TRAITEMENT DU SIGNAL

Spé ψ 2002-2003
Devoir n°1
TRAITEMENT DU SIGNAL
Dans le téléphone, la voix est transformée en signaux électriques par l’intermédiaire
du microphone et d’un filtre passe-bande se trouvant dans le combiné téléphonique. On obtient alors un signal analogique vA(t) qui est transmis jusqu’au premier central par les fils
constituant « la boucle locale ». Les signaux sont ensuite transmis sur le réseau après une
conversion numérique pour permettre leur multiplexage.
Ce problème se propose l’étude simplifiée de certaines étapes de la conversion analogique-numérique décrite par le schéma synoptique suivant :
vCAN
vA (t)
t
t
FILTRE ANTIREPLIEMENT
vA
ECHANTILLONNEUR
BLOQUEUR
vF
CONVERTISSEUR
ANALOGIQUENUMERIQUE
vEB
MULTI
PLEXAGE
LIGNE DE
TRANSMISSION
vCAN
Ses différentes parties sont présentées dans l’ordre chronologique de la transformation,
sans préjuger de leur difficulté respective. On pourra les traiter dans un autre ordre, sous réserve d’indiquer très clairement la question traitée.
Tous les amplificateurs opérationnels utilisés dans le problème sont décrits par le modèle idéal, avec des tensions de saturation ±VSAT
Partie I
FILTRE ANTI REPLIEMENT
Le théorème de Shannon prévoit qu’un signal échantillonné à une fréquence fE ne peut
contenir de fréquences supérieures à fE/2 pour que l’information qu’il transporte soit correctement et intégralement transmise. La norme du CCIT* indique fE = 8 kHz pour la bande des
fréquences vocales acceptées [300-3400kHz]. Le signal transmis par la boucle locale pouvant
contenir des fréquences plus élevées, il faut procéder à un filtrage avant de l’échantillonner.
I-1) On considère le montage de la figure 1.
a) Établir l’expression de la fonction de
C1
VF
transfert harmonique . H ( jω ) =
—
VA
R
C2
1
On posera α =
et ω 0 =
.
C1
R C1C2
N
R
+
C2
vA(t)
b) Quelle est la nature du filtre ainsi réalisé ?
figure 1
*
Comité Consultatif International Télégraphique et Téléphonique
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vF(t)
c) Exprimer l’impédance d’entrée du montage, notée ZE, à l’aide de R, H(jω),
α, ω0 et ω. Conclure.
d) Proposer un montage qui, placé en entrée, permettrait de rendre cette impédance d’entrée infinie quelle que soit la pulsation ω. Indiquer son schéma.
I-2) Pour obtenir la courbe de réponse en amplitude [GdB = 20 log(|H|)) la plus régulière possible, on impose la condition suivante : ω = 0 est solution triple de l’équation
dGdB
= 0.
dω
a)Calculer la valeur correspondante de α dans ces conditions.
b) Donner l’expression correspondante de GdB en fonction de
FG ω IJ pour cette
Hω K
C
valeur particulière de α. Exprimer, en fonction de R et C2, la pulsation de coupure (à –3dB) de
ce filtre et tracer l’allure du diagramme de Bode en amplitude.
Ce type de filtre (avec la valeur particulière de α) est appelé filtre de Butterworth, ici
d’ordre 2. C’est un des deux types utilisés dans les applications technologiques. En téléphonie, on utilise des filtres d’ordre 4.
Partie II
ECHANTILLONNEUR-BLOQUEUR
Un montage utilisé peut être celui de la figure 2 :
R
R
VSAT
2
+
R
—
—
KE
vF
R
+
—
R
+
C
v1
v2
—
+
vEB
figure 2
VSAT
V
et SAT .
2
2
L’interrupteur KE est un composant électronique commandé par un dispositif non représenté ici. Il se ferme aux instants t0 + kTE (où k est un entier) de manière instantanée, reste
fermé pendant une durée δt très inférieure à TE puis est ouvert le reste du temps.
Montrer que, pour tout t compris entre t0 + kTE et t0 + (k + 1)TE, on a :
V
vEB(t) = vF(t0 + kTE) + SAT .
2
V
Quel est le rôle de la tension SAT appliquée ?
2
On suppose que vF varie entre –
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Partie III
ETUDE MATHEMATIQUES DU SIGNAL ECHANTILLONNE
On considère une sinusoïde parfait s(t) = S0 sin(2πf0 t). On suppose pour simplifier que
la fréquence d’échantillonnage est fE = N f0 (pour les applications numériques, on prendra
N = 16).
