13 Cours - Systèmes linéaires.nb

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Systèmes linéaires
I) Définitions
1) Equation linéaire à p inconnues
2) Système de n équations linéaire à p inconnues
3) Système homogène associé
4) Interprétation géométrique pour les systèmes à deux ou trois inconnues
5) Matrice, ensemble des matrices
6) Notation développée ou condensée
7) Exercice
8) Notation matricielle d’un système linéaire
II) Opérations élémentaires sur un système linéaire ou sur les lignes d’une matrice
1) Définition et codage
2) Exemple et présentation des calculs
3) Systèmes équivalents, matrices équivalentes en lignes
III) Résolution d’un système linéaire par la méthode de Gauss-Jordan
1) Système ou matrice échelonnés par lignes
2) Théorème de Gauss-Jordan
3) Inconnues principales, inconnues secondaires
4) Exemples
5) Echelonnement et réduction d’un système linéaire: algorithmes
6) Résolution d’un système linéaire échelonné réduit
7) Résolution d’un système linéaire échelonné par lignes
8) Bilan
9) Exemples
10) Systèmes avec des paramètres dans les coefficients
L’objectif est la résolution d’un système linéaire par la méthode de Gauss-Jordan.
Dans tout ce chapitre, K = ou K = et n, p sont des entiers naturels non nuls.
I) Définitions
1) Equation linéaire à p inconnues
Soient a1 , a2 , ..., ap , b des nombres donnés de K (avec K = ou K = ). Alors:
une équation linéaire à p inconnues x1 , x2 , ..., xp est une équation du type (E) : a1 x1 + a2 x2 + ... + ap xp = b .
Par exemple, 2 x + 3 y - z = 7 est une équation linéaire à 3 inconnues x, y, z. Elle a une infinité de solutions: par exemple
(2,1,0), (0,3,2) sont des triplets solutions.
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2) Système de n équations linéaire à p inconnues
Soient ai,j et bi (avec i œ 81, ..., n< et j œ 81, ..., p<) des éléments de K.
Un système de n équations linéaire à p inconnues est un système du type: (S):
• Les lignes du système sont les équations linéaires HL1 L, HL2 L,...,HLn L
a1,1 x1 + a1,2 x2 + ... + a1,p xp = b1 HL1 L
a2,1 x1 + a2,2 x2 + ... + a2,p xp = b2 HL2 L
ª
an,1 x1 + an,2 x2 + ... + an,p xp = bn HLn L
.
• Les inconnues sont les nombres x1 , x2 , ..., xp .
• Les coefficients du système sont les nombres ai,j pour i œ 81, ..., n< et j œ 81, ..., p<.
• Les seconds membres sont les nombres b1 , b2 , ..., bn .
Remarque: On a besoin de deux indices pour les coefficients ai,j du système: l’indice de gauche i indique le numéro de ligne,
l’indice de droite j la position dans la ligne Li .
Enfin:
Résoudre le système (S) c’est trouver tous les p-uplets Ix1 , x2 , ..., xp M vérifiant les n équations.
Le système (S) est dit compatible lorsqu'il admet au moins un p-uplet solution, et est dit incompatible lorsqu'il n’a aucune
solution.
3) Système homogène associé
a) Définition
a1,1 x1 + a1,2 x2 + ... + a1,p xp = 0 HL1 L
Le système homogène associé à (S) est HS0 L :
a2,1 x1 + a2,2 x2 + ... + a2,p xp = 0 HL2 L
ª
an,1 x1 + an,2 x2 + ... + an,p xp = 0 HLn L
(Les seconds membres sont nuls)
b) Proposition
Si Iy1 , y2 , ..., yp M est une solution particulière de (S), alors les solutions de (S) sont les p-uplets Ih1 + y1 , h2 + y2 , ..., hp + yp M
avec Ih1 , h2 , ..., hp M une solution quelconque du système homogène HS0 L .
Remarque: cela rappelle les équations différentielles linéaires.
4) Interprétation géométrique pour les systèmes à deux ou trois inconnues
L’équation linéaire a x + b y = c est l’équation d’une droite dans le plan, l’équation linéaire a x + b y + c z = d est l’équation
d’un plan dans l’espace.
La résolution d’un système linéaire de n équations à deux (ou trois) inconnues revient donc à chercher l’intersection de n
droites du plan (ou de n plans de l’espace).
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5) Matrice, ensemble des matrices
Soient n, p œ * . Une Hn, pL (ou näp) matrice à coefficients dans K (K = ou ) est un tableau rectangulaire de n lignes et
p colonnes d’éléments de K.
