Devoir maison 2

L3 - 2016/2017 - DM2
Mathématiques discrètes
Devoir maison 2 du cours de mathématiques discrètes 2016.
Merci de soigner la rédaction.
Exercice 1.
Soient n, s et N des entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
1. Soient p, r des entiers naturels non nuls. Justifier que le nombre de partitions d’un ensemble de
cardinal rp en r parties de cardinal p est
(rp)!
r!(p!)r
Ps
2. Soient r1 , ..., rs des entiers naturels tels que N = i=1 iri . Justifier que le nombre de partitions
d’un ensemble de cardinal N en r1 parties de cardinal 1,... rs parties de cardinal s est :
N!
Qs
ri
r
!
i=1 i
i=1 (i!)
Qs
Soit x = (x1 , ..., xn ) dans J1, N Kn . Si y est un élément de J1, N K, on appelle multiplicité de y dans
x le nombre de i tels que xi = y. Si j est un entier entre 1 et n, on note nxj le nombre d’éléments y de
multiplicités j dans x.
Pour tout u dans J1, N K, on note Iux l”ensemble des indices j tels que xj = u. Soit F x l’ensemble des
u dans J1, N K tels que Iu est non vide. On note P x la famille (Iu )u∈F x .
Pn
3. Justifier que n = j=1 jnxj .
4. Exprimer la famille (nxj )j en fonction de la famille P x .
Soit E2 l’ensemble des x = (x1 , ..., xn ) tels que nxj = 0 si j > 2.
5. Soit i dans J0, bN/2cK. déterminer le nombre de x dans E2 tels que nx2 = i.
6. En déduire le cardinal de E2 .
Soient (Xi )i∈J1,nK n variables indépendantes de même distribution uniforme sur l’intervalle d’entiers
J1, N K.
7. Calculer la probabilité qu’au moins trois des variables parmi X1 , ..., Xn prennent la même valeur.
8. On s’intéresse au problème des trois anniversaires . On cherche la probabilité que parmi n personnes„
au moins trois personnes aient la même date d’ anniversaire. Cette probabilité est notée pn . On
suppose que les années font toutes 365 jours et que les dates d’anniversaire sont uniformément
distribuées tout au long de l’année.
(a) Donner une expression de pn .
(b) Calculer la valeur de n à partir de laquelle pn ≥ 0.5.
9. Exprimer de même la probabilité que parmi n personnes„ au moins quatre personnes aient la même
date d’ anniversaire et calculer le valeur seuil de n à partir de laquelle elle devient ≥ 0.5.
C. Picaronny
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E.N.S. de Cachan
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Mathématiques discrètes
Problème.
On note N l’ensemble des entiers naturels et N0 l’ensemble des entiers naturels non nuls.
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans l’ensemble des entiers naturels N. On définit sa série
génératrice comme la série entière :
GX (t) =
∞
X
P (X = n)tn .
n=0
Partie I.
1. Démontrer que la série
1. Que vaut GX (1) ?
P∞
n=0
P (X = n)z n est convergente, pour tout nombre complexe z de module
2. Que peut-on en déduire pour le rayon de convergence de la série entière GX ?
3. Démontrer que la variable aléatoire X admet une espérance finie si et seulement si GX est dérivable
à gauche en 1 (on utilisera un théorème de convergence du type convergence dominée). Démontrer
que dans ce cas E(X) = G0X (1).
4. Soient X et Y deux variables indépendantes à valeurs dans N. Démontrer que pour tout t dans
l’intersection des disques de convergence respectifs de GX et GY , GX+Y (t) = GX (t)GY (t).
Partie II.
Expliciter la série génératrice de la variable aléatoire X et préciser son rayon de convergence dans les cas
suivants:
1. La variable aléatoire X suit une loi de Bernouilli de paramètre p (i.e P (x = 0) = 1 − p et P (X =
1) = p.)
2. La variable aléatoire
X suit une loi binomiale de paramètres p, n (i.e ∀k ∈ {1, ..., n},
P (x = k) = nk pk (1 − p)n−k ).)
3. La variable aléatoire X suit une loi géométrique de paramètre p (i.e. ∀k ∈ N, P (X = k) =
p(1 − p)k−1 .)
k
4. La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre α (i.e. ∀k ∈ N, P (X = k) = e−α αk! ).
Partie III.
Soit (pn )n∈N une suite de nombres réels positifs tels que
S(t) =
∞
X
P∞
n=0
pk = 1. Soit S la série entière :
pn tn .
n=0
On note R son rayon de convergence et on remarque que R ≥ 1. Soit (Yn )n∈N0 une suite de variables
indépendantes à valeurs dans l’ensemble des entiers naturels N, telles que ∀k ∈ N, ∀n ∈ N0 , , P (Yn = k) =
pk (i.e. les variables Y1 , Y2 , · · · sont de même loi). On définit une suite de variables aléatoires (Xn )n∈N0
à valeurs dans l’ensemble des entiers naturels en posant :
C. Picaronny
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E.N.S. de Cachan
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Mathématiques discrètes
• La variable aléatoire X1 a pour loi : ∀k ∈ N, , P (X1 = k) = pk .
• Si n > 1, la loi de la variable aléatoire Xn est définie conditionnellement à celle de Xn−1 par :
∀k ∈ N, ∀l ∈ N, P (Xn = l|Xn−1 = k) = P (Y1 + Y2 + · · · + Yk = l).
1. Que vaut GX1 ?
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n dans N0 ,on a :
∀t ∈] − 1, 1[, GXn (t) = GXn−1 (GX1 (t)).
Et en déduire (par récurrence sur n) que ∀t ∈] − 1, 1[, GXn (t) = GX1 (GXn−1 (t)).
3. En déduire, pour tout entier naturel n dans N0 , une relation entre E(Xn ), E(Xn−1 ) et E(X1 ).
4. En déduire, pour tout entier naturel n dans N0 , une expression de E(Xn ).
5. On considère la suite (GXn (0))n∈N0 . On suppose qu’elle admet une limite l. Démontrer que S(l) = l.
6. Justifier que la série entière S est infiniment dérivable et que ses dérivées successives sont positives
sur ]0, 1[. En déduire que la fonction t → S(t) est convexe.
7. Justifier que la suite (GXn (0))n∈N0 est croissante et qu’elle converge vers le plus petit point fixe de
la série S dans [0, 1].
Partie IV.
On considère un arbre aléatoire. Chaque noeud a un nombre aléatoire de fils selon la loi probabilité :
pour tout entier naturel k, la probabilité pour un noeud d’avoir k fils est 1/2k+1 . On note Xn le nombre
de noeuds de profondeur n (à distance n du sommet de l’arbre).
1. Soient n et k deux entiers naturels. Décrire la loi de Xn sachant que Xn−1 = k.
2. Justifier que la probabilité pour que l’arbre soit fini (il existe n0 à partir duquel Xn = 0) tend vers
1, lorsque n tend vers l’infini.
C. Picaronny
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E.N.S. de Cachan