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V. Prévost, BCPST 1
cours IV.1. – Lois de Descartes
Lycée Hoche, Versailles, 2013–2014
Document de cours
IV.1. Lois de Descartes
Table des matières
1 Un peu d’histoire sur les différents modèles de
la lumière
1.1 Modèle géométrique . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Modèle ondulatoire (XIXe siècle) . . . . . . . .
1.3 Modèle corpusculaire : le photon . . . . . . . .
1.4 Électrodynamique quantique . . . . . . . . . .
2 Comment modéliser la lumière ?
2.1 Onde ou corpuscule ? . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Modèle de l’optique géométrique . . . . . . . .
2.3 Source ponctuelle ou étendue ; ombre et pénombre
2.4 Source primaire ou secondaire : diffusion de la
lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Rappel du théorème de Thalès . . . . . . . . .
3 Lois de la réflexion et de la réfraction
3.1 Dioptre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Normale d’une surface ; plan d’incidence . . . .
3.3 Lois de la réflexion de Snell-Descartes . . .
3.4 Lois de la réfraction de Snell-Descartes . . .
1
1
2
2
2
2
2
3
3
4
5
6
6
6
7
7
4 Conséquences des lois de Snell-Descartes
4.1 Principe du retour inverse de la lumière . . . .
4.2 Rapprochement ou éloignement de la normale
lors de la traversée d’un dioptre . . . . . . . . .
4.3 Existence d’un réfraction limite . . . . . . . . .
5 Notion d’objet et d’image à travers un système
optique
5.1 Interprétation de la position d’une source . . .
5.2 Interprétation de l’œil et du cerveau . . . . . .
5.3 Notion d’objet et d’image avec un miroir plan .
5.4 Objet réel et image virtuelle . . . . . . . . . . .
5.5 Existe-t-il des images réelles et des objets virtuels ?
6 Stigmatisme et aplanétisme
6.1 Stigmatisme rigoureux du miroir plan . . . . .
6.2 Stigmatisme approché du dioptre plan . . . . .
6.3 Aplanétisme du miroir plan . . . . . . . . . . .
7 Informations
7.1 Programme officiel de BCPST1 . . . . . . . . .
7.2 Lien avec les SVT . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Les acquis du secondaire . . . . . . . . . . . . .
7.4 Compétences particulières de ce chapitre . . . .
8
8
9
10
11
11
12
12
13
13
14
14
16
16
16
16
16
16
17
En guise d’introduction : qu’est-ce que la lumière ?
1
Un peu d’histoire sur les différents modèles de la
lumière
1.1
Modèle géométrique
Avant 1 le XVIIe siècle, la nature de la lumière et sa propagation ne sont pas des
questions essentielles. Cependant, les notions de rayon lumineux et de retour inverse de la lumière permettent à Euclide
(IVe-llIe siècle avant J.-C.) de poser les
bases de l’optique géométrique (en particulier l’étude des miroirs). Elles seront ensuite
développées par ses disciples : Hipparque,
Ptolémée et Héron d’Alexandrie.
Il faut attendre le XIe siècle pour
qu’Alhazen (965-1039), physicien arabe,
attribue à la lumière une origine extérieure
à l’œil, définisse la notion d’image et interprète la formation des images dans l’œil. Il
propose de plus de nombreuses expériences
utilisant des lentilles sphériques et des miroirs.
La diffusion de ces travaux, ainsi que de
ceux d’Euclide et de Ptolémée, per-
mettent le développement de l’optique expérimentale en Europe, au XVIe siècle.
La fabrication des premières lunettes et
des premiers microscopes date de la fin du
XVIe ou du début du XVIIe siècle. En particulier, Galilée (1564-1642) observe en
1610 quatre des satellites de Jupiter à l’aide
d’une lunette de sa fabrication.
La théorie de Descartes (1596-1650) utilise alors des règles de modélisation corpusculaire de la lumière par analogie avec la
mécanique : une source lumineuse émet des
particules qui sont réfléchies par les miroirs
et traversent les milieux matériels à des vitesses dépendant de leur nature. Malheureusement cette théorie balistique impose
une vitesse de la lumière dans l’eau ou dans
le verre supérieure à celle dans le vide, ce
qui est en contradiction avec l’expérience.