L’ensemble des Hn, pL matrices à coefficients dans K est noté Mn,p HKL .
6) Notation développée ou condensée d’une matrice
a) Notation développée
a1,1 a1,2 ... a1,p
Une matrice M se note M =
a2,1 a2,2 ... a2,p
ª
ª
ª
ª
an,1 an,2 ... an,p
.
Le terme ai,j est à l’intersection de la iième ligne et de la jième
colonne.
a1,j
La ième ligne de M est Li = Iai,1 ai,2 ... ai,p M et la jième colonne de M est Cj =
a2,j
ª
.
an,j
b) Notation condensée
M = Iai,j M1bibn ou M = Iai,j Mnäp ou M = Iai,j M lorsque les dimensions de la matrice sont connues.
1bjbp
7) Exercice
a) Développer les matrices 3ä3 M = H2 i - 3 jL et N = H§ i - j§L
b) Développer la matrice nä n P = Hi - jL
c) Ecrire de façon condensée A =
1
n+1
ª
2
n+2
ª
... n
... 2 n
ª ª
n2 - n + 1 n2 - n + 2 ... n2
et B =
1 2 ... n - 1
2 3 ...
0
0
1
ª ª ª
ª
ª
0 1 ... n - 2 n - 1
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8) Notation matricielle d’un système linéaire
a) Matrices associées à un système linéaire
a1,1 x1 + a1,2 x2 + ... + a1,p xp = b1 HL1 L
Soit (S) le système linéaire de n équations à p inconnnues (S):
a1,1 a1,2 ... a1,p
La matrice des coefficients de (S) est A =
a2,1 a2,2 ... a2,p
ª
ª
ª
ª
an,1 an,2 ... an,p
a2,1 x1 + a2,2 x2 + ... + a2,p xp = b2 HL2 L
ª
an,1 x1 + an,2 x2 + ... + an,p xp = bn HLn L
. La matrice des seconds membres est B =
.
b1
b2
ª
bn
.
b) Ecriture matricielle
a1,1 a1,2 ... a1,p
L'écriture matricielle de (S) est: (S):
a2,1 a2,2 ... a2,p
ª
ª
ª
ª
an,1 an,2 ... an,p
b1
b2
ª
bn
. Cet “objet” s’appelle la matrice augmentée du système (S).
On peut l’assimiler à une matrice de n lignes et p + 1 colonnes. On note (S) : HA BL .
c) Exemples
2 0 -3 4
Ecrire de façon classique (S) : 1 5 4 8
1 1 -1 0
puis matricielle (S’) :
x-z = 1
y+z = 2
x+3y = 3
II) Opérations élémentaires sur un système linéaire ou sur les lignes d’une matrice
1) Définition et codage
On appelle opération élémentaire sur un système linéaire ou sur les lignes d’une matrice l’une des trois transformations
suivantes:
(1) Echange de deux lignes. Par exemple L1 õL2 ( On lit “ échange de L1 et L2 ”)
(2) Multiplication d’une ligne par l ∫ 0. Par exemple L1 ô3 L1 (On lit “ L1 est remplacée par (ou devient) 3 L1 ”
(3) Ajout à une ligne du produit d’une autre ligne par l œ K. Par exemple L2 ôL2 - 3 L3 . (On lit “ L2 devient L2 - 3 L3 )
2) Exemple et présentation des calculs
-2 x + y + z = 1
-2 1 1 1
x - 2 y + z = 2 d’écriture matricielle 1 -2 1 2 . Effectuer en parallèle sur les deux écritures la série de
x+y-3z = 3
1 1 -3 3
transformations élémentaires:
Soit (S) :
1) L1 õL2
2) L2 ôL2 + 2 L1 et L3 ô L3 - L1
3) L3 ôL3 + L2
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3) Systèmes équivalents, matrices équivalentes en lignes
a) Définitions
(1) Deux systèmes linéaires (S) et (S’) sont équivalents lorsqu’on peut passer de l’un à l’autre par une suite finie d’opérations
élémentaires sur les lignes.
On note alors (S) ñ (S’)
(2) Deux matrices sont équivalentes en lignes lorsqu’on peut passer de l’une à l’autre par une suite finie d’opérations
élémentaires sur les lignes.
On note alors M ~ M '.
L
b) Théorème
Deux systèmes linéaires équivalents ont le même ensemble de solutions.
Il suffit de le montrer pour chacun des trois types d’opérations élémentaires.
