ENSIETA 95 M / pb1 /(4h) PREMIER PROBLÈME

ENSIETA 95
M / pb1 /(4h)
PREMIER PROBLÈME : THERMODYNAMIQUE
Ce problème a pour but l'étude thermodynamique d'une turbo machine à gaz comprenant une turbine de
compression (TC), une chambre de combustion (CC) et une turbine de détente (TD).
Le gaz utilisé (air) est considéré comme parfait. Ses caractéristiques sont :
- chaleur massique à pression constante : cp = 1 000 J.kg-1 K-1 (cp est constant)
R
= 287 J. K− 1 (avec R = 8,314 J.mol-1.K-1 et M masse molaire du gaz)
M
Dans tout le problème, on néglige les variations d'énergie potentielle de pesanteur.
- constante massique r =
I- Relations préliminaires :
1 - Montrer que lorsqu'un fluide s'écoule avec un débit masse Dm
en régime permanent (figure 1), le premier principe de la
thermodynamique s'écrit :

v2  * *
Dm . ∆  h +  = W + Q
2

2

v 
∆  h +  désigne la variation d’enthalpie massique et d’énergie
2

cinétique massique entre l’entrée et la sortie.
*
Q est la puissance calorifique échangée avec l'extérieur.
*
*
W est la puissance mécanique échangée avec l'extérieur ; W n'inclut pas la puissance des forces de
pression au niveau des surfces d'entrée et de sortie.
2 - Le fluide est dorénavant le gaz parfait envisagé. Sa pression est P, sa température T, sa masse volumi- que µ.
a - Donner la relation entre P, µ, r et T.
b - Donner l'expression de sa variation dh d'enthalpie massique lorsque sa température varie de T à T +
dT.
c - Dans le cas où l'écoulement est adiabatique, quelle forme prend alors le premier principe de la
*
thermodynamique, w désignant le travail massique échangé avec l'extérieur (comme W , w n'inclut pas le travail
des forces de pression au niveau des surfaces d'entrée et de sortie).
3 - Établir l'expression de l'entropie massique s(T, P) du gaz en fonction de s(T0, P0), cp, r et des rapports
T
P
et .
T0
P0
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s(T0, P0) désigne l'entropie massique dans les conditions (T0 et P0).
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4 - On considère le diagramme entropique du gaz étudié dans lequel on porte la température T en ordon-née et
l'entropie massique s en abscisse.
Montrer que dans cette représentation, les isobares correspondant aux pressions respectives P1 et P2 se
déduisent l'une de l'autre simplement par une application que l'on définira .
II - Étude de la turbomachine :
EIle comprend le turbocompresseur (TC), la
chambre de combustion (CC), et la turbine de
détente (TD), (figure 2). Le turbocompresseur
est entraîné par la turbine de détente par un
arbre (A) assurant une liaison mécanique
parfaite. On admet que :
- l'évolution du gaz dans (TC) et (TD) est
adiabatique.
- la combustion dans (CC) (dont les parois
sont indéformables) est isobare et réversible.
Le carburant (dont on néglige le débit masse
dm) ne modifie pas les propriétés du gaz.
- les variations d'énergie cinétique sont négligeables.
1 - On suppose que l'évolution de 1 kg de gaz peut être représentée par le cycle 1-2-3-4-1. Il est constitué de
deux isobares de pressions respectives P1 et P2 reliés par deux isentropiques. (figure 3)
a - Donner les coordonnées des 4 points 1-2-3-4 dans le
diagramme T-s.
Données:
P1 = 1 bar
P2 = 6,5 bar
s1 = 0
T1= 300 K
T3 = 1 300 K
b - Exprimer en fonction de T1, T2, T3, T4 et des
caractéristiques du gaz :
α - w12 : travail massique échangé entre le fluide et le rotor
(arbre(A)) du turbocompresseur.
β - w34 : travail massique échangé entre le fluide et le rotor
(arbre(A)) de la turbine de détente.
γ - wu : travail utile disponible sur l'arbre d'entraînement (A).
δ - q23 : quantité de chaleur massique fournie au gaz dans la chambre de combustion.
