints extérieurement si la
distance entre les centres est
supérieure à la somme des rayons.
⇒ ils n’ont aucun point d’intersection.
lO1O2l > r1 + r2
•
1 1 2 2 C1
C2
r1
r2
O1
O2
C1
tangents extérieurement si la
distance entre les centres est
égale à la somme des rayons.
⇒ ils ont un seul point d’intersection.
•
C2
lO1O2l = r1 + r2
r1
r2
O1
O2
C1
C2
r1
sécants si la distance entre les centres lr1 – r2 l < lO1O2l < r1 + r2
est comprise entre la différence
(positive) et la somme des rayons.
⇒ ils ont deux points d’intersection.
•
r2
O1
O2
C1
C2
r1
tangents intérieurement si la
distance entre les centres est
égale à la différence (positive) des
rayons.
⇒ ils ont un seul point d’intersection.
•
lO1O2l = lr1 – r2 l
O1 O2
C1
C2
r1
disjoints intérieurement si la
distance entre les centres est
supérieure ou égale à 0 et inférieure
à la différence (positive) des rayons.
⇒ ils n’ont aucun point d’intersection.
•
Cas particulier des cercles disjoints
intérieurement :
• concentriques si la distance entre
les centres est égale à 0.
30
chapitre 1 – les distances
r2
0 ≤ lO1O2l < lr1 – r2 l
O1
C1
r2
O2
C2
r2
r1
lO1O2l = 0
O 1 = O2
b Inégalités triangulaires
Revenons à l’activité p. 28 et poursuivons la réflexion des élèves.
•
Dans quelle situation est-il possible de construire un triangle ?
Celle du 3ème élève
��
2
Combien de points d’intersection ont ces deux cercles ? ��
Ils sont sécants.
Quelle est leur position relative ? ��
Quelles sont les mesures des côtés de ce triangle ?
3 cm – 1,5 cm – 2,5 cm
��
En te référant à l’inégalité complétée pour ce type de position lr1 – r2l < lABl < r1 + r2, remplace les lettres par
les mesures des côtés du triangle construit.
l1,5 – 2,5l < 3 < 1,5 + 2,5
1 4
��
•
Si lABl = 3 cm, écris deux autres valeurs entières correspondant aux mesures possibles des deux côtés [AC] et
[BC] afin que le triangle ABC soit :
4 cmet lBCl = …………………
2 cm 6 cm 4 cm
–– scalène : lACl = …………………
ou lACl = ………………
et lBCl = ……………………………………………………
(Plusieurs solutions)
| | AC |– | BC |  |< 3 < | AC |+ | BC |
��
3 cmet lBCl = …………………
2 cm 4 cm 4 cm
isocèle : lACl = …………………
ou lACl = ………………
et lBCl = ……………………………………………………
(Plusieurs solutions supérieures ou égales à 2 cm)
��
| | AC |– | BC |  |< 3 < | AC |+ | BC |et | AC |= | BC |
��
3 cm et lBCl = ………………
3 cm / /
équilatéral : lACl = ………………
ou lACl = ………………
et lBCl = ………………………………………………………
��
––
––
•
Comment peux-tu vérifier si la construction d’un triangle est possible ?
Il faut vérifier si la longueur d’un côté est comprise entre la différence
(positive) et la somme des longueurs des deux autres côtés.
��
��
��
Propriété – inégalités triangulaires
Dans tout triangle, la longueur
de chaque côté est comprise
entre la différence (positive)
et la somme des longueurs des
deux autres côtés.
Si ABC est un triangle, alors
|  4 – 3 |< 6 < 4 + 3
| 6 – 4 |< 3 < 6 + 4
|  lBCl – lACl |< lABl < lBCl + lACl
| lABl – lACl |< lBCl < lABl + lACl
| 6 – 3 |< 4 < 6 + 3
| lABl – lBCl |< lACl < lABl + lBCl
C
C
A
6
B
A
4
3
B
31
G6
Positions relatives de deux cercles et inégalités triangulaires
(suite)
Application
14 Construis.
765 - 766
a
C1 ( O1 ; 1,5cm )et C2 ( O2 ; 2cm )
tels que lO1O2l = 3 cm
c
C2
C1
767
O1
C1
( O1 ; 1,5cm ) et C2 ( O2 ; 2cm )
tels que lO1O2l = 0,5 cm
C1
O2
O1
C2
O2
b C
1
( O1 ; 1,5cm ) et C2
( O2 ; 2cm )
tels que lO1O2l = 3,5 cm
C2
C1
O1
•
Dans chaque cas, précise les positions de C1 et C2.
sécants
a ....................................................................................
•
O2
extérieurement intérieurement
b ..tangents
.......................................................................................................
c ..tangents
..............................................................................................................
Cite les 3 positions non représentées ci-dessous et donne une mesure pour lO1O2l respectant cette
position pour C1 et C2.
1
2 + 1,5
disjoints extérieurement si lO1O2l = …>
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………
Les mesures possibles sont supérieures à
3,5 cm.
…………………………………………………………………………………………………………………
Plusieurs solutions
…………………………………………………………………………………………………………………
2 − 1,5
disjoints intérieurement si lO1O2l = …<………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………
Les mesures possibles sont inférieures à
…………………………………………………………………………………………………………………
0,5 cm et strictement supérieures à 0.
…………………………………………………………………………………………………………………
Plusieurs solutions.
…………………………………………………………………………………………………………………
concentriques
…………………………………………………………
si lO1O2l = …0
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
2
3
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
32
chapitre 1 – les distances
15 Est-il possible de construire les triangles dont les mesures sont données ci-dessous ? Justifie.
aLe triangle ABC si lABl = 3 cm, lBCl = 3 cm et lACl = 7 cm
Non, car 3 − 3  < 7 > 3 + 3 ou 7 − 3  > 3 < 7 + 3
| 
|
| 
|
��
��
768 - 772
773 - 775
��
b
Le triangle DEF si lDEl = 5 cm, lEFl = 3 cm et lDFl = 7 cm
Oui, car | 5 − 3 |< 7 < 5 + 3 et | 7 − 3 |< 5 < 7 + 3 et | 7 − 5 |< 3 < 7 + 5
 