De façon simultanée, Fermat (1601-1665)
propose une optique basée sur un principe
de moindre temps. Un principe analogue
1. Paragraphe à lire mais pas à retenir !
1
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sera utilisé plus tard par Lagrange et Hamilton en mécanique.
Les travaux de Newton (1642-1727) en optique sont considérables (lentilles non sphériques, prisme et dispersion de la lumière,
miroir parabolique, théorie des couleurs) ;
ils sont publiés en 1704 sous le titre Optics.
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rience) est indépendante du référentiel galiléen choisi. L’incompatibilité de cette indépendance avec les lois de composition
des vitesses de Galilée conduira Einstein
(1879-1955) à proposer en 1905 la théorie
de la relativité restreinte.
1.3
1.2
Modèle ondulatoire
siècle)
(XIXe
Dès la fin du XVIle siècle, Huygens suggère une théorie ondulatoire de la lumière
permettant de retrouver les résultats de
l’optique géométrique et compatible avec
une vitesse de la lumière plus grande dans
l’ air que dans les milieux matériels. La découverte au XVIIe et surtout au XIXe siècle
des phénomènes d’interférence et de diffraction impose cette théorie, suite aux travaux
de Fresnel (1788-1827).
Une onde acoustique n’existe pas dans le
vide. Elle ne peut se propager que dans un
milieu matériel compressible, par exemple
l’air. Par analogie avec ces ondes acoustiques, la lumière est une onde se propageant dans un milieu hypothétique équivalent, appelé éther. De nombreuses expériences ont été réalisées pour mettre en évidence l’existence de ce milieu (expérience
de Michelson et Morley en 1887).
Les travaux de Maxwell (1831-1879) et
de Hertz permettent de décrire la lumière
comme une onde électromagnétique, c’està-dire un champ électrique et un champ
magnétique variant en fonction du temps,
à une fréquence qui est celle de la lumière observée. La théorie de l’électromagnétisme de Maxwell donne, pour la vitesse de la lumière dans le vide, la valeur
c = 3,00 × 108 m·s−1 .
Cette valeur de c (en accord avec l’expé-
2
2.1
Modèle corpusculaire : le
photon
Les découvertes de l’effet photoélectrique et
du rayonnement du corps noir (un corps
émet un rayonnement électromagnétique
dont les caractéristiques dépendent de sa
température : rayonnement infrarouge, par
exemple) conduisent Planck et Einstein
à revenir à un modèle corpusculaire de la
lumière (1906) en introduisant des quanta
d’énergie appelés photons : particules sans
masse, d’énergie E = hν, se déplaçant à la
vitesse de la lumière.
Les deux modèles, ondulatoire et corpusculaire, sont assez cohérents entre eux, et se
complètent. Cette dualité onde-corpuscule
pour la lumière est alors généralisée aux
particules dans la théorie de la mécanique
quantique par de Broglie, Bohr, Heisenberg, Schrodinger. . .
1.4
Électrodynamique
tique
quan-
Les quelques contradictions entre les aspects ondulatoire et corpusculaire de la lumière n’ont pu être levées qu’avec le modèle développé pendant les années 1950 par
Tomonoga, Schwinger et Feynman,
sous le nom d’électrodynamique quantique.
L’optique a donc permis, tout au long de
l’Histoire, d’élaborer de nombreuses théories faisant progresser les connaissances
scientifiques.
Comment modéliser la lumière ?
Onde ou corpuscule ?
– lumière = phénomène physique de base (exemple : nuit/jour) ;
– comment la modéliser ?
– Modéliser : rendre compte d’un phénomène en utilisant un outil conceptuel
– ⇒ dessin,
– ⇒ mathématique calculatoire,
– ⇒ symboles, etc.
