cours-physique-THEME-02-chap-7-application-loi-de-newton-et

Page 1 sur 15
THEME 2 : COMPRENDRE/Lois et modèles
CHAP 07
APPLICATION DES LOIS DE NEWTON ET DE KEPLER
1. CHAMP DE PESANTEUR
1.1. Définition
Il est noté g, en m.s-2 ou N.kg-1
Il est dit uniforme quand il garde la même direction, le même sens et la même valeur
1.2. Poids
- Point d’application ; Centre de l’objet
- Sa direction ; Verticale
𝑃
- Son sens ; Vers le bas
- Sa grandeur ;
P = m.g
N
g : constante de pesanteur 9,8 m.s-2
N.kg-1
kg
m : masse de l’objet en kg
2. MOUVEMENT D’UN PROJECTILE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME
2.1. Conditions d’étude
On étudie un solide de centre d'inertie G qui a été lancé
d'un point O, à une date t = 0, avec un vecteur vitesse
initiale v0 faisant un angle α avec l'horizontale.
L’étude est faite dans le référentiel terrestre
qui peut être considéré comme Galiléen.
On définit dans ce référentiel un repère orthonormé
(O, i , j , k ).
Le vecteur v0 est dans le plan formé par i , j .
Page 2 sur 15
2.2. Conditions initiales
- A t= 0 le solide est en x0 = y0 = z0 =0
- le vecteur vitesse initiale 𝐯𝟎 vaut :
𝐯𝐨𝐱 = 𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂)
𝐯𝟎 ( 𝐯𝐨𝐲 = 𝐯𝐨 . 𝐬𝐢𝐧(𝛂) )
𝐯𝐨𝐳 = 𝟎
2.3. Force exercée sur le solide
Référentiel : Terrestre supposé Galiléen
Système : Objet
Force : Force exercée par l’air et le poids. MAIS
On néglige tout sauf le Poids 𝑃 ; (placé au centre
de la balle, dirigé verticalement vers le bas)
2.4. De la 2ème loi de Newton à l’accélération
∑𝐅𝐞𝐱𝐭 =
dp
𝑑𝑡
= m. 𝐚
(car la masse de la balle reste constante)
Donc ici
𝑃 = m.𝒂
On projette sur un axe (O, 𝐢, 𝐣, 𝐤)
𝐏𝐱 = 𝟎
𝑃 (𝐏 𝐲
= −𝐏)
𝐏𝐳 = 𝟎
D’où :
𝐚𝐱
𝒂 (𝐚𝐲 )
𝐚𝐳
𝑃
Page 3 sur 15
𝟎 = 𝐦. 𝐚𝐱
−𝐏
= 𝐦. 𝐚𝐲 ]
[
𝟎 = 𝐦. 𝐚𝐳
𝐚𝐱 = 𝟎
𝐦.
