3. La Grandeur des Forces sur le Plan Horizontal 1 ρ ∇ p ~10 f V ~

SCA 2625-Dynamique Partie C
3. La Grandeur des Forces sur le Plan Horizontal
Le gradient horizontal de pression qu'on calcul sur les cartes de météo est de l'ordre de 10 hPa en
3
6
-3
3
1000 km (10 hPa/10 m = 10 hPa/m). Avec la densité r de l'ordre de 1 Kg/m , la grandeur de la
force de gradient pression (par unité de masse ) est de l'ordre de
1r
∇p ~ 10 − 3 m / s2
ρ
-5 -1
Avec Ω T = 7,3 10
s
, le sinus des latitudes extratopicales (30 rà 90) de l'ordre de 0,5 à 1, la
-4 -1
grandeur characteristique de f est 10 s . Avec un vent horizontal
(par unité de masse) de Coriolis est de l'ordre de
Vh de l'ordre de 10 m/s, la force
r
−
f V ~ 10 3 m / s2
(Dans les tropiques ces forces (par unité de masse) sont 1 ordre de grandeur plus petit.)
r
-4
2
Par contre, l'accélération (d Vh /dt) qu'on mesure est seulement de l'ordre de 10 m/ s .
En absence de l'effet de frottement, on deduit donc que sur le plan horizontal l'écoulement
répresente une quasi-équilibre (beaucoup moins bien que sur le plan vertical) entre la force de
gradient de pression et celle de Coriolis.
P0
P1
asiQu ilibre
u g y,N
Vh -éqV
ph
ah
x,E
P2
ch
r
Figure DynC-1: Exemple d'un quasi-équilibre sur le plan horizontal. L'accélération a h sur le
plan horizontal est unv ordre de grandeur plus
r petit que la force (par unité de masse) de
gradient de pression ph et celle de Coriolis c h .
SCA2625 Dynamique C-1
Explication: Lorsque la différence de pression existe sur une échelle plus grande, l'effet de rotation de la
Terre (Coriolis) est aussi important que la force de gradient de pression. En absence de l'effet de
frottement si nous regardons, à partir d'une étoile fixe, une zone de gradient horizontal de pression et on
fixe notre attention sur une particule d'air, on la verra commencer à réagir à la force de gradient de
pression. La particule s'accélèrera dans la direction de cette force qui se dirige de la haute vers la basse
pression.
Sens de
rotation
Zone de
haute
Haute
pression
Pression
Sens de
rotation
Zone de
basse
Basse
pression
Pression
Basse
Pression
Force de gradient
de pression
Zone de basse pression
Force de gradient
de pression
Sens de
rotation
s de
Sen tion
rota
etuH
a
Pression
Vitesse de
la parcelle
Zone de haute pression
Figure DynC-2: La rotation autour de l'axe verticale locale du champ de pression pendant le
déplacement d'une parcelle d'air vers la basse pression.
SCA2625 Dynamique C-2
Parce que la surface de la Terre est en rotation, l'axe de haute-basse pression tourne et bientôt, la
particule se trouvera en train de se déplacer entre la haute et la basse pression. La force de gradient de
pression essaiera de tourner la particule vers la basse pression. La particule tourne mais l'axe de hautebasse pression tourne aussi approximativement au même taux. Résultat: la particule se déplace toujours
entre la haute et la basse pression avec la basse pression à sa gauche.
Si nous nous plaçons sur la Terre en tournant avec elle, nous ne voyons pas la rotation de l'axe hautebasse pression mais il nous semble plutôt qu'une force agit sur la particule pour la tourner vers la droite
(la force de Coriolis) et qu'après une petite période d'ajustement, la particule se déplace avec une
vitesse presque parallèle aux isobares avec la basse pression à sa gauche.
source: Lutgens et Tarbuck 1986
Figure DynC-3: En absence de l'effet de frottement Les vents sont déviés par la force de
Coriolis jusqu'à ce que la force de Coriolis équilibre approximativement la force du gradient
de pression. Au-dessus d'autour de 600 mètres, là où la friction avec le sol devient
négligeable, ces vents souffleront presque parallèlement aux isobares. Avec le dos au vent,
la basse pression est à gauche.