– fin 18e : Huygens et la théorie ondulatoire, concrétisée par Fresnel au 19ème avec
l’analyse des phénomènes d’interférence et de diffraction (voir le programme de
Terminale et les expériences de cours) ;
2
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– 20e : Planck et Einstein mettent en évidence l’effet photoélectrique qui donne l’impression que la lumière est constituée de corpuscules.
Qui a raison ? Tous ! Le modèle est là pour interpréter puis prévoir.
Ces deux modèles (onde ou corpuscule) nécessitent la mise en œuvre d’outils mathématiques lourds. Peut-on s’en passer ?
2.2
Modèle de l’optique géométrique
Imaginons une expérience simple :
écran de
projection
source ponctuelle de
lumière
noir
cache
clair
noir
Figure 1 – Lumière émise par une source primaire
Pour réussir à déterminer la zone claire par rapport à la zone noire sur l’écran de projection, il suffit de tracer des droites.
⇒ Idée : modéliser la lumière par une « rayon », c’est-à-dire un simple tracé au crayon.
Mais ce rayon peut-il toujours être modélisé par des segments de droites ?
Définition
On appelle milieu homogène une zone de l’espace où les propriétés physiques
locales sont identiques.
Exemple : l’air contenu dans la pièce.
Contre exemple : verre de sirop de menthe et d’eau non mélangé (la concentration varie
dans l’espace).
Définition
Un milieu est dit isotrope si les propriétés physiques sont identiques dans les
trois directions de l’espace.
Remarque : nous n’aurons affaire qu’à des milieux isotropes.
Propriété
Dans un milieu homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne droite.
2.3
Source ponctuelle ou étendue ; ombre et pénombre
Une source est considérée comme ponctuelle si ses dimensions sont très petites
devant les dimensions du phénomène observé. Elle est modélisée par des rayons
qui se croisent tous en un point.
Une source étendue peut être analysée comme une infinité de sources ponctuelles infiniment proches les unes des autres (figure 2).
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source étendue
source ponctuelle
Figure 2 – Modélisation d’une source ponctuelle et d’une source étendue
Lorsqu’un obstacle opaque est sur le chemin des rayons lumineux d’une source ponctuelle,
il définit une zone d’ombre (figure 3).
objet opaque
source
ponctuelle
zone d'ombre
écran
Figure 3 – Zone d’ombre créée par une source ponctuelle et un obstacle opaque
Lorsqu’un obstacle est sur le chemin des rayons lumineux d’une source étendue, il définit
– une zone d’ombre : aucun rayon ne parvient sur la zone (cas du point O, figure 4) ;
– une zone de pénombre : certains rayons, mais pas tous, parviennent sur la zone (cas
du point P éclairé par S1 mais pas par S2 ).
Terre
Soleil
S1
Lune
P
O
S2
Figure 4 – Zones d’ombre et de pénombre créées par une source étendue et un obstacle opaque ;
échelles non respectées
On rencontre le phénomène ombre/pénombre lors des éclipses totales/partielles de soleil.
2.4
Source primaire ou secondaire : diffusion de la lumière
Une source primaire est constituée d’un élément matériel qui produit une onde électromagnétique. Par exemple, la flamme d’une bougie est une source primaire (figure 5). Sauf
exception, la lumière d’une source ponctuelle est émise de manière isotrope, c’est-à-dire
dans toutes les directions de l’espace. Quelle que soit la position de l’observateur, celui-ci
reçoit un rayon en ligne droite de la source ponctuelle.
4
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observateur 2
observateur 1
observateur 1
observateur 3
observateur 2
observateur 3
cache
opaque
ce point de la feuille
diffuse la lumière dans
toutes les directions : c'est
une source secondaire
Figure 5 – Lumière émise par une source
primaire
seul cet observateur
placé dans la direction
de la réflexion peut
voir ce rayon
cache
opaque
miroir
ce point du miroir
réfléchi la lumière
dans une seule
direction : ce n'est
pas une source
secondaire
Figure 6 – Lumière émise par une source
secondaire
Une élément de matière éclairé par une source primaire devient une source secondaire.