𝐚
donc [
𝐲 = −𝐦. 𝐠]
𝐚𝐳 = 𝟎
𝐚𝐱 = 𝟎
[𝐚𝐲 = −𝐠]
𝐚𝐳 = 𝟎
2.5. De l’accélération à la vitesse
On a
𝐚 = 𝐯̇
𝐯𝐱̇ = 𝟎
donc [𝐯𝐲̇ = −𝐠]
𝐯𝐳̇ = 𝟎
𝐯𝐱 = 𝐯𝐨𝐱
donc [𝐯𝐲 = −𝐠. 𝐭 + 𝐯𝐨𝐲 ]
𝐯𝐳 = 𝐯𝐨𝐳
c’est une cst donc sur Ox la
vitesse est constante
𝐯𝐱 = 𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂)
[𝐯𝐲 = −𝐠. 𝐭 + 𝐯𝐨 . 𝐬𝐢𝐧(𝛂)]
𝐯𝐳 = 𝟎
sur Oy la vitesse est
uniformément variée
sur Oz la vitesse est nulle
𝐯𝐱 = 𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂)
[𝐯𝐲 = −𝐠. 𝐭 + 𝐯𝐨 . 𝐬𝐢𝐧(𝛂)]
𝐯𝐳 = 𝟎
Page 4 sur 15
2.6. De la vitesse à la position
𝐱̇ = 𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂)
[𝐲̇ = −𝐠. 𝐭 + 𝐯𝐨 . 𝐬𝐢𝐧(𝛂)]
𝐳̇ = 𝟎
𝐱 = 𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂). 𝐭 + 𝐱 𝐨
𝟏
[𝐲 = − . 𝐠. 𝐭 𝟐 + 𝐯𝐨 . 𝐬𝐢𝐧(𝛂). 𝐭 + 𝐲𝐨 ]
𝟐
𝐳 = 𝐳𝐨
𝐱 = 𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂). 𝐭 + 𝟎
𝟏
[𝐲 = − . 𝐠. 𝐭 𝟐 + 𝐯𝐨 . 𝐬𝐢𝐧(𝛂). 𝐭 + 𝟎 ]
𝟐
𝐳=𝟎
Le mouvement se fait ds un plan Oxy car z = 0
2.7. Equation de la trajectoire
On exprime y = f(x)
On a :
𝐱
=𝐭
𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂)
Et on remplace t dans y
𝟏
𝐱
𝐱
𝐲 = − . 𝐠. (
)𝟐 + 𝐯𝐨 . 𝐬𝐢𝐧(𝛂). (
)
𝟐
𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂)
𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂)
𝟏
𝐲 = − 𝟐 . 𝐠. 𝐯
𝐨
𝐲=−
𝐱𝟐
𝟐 .𝐜𝐨𝐬 𝟐 (𝛂)
+ 𝐯𝐨 . 𝐬𝐢𝐧(𝛂). 𝐯
𝐠
𝟐
𝟐𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝛂)
. 𝐱 𝟐 + 𝐭𝐚𝐧(𝛂). 𝐱
C’est de la forme : y = A.x2 + B. 𝐱
donc une parabole
𝐱
𝐨 .𝐜𝐨𝐬(𝛂)
Page 5 sur 15
3. CAS D'UNE PARTICULE CHARGEE DANS UN CHAMP ELECTROSTATIQUE UNIFORME
3.1. Conditions d’étude
Une particule M, supposée ponctuelle, de charge électrique
q et de masse m, est placée dans un champ électrostatique uniforme 𝐸 .
La démarche précédente permet d'étudier son mouvement.
En Terminale S, tous les mouvements étudiés seront plans
et seront étudiés dans le plan de la trajectoire.
3.2. Conditions initiales
- A t= 0 la particule est en x0 = y0 = z0 =0
- le vecteur vitesse initiale 𝐯𝟎 vaut :
𝐯𝐨𝐱 = 𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂)
𝐯𝟎 (
)
𝐯𝐨𝐲 = 𝐯𝐨 . 𝐬𝐢𝐧(𝛂)
3.3. Force exercée sur la particule
Référentiel : Terrestre supposé Galiléen
Système : Particule
Forces :
- Force exercée par l’air,
- le poids
- la force électrostatique 𝑭𝒆.
