A13-1- a) Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace de la
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G. Pinson - Physique Appliquée Signaux périodiques A13-TD/1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A13-1- a) Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace de la tension redressée "simple alternance". On donne : v e(t) = Vm sin(2πFt ) avec Vm = 240 2 V et F = 50 Hz i ve v s (t) R 10Ω vs Vm t b) En déduire la puissance Pu dissipée dans la charge R (on suppose la diode parfaite) c) En réalité, il existe une chute de tension dans la diode telle que : v d = Vd + r.i, avec r = 0,05 Ω et Vd = 0,7 V. Calculer la puissance perdue Pd dans la diode par effet Joule. A13-2- Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace de la fonction en dents de scie suivante: A13-3- Un circuit d'alimentation débite un courant formé de créneaux rectangulaires i(t) représenté ci-dessous, sous une tension alternative U = Um.sinωt . 1°) Calculer: a) la valeur efficace de i(t) en fonction de Ic. b) la puissance apparente S fournie. c) la puissance active P. d) le facteur de puissance F = P/S. 2°) Mêmes questions quand le courant i(t) est déphasé d'un angle ϕ par rapport à la tension u(t) (voir figure). ISBN 978-2-9520781-1-5 http://www.syscope.net © G. Pinson, 2011 G. Pinson - Physique Appliquée Signaux périodiques A13-TD/2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A13-4- On relève les oscillogrammes suivants. Remplir les tableaux ci-dessous par les valeurs numériques (approchées) qui se rapportent à ces signaux en précisant les unités. a) paramètre symbole valeurs A période T pulsation ω fréquence F amplitude V tension crête à crête Vpp valeur efficace Vac décalage horaire ∆t 0 phase (préciser pour B : retard ou avance ?) ϕ 0 valeurs B unité degré b) paramètre symbole valeurs A période T fréquence F α rapport cyclique tension mini Vmin tension maxi Vmax valeur moyenne 0 V Vdc vleur efficace vraie Vac+dc vleur efficace de la composante alternative ISBN 978-2-9520781-1-5 unité Vac http://www.syscope.net © G. Pinson, 2011 G. Pinson - Physique Appliquée Signaux périodiques A13-TD/3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- REPONSES 2π . On remarque que v s (t) est de période T et telle que pour T T T 0 < t < : vs (t ) = ve (t ) et pour < t < T : vs (t ) = 0 . 2 2 a) Soit : ω = 2πF = A13-1- d'où : valeur moyenne valeur efficace 2 1 T /2 1 T /2 Vs = ∫0 Vm sinωt dt Vseff = Vm sin ωt ) dt ∫ ( 0 T T soit, après changement de variable t → x = ωt ; T → 2π (facultatif, mais simplifie les calculs !) : 2 1 π 1 π Vs = V sin x dx V = V sin x dx ∫ ∫ ( ) m s m eff 2π 0 2π 0 1−cos2x calcul des primitives : (NB : sin 2 x = ) 2 π V Vs = m [−cos x ]0 2π π 1 1 1 x − sin2x 2π 2 2 0 Vseff = Vm soit numériquement : V Vs = m (−(cosπ − cos0)) 2π V Vs = m (−(−1−1)) 2π V Vs = m =108 V π b) Par définition, Pu = 1 T ∫0 T vs (t ).i(t)dt = 1 T ∫ T vs2 0 R Vseff = Vm 1 1 1 1 π − sin2π − 0 + sin0 2π 2 2 2 Vseff = Vm 1 1 π 2π 2 Vseff = dt = Vm ≈170 V 2 2 Vseff = 2,88 kW R 1 T 1 T 1 T 1 c) Pd = ∫ 0 vd (t).i(t ).dt = ∫ 0 (Vd + ri(t )).i(t ).dt = Vd ∫ 0 i(t ).dt + r T T T T 2 ⇒ Pd = Vd .I + rIeff V I = s v (t) R Or, i(t) = s ⇒ R I = Vseff eff R 2 Vseff V 108 170 2 ⇒ Pd = Vd . s + r 2 = 0,7. + 0,05. 2 ≈ 7,56 +14,45 ≈ 22 W R 10 R 10 ∫ 0 i 2 (t).dt T A13-2- On calcule tout d'abord l'équation de la rampe passant par zéro : y(t ) = 1 Y = 2 50 t = 25t . D'où : 2 2 25 1 2 25 ∫ 0 25t dt = 2 2 t = 4 (4 − 0) = 25 0 2 ISBN 978-2-9520781-1-5 http://www.syscope.net © G. Pinson, 2011 G. Pinson - Physique Appliquée Signaux périodiques A13-TD/4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Yeff 1 = 2 ∫ 0 (25t ) 2 2 2 625 1 3 dt = t = 2 3 0 A13-3- 1°) 2 a) Par calcul d'aire, on trouve : Ieff b) S =Ueff .Ieff = 625 (8 − 0) ≈ 28,9 6 3π π 2 − Ic Ic2 I 4 4 = = ⇒ I eff = c π 2 2 U m Ic U m.Ic . = 2 2 2 1 T ∫ u(t ).i(t )dt T 0 7π/4 1 3π/ 4 P = ∫ π/ 4 U mIc sin x.dx − ∫5π/ 4 U mI c sin x.dx 2π 3π/ 4 7 π/ 4 U m Ic P= [−cos x ]π / 4 − [−cos x ]5π / 4 2π 3π / 4 U I P = m c [−cos x] π/ 4 π U I 3π π P = m c −cos + cos π 4 4 U I 2 2 2 = U mI c P = m c + π 2 2 π c) P = par définition après changement de variable t → x = ωt car cos(x+π) = – cosx 2 P U mI c π 2 2 d) F = = = ≈ 0,9 U m.Ic S π 2 2°) I a) Idem 1°) : Ieff = c (aires identiques, bien que translatées de ϕ) 2 U I U .I b) Idem 1°) : S =Ueff .Ieff = m . c = m c 2 2 2 7 π / 4+ϕ 1 3π/ 4 +ϕ c) P = ∫ π/ 4 +ϕ U mIc sin x.dx − ∫5π/ 4 +ϕ U mI c sin x.dx 2π 3π / 4+ϕ U I P = m c [−cos x] π/ 4 +ϕ π 3π π U I P = m c −cos + ϕ + cos + ϕ cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb π 4 4 U I 3π 3π π π P = m c −cos cosϕ + sin sin ϕ + cos cosϕ − sin sin ϕ π 4 4 4 4 U I 2 2 2 2 P = m c cosϕ + sinϕ + cosϕ − sin ϕ π 2 2 2 2 P =U m Ic 2 cosϕ π ISBN 978-2-9520781-1-5 http://www.syscope.net © G. Pinson, 2011 G. Pinson - Physique Appliquée Signaux périodiques A13-TD/5 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- d) F = P = S 2 cosϕ 2 2 π = cosϕ ≈ 0,9cosϕ U m.I c π 2 U mI c A13-4a) paramètre symbole valeurs A valeurs B unité T 500 500 µs pulsation ω = 2π/Τ 12560 12560 rad/s fréquence F = 1/T 2000 2000 Hz période amplitude tension crête à crête valeur efficace décalage horaire phase (B : retard par rapport à A) V 2 1,6 V Vpp = 2xV 4 3,2 V Vac = V/√2 1,4 1,1 V 0 80 µs 0 -57,6 degré ∆τ ϕ = −360 ∆τ/Τ b) paramètre symbole valeurs A unité période T 25 ms fréquence F 40 Hz α 80% % tension mini Vmin 0 V tension maxi Vmax 5 V Vdc 4 V Vac+dc 4,47 V Vac 2,24 V rapport cyclique valeur moyenne vleur efficace vraie vleur efficace de la composante alternative ISBN 978-2-9520781-1-5 http://www.syscope.net © G. Pinson, 2011