Le point d’une source ponctuelle éclairée par un rayon de lumière diffuse la lumière :
tous les observateurs reçoivent des rayons issus de la source secondaire (figure 6). Il
est important de ne pas confondre ce phénomène avec la réflexion pour laquelle seul
l’observateur placé dans la direction suivant la loi de Snell-Descartes reçoit un rayon.
Propriété
Dans le cadre le l’optique géométrique, une source ponctuelle est modélisée par
le point de croisement d’une infinité de rayons (figure 7).
Figure 7 – Du point de vue de l’optique géométrique, une source ponctuelle est analysée comme le
point de croisement d’une infinité de rayons
2.5
Rappel du théorème de Thalès
5
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Propriété
Théorème de Thales – Soient deux triangles ABC et AB 0 C 0 tels que (BC) et
(B 0 C 0 ) sont deux côtés parallèles entre eux (A, B et B 0 alignés). Alors
AB
AC
BC
=
= 0 0
0
0
AB
AC
BC
C'
B'
B
B
A
A
C
B'
C
C'
3
Lois de la réflexion et de la réfraction
3.1
Dioptre
La célérité de la lumière dépend du milieu de propagation. Dans le vide, elle vaut
def
c = 3,00 × 108 m·s−1
Dans un milieu homogène et isotrope, la célérité v de la lumière est plus petite que c. On
pose
v=
–
–
–
–
c
n(λ)
n s’appelle l’indice optiquie du milieu, 2
c’est un nombre sans dimension,
dépend essentiellement de la longueur d’onde λ de la lumière et du matériau,
n(λ) ≥ 1 : la vitesse est maximale dans le vide.
Définition
On appelle dioptre la surface de séparation de deux milieux d’indices optiques
différents.
Exemples – La surface de la mer. Une vitre est la succession de deux dioptres plans.
3.2
Normale d’une surface ; plan d’incidence
On analyse une surface Σ à 2D dans un espace à 3D, continue et ne présentant pas de
point anguleux.
2. On parle aussi d’indice de réfraction du milieu.
6
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Définition
−−−−→
On appelle normale N (M ) à Σ, au point M , un vecteur orthogonal au plan
tangent τ à Σ en M .
N(M)
M
τ
Σ
Définition
Soit un rayon incident R, coupant un dioptre Σ en M . On appelle plan d’inci−−−−→
dence le plan contenant R et N (M ).
plan d'incidence
N(M)
S
R
τ
M
−−−−→
Remarque – Si R et N (M ) sont confondus, il existe une infinité de plans d’incidence.
Remarque – On essaye toujours de s’arranger pour que le plan d’incidence soit le plan de
la feuille, pour faciliter les dessins.
3.3
Lois de la réflexion de Snell-Descartes
On utilise les angles orientés.
Propriété
Sur un miroir réfléchissant M sur lequel arrive un rayon incident Ri faisant un
angle ii avec la normale au miroir. On appelle ii l’angle d’incidence et
ä le rayon réfléchi Rr est contenu dans le plan d’incidence,
ä le rayon réfléchi fait un angle ir par rapport à la normale, appelé angle de
réflexion et tel que
ir = −ii
N(M)
Ri
ii
ir
plan d'incidence =
plan de la feuille
Rr
M
3.4
Lois de la réfraction de Snell-Descartes
7
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Propriété
On considère un dioptre D séparant deux milieux d’indices optiques n1 et n2 ,
−
\
def →
frappé en M par un rayon incident Ri d’angle d’incidence i1 = ( N , Ri ). Alors,
en général, on observe
ä un rayon réfléchi Rr qui suit les lois de la réflexion,
ä un rayon réfracté (transmis) Rt tel que
– le rayon réfracté est dans le plan d’incidence,
→
−
\
def
– l’angle de réfraction i2 = (− N , Rt ) est tel que
n1 sin i1 = n2 sin i2
N(M)
Ri
−i1
i1
n1
Rr
D
M
n2
plan d'incidence =
Rt plan de la feuille
−N(M)
4
4.1
i2
Conséquences des lois de Snell-Descartes
Principe du retour inverse de la lumière
Démonstration dans le cas du miroir plan : soit S une source ponctuelle qui éclaire un
miroir M au point M avec l’angle d’incidence ii . On place un écran sur le trajet du rayon
réfléchi, qui le frappe en S 0 . Imaginons une source ponctuelle placée en S 0 . On étudie le
rayon issu de S 0 qui frappe le miroir en M . On a
ä loi de la réflexion : ii = −ir
0
ä par construction : ii = ir
0
0
ä loi de la réflexion : ir = −ii
on en déduit
i0r = ii
Les rayons dans un sens ou dans l’autre se superposent exactement. Cela marche encore
avec les lois de la réfraction.