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c - Calculer le rendement thermodynamique η du cycle 1-2-3-4-1 en fonction du rapport des pressions
d - Calculer numériquement w12, w34, wu, q23 et η,
P2
.
P1
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2 - En réalité, le cycle décrivant l'évolution de 1 kg de gaz dans la machine est le cycle 1 -2'-3-4'-1 (figure 4),
comportant deux isobares 2'-3 et 4'-1 .
Par suite de l'existence de frottements fluides internes, les
transformations 1-2' et 3-4' dans (TC) et (TD) sont irréversibles.
On conservera pour P1 , T1 , s1 , T3 et P2’ = P2 les valeurs
numériques de la question 1 -a-.
a - Justifier la position des points 2' et 4' par rapport aux points 2
et 4.
b - On définit le rendement ηSC (en compression) du
turbocompresseur (TC) par rapport à l'isentropique par
w
ηSC = 12 .
w12'
w12’ est le travail massique réel échangé par le fluide avec le rotor
de (TC) et w12 le travail massique relatif à l'isentropique 1-2.
α - Justifier que w12’ > w12 et 0 < ηsc <1 .
β - Exprimer ηsc en fonction de T1, T2, T2' (T2' est la température réelle du gaz à la sortie de (TC) en 2').
γ - Calculer numériquement T2' et w12’ , si ηSC = 0,80.
δ - L'évolution du gaz lors de la compression (1-2') peut être décrite par une transformation polytropique définie
par : PV k c = constante. Calculer l'exposant kc (constant) de la polytropique.
c - Le rendement (en détente) de la turbine (TD) par rapport à l'isentropique est ηSD = 0,85.
α - Définir ηSD en fonction de w34 et w34'.
β - Calculer T4', température réelle du gaz à la sortie de (TD), ainsi que w34' et le coefficient (constant) kD de
l'exposant de la polytropique de détente dans (TD).
d - Calculer le rendement thermodynamique η' du cycle 1-2'-3-4'-1 . Le comparer à η.
e - Calculer les variations d'entropie massique ∆sc = s2' - s1 et ∆sD = s4' - s3.
3 - Calculer le débit masse Dm du gaz si l'on veut disposer d'une puissance utile de 3 MW (centrale thermique).
4 - Le pouvoir calorifique du carburant (pétrole), c'est-à-dire l'énergie dégagée par la combustion de 1 kg de
carburant, étant PCI = 42. 103 kJ. kg-1, déterminer le rapport des débits massiques de gaz Dm et de carburant dm.
On supposera la chambre de combustion parfaitement calorifugée. Commenter.
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*** les questions 5 et III de ce problème sont exclusives à l’option M ***
5 - De façon à augmenter le rendement de la turbomachine, les
gaz sortant de TC (d’échappement) sont repris dans un
échangeur thermique (E) parfaitement calorifugé. (E) comporte
deux canalisations dans lesquelles le gaz circule avec le même
débit massique Dm, mais en sens opposés. Dans chaque
canalisation, la pression est constante (figure 5). Les
températures d’entrée sont T2’ et T4’, celles de sortie T5 et T6.
a - Les transformations subies dans (E) étant supposées
réversibles, donner les relations entre T2’, T4’, T5 et T6.
b - L’efficacité de (E) est définie par e =
T5 − T2 '
; (E)
T4 ' − T2 '
fonctionne de façon irréversible.
Cauculer T5 et la quantité de chaleur fournie au gaz dans (CC)
si e = 0,75.
III - Tuyère d’un turboréacteur
Dans un turboréacteur, la turbomachine est terminée par
une tuyère (Tu) convergente-divergente pour accélérer
les gaz sortant de la turbine de détente (figure 6).
L’écoulement dans la tuyère est supposé isentropique et
sans frottement. Le profil de la tuyère est tel que la
pression à la sortie de (Tu) soit P5 = 1 bar (pression
atmosphérique). A l’entrée de (Tu), Pe = P4 = 2,5 bar et
Te = T4 = 1000 K et la vitesse est v4 = 0.
1 - Calculer T5 et la vitesse v5 des gaz à la sortie de
(Tu).
2 - Calculer la section S5 de sortie de la tuyère si l’on veut obtenir une poussée du turboréacteur de F = 5.104 N.