III) Résolution d’un système linéaire par la méthode de Gauss-Jordan
Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) , mathématicien, astronome et physicien allemand. Surnommé « le prince des
mathématiciens », il est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps.
Wilhelm Jordan (1842 - 1899) , géodésien allemand.
1) Système ou matrice échelonnés par lignes
a) Définitions
(1) Une matrice M = Iai,j Mnäp est échelonnée par lignes lorsque chacune de ses lignes non nulle commence par au moins un
zéro de plus que la précédente.
(2) Un système linéaire (S): HA BL est échelonné par lignes lorsque la matrice A de ses coefficients est échelonnée par lignes.
(3) Les pivots d’un système ou d’une matrice échelonnés par ligne sont les premiers termes non nuls de chaque ligne non nulle.
(4) Lorsque les pivots d’un système ou d’une matrice échelonnés par ligne sont tous égaux à 1 et que ces pivots sont les seuls
coefficients non nuls de leur colonne, on dit que le système ou la matrice est échelonné(e) réduit(e).
b) Exemples
1 2 3
0 4 5
0 0 6
7
8 ,
9
1 4 0
0 0 3
0 0 0
1
0
2
sont des systèmes linéaires échelonnés par lignes. (Encadrer les pivots)
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1
0
0
0
3
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
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2
0
est un système linéaire échelonné par ligne réduit. (Encadrer les pivots)
1
1
2) Théorème de Gauss-Jordan (admis)
(1) Tout système linéaire (S) (toute matrice M) est équivalent(e) à un système linéaire (S’) (une matrice M’) échelonné(e) par
lignes.
(2) Tout système linéaire (toute matrice) est équivalent(e) à un unique système linéaire (une unique matrice) échelonné(e)
réduit(e) par lignes.
Remarque: dans le cas 1), le système (S’) (la matrice M’) n’est pas unique, mais on peut démontrer que le nombre de pivots du
système (S’) (de la matrice M’) est toujours le même.
3) Inconnues principales, inconnues secondaires
Soit (S) un système linéaire équivalent à un système linéaire (S’) échelonné par lignes. Alors:
• le rang r de (S) est le nombre de pivots de (S’)
• Les inconnues principales sont les inconnues xj telles que j soit une colonne où se trouve un pivot de (S’)
• les autres inconnues sont les inconnues secondaires, ou paramètres
4) Exemples (encadrer les pivots)
Si (S’):
1 2 3 7
le rang est 3
0 4 5 8 , alors : x1 , x2 , x3 sont les inconnues principales.
0 0 6 9
pas d ' inconnues secondaires
1 4 0 1
Si (S’): 0 0 3 0
0 0 0 2
1
0
Si (S’):
0
0
3
0
0
0
8
5
0
0
0
5
0
0
le rang est 2
, alors : x1 , x3 sont les inconnues principales
x2 est l' inconnue secondaire
2
0
0
a
, alors :
le rang est 2
x1 , x3 sont les inconnues principales
x2 , x4 sont les inconnues secondaires
5) Echelonnement et réduction d’un système linéaire: algorithmes
• Echelonnement du système HA BL avec A = Iai,j Mnäp la matrice des coefficients, B = Hbi Lnä1 la matrice des seconds membres
par l’algorithme de Gauss-Jordan
LA HiL et L(i) désignent la ième ligne de la matrice A et de la matrice augmentée HA BL du système.
ligne = 1
pour col variant entre 1 et p:
chercher le premier terme non nul apiv,col dans aligne,col , aligne+1,col , ... an,col
si on trouve ce pivot apiv,col :
si piv ≠ ligne alors echanger les lignes L(ligne) et L(piv)
pour i variant de ligne + 1 à n:
remplacer L(i) par L(i) - x L(ligne) avec x = ai,col ë aligne,col
## On fait “pivoter” L(i) autour de L(ligne)
## Cette dernière instruction met à 0 tous les coefficients ai,col pour i > ligne
ligne = ligne + 1
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Par exemple, échelonnons (S):
1) ligne = 1
7/11
0 1
2 0
1 1
3 4
1 -2 -3 4
2 1
4 -1
1
2
-1
1
.