S'
N(M)
S
i'r
ii
i'i
ir
M
Propriété
Principe du retour inverse de la lumière : tout trajet suivi par la lumière dans
un sens peut l’être en sens opposé et en se superposant exactement.
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4.2
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Rapprochement ou éloignement de la normale lors de la traversée d’un dioptre
N(M)
Ri
i1
n1
D
n2
Rt
i2
−N(M)
On analyse un dioptre plan tel que n1 < n2 (exemple : dioptre air/eau 1,0/1,3)
On a
n1 sin i1 = n2 sin i2
sin i2 =
soit
n1
sin i1
n2
n1
< 1 donc sin i2 < sin i1 .
n2
Or pour i ∈ [−π/2; π/2], f : x 7→ sin x est une fonction monotone croissante. Donc
Or
i2 < i1
sin i
1
sin i1
sin i2
i
0
0
i2
π/2
i1
Propriété
Lors de la traversée d’un dioptre, le rayon se rapproche de la normale si l’indice
du milieu augmente, c’est-à-dire si on passe d’un milieu moins réfrigent vers un
milieu plus réfringent.
Exercice d’application : tracer l’allure des rayons lors de la traversée d’une vitre.
air
verre
air
i1
i2
i2
i1
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4.3
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Existence d’un réfraction limite
Introduction au phénomène
On passe d’un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent. On augmente progressivement l’angle d’incidence.
rayon sous incidence rasante
i-
i- = π/2
n-
n-
D
D
aucun rayon réfracté
ne peut atteindre
cette zone
i+,max
n+
n+
i+
On a vu que i+ < i− . Dans le cas limite, i− = π/2 et alors i+ atteint la valeur limite
i+,max .
Que se passe-t-il en sens inverse ?
On utilise le principe du retour inverse de la lumière. Un rayon qui est tel que i+ > i+,max
ne possède pas d’équivalent dans l’autre sens. Il ne peut pas être réfracté : le rayon est
intégralement réfléchi.
in-
D
n+
qu'arrive-t-il à ce rayon qui ne possède
pas d'équivalent dans l'autre sens ?
i+,max
Analyse mathématique :
Exercice – On prend n− = 1, 0 ; n+ = 1, 5. Calculer i− dans les cas suivants : i+ = 0◦ ,
i+ = 15◦ , i+ = 30◦ , i+ = 45◦ .
Réponse – On a
i− = arcsin
n+
sin i+
n−
arcsin est la fonction réciproque de sin, souvent notée sin−1 sur les calculatrices.
Numériquement,
i+ /◦
0
15
30
45
◦
0
23
49
−
i− /
Pourquoi n’y at-t-il pas de réponse de la calculatrice pour i+ = 45◦ ?
Analyse : ∀x, sin x ∈ [−1; 1], donc le domaine de définition de la fonction arcsin x est
[−1; 1]. Autrement, dit, si x > 1, arcsin x n’existe pas.
n+
n+
Comme
> 1, si l’angle i+ devient trop grand, alors
sin i+ dépasse 1. Il n’y a
n−
n−
plus de solution, et plus de rayon réfracté.
On cherche quelle est le plus grand angle possible pour avoir une réfraction. On a alors
un rayon réfracté qui rase le dioptre, c’est-à-dire i−,max = 90◦ , donc sin−,max = 1 soit
10
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i+,max = arcsin
n−
n+
Exemple – Pour le dioptre précédent, i+,max = arcsin
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n−
n+
= 41, 8◦ .
