SP.O6. Introduction au monde quantique.

¤ PCSI ¤
SP.O6. Introduction au monde
quantique.
SP.O6.1. Expériences de Young avec des électrons.
w
la
b
e
SP.O6.2. Effet photoélectrique en mécanique classique.
w
w
w
o
h
.k
m
o
.c
SP.O6.3. Effet Compton.
h
 h   p 
1. D'après le principe d'incertitude de Heisenberg,  h    p  x  d’où       x    x  . La quantité
mc
 mc   mc 
h
est bien homogène à une longueur. On calcule
 2, 4.1012 m
mc
h
2.  '  est typiquement de l'ordre du pm vu l'ordre de grandeur de
, donc la variation relative de
mc
longueur d'onde n'est pas trop faible pour des rayons X. Elle peut être plus facilement mise en évidence.
3. La longueur d'onde du photon augmente, donc son énergie diminue. Elle est communiquée à une autre
particule. Vu que la masse de l'électron intervient dans la formule, on peut donc imaginer qu'un électron
récupère le reliquat d'énergie.
4. On déduit  '  7,32.1011 m.
hc hc

 9, 2.1017 J  6, 0.10 2 eV
 '
Un électron recevant une telle énergie est arraché à son atome (ionisation).
5. La variation d'énergie pour un photon diffusé est h  h ' 
SP.O6.4.Comparaison de deux figures de diffraction.
hc
soit : E  2,8.1015 J = 1,8.104 eV.

2. Pour obtenir la même figure de diffraction, les électrons doivent avoir une longueur d'onde de de Broglie
h
B 
égale à la longueur d'onde X des rayons X. Ceci impose la valeur de leur quantité de mouvement :
p
h
h
ce qui permet de calculer leur énergie et leur vitesse ; la mécanique classique donne :
p

B  X
1. La relation de Planck-Einstein nous donne E  h 
m
o
.c
p
h

v


 1, 0.107 m.s 1

m m X


2
2
 E  1 mv 2  p  h  4,8.1017 J = 3,0.102 eV
 c 2
2m 2m X2
La vitesse obtenue est de l'ordre de c/30, ce qui semble suffisamment faible pour appliquer les lois de la
mécanique classique.
b
e
3. Il faut donc appliquer de l'ordre de 300 V entre les électrodes accélératrices pour obtenir ces électrons, ce
qui est tout à fait réalisable.
w
la
4. La tension accélératrice permet de calculer la valeur de l'énergie cinétique des électrons en électronvolt,
que l'on peut ensuite convertir en joule pour en déduire la vitesse, puis la longueur d'onde :
h
h

U  54 V soit Ec  54 eV = 8,6.10 18 J puis  = 
 1, 7.10 10 m

p
2mEc


h
U  50.103 V soit E  50.103 eV = 8,6.1015 J puis  = h 
 5,5.10 12 m
c

p
2mEc

Dans l'expérience historique de Davisson et Germer, la valeur de la longueur d'onde de de Broglie était de
l'ordre de grandeur des dimensions atomiques, ce qui est la condition pour observer une diffraction sur des
cristaux. Dans celle de Tonomura, la longueur d'onde était plus faible de quasiment 2 ordres de grandeur;
toutefois il ne s'agit pas d'une expérience de diffraction mais d'interférences : c'est alors la valeur de
l'interfrange, et non pas directement la valeur de la longueur d'onde, qui conditionne la possibilité d'observer
correctement le phénomène.
w
w
w
o
h
.k
SP.O6.5. Validité de la description classique de différents systèmes gazeux.
1.a. Une mole de gaz occupant un volume Vm= 25 L et étant constituée de N, molécules, chaque molécule
V
occupe l'équivalent d'un volume V1  m ; en visualisant ces volumes comme des cubes, la distance interNA
1/3
V 
particulaire peut être évaluée à : a   m   3,5.10 9 m
 NA 
L'ordre de grandeur de la vitesse s'obtient en écrivant :
1
3
3k BT
Ec  mv 2  k BT  v 
2
2
m
où m est la masse d'une molécule; pour le dihydrogène H2, c'est donc deux fois la masse du proton
(m = 2 mp), ce qui donne numériquement, à la température ambiante de T = 300 K : v  1,9.103 m.s 1 .
1.b. Pour savoir si le traitement doit être classique ou quantique, il faut comparer la distance interparticulaire
à la longueur d'onde de de Broglie  des molécules (cf. documents cours SP.O6) ; or, nous avons :