On néglige tout sauf la force électrostatique 𝑭𝒆
(𝑭𝒆 = q. 𝑬)
3.4. De la 2ème loi de Newton à l’accélération
∑𝐅𝐞𝐱𝐭 =
dp
𝑑𝑡
= m. 𝐚
(car la masse de la particule reste constante)
Donc ici
𝑭𝒆 = m.𝒂
q. 𝑬 = m.𝒂
On projette sur un axe (O, 𝐢, 𝐣)
Page 6 sur 15
𝐄𝐱 = 𝟎
𝐸 (𝐄
𝐲
)
= +𝐄
𝐚𝐱
𝒂 (𝐚 )
𝐲
D’où :
𝟎 = 𝐦. 𝐚𝐱
[𝐪𝐄 = 𝐦. 𝐚 ]
𝐲
𝐚𝐱 = 𝟎
donc [
𝐪.𝐄]
𝐚𝐲 = 𝒎
𝐚𝐱 = 𝟎
𝐪. 𝐄]
[
𝐚𝐲 =
𝒎
Attention :
q peut être positif ou négatif
3.5. De l’accélération à la vitesse
On a
𝐚 = 𝐯̇
𝐯𝐱̇ = 𝟎
donc [
𝐪.𝐄]
𝐯𝐲̇ = 𝒎
𝐯𝐱 = 𝐯𝐨𝐱
donc [𝐯 = 𝐪.𝐄 . 𝐭 + 𝐯 ]
𝐲
𝐨𝐲
𝒎
𝐯𝐱 = 𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂)
[
]
𝐪.𝐄
𝐯𝐲 = 𝒎 . 𝐭 + 𝐯𝐨 . 𝐬𝐢𝐧(𝛂)
𝐯𝐱 = 𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂)
𝐪. 𝐄
[
]
𝐯𝐲 =
. 𝐭 + 𝐯𝐨 . 𝐬𝐢𝐧(𝛂)
𝒎
c’est une cst donc sur Ox la
vitesse est constante
sur Oy la vitesse est
uniformément variée
Page 7 sur 15
3.6. De la vitesse à la position
𝐱̇ = 𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂)
𝐪. 𝐄
[
]
𝐲̇ =
. 𝐭 + 𝐯𝐨 . 𝐬𝐢𝐧(𝛂)
𝒎
𝐱 = 𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂). 𝐭 + 𝐱 𝐨
𝟏 𝐪. 𝐄 𝟐
[
]
𝐲= .
. 𝐭 + 𝐯𝐨 . 𝐬𝐢𝐧(𝛂). 𝐭 + 𝐲𝐨
𝟐 𝒎
𝐱 = 𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂). 𝐭 + 𝟎
𝟏 𝐪. 𝐄 𝟐
[
]
𝐲= .
. 𝐭 + 𝐯𝐨 . 𝐬𝐢𝐧(𝛂). 𝐭 + 𝟎
𝟐 𝒎
3.7. Equation de la trajectoire
On exprime y = f(x)
On a :
𝐱
=𝐭
𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂)
Et on remplace t dans y
𝐲=
𝟏 𝐪. 𝐄
𝐱
𝐱
.
.(
)𝟐 + 𝐯𝐨 . 𝐬𝐢𝐧(𝛂). (
)
𝟐 𝒎 𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂)
𝐯𝐨 . 𝐜𝐨𝐬(𝛂)
𝟏 𝐪.𝐄
𝐲 = 𝟐.
𝒎
.𝐯
𝐲=−
𝐨
𝐱𝟐
𝟐 .𝐜𝐨𝐬 𝟐 (𝛂)
+ 𝐯𝐨 . 𝐬𝐢𝐧(𝛂). 𝐯
𝐪. 𝐄
𝟐. 𝐦. 𝐯𝐨
𝟐
. 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝛂)
. 𝐱 𝟐 + 𝐭𝐚𝐧(𝛂). 𝐱
C’est de la forme : y = A.x2 + B. 𝐱
donc une parabole
𝐱
𝐨 .𝐜𝐨𝐬(𝛂)
Page 8 sur 15
7. MOUVEMENT DES SATELLITES ET DES PLANETES
4.1. Qu’est-ce qu’une ellipse
4.2. 1ère loi de Kepler : Loi des orbites
Dans le référentiel Héliocentrique, la trajectoire
d’une planète est une ellipse dont le Soleil est l’un des foyer
4.3. 2ème loi de Kepler : Loi des aires
Page 9 sur 15
4.4. 3ère loi de Kepler : Loi des périodes
T2
 cons tan te
a3
(T période de révolution autour du Soleil en secondes ;
a : ½ grand axe de l’ellipse)
Rem : Si la trajectoire est un cercle,
a= r avec r le rayon entre le centre du Soleil et le centre de la planète
4.5. Base de frénet
a) Définition
- Soit un point M qui a un mouvement circulaire au cours du temps.