4. Le "vent" géostrophique
Étant donné que l'accélération sur plan horizontal est un ordre de grandeur plus petit que les forces de
gradient de pression et celle de Coriolis, en absence de l'effet de frottement, nous pouvons calculer une
des forces à partir de l'autre avec une erreur de l'ordre de 10% (l'accélération qu'on néglige). En effet,
le vent hypothétique
qui produirait un équilibre exact entre les deux forces s'appel le "vent
r
géostrophique" Vg .
r r
1 r
− ∇p = fk × Vg
ρ
1 ∂p
= f vg
x:
ρ ∂x
C-1
SCA2625 Dynamique C-3
y: −
1 ∂p
ρ ∂y
= f ug
En effet, le vent géostrophique qu'on peut calculer à partir de ces équations est une très bonne
approximation au vent horizontal (l'erreur de de l'ordre de 10%).
−
1 r
fρ
r r
∇p × k = V g
1 ∂p
= vg
fρ ∂x
−
1 ∂p
f ρ ∂y
C-2
= ug
-4 -1
3
Exemple du calcul approximativement au point X (pression en hPa, f=10 s , ρ = 1,25 kg/m ).
1000
1000km
X
y
1004
x
∂p
= 0 donc v g = 0
∂x
1008
∂p (1000 − 1008 ) × 10 2 Pa
8 ×10 2 Pa
=
=−
= − 8×10 −4 Pa / m
3
6
∂y
1000 × 10 m
10 m
(Question: Pourquoi le numérateur est négatif pendant que le dénominateur est positif?)
−8 × 10 −4
= +6, 4 m / s
Donc u g = −
1, 25 ×10 −4
r r
r
=
+
6
4
i +0j
,
Donc le vent géostrophique Vg
ou 6,4 m/s vers de l'ouest vers l'est.
SCA2625 Dynamique C-4
Force de gradient
de pression
508
C
504
B
Force de
Coriolis
500
Vent géostrophique
Accélération
D
A
Accélération
Vents
Nord
D
Est
Figure DynC-4: Le vent suit les isobares: Supposons qu'au point A, le vent est
géostrophique. Donc les forces sont en équilibre exact pour la particule au point A. La
particule se déplacera donc sans accélération et ne changera pas sa vitesse. Au point B, elle
aura la même vitesse et donc la même force de Coriolis (qui dépend de la vitesse). Mais au
point B, la force de gradient de pression se dirige dans une direction différente qu'au point
A. Il n'y a plus donc d'équilibre. En effet, la somme des forces (par unité de masse),
l'accélération, est dans la direction contraire au mouvement. La vitesse de la particule
diminuera donc et la force de Coriolis deviendra plus petite que celle du gradient de
pression. La situation finale est donnée par les flèches au point C (et D) où la somme des
forces produit une accélération vers le centre de dépression qui fait tourner la particule
autour la dépression dans le sens anti-horaire (cyclonique). Notez que l'accélération reste
petite par rapport aux forces. Donc le vent géostrophique est toujours une bonne
approximation au vent.
5. Le vents d'ouests et le courant jet (Jet Stream)
Les premiers modèles de la circulation ne tenaient pas compte de la rotation de la Terre. On proposait
(Hadley) que l'air chaud des régions tropicales en altitude devrait se déplacer vers le nord et l'air froid
des régions polaires devrait aller en surface vers le sud. Donc le vent devrait aller du nord vers le sud
en surface et du sud vers le nord en altitude. Cette circulation, dite de Hadley, n'est pas observée et
on trouve que les vents en altitude sont surtout d'ouest vers l'est.
C'est encore l'effet de la rotation de la Terre qui est la cause de ce comportement. L'air plus chaud
dans les tropiques produit en altitude une force de gradient de pression du sud vers le nord (comme
pour la brise de mer) mais l'effet de Coriolis produit les vents en altitude d'ouest en est. En plus dans
les zones de forts gradients horizontaux de la température de largueur de l'ordre de 1000 km (des
fronts), l'effet de Coriolis empêche aussi des circulations convectives normales (comme la brise de
SCA2625 Dynamique C-5
mer). On effet, au-dessus ces zones de fort gradient de la température, se trouve des bandes de vents
très fort ("jet streams" ou courants jets qui soufflent perpendiculairement aux gradients horizontaux de
température (parallèle aux isothermes moyens).
Vent entre dans la page
0 hPa
Froid
Chaud
200 hPa
Hauteur
Tropopause
400 hPa
Chaud
600 hPa
Froid
800 hPa
1000 hPa
Nord
Sud (Équateur)
Figure DynC-5: Distribution verticale moyenne de la pression entre l'équateur et le pôle nord
qui produit le vent moyen de l'ouest vers l'est.