col = 1
0 1
2 0
1
1 1
3 4
2
a) le pivot est a2,1 = 1 : piv = 2. (S) ñ
1 -2 -3 4
-1
2 1
4 -1
1
1 1
3
0 1
2
b) comme piv ∫ ligne, on fait L1 õ L2 et (S) ñ
1 -2 -3
2 1
4
4
0
4
-1
2
1
-1
1
c) on pivote autour de L1 : L3 ôL3 - L1 et L4 ô L4 - 2 L1 et (S) ñ
1 1
3 4
0 1
2 0
0 -3 -6 0
0 - 1 - 2 -9
d) ligne = 2
2) ligne = 2
col = 2
a) le pivot est a2,2 : piv = 2 (S) ñ
1 1
3 4
0 1
2 0
0 -3 -6 0
0 - 1 - 2 -9
2
1
-3
-3
b) piv = ligne: pas d’échange de lignes
c) on pivote autour de L2 : L3 ôL3 + 3 L2 et L4 ôL4 + L2
1
0
(S) ñ
0
0
1
1
0
0
3 4
2 0
0 0
0 -9
2
1
0
-2
d) ligne = 3
3) ligne = 3
col = 3
a) a3,3 = a4,3 = 0: pas de pivot
4) ligne = 3
col = 4
a) le pivot est a4,4 : (S) ñ
1
0
0
0
1
1
0
0
3 4
2 0
0 0
0 -9
2
1
0
-2
1
0
b) comme piv ∫ ligne, on fait L3 õ L4 et (S) ñ
0
0
1
1
0
0
3 4
2 0
0 -9
0 0
2
1
-2
0
c) on pivote autour de L3 : rien à faire ici car a4,4 = 0.
Le système (S) est équivalent au système échelonné
1
0
0
0
1
1
0
0
3 4
2 0
0 -9
0 0
2
1
.
-2
0
Le rang de (S) est 3, les inconnues principales sont x1 , x3 et x4 , les inconnues secondaires sont x3 .
2
1
-3
-3
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•• Réduction du système échelonné HA BL par l’algorithme de Gauss-Jordan
On conserve les mêmes notations.
pour ligne variant entre 1 et n:
chercher s’il existe le premier terme non nul aligne,col de la ligne LA (ligne)
## Y-a-t-il un pivot sur la ligne ?
si on a trouvé un pivot aligne,col non nul:
diviser la ligne L(ligne) par aligne,col
# on normalise le pivot à 1
pour i variant entre 1 et ligne - 1:
remplacer L(i) par L(i) - x L(ligne) avec x = ai, col
## On fait “pivoter” L(i) autour de L(ligne)
## Cette dernière instruction met à 0 tous les coefficients ai,col pour i < ligne
## Ainsi le pivot aligne,col est le seul terme non nul de sa colonne. Ce terme vaut
maintenant 1.
Par exemple, réduisons le système échelonné (S) :
1
0
0
0
1
1
0
0
2
1
-2
0
3 4
2 0
0 -9
0 0
1) ligne = 1
a) Il y a un pivot: a1,1 et (S) est inchangé.
b) On divise L1 par 1 et (S) est inchangé.
c) Il n’y a pas de ligne avant L1 et (S) est inchangé.
2) ligne = 2
a) Il y a un pivot: a2,2 et (S) est inchangé.
b) On divise L2 par 1 et (S) est inchangé.
1
0
c) on pivote autour de L2 : L1 ôL1 - L2 et (S)= ñ
0
0
0
1
0
0
1 4
2 0
0 -9
0 0
0
1
0
0
1
2
0
0
1
1
-2
0
3) ligne = 3
a) il y a un pivot: a3,4 et (S) est inchangé
1
0
b) On divise L3 par -9 et (S) ñ
0
0
0
1
0
0
1
2
0
0
4
0
1
0
1
1
2ê9
0
1
0
c) on pivote autour de L3 : L1 ôL1 - 4 L3 et (S) ñ
0
0
Le système (S) est équivalent au système échelonné réduit
1
0
0
0
0
1
0
0
1ê9
1
2ê9
0
0
0
1
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1ê9
1
2ê9
0
.
6) Résolution d’un système linéaire échelonné réduit
Il n’y a plus rien qu’à vérifier que le système est compatible puis à “lire” le système:
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Par exemple, avec (S):
1
0
0
0
9/11
0
1
0
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
1ê9
x1 + x3 =
9
1
1
2
ñ x2 + 2 x3 = 1 et S = ;K - x3 , 1 - 2 x3 , x3 , O ì x3 œ ?
2ê9
9
9
2
x4 =
0
9
Le rang est 3, les inconnues principales sont x1 , x2 , x4 .
••• Résolution du système échelonné réduit (A»B) par l’algorithme de Gauss Jordan
On conserve les mêmes notations.