h
h
h


 1, 0.10 10 m.
p 2m p v
3  2m p k BT
 étant inférieure de plus d'un facteur 10 par rapport à la distance interparticulaire, le traitement classique
convient.
1.c. Pour tout autre gaz moléculaire le traitement classique conviendra également car :
 La distance interparticulaire sera la même que dans le gaz de dihydrogène ; en effet, l'énoncé nous
précise que le volume molaire est approximativement le même pour tous les gaz dans les conditions
usuelles de température et de pression.
 La longueur d'onde de de Broglie sera plus faible que pour H2 car elle décroit quand la masse m
augmente et H2, est la molécule de plus petite masse envisageable.
m
o
.c
Ainsi, la condition  << a sera également vérifiée pour tous les autres gaz moléculaires.
2. Le principe est le même, il faut évaluer la distance inter-électrons et la comparer à leur longueur d'onde de
de Broglie :
 La distance interparticulaire a est la même que celle entre deux atomes de cuivre du réseau car
chaque atome de cuivre libère exactement un électron. Elle peut donc se calculer à partir de la masse
molaire M et la masse volumique  du cuivre. Sachant qu'une mole de cuivre correspond à une
M
masse M, donc à un volume V 
nous pouvons ensuite raisonner comme pour le gaz de la

b
e
w
la
1/3
1/3
 V 
 M 
10
question I, nous aboutissons à : a  
 
  2,3.10 m.
 NA 
  NA 
Cet ordre de grandeur correspond bien aux tailles interatomiques dans les solides. Il est bien entendu
nettement inférieur à la valeur dans un gaz, obtenue à la question 1.
o
h
.k
 Puisque l'énoncé nous dit que le gaz d'électrons est à l'équilibre thermique avec le réseau, leur vitesse
s'évalue de la même façon que pour les molécules de dihydrogène de la question I (ou les neutrons
thermiques) ; la longueur d'onde de de Broglie a donc également la même expression :
h

 6, 2.10 9 m.
3me k BT
Cet ordre de grandeur beaucoup plus élevé que celui obtenu à la question 1 n’est pas étonnant puisque les
électrons ont une masse 1836 fois plus faible que le proton.
Ainsi, la situation est opposée à celle d'un gaz moléculaire : la longueur d'onde de de Broglie est largement
supérieure à la distance interparticulaire et un traitement quantique est nécessaire.
Si le traitement classique est erroné, l’expression de l’énergie cinétique moyenne des électrons n’est plus
rigoureusement égale 3k BT / 2 . Toutefois, la conclusion tient toujours : nous l’avons en quelque sorte
démontré par l’absurde en supposant le traitement classique et la formule Ec  3k BT / 2 valables, et en
aboutissant à   a , ce qui constitue une contradiction.
w
w
w
3. Conformément au critère annoncé dans le cours, le traitement classique du rayonnement convient tant que
le quantum d'énergie h  hc /  est très inférieur à la plus petite quantité d'énergie Emin mise en jeu lors
des échanges entre la matière et le rayonnement.
L'énoncé nous précise que ces échanges ne dépendent que de la température et nous pouvons en déduire que
leur ordre de grandeur correspond à l'énergie cinétique moyenne des particules matérielles à la température
T du corps, soit : Emin  3k BT / 2 . Ainsi, seul le rayonnement de longueur d'onde  telle que
hc /   3k BT / 2 peut être traité classiquement et rendre correctement compte du spectre lumineux
observé.
Le traitement est donc à coup sûr problématique pour :   o  hc / k BT
Le facteur 3/2 n'a pas d'importance dans ce type d’évaluation d’une frontière entre comportement.