TRAITEMENT DU SIGNAL

Spé ψ 2014-2015
Devoir n°2
TRAITEMENT DU SIGNAL
Les cardiofréquencemètres, appareils destinés à mesurer le rythme cardiaque, ne sont plus
réservés au secteur médical et sont très utilisés dans le domaine de l’entraînement sportif. Le rythme
cardiaque varie d’environ 60 battements par minute pour un sujet au repos jusqu’à 200 battements
lors d’un effort physique intense ou d’une forte émotion. La contraction d’un muscle, le cœur en
particulier, crée un signal électrique. La détermination du rythme cardiaque passe par la mesure de
la différence de potentiel électrique entre les deux mains du sujet à l’aide d’électrode. La différence
de potentiel est de l’ordre de quelques dizaines de mV.
1) On peut obtenir ainsi la valeur instantanée de la fréquence f puis sa valeur moyenne fMOY.
On cherche à transmettre ces informations à un ordinateur par une liaison série.
a) Les valeurs étant codées en binaire sur un octet, quels sont les codes représentant
la fréquence cardiaque (exprimée en battements par minute) la plus basse et la plus élevée ?
b) Dans une liaison série, les données sont transmises en étant codées dans la base
hexadécimal. Chaque paire de valeurs utiles (f, fMOY) est transmise encadrées par des caractères délimiteurs de trames. On choisit par exemple 00 au début et FF à la fin, les données transmises ne
devant pas utiliser ces deux codes. Quelles sont les codes hexadécimaux utilisables pour les données ? Sont-ils compatibles avec les valeurs à transmettre.
2) Revenons à la chaîne de traitement du signal. Le rapport signal sur bruit est en général
plutôt faible. Il est donc nécessaire de mettre en forme le signal avant de pouvoir extraire la fréquence cardiaque. Ce problème se propose d’étudier les différentes étapes de mise en forme du signal. Après amplification (non étudiée), le signal est soumis à deux opérations de filtrage.
Pour tout signal sinusoïdal u(t), la grandeur complexe
associée sera notée u. Tous les ALI sont supposés idéaux.
C2
Le signal amplifié est appliqué en entrée d’un filtre dont
R2
R2
la structure est donnée figure 1.
On donne les valeurs des composants : R = R1 =
A
R2/2 = 16 kΩ et C = C1 = C2/2 = 0,1 µF. On pose ω0 = 1/(2RC).
Ce filtre est un filtre réjecteur : il ne transmet pas les siB
gnaux dont la pulsation est voisine d’une pulsation ωC.
e1(t)
C1
C1
a) En étudiant de façon qualitative le comporteR1
ment du filtre en sortie ouverte aux basses et aux hautes fréquences, justifier qu’il est légitime de dire que ce filtre est un
filtre réjecteur.
figure 1
b) On note vA(t) la tension entre le point A et la
masse. Exprimer vA en fonction de e1, s1, ω0 et ω. Exprimer vB
en fonction de e1, s1, ω0 et ω. (si l’on note vB(t) est la tension entre le point B la masse). La suite du
calcul, non demandé, permet d’obtenir la fonction de transfert s1/e1 et montre que ωC = ω0.
c) Calculer la valeur de la fréquence f0 associée à ω0. Pourquoi ce filtre est-il important dans le cas présent ?
3) La fréquence des battements cardiaC3
D
E R4
ques étant comprise dans un intervalle relati+
vement restreint et de façon à s’affranchir au
–
maximum de parasites hautes et très basses
R6
fréquences, on applique un filtre passe-bande e2(t)
R3
C4
au signal obtenu en sortie du filtre précédent.
R5
La structure du circuit utilisé est donnée figure
2. Il fonctionne en sortie ouverte.
figure 2
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s1(t)
s2(t)
a) Exprimer l’impédance d’entrée de ce circuit.
b) Peut-on relier directement le circuit précédemment étudié et le circuit de la figure
2 sans perturber le signal s1(t) obtenu en sortie du filtre réjecteur ? Dans le cas d’une réponse négative, existe-t-il un montage (dont on précisera la structure) à placer entre les deux circuits pour obtenir un signal s1(t) non perturbé ?
c) Montrer de façon qualitative que le circuit de la figure 2 présente bien un caractère
passe-bande.
d) On souhaite que la fréquence de coupure basse soit égale à 0,5 Hz et la haute égale
à 150 Hz. Ces valeurs sont-elles compatibles avec les fréquences cardiaques humaines ?
e) En évaluant successivement les quotients vD/e2, vE/vD et s2/vE, montrer que la
fonction de transfert H2 = s2/e2 s’exprime comme le produit de trois fonctions de transfert très simples. On précisera le rôle de chacune d’entre elles.
f) Proposer pour R3, R4, C3 et C4 des valeurs permettant de réaliser le filtrage souhaité. Les valeurs proposées devront être compatibles avec les composants couramment utilisés en travaux pratiques.
g) En plus de la fonction filtrage, le filtre proposé possède un deuxième avantage.
Lequel ?
4) Après amplification et filtrages, l’allure du signal obtenu est donnée figure 3.
Un battement cardiaque
Echelle en abscisse : 0,2 s par division
figure 3
Le signal électrique eC(t) émis au cours d’un battement cardiaque est complexe. En effet, la
figure 3 montre trois phases distinctes : la première (O1) correspond à l’action des oreillettes, alors
que les deux autres phases (V2 et V3) correspondent à l’action des ventricules. Pour rendre la mesure
de la fréquence cardiaque possible à l’aide d’un compteur numérique (non étudié), le signal électrique du cœur est transformé en un signal créneau d’amplitude donnée, où seul le signal de la phase
V2 est sélectionné. Cependant, malgré les opérations de mise en forme, le signal de la phase V2 reste
complexe, comme le met en évidence la figure 4 qui représente le détail d’un battement cardiaque.
figure 4
a) Le signal électrique e3(t) correspondant aux battements cardiaques est appliqué sur
l’entrée + de l’ALI du montage de la figure 5. La tension V0 est
une tension continue et positive.