La base de Frénet est un repère lié au point M et comme M bouge au cours du tps,
le repère bouge aussi au cours du tps.
- On définit 1 vecteur unitaire noté 𝑻 qui est tangent à la trajectoire
(comme le vecteur vitesse)
- On définit 1 vecteur unitaire noté 𝐍 (normal) qui est perpendiculaire
à 𝐓 est qui est dirigé vers le centre du cercle
(il passe donc par O)
+
- On a donc un repère (M, 𝑻, 𝐍)
- On utilise ce repère pour les mouvements circulaires uniformes
Page 10 sur 15
b) Vecteur vitesse dans la base de frénet
Comme 𝑣 est tangent à la trajectoire
Dans la base de Frénet, les coordonnées
Du vecteur vitesse c’est donc
𝑣𝑇 = 𝑣
𝑣 (𝑣 = 0)
𝑁
Ou 𝑣 = 𝑣. 𝑻 + 𝟎. 𝑵
c) Vecteur accélération dans la base de frénet
Par définition (en général)
𝑑𝑣
𝑎 𝑇 = 𝑑𝑡
𝑎(
)
𝑣2
𝑎𝑁 = R
Ou 𝑎 =
𝑑𝑣
.𝑻+
𝑑𝑡
𝑣2
R
.𝑵
𝑑𝑣
Rem : Si la vitesse est constante 𝑑𝑡 = 0
Donc
𝑎(
𝑎𝑇 = 0
𝑎𝑁 =
𝑣2)
R
Page 11 sur 15
4.6. Loi de la gravitation universelle
Soient 2 corps célestes
ex : la Terre et la lune de masse mT et de masse mL
de rayon RT et RL
La distance entre leurs centre et noté d.
L’altitude entre leurs corps est notée h.
𝐑𝐓
h
𝐅𝐋/𝐓
𝐅𝐓/𝐋
𝐑𝐋
d
Terre
(mT)
Lune
(mL)
Référentiel : Lié à la Terre
Système : Lune
Forces : Force gravitationnelle exercée par
la Terre sur la Lune notée 𝐅𝐓/𝐋
Valeur :
𝐅𝐓/𝐋 = 𝐆.
mT .mL
𝐝𝟐
G est appelée constante de gravitation universelle :
G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2
F est exprimée en Newton : N
mT et mL en kg
d en mètres
Rem 1 :
- Si le réf est lié à la lune on a la force gravitationnelle exercée par
la Lune sur la Terre notée 𝐅𝐋/𝐓
et on a : 𝐅𝐋/𝐓 = 𝐅𝐓/𝐋
Rem 2 :
Si on considère la distance h entre la surface
des 2 corps on a la relation
d = RT + h + R L
d’où :
𝐅𝐓/𝐋 = 𝐆. (R
mT .mL
T
+ h + RL )𝟐
Page 12 sur 15
4.7.. Etude du mouvement d’un satellite autour de la terre
cf doc
h
T
v
S
RT
FT / s
N
a
T
Réf : Géocentrique
Système : Le satellite
Force : La force de gravitation exercée par la Terre sur le satellite notée F T/s
(on néglige, les forces d’attraction gravitationnelles des autres astres ainsi que les forces de
frottements de l’atmosphère)
Remarques :
- Le mouvement du satellite est supposé circulaire uniforme
- La masse du satellite est noté ms et la masse de la Terre MT
- Le satellite est supposé suffisamment petit par rapport à la Terre pour être assimilé à un
point.