Propriété
Lors de la traversée d’un dioptre, dans le sens plus réfringent vers moins réfringent,
si l’angle d’incidence dans le milieu plus réfrigent est supérieur à
n−
, alors il y a réflexion totale du rayon incident sur le dioptre.
arcsin
n+
Application – Comment une grenouille se cache-t-elle de ses prédateurs aériens ?
nénuphar
tous les rayons
issus de cette grenouille
frappent le dioptre avec i+ > i+,max
Ils sont tous réfléchis
des rayons issus de cette grenouille
traversent le dioptre
5
Notion d’objet et d’image à travers un système optique
5.1
Interprétation de la position d’une source
Lorsqu’un observateur reçoit un unique rayon lumineux d’une source, il est incapable
de dire à quelle distance ce situe cette source (figure 8). L’expérience peut être menée
simplement en fermant un œil : seul le rapport de la taille observée à la taille réelle
connue par l’observateur permet de se faire une idée de la distance de la source.
cet observateur recevant un unique rayon
lumineux est incapable de dire à quelle
distance est la source lumineuse.
observateur
oeil 1
α
oeil 2
Figure 9 – Un observateur qui reçoit deux
rayons non parallèles issus de la source
ponctuelle détermine sa position par analyse de
l’angle α
cache
opaque
Figure 8 – Impossibilité de déterminer la
position d’une source par l’observation d’un seul
rayon
11
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Par contre, si l’observateur reçoit deux rayons non parallèles issus de la source ponctuelle,
il peut, par analyse de l’angle α, déterminer la position exacte de la source (figure 9).
5.2
Interprétation de l’œil et du cerveau
• L’ensemble œil + cerveau interprète un stimulus
• Interprétation : pour le cerveau, la lumière se propage en ligne droite, même si c’est
faux. D’où le phénomène du mirage.
Le phénomène du mirage : quand la route est chaude, l’air n’est pas un milieu
homogène car sa température varie avec l’altitude. Le rayon ne se propage pas en ligne
droite. Mais le cerveau est habitué à interpréter les rayons comme venant en ligne droite.
Il croit donc que le rayon qu’il reçoit provient de la route (figure 10).
portion de
ciel bleu
observateur
air froid
air chaud
route chaude
Figure 10 – Phénomène du mirage
5.3
Notion d’objet et d’image avec un miroir plan
Définition
On considère un système optique (succession de dioptres) ou catadioptrique (succession de dioptres et d’au moins un miroir). Alors les rayons issus d’une source
qui « frappent » le système optique sont appelés les rayons incidents alors
que les rayons qui « ressortent » du système optique sont appelés les rayons
émergents .
Définition
Une source ponctuelle éclaire un système optique. Alors le point de croisement
des rayons incidents s’appelle l’objet par rapport à ce système optique.
La notion d’objet est une notion relative à un système optique (ce n’est pas la définition
du langage courant ! ! !).
M
cet observateur reçoit des
rayons émergents du miroir
Source ET objet
par apport au miroir
rayons incidents
sur le miroir
Le cerveau interprète les rayons comme venant en ligne droite et l’observateur essaye
d’identifier d’où viennent les rayons. Pour cela, il analyse deux rayons émergents du
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miroir qui à l’origine se croisaient sur l’objet. Il cherche le point de croisement de ces
deux rayons émergents, et en déduit que la source est à ce point de croisement.
Problème : la source n’est pas à ce point de croisement. Il faut donc donner un nom
différent à ce point de croisement :
Définition
Une source ponctuelle émet des rayons sur un système optique. Si les rayons
émergents du système optique, construits à partir de l’objet, se croisent en un
point, ce point est appelé image de l’objet à travers le système optique.
La notion d’image est une notion relative à un système optique (ce n’est pas la définition
du langage courant).
5.4
Objet réel et image virtuelle
Dans le cas du miroir précédent, les rayons incidents sont réellement issus de l’objet.
Définition
Un objet par rapport à un système optique S est dit réel si les rayons incidents
sur S se croisent réellement sur l’objet.