Vent sort de la page
Tropopause
Jet
600 hPa
800 hPa
Chaud
Chaud
400 hPa
Froid
600 hPa
Froid
800 hPa
Hauteur
Froid
400 hPa
Force de gradient
horizontal de pression
Chaud
Zone frontale
Figure DynC-6: Les zones de fort gradient horizontal de la température (zones frontales) sont
associées aux courants jets.
SCA2625 Dynamique C-6
Figure DynC-7: Courants-jets multiples. source: Environnement Canada
Figure DynC-8: Positions moyennes des courants-jets par rapport aux ftonts de surface (1). La cyclogénèse d’une
dépression de surface est habituellement située au sud du courant-jet (2). Une dépression qui s’intensifie se déplace
plus près du centre du courant-jet (3). Durant l’occlusion, la dépression se déplace au nord du courant-jet. Le
courant-jet traverse le système frontal à l’endroit de l’occlusion. source: Environnement Canada
SCA2625 Dynamique C-7
Les zones où se trouvent les plus fortes variations (gradients) de température sur le plan horizontal
produisent des zones où la force de gradient de pression est la plus forte et les vents aussi. Ce sont les
jets streams ou courants jets.
La variation du vent horizontal sur le plan vertical: Le vent thermique
En atmosphère libre, là où l’effet de la friction ne se fait pas sentir, V ≅ Vg .
V g ≡ k x 1 ∇p
ρf
(C-3)
La variation verticale de Vg est
∂V g
∂z
∇ p ∂ρ-1
=kx
∂p
+k x 1 ∇
ρf
∂z
∂z
f
et
∂p
∂z
= - ρg =
-pg
R dT
selon l’équation hydrostatique et la loi des gaz parfaits. Donc
∂V g
∂z
= -kx
∇ p ∂ρ
ρ 2 f ∂z
-kx
g
R d ρf
∇
p
T
= -kx
=-kx
V g ∂ρ
ρ ∂z
V g ∂ρ
ρ ∂z
-kx
-kx
g
pg
∇p - k x
∇ T-1
T R d ρf
R d ρf
gV g
pg
+kx
∇T
T Rd
T 2 R d ρf
∂V g
∂ρ
g
g
= -k x V g 1
+
+kx
∇T
T
R
Tf
ρ ∂z
d
∂z
(C-4)
Maintenant, on dérive par rapport à z l’équation des gaz parfaits p = ρ R d T d’où
∂p
∂z
= Rd T
∂ρ
∂z
+ R dρ
∂T
∂ρ
⇒ 1
= 1
ρ ∂z ρ R d T
∂z
∂p
∂T
- 1
∂z T ∂z
et en utilisant l’équation hydrostatique,
1 ∂ρ = - g - 1 ∂T
R d T T ∂z
ρ ∂z
(C-5)
On remplace le premier terme de l’éq. C-4 par l’éq. C-5 et on obtient
∂V g
∂z
= kx
Vg ∂T
g
∇T
+kx
T ∂z
Tf
SCA2625 Dynamique C-8
(C-6)
On peut maintenant calculer la grandeur caractéristique de chacun des termes surr le côté droit de l'éq.
C-6 en utilisant les observations suivantes pour les grandeurs caractéristiques de : Vg ~10 m/s. T~300K,
3
∂T/∂z ~ 6K/10 m, f~10
-4
r
6
, ∇T ~ 6K/10 m.
r
V g ∂T 10 6
Donc
~
~2 x 10-4
3
T ∂z 300 10
g r
10 1 6
∇T ~
Et
~2 x 10-3
Tf
300 10 −4 103
Donc, Ee général dans l’atmosphère, le deuxième terme de l’éq. C-6 est environ un ordre de grandeur
plus grand que le premier terme. On peut donc écrire approximativement :
∂V g
∂z
≅ kx
g
∇T
Tf
(C-7)
Cette dernière équation relie donc le gradient horizontal de la température avec la variation du vent
géostrophique avec la hauteur. Un gradient de température dirigé du nord vers l’équateur donnera un
vent géostrophique dirigé de l’ouest vers l’est qui augmente avec la hauteur (Voir la figure DynC-5
pour l'explication physique).
SCA2625 Dynamique C-9