Sens du
mouvement
Page 13 sur 15
a) Accélération du satellite
D’après la 2ème loi de Newton,
FT/S = ms . a
(car la masse du satellite reste constante)
On projette dans la base de Frénet :
FT/S (𝑇) = 0
FT/S (
)
FT/S (𝑁) = FT/S
aT
𝑎 (a )
N
D’où
FT/S = m𝑠 . a
Donne
FT/S (𝑇) = m𝑠 . aT
(
)
FT/S (𝑁) = m𝑠 . aN
0 = m𝑠 . aT
(F
)
T/S = m𝑠 . a N
aT = 0
M .m )
(
m𝑠 . aN = 𝐺. (R T+h)S2
T
(
aN
aT = 0
MT
)
= 𝐺.
(R T + h)2
Rem :
L’accélération ne dépend pas de la masse du sat, mais uniquement de la masse
du corps attracteur
b) Vitesse du satellite
On a
𝑑𝑣
𝑎 𝑇 = 𝑑𝑡
𝑎(
)
𝑣2
𝑎𝑁 = R
Ici : R = (R T + h)
D’où :
𝑑𝑣
(
𝑑𝑡
𝑣2
(RT +h)
=0
= 𝐺. (R
MT
2
T +h)
)
Page 14 sur 15
D’où :
𝑣 = constante
(𝑣 2 = 𝐺. MT )
(R T + h)
𝑣 = constante
(
𝑣 = √𝐺.
MT )
(R T + h)
La 1 nous dit que v est constant, la 2 nous donne l’expression de v
Rem :
La vitesse est constante pour une altitude donnée
Elle ne dépend pas de la masse du sat,
mais uniquement de la masse du corps attracteur.
La vitesse dépend de l’altitude du sat
c) Période de révolution
On a
«v=
𝑑
𝑡
»
ici
2.π.(RT +h)
v=
T
Car c’est un cercle, donc
𝑑 = 2. 𝜋. (𝑅𝑇 + ℎ)
et
T est appelé la période de révolution
Donc T =
T=
2.π.(RT +h)
𝑣
2.π.(RT +h)
MT
√𝐺.(R +h)
T
T=
2.π.√(RT +h)2
MT
√𝐺.(R +h)
T
T=
2.π.√(RT +h)2 .(RT +h)
T=
√𝐺.MT
2.π.√(RT +h)3
√𝐺.MT
Page 15 sur 15
Rem :
T ne dépend que dans l’altitude
du sat et de la masse du corps attracteur
d) 3ème loi de Kepler
On a
T=
2.π.√(RT +h)3
T2 =
√𝐺.MT
4.π2 .(RT +h)3
𝐺.MT
T2
(RT
4.π2
= 𝐺.M
+h)3
= constante
T
T2
= constante
(R T + h)3
Rem : si on a une ellipse et pas un cercle
on remplace
(R T + h) par a (1/2 grand axe de l’élipse)
e) Satellite géostationnaires
Pour être géostationnaire, un satellite doit satisfaire à plusieurs conditions. Dans le référentiel géocentrique :
- Il doit décrire un cercle dans un plan perpendiculaire à l'axe des pôles. Or le plan de la trajectoire contient le
centre de la Terre, donc ce plan est nécessairement celui qui contient l'équateur terrestre ;
- Le sens du mouvement doit être le même que celui de la rotation de la Terre autour de l'axe des pôles ;
- Sa période de révolution doit être égale à la période de rotation propre de la Terre : T= 1 jour sidéral = 23 h 56
min = 86160 s. Pour que cette dernière condition soit réalisée, il faut que le satellite évolue à une altitude bien
déterminée : h = 36000 km.
Les satellites géostationnaires sont surtout utilisés comme relais dans le domaine de la télécommunication ou
comme satellites d'observation en météorologie.
Rem :
Pour trouver l’altitude du sat, il faut dans la
formule précédente extraire h
T2 =
4.π2 .(RT +h)3
𝐺.MT
T 2 . 𝐺. MT = 4. π2 . (R T + h)3
T2 .𝐺.MT
4.π2
= (R T + h)3
1/3
T2 .𝐺.MT
RT + h = √
1/3
4.π2
T2 .𝐺.MT
h= √
4.π2
+R T