Par contre, les rayons qui émergent de S ne se croisent pas. C’est leurs prolongements
qui se croisent.
Définition
Une image par rapport à un système optique S est dite virtuelle si ce sont les
prolongements des rayons émergents de S qui se croisent.
M
image virtuelle
rayons incidents
sur le miroir
objet réel
5.5
Existe-t-il des images réelles et des objets virtuels ?
Une image est le point de croisement des rayons émergents du système optique. Ils
peuvent réellement se croiser et former ainsi une image réelle. L’observateur placé après
ces rayons les interprète comme venant en ligne droite. Ils croît donc qu’ils viennent du
point image (figure 11).
13
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système optique
quelconque
image ponctuelle
réelle
objet
ponctuel
α
observateur
rayons éme
rayons incidents
rayons émergents
objet
ponctuel
prolonge
des ray
émerge
image ponctuelle
virtuelle
α
rayons incidents
Figure 11 – Image réelle et virtuelle
L’objet virtuel existe aussi ! En effet, un objet est un point de croisement de rayons
incidents. Plaçons nous dans le cas (figure 12) :
ä où un système optique 1 forme une image réelle,
ä plaçons un système optique 2. L’image du système optique 1 devient objet du système
optique 2 (la notion d’objet et d’image est relative au système optique étudié !). Si le
système optique est placé avant que les rayons ne se croisent réellement, alors l’objet
est virtuel pour le système optique 2 !
objet du
système
optique 1
système
optique 1
l'objet du système optique 2 est réel
système
optique 2
image à travers
le système optique 1
mais aussi objet du
système optique 2
objet du
système
optique 1
image à travers
le système optique 2
déplacement du système optique 2
image à travers
le système optique 1
image à travers
mais aussi objet du le système optique 2
système optique 2
l'objet du système optique 2 est virtuel
Figure 12 – Image réelle et virtuelle
6
6.1
14
Stigmatisme et aplanétisme
Stigmatisme rigoureux du miroir plan
ob
V. Prévost, BCPST 1
cours IV.1. – Lois de Descartes
Lycée Hoche, Versailles, 2013–2014
Définition
On dit qu’un système optique est stigmatique si, tous les rayons issus d’un objet
ponctuel, se croisent en un point image. Inversement, le système n’est pas stigmatique si tous les rayons issus d’un objet ponctuel se croisent en une multitude
de points.
Qu’en est-il si le système optique est un miroir plan ?
On dispose d’un objet ponctuel placé en A, devant un miroir. Question : tous les rayons
émergents issus d’un objet ponctuel se coupent-ils en un seul et unique point ?
ä On prend comme premier rayon le rayon non dévié, orthogonal au plan du miroir ;
ä on prend un deuxième rayon d’angle d’incidence i quelconque (et on travaille avec des
angles non orientés).
M
i
i
i
A
i
i
H
A'
miroir plan
Par construction, M AA0 est isocèle en M . Donc par construction, AH = HA0 , ce qui
est totalement indépendant de la valeur de i. Autrement dit, tous les rayons se coupent
rigoureusement en A0 . On parle de stigmatisme rigoureux dans le cas du miroir
plan.
On notera que le miroir plan est le seul système optique rigoureusement stigmatique. Les
autres systèmes optiques comme les dioptres, le lentilles, etc. sont stigamtiques approchés : les rayons émergents ne se croisent pas tous en un seul et unique point, mais se
croisent dans une petite zone de l’espace.
Définition
On dit que A et A0 sont deux points conjugués à travers le miroir M et on
utilise la notation
M
A −→ A0
On dit aussi qu’on a réalisé une transformation optique.
Définition
On appelle relation de conjugaison une relation mathématique qui lie la position de l’objet et de son image.
Ici on a démontré la relation de conjugaison dans le cas du miroir plan :
Propriété
M
Pour la trasnformation optique A −→ A0 , où M est une miroir plan, notons H
le projeté orthogonal de A sur le miroir M. Alors la relation de conjugaison est
A0 H + AH = 0
15
Lycée Hoche, Versailles, 2013–2014
cours IV.1. – Lois de Descartes
6.2
V. Prévost, BCPST 1
Stigmatisme approché du dioptre plan
Voir document complémentaire.