## On calcule le rang du système
r = 1
tant qu’il y a un terme non nul sur LA HrL:
# Ce terme vaudra 1
r = r + 1
r = r - 1
## Le rang est r. Les lignes LA Hr + 1L,..., LA HnL sont nulles.
## On vérifie la compatibilité du système
pour i variant de r+1 à n:
si bi ≠ 0:
afficher “Le système est incompatible”
terminer
## Le système est compatible; on affiche les solutions
pour i variant de 1 à r:
trouver le plus petit entier j tel que aij ≠ 0
# aij vaudra 1
## xj est une inconnue principale du système
p
afficher xj = bi −
Σ
k=j+1
ai,k xk
## xj est exprimée en fonction des éventuelles inconnues secondaires xk
## Dans la somme ⁄ on affiche que les ai,k xk avec aik ≠ 0
Remarque: avec autre chose que 0 en bas des seconds membres, le système est incompatible et S = « .
7) Résolution d’un système linéaire échelonné par lignes
On peut faire ainsi si on ne souhaite pas réduire le système.
a) Cas particulier d’un système triangulaire
a) Définition
Le système linéaire (S) dont la matrice des coefficients est A = Iai,j Mnäp est un système triangulaire lorsque la matrice A est
carrée Hn = pL et triangulaire I" i, j œ 81, ..., n<, i > j fl ai,j = 0M et I" i œ 81, 2, ..., n<, ai,i ∫ 0M
a1,1 a1,2 ...
∫
a1,n
0
Une matrice triangulaire A est donc du type A =
a2,2 ...
ª
0
∏
∫
ª
0
0
∫
∫
∫
a2,n
ª
ª
an-1,n-1 an-1,n
0
avec " i œ 81, 2, ..., n<, ai,i ∫ 0.
an ,n
Remarque: une telle matrice est en fait une matrice triangulaire supérieure. Il existe aussi les matrices triangulaires inférieures
(le triangle de 0 est en haut à droite).
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b) Théorème
Un système échelonné par lignes triangulaire de taille nä n admet une unique solution Hx1 , ..., xn L. Elle se calcule de proche en
proche par remontée: on calcule xn , puis xn-1 ,...,puis x1 .
Preuve dans le cas n = 3.
b) Cas général
On veut résoudre le système (S) échelonné de n équations à p inconnues.
HL1 L
ª
HLr L
On suppose qu’il est de rang r. (S) s’écrit alors:
.
0 = br+1
ª
0 = bn
Les équations linéaires HL1 L, ..., HLr L sont les équations principales, les autres sont les équations secondaires. Alors:
• une des équations secondaires n’est pas vérifiée: S = «. Le système est incompatible
HL1 L
• toutes les équations secondaires sont vérifiées: alors (S) ñ HS'L
ª . Le système est compatible.
HLr L
•• r = p . Alors (S’) est un système échelonné triangulaire qui admet une unique solution qui se calcule par remontée
(voir a))
•• r < p . On passe alors dans les seconds membres toutes les inconnues secondaires, et on résout encore (S’) par
remontée, les inconnues principales s’exprimant alors comme des fonctions affines des inconnues secondaires. Dans ce cas, (S) a
une infinité de solution
8) Bilan
Pour résoudre un système linéaire (S) de n équations à p inconnues:
(1) On échelonne par lignes (S) avec des opérations élémentaires par la méthode de Gauss-Jordan. On obtient un système
(S’) échelonné équivalent à (S). Si au cours des calculs une équation non vérifiée apparait, on s’arrête: Sol = «
(2) On peut alors ou bien:
(2a) réduire le système échelonné et “lire” la solution
(2b) résoudre le système échelonné par “remontée”
D’après ce qui précède, (S) peut avoir aucune, une seule ou une infinité de solutions.
9) Exemples
a) Résoudre (S) :
-2 1 1 1
1 -2 1 2
1 1 -3 3
b) Soit a œ . Résoudre (S) :
-2 1 1 1
1 -2 1 2
1 1 -2 a
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c) Soient a, b, c œ . Résoudre (S) :
11/11
0 1 1
1 0 1
1 1 0
a
b
c
d) Soient a, b, c, d œ . Résoudre (S) :
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
a
b
c
d
10) Systèmes avec des paramètres dans les coefficients
On applique la même procédure. Des cas particuliers (coefficients pouvant s’annuler) apparaissent lors de la résolution.
Par exemple, résoudre:
ax+y+z = 1
a) x + a y + z = b
x+y+az = 0
avec a, b réels donnés.
x + y + H2 m - 1L z = 1
b) m x + y + z = 1
x+my+z = 3m+3
Hm œ L