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LYCEE MARIEN N’GOUABI
CLASSE: Tle C
Professeur :Mr OUEDRAOGO S.
ANNEE SCOLAIRE 2009-2010
DATE: 25/02/2010
Durée :4 heures
DEVOIR DE MATHEMATIQUES
Exercice I (04pts)
Soit
* l’ensemble des entiers naturels non nuls. On considère, lorsque n  *, les entiers
et b tels que : a  11n  3 ; b  13n  1.
1. Démontrer que tout diviseur de a et b est un diviseur de 50.
2. en utilisant l’algorithme d’Euclide, résoudre dans
* x * , l’équation 50 x  11y  3 .
a
En déduire les valeurs de n pour lesquelles les nombres a et b ont 50 pour PGCD.
3. pour quelles valeurs de n , les nombres a et b ont – il 25 pour PGCD.
Exercice II(04pts)
(U ) définie par la donnée de U et pour tout n de
1  U  1  U  1  U .
1) Démontrer que la suite U  est constante si, et seulement si U prend deux valeurs,
On considère la suite
n
par :
0
2
n 1
n
n
n
précisera.
2) On pose :
0
1  U  0
0
a) Démontrer que, pour tout entier naturel
n; 0  1  U  1. En déduire que U  est une suite
n
n
décroissante.
b) Démontrer que, pour tout entier naturel
n, 0 
1U
1

1U
1U
n 1
n
1
. Démontrer
1U
0  1  U  k 1  U  .
En déduire que la suite U  admet une limite 
c) On
k
pose
que l’on
2
que
pour
tout
2
.
0
entier
naturel
n,
on
a
0
n
n
0
n
que l’on précisera.
Problème (12pts)
On représentera graphiquement les nombres complexes selon les conventions habituelle en utilisant
un repère orthonormé direct (o; u; v) . L’unité de longueur choisie étant 4 cm.
A. 1°) On note E l’ensemble des complexes z tels que
chaque élément de E, associe le complexe
z  iz  0
f ( z ) avec f ( z ) 
Déterminer l’ensemble E et représenter – le graphiquement.
et on considère la fonction
z  z i
.
z  iz
f
qui, à
Par la suite, si un complexe z de E est représenté par un point M, on notera M’ le point représentant
f ( z ).
2°) Résolvez dans C l’éqaution
f ( z )  i.
3°) z est un complexe appartenant à E ; le point M qui le représente a pour coordonnées ( x, y ) .
Exprimer en fonction de x et de y les coordonnées du point M’.
4°) Déterminer et représenter graphiquement l’ensemble des complexes z tel que
pur.
f ( z ) soit imaginaire
z  x  iy est un complexe de E. montrer que le module de f ( z ) est égale à 2 , si et
seulement si x et y sont liés par la relation : 4 y  8 xy  1  0 .
Le but de cette partie est de représenter l’ensemble E’ des complexes z  x  iy tels que f ( z ) ait
pour module 2 , c'est-à-dire aussi, d’après A.5., l’ensemble des couples ( x, y ) tels que
5°)
2
B.
4 y  8 xy  1  0 .
2
( x, y ) qu’il vérifie la relation (1) si l’on a : 4 y  8 xy  1  0
1°) Montrer que, pour tout réel x , il existe deux réels y et y que l’on déterminera, tels que les
couples  x; y  et  x; y  vérifie la relation (1).
1

a
(
x
)

x

4x  1

2
2°) a et b sont les fonctions définies sur
par : 
b( x)  x  1 4 x  1

2
On notera C la courbe représentative de a dans o, u , v et C’ celle de b .
2
Par la suite, on dira d’un couple
1
1
2
2
2
2


Montrer que l’ensemble E’ chercher est représentée par la réunion de C et de C’.
Montrer que l’origine O est centre de symétrie de E’.
3°) Etudier la fonction a et tracer sa courbe représentative C.
Montrer que la droite d d’équation y  2 x est asymptôte à C au voisinage de
position de C par rapport à cette asymptôte.
4°) Tracer la tangente à C au point d’intersection de C avec l’axe des ordonnées.
5°) En utilisant B.2 et B.3 ; représenter l’ensemble E’.
6°) On note
a) Pourquoi
a
la restriction de
1
a
1
 et préciser la
a à l’intervalle I   0;1.
J  1;2  5 
4x 1
J par h( x) 
8x
est – elle une bijection de I sur l’intervalle
2
b) Soit
h la fonction définie sur
Vérifie que, pour tout
.
x de J , on a : a (h( x))  x , et que, pour tout x de I
Comment qualifie – t – on
1
h par rapport à a
7°) Tracer la courbe représentative de
1
et
a
1
par rapport à

h dans le repère o, u , v
h.

.
on a :
h(a ( x))  x
1