VII. Réactions nucléaires et temps de chute libre

Cours d’Astrophysique II, Dr. Pierre North
Section de physique 3e année
28.05.2009
EPFL
Série de la semaine No 13
Semestre de printemps 2009
VII. Réactions nucléaires et temps de chute libre
1. Réactions nucléaires
1. Section efficace en régime non résonnant : D’après l’exercice
VI.2.5, on admet que la section efficace est proportionnelle à λ2 :
h 2
1
∝
σ(E) ∝ πλ ∝ π
p
E
Par ailleurs, George Gamov avait montré que la probabilité pour un
projectile d’énergie E de franchir une barrière de potentiel de hauteur
UC est exponentielle, si bien que :
!
2
σ(E) ∝ e−2π
2
UC /E
En introduisant une fonction S(E) qui varie lentement avec l’énergie,
on peut alors exprimer la section efficace sous la forme :
S(E) −bE −1/2
e
E
Montrer à partir des équations précédentes la pertinence de cette
égalité, et que :
σ(E) =
2
23/2 π 2 µ1/2
m Z1 Z2 e
b=
h
Donner l’expression générale (intégrale) du taux de réactions par unité
de volume. Montrer que l’intégrant, à la variation de S(E) près (supposée lente), est une fonction en forme de cloche relativement étroite
(“pic de Gamov”), et donner l’énergie E0 qui correspond au maximum
de cette fonction (en fonction de b et de T ).
Donner aussi la valeur de l’intégrant f (E) (dans lequel on n’inclut
pas la fonction S(E)) à son maximum, et donner une valeur approximative de la demi-largeur de f (E) si cette fonction est approximée
par une gaussienne.
2. Montrer que dans le cas de réactions non résonnantes, le taux de
production d’énergie peut être approximé par
ε = ε0 ρ T ν
avec
∂ ln ε
τ −2
ρ=
ν≡
∂ ln T
3
!
2. Temps de chute libre (free-fall time)
Etablir le temps caractéristique de chute libre pour un nuage moléculaire
sphérique de rayon initial R0 , de densité initiale ρ0 , et en effondrement
isotherme (i.e. déterminer le temps que dure l’effondrement). On suppose
qu’initialement dR/dt = 0.
Indication : On admet que le gradient de pression reste négligeable devant l’accélération de la pesanteur (toute l’énergie gravitationnelle convertie en chaleur est immédiatement évacuée sous forme de rayonnement, il
n’y a donc ni gradient de température ni gradient de pression). Ecrire
l’équation du mouvement d2 R/dt2 = ... et en déduire une expression pour
dR/dt. Faire ensuite le changement de variable R/R0 = cos2 ξ pour exprimer R(t).
LASTRO-EPFL, printemps 2009
Sauverny, le 26 mai 2009