 
 
��
��
��
c
Le triangle GHI si lGHl = 4 cm, lHIl = 3 cm et lGIl = 7 cm
Non, car | 4 − 3 |< 7 = 4 + 3 ou | 7 − 4 |= 3 < 7 + 4 ou | 7 − 3 |= 4 < 7 + 4
(les points G, H, I sont alignés)
��
 
 
 
��
��
16 Pierre souhaite réaliser un parterre triangulaire bordé de 3 planches en bois.
Il possède déjà deux planches qu’il ne souhaite pas couper (l’une de 1,5 m et
l’autre de 1,8 m).
Quelles sont les mesures entières possibles pour la 3e planche ?
|��
 1,8 – 1,5  | < x < 1,8 + 1,5 ⇒ 0,3 < x < 3,3
Les
mesures possibles sont comprises entre 0,3 m et 3,3 m
��
776
777 - 779
et
donc les mesures entières pour la 3e planche sont
��
1��
m, 2 m ou 3 m.
��
��
Tu es capable de
ττ énoncer et reconnaître les positions relatives de deux
cercles
ττ déterminer le nombre de points d’intersection en
fonction des positions relatives de deux cercles
ττ comparer la distance entre les centres des cercles et la
somme ou différence positive des rayons en fonction
des positions relatives de deux cercles
ττ déterminer les valeurs possibles de la mesure du 3e
côté d’un triangle si l’on connaît les mesures des deux
autres
ττ énoncer la propriété des inégalités triangulaires
ττ construire un triangle au compas si les mesures des 3
côtés sont données
ττ vérifier si trois segments donnés peuvent former un
triangle
33
Résolution de problèmes
17 Comme l'illustre le schéma, on forme une chaîne à partir d'un certain nombre d'anneaux. La longueur totale
de la chaîne est de 1,7 m. De combien d'anneaux est-elle composée ?
3 cm
2 cm
1,7 m
A 17
B 21
C 30
D 42
E
85
Pour un maillon, le diamètre total est de 6 cm.
��
À partir du deuxième maillon, on ajoute à chaque fois 4 cm (6 cm – deux fois l’épais-
��
seur de l’anneau). Place les informations sur un tableau afin de dégager une régularité.
��
n
1
2
3
4
n
(170 – 2) : 4 = 42
��
longueur en cm
OMB
6 cm
10 cm
14 cm
18 cm
4n + 2
170
18 Quelle est la plus petite valeur du nombre naturel x pour laquelle il existe un triangle dont les côtés mesurent
7,5 dm, x dm et 11 dm ?
11 − 7,5 < x < 11 + 7,5
a 2 b 3
c 4
d 5
e 6
3,5 < x < 18,5
19 Soit un segment [MN] de longueur 2. Combien y a-t-il de points P dans le plan tels que le triangle MNP soit
rectangle et d'aire 1 ?
a 2 b 4
c 6
d 8
e 10
B ∙ h
2 ∙ h
____
A =  
  ⇒ 1 =  ____
  ⇒ h = 1
 
 
��
2
2
Construire les deux droites parallèles à [MN], à 1 cm de [MN].
��
P1 et P6 sont les intersections de la perpendiculaire à MN
��
passant par M avec les deux parallèles.
��
P3 et P4 sont les intersections de la perpendiculaire à MN
��
passant par N avec les deux parallèles.
��
Tout triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle
��
⇒ P2 et P5 sont les intersections du cercle dont [MN] est le
��
diamètre avec les deux parallèles.
��
P1
P2
1
M
2 1
P6
P5
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{
P3
N
P4
20 Hip et Hop ont la même façon de sauter au dessus d'une pierre : ils atterrissent de telle sorte que la pierre se
trouve au milieu, entre leur point de départ et leur point d'arrivée. Sur le dessin de gauche, on voit la trajectoire de Hop, qui saute par dessus trois pierres 1, 2 et 3. Sur le dessin de droite, on voit le point de départ de
Hip et les 3 pierres 1, 2 et 3 par dessus lesquelles il va sauter dans l'ordre. Quel sera son point d'arrivée ?
a
A b B
c C
Hop
d D
e E
Hip
2
2
3
1
1
B
C
arrivée
départ
départ
34
résolution de problèmes
3
A
D E

Les distances - Editions Pelckmans

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