III-1) L’échantillonnage idéal de s(t) peut être modélisé comme le produit de s(t) par
un signal eECH(t) constitué d’une succession infinie d’impulsions unitaires, apparaissant à la
1
période TE =
..
fE
a) Sachant que la décomposition en série de Fourier de eECH(t) s’écrit
∞
b
g
eECH (t ) = f E + 2 f E ∑ cos 2 πk f E t ,
k =1
établir l’expression du signal échantillonné s*(t) sous la forme d’une somme de fonctions sinusoïdales du temps, avec les constantes N, S0, f0 et k.
b) Dans le cas où fE = 16 f0, représenter le spectre en fréquence de s*(t) en se
limitant aux cinq premières raies (fondamental et quatre harmoniques). Indiquer l’amplitude
et la fréquence de chacune de ces raies. Commenter l’allure complète du spectre et la linéarité
de l’opération effectuée.
III-2) Le bloqueur peut être décrit comme un système linéaire dont la réponse impulsionnelle b(t) est définie par b(t) = u(t) – u(t – TE) où u(t) représente l’échelon unitaire.
a) Dessiner le graphe de b(t).
b) On définit la transformée de Laplace F(p) d’une fonction f(t) par
F ( p) =
z
+∞
0
f (t )e − pt dt . Quelle est la transformée de Laplace de b(t) ?
c) On obtient la fonction de transfert harmonique d’un système linéaire en posant p = jω dans la transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle. Quelle est la fonction de transfert harmonique B(jω) du bloqueur ? Montrer qu’elle peut se mettre sous la forme
T
− jω E
2
T
B ( jω ) = sin ω E × e 2 .
ω
2
FG
H
IJ
K
d) Établir l’expression de l’argument Φ(ω) de B(jω). En déduire qu’il existe un
retard τ que l’on calculera, entre le signal modèle s(t) et le signal sB(t) issu du bloqueur.
e) Quel est le module B(ω) de B(jω) ? Représenter l’allure du graphe de B(f).
III-3)
a) Calculer numériquement l’amplitude du fondamental et des quatre premiers
harmoniques de sB(t).
b) Calculer le taux de distorsion du signal sB(t) définit par
D = 20 log
F
GH
I
JK
S22 + S32 + S42 + S52
.
S1
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Partie IV
CONVERTISSEUR ANALOGIQUE-NUMERIQUE
On étudie ici le principe d’un tel convertisseur dont le schéma est donné sur la figure 4. Les diodes sont idéales, de tension de seuil nul.
—
+
vEB
—
I0
C0
R
+
i=0
2
1
v’3
v3
K
COMPTEUR
R
uH(t)
VSAT
2
v4
figure 3
Avant le début de la conversion, l’interrupteur commandé K est fermé et le condensateur est déchargé. Il s’ouvre à la date t0 à laquelle commence la conversion et se referme à
t0 + TE. Durant la conversion, le signal vEB(t0) a une valeur constante comprise entre 0 et VSAT.
IV-1) Étudier la tension aux bornes du condensateur C0 entre les instants t0 et t0 + TE
puis en déduire l’allure de v3(t) entre les mêmes instants. A quelle condition reliant TE, VSAT,
I0 et C0 la conversion est-elle possible ? (A cet étape, la conversion consiste à obtenir une tension v3 basculant entre VSAT et –VSAT.)
IV-2) Le signal uH(t) est fourni par le circuit de la figure 4 où l’amplificateur opérationnel n°1 fonctionne en régime saturé. La diode est idéale, de tension de seuil nulle. On
suppose qu’à l’instant t0, uM vient de basculer à la valeur +VSAT.
RH
—
—
1
R
+
uC
R0
CH
uM
K’
+
2
uH
R0
figure 4
a) K’ étant ouvert, expliciter uM(t) et représenter sur un même graphe l’allure
de uM(t) et de uC(t).
b) Comment est modifié le fonctionnement précédent si K’ est fermé ? Calculer
alors la période TH de uH(t) en fonction de RH et CH. Dans la suite, on supposera que TH << TE.
IV-3) Comment varie alors v4 dans le montage convertisseur ? Le compteur binaire,
V
remis à zéro à l’instant t0, enregistre le nombre de basculement de v4 de 0 vers SAT . (On note2
ra que le courant d’entrée dans le compteur est constamment nul.) Montrer qu’après le basculement de v3 à la valeur zéro, le compteur a en mémoire un nombre proportionnel à la valeur
de vEB(t0). Préciser le coefficient de proportionnalité.
Dans la pratique, un tel compteur est lent et n’est utilisé que dans les appareils de mesure (type multimètre numérique). Les convertisseurs utilisés en télécommunication sont plus
performants mais ne peuvent pas être décrits ici.
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