Expliquer le fonctionnement de ce dispositif. Que va
être la réponse de ce circuit à un signal du type de celui de la
figure 4 ? Ce circuit est-il adapté à la détermination de la fréSpé ψ 2014-2015
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quence cardiaque ? Justifier la réponse (on pourra s’aider d’un schéma).
b) En réalité, le circuit utilisé est donné figure 6. La tension V0 est une tension continue et positive. On considère dans un premier temps un signal d’entrée e4(t) = E0cos(ωt). On souhaite que s4(t) = VSAT, VSAT étant la tension de saturation de
l’ALI. Montrer que e4(t) doit être supérieure à une tension U1
dont on donnera l’expression en fonction de V0, VSAT et des résistances du circuit.
On souhaite maintenant que s4(t) = –VSAT. Montrer que
e4(t) doit être inférieure à une tension U2 dont on donnera
l’expression en fonction de V0, VSAT et des résistances du circuit.
Pour quelle valeur de e4(t) se fait le basculement de
s4(t) = +VSAT à s4(t) = –VSAT ? Même question pour le basculement de s4(t) = –VSAT à s4(t) = +VSAT.
figure 6
Donner la condition pour que U1 soit positive.
Dans ce cas et en supposant que E0 > U2, représenter sur un même graphe les fonctions
e4(t) et s4(t) en fonction du temps, en faisant apparaître les tensions E0, U1, U2 et VSAT. Comment
s’appelle un tel montage ?
c) Le signal d’entrée e4(t) est à présent le signal cardiaque eC(t) représenté sur les figures 3 et 4. Représenter sur une même figure l’allure du signal cardiaque et celle du signal
s4(t) que l’on souhaite obtenir par le filtre. À quelles conditions sur U1 et U2 la fréquence du signal
s4(t) obtenu correspond-elle effectivement à la fréquence du rythme cardiaque ? Quel est l’intérêt du
circuit effectivement utilisé par rapport à celui de la figure 5 ?
5) On considère maintenant le montage de la figure 7, VSAT étant la tension de saturation de
l’ALI. On suppose le condensateur C5 déchargé et e5 nul pour t < 0. On note τ1 = R9C5 et
τ2 = (R10 + R11)C6
–
a) e5 devient positif en t = 0 et prend la valeur
C5
+
VE. Exprimer la tension v–(t) de la borne – de l’ALI pour
t > 0.
C6
R11
b) e5 devient nulle à l’instant t1 >> τ1. Expri- e5(t)
R9
R10
mer la tension v–(t) pour t > t1.
c) Quel est le rôle de l’association C5R9 ?
E
d) Que vaut la charge q du condensateur C6
pour t < 0 ?
figure 7
e) La courbe v–(t) présente une succession de
brèves impulsions dont on suppose que l’amplitude est, en valeur absolue, supérieure à E. Montrer
qu’à partir de certains instants, la charge du condensateur C6 varie avec le temps. Quels évènements
déclenchent cette variation ?
f) En déduire que le circuit de la figure 7 engendre une tension s5(t) formée de créneaux de durée constante θ que l’on déterminera en fonction de R10, R11, C6, E et VSAT.
g) Le signal d’entrée e5(t) est à présent le signal s4(t) obtenu à la question précédente
mais redressé par une diode de façon à ne conserver que les valeurs positives. On note e5’(t) ce
nouveau signal. Tracer sur les mêmes axes les courbes de e5’(t) et s5(t) dans l’hypothèse où τ1 et τ2
sont très faibles devant les durées caractéristiques de e5’(t).
h) On applique s5(t) à un circuit permettant d’obtenir sa valeur moyenne. Préciser la
nature précise de ce circuit. Que représente cette valeur moyenne <s5> ?
6) Une autre option fréquemment utilisée consiste à numériser le signal après amélioration
du rapport signal/bruit puis faire tout le traitement de manière numérique. Cela nécessite un processeur à l’intérieur de l’appareil mais une fois les filtrages faits, il pourra faire les calculs de fréquence
instantanée ou moyenne sans recourir à des opérations analogiques.
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s5(t)
a) Relever la fréquence du signal de la figure 3. Exprimer cette valeur en battements
par minutes.
b) Le signal eC(t) n’est pas sinusoïdal et son spectre s’étale jusqu’à 100 Hz. À partir
de quelle fréquence minimale fEM est-il possible de l’échantillonner sans l’altérer ?
Pour des raisons technologiques, la fréquence d’échantillonnage retenue est 448 Hz.
c) Interpréter le spectre du signal échantillonné qui est donné figure 8.
figure 8
d) Quelle doit être la valeur maximale de la fréquence de coupure du filtre antirepliement que l’on doit placer avant l’échantillonnage.
e) On admet qu’une composante d’un signal est éliminée par filtrage si son amplitude
est atténuée dans un rapport 100. La figure 9 donne les courbes de gain en décibel pour trois filtres
analogiques passe-bas de fréquence de coupure égale à 100 Hz. Quel(s) filtre(s) peut-on utiliser
pour éviter tout repliement ? Élimine-t-on aussi la composante parasite à 150 Hz ?
figure 10
figure 9
f) Pour enlever des signaux parasites non éliminés par le filtre anti-repliement, on
peut utiliser un filtrage numérique du signal échantillonné. La figure 10 propose les courbes de gain
de deux filtres. Le(s)quel(s) choisir pour éliminer la raie parasite à 150 Hz ?
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