6.3
Aplanétisme du miroir plan
Voir document complémentaire.
7
7.1
Informations
Programme officiel de BCPST1
IV. Optique géométrique [1]
L’enseignement d’optique géométrique vise à sensibiliser les élèves aux principes fondamentaux de la propagation de la lumière, en vue de reconnaître les phénomènes lumineux
et de comprendre le fonctionnement des instruments d’optique utilisés dans la vie courante et en biologie. Cet enseignement est fortement adossé à la pratique expérimentale
qui repose sur l’utilisation de nombreux dispositifs.
Notions
Capacités exigibles
1. Lois de Descartes
Propagation de la lumière dans un milieu
transparent, homogène et isotrope.
Indice optique.
Relier l’indice optique et la vitesse de propagation dans le milieu.
Notion de rayon lumineux.
Utiliser le principe du retour inverse de la
lumière.
Lois de Descartes pour la réflexion et la Établir la condition de réflexion totale.
réfraction.
Miroir plan ; stigmatisme et aplanétisme. Construire l’image d’un objet, identifier sa
nature réelle ou virtuelle.
7.2
Lien avec les SVT
Les ondes sismiques suivent les lois de Snell-Descartes sur les discontinuités des
couches géologiques.
7.3
Les acquis du secondaire
Programme de seconde. [2]
Notions et contenus
Compétences attendues
Le diagnostic médical (thème La
santé) ou Une première présentation
de l’univers (thème L’univers)
Propagation rectiligne de la lumière.
Vitesse de la lumière dans le vide et dans Connaître la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide (ou dans l’air).
l’air.
Pratiquer une démarche expérimentale sur
la réfraction et la réflexion totale.
Pratiquer une démarche expérimentale
Réfraction et réflexion totale.
pour comprendre le principe de méthodes
d’exploration et l’influence des propriétés
des milieux de propagation.
16
V. Prévost, BCPST 1
Notions et contenus
cours IV.1. – Lois de Descartes
Lycée Hoche, Versailles, 2013–2014
Compétences attendues
Une première présentation de l’univers (thème L’univers)
L’année de lumière.
Connaître la définition de l’année de lumière et son intérêt.
Expliquer l’expression : « voir loin, c’est
voir dans le passé ».
Utiliser les puissances de 10 dans l’évaluation des ordres de grandeur.
Pratiquer une démarche expérimentale
Dispersion de la lumière blanche par un pour établir un modèle à partir d’une série de mesures et pour déterminer l’indice
prisme.
de réfraction d’un milieu.
Réfraction.
Interpréter qualitativement la dispersion
Lois de Snell-Descartes.
de la lumière blanche par un prisme.
7.4
Compétences particulières de ce chapitre
discuter sur la notion de modélisation en sciences physiques,
discuter du modèle de l’optique géométrique,
définir une source lumineuse, ponctuelle ou étendue, primaire ou secondaire,
faire la distinction entre phénomène de réflexion et phénomène de diffusion de la
lumière,
définir l’indice optique d’un milieu, définir un dioptre
énoncer et appliquer les lois de la réflexion,
énoncer et appliquer les lois de la réfraction, utiliser les fonctions sinus et arcsinus
utiliser le principe du retour inverse de la lumière,
déterminer rapidement un éloignement ou un rapprochement de la normale lors de la
traversée d’un dioptre,
discuter du phénomène de réfraction totale sur un dioptre et définir l’angle limite pour
la réfraction totale,
définir les notions d’objet, d’image, réel(le), virtuel(le) à travers un système optique,
définir les notions de stigamtisme et d’aplanétisme dans le cas du miroir plan,
faire des dessins géométriques soignés,
réaliser des démonstrations de géométrie simples.
Références
[1] C Bulletin Officiel de l’éducation nationale spécial n˚5, 30 mai 2013.
[2] C Bulletin Officiel de l’éducation nationale spécial n˚4, 29 avril 2010.
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