Cours sur les équations de Maxwell
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Électromagnétisme II.2.2 Equations de Maxwell Equation de Maxwell-Faraday − → → ∂B −→− rot E = − ∂t Equations de Maxwell II.2.3 Électromagnétisme Physique PC Equation de Maxwell-Gauss − → ρ div E = ε0 II.2.4 Equation de Maxwell -Ampère Introduction → −→− rot B = µ0 − →! ∂E − → j + ε0 ∂t Vous avez rencontré au cours de la première année, PCSI, les champs électrique et magnétique ou plus exactement, les champs électrostatique et magnétostatique. Les sources à l’origine de ces champs (charges et courants) étaient indépendantes du temps, d’où le ...statique. L’ensemble de ce travail s’inscrit dans un cadre conceptuel beaucoup plus général, celui développé par Maxwell dans les années 1850-1870. En effet, Maxwell produit une formidable synthèse de tous les travaux portant sur l’électricité et le magnétisme en réduisant l’ensemble de ces phénomènes à une série de quatre équations : les fameuses équations de Maxwell1 . Ré-écrites par Lorentz, elles forment, avec la force de Lorentz, le socle de l’électromagnétisme. 1. Celles qui dépendent des charges ou des courants : I. 2. Celles qui n’en dépendent pas : Remarques : On distingue deux groupes d’équations. → − → ρ −→− et rot B = µ0 div E = ε0 − →! ∂E − → j + ε0 ∂t Elles relient les sources (les causes) aux champs (les effets). Bilan de charge. Equation locale de conservation de la charge I.1 I.2 II. Distributions de charges. Distributions de courants I.1.1 Distributions continues de charges électriques I.1.2 Distributions continues de courants Bilan de charge. Equation locale de la conservation de la charge I.2.1 La charge est une grandeur conservative I.2.2 Equation locale de la conservation de la charge I.2.3 Cas de l’A.R.Q.S. Les postulats de l’électromagnétisme II.1 La force de Lorentz, force volumique et puissance volumique II.2 Les équations de Maxwell II.2.1 Equation du flux magnétique − → div B = 0 − → − → → ∂B −→− div B = 0 et rot E = − ∂t Elles définissent la géométrie du champ électromagnétique. − → − → 3. On remarque qu’il y a un couplage entre E et B . Les deux champs apparaissent ensemble dans deux équations. On peut alors parler d’un unique champ appelé champ électromagnétique et noté − → − → E, B . ∂ = 0. Ce n’est pas le cas en régime stationnaire où les deux champs sont découplés, soit quand ∂t Deux équations doivent être simplifiées ce qui donne : → → − − → −→− → −→− rot B = µ0 j et rot E = 0 4. Apparaît, dans l’équation de Maxwell-Ampère, la grandeur µ0 .ε0 . Maxwell l’évalue à partir de toutes les mesures connues à son époque de ces deux grandeurs (ε0 = 8, 85.10−12 F/m et µ0 = 4π.10−7 H/m), et montre qu’elle est liée à la vitesse de la lumière dans le vide par la relation : µ0 .ε0 = 1 c2 5. Du point de vue pratique, les sources dans les équations de Maxwell sont écrites à droite. En effet, − → − → ∂B ∂E − → et − apparaissent aussi comme des sources de champ électrique ou j , ρ ou encore ε0 ∂t ∂t magnétique. Le courant de déplacement est une source de champ électrique au même titre que le courant de conduction. 1 C’est la lecture moderne du travail de Maxwell, par Lorentz entre autres, qui permet de présenter ce travail ainsi, car en réalité, Maxwell ne formule pas cette synthèse sous la forme que nous allons étudier. J.-F. Reix page 2 / 8 PC Électromagnétisme Equations de Maxwell Électromagnétisme II.2.5 Quelle relation existe-t-il entre la conservation de la charge et les équations de Maxwell ? III.2.4 III.3 III. Contenu physique des équations de Maxwell en régime permanent − → ρ Equation de Maxwell-Gauss : div E = ε0 III.1 III.1.1 ~ =0 Equation du flux magnétique : div B III.3.1 III.4 − → → ∂E − → −→− ) Equation de Maxwell-Ampère : rot B = µ0 ( j + ε0 ∂t → − → −→− Reprenons cette équation dans le cas d’un régime purement permanent soit : rot B = µ0 j . III.4.1 2. Forme intégrale : I Le champ électrostatique est à circulation conservative. Remarque : L’application du théorème d’Ampère est fondamentale. 1. Définir les symétries et les invariances des distributions de courants, 2. En déduire les conséquences sur la direction du champ magnétique et les variables dont il dépend, 3. Choisir un contour en cohérence avec les résultats précédents et l’orienter (le contour en rapport avec la surface). 4. Appliquer le théorème et exprimer le champ magnétique sous forme vectorielle. C2 ,1→2 C1 ,1→2 5. Enfin savoir comment est introduit le théorème d’Ampère à partir de l’équation de Maxwell - Ampère. III.4.2 − → 2. Expression du flux en fonction de A 3. On montre que l’expression du potentiel-vecteur s’écrit dans le cas général en régime permanent : 1. Introduction de V : On définit ainsi le potentiel électrostatique −−→ − → E = −gradV → − → Le potentiel vecteur magnétique : A . − → 1. Introduction de A . Le potentiel scalaire électrostatique V 2. Expression de la circulation de E en fonction de V. → − →− B dl = µ0 .Iint C 1. Forme locale 2. Forme intégrale Conséquence : → La circulation du champ E entre deux points est indépendante du chemin suivi : Z Z → → → → E . dl E . dl = −−−→ µ0 A(M ) = 4π R2 → → E . dl = V1 − V2 Z Z Z −−→ j(P )dV PM V Ce résultat n’est pas à connaître, il doit être fournit dans un énoncé. − → 4. Symétrie de A qui est vecteur vrai. Exemple. 1 3. Indétermination de V , le potentiel est défini à une constante près. III.2.3 Le théorème d’Ampère. → − → −→− 1. Forme locale : rot B = µ0 j → − → −→− Dans la suite nous reprenons que le régime statique, soit l’équation rot E = 0 III.2.2 Le champ magnétique est à flux conservatif. 1. Forme locale Théorème de Gauss − → → ∂B −→− Equation de Maxwell-Faraday : rot E = − ∂t III.2.1 Equation de Laplace : ∆V = 0 2. Forme intégrale 1. Énoncé de la forme locale. 2. Énoncé de la forme intégrale. 3. Le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel. III.2 Equations de Maxwell Equation de Poisson IV. 1. Enoncé : Conditions de passages du champ électromagnétique Ces résultats sont toujours valables, en régime variable comme en régime permanent, ils sont simplement donnés en leur attribuant l’équation de Maxwell d’origine. ρ ∆V + =0 ε0 2. Solution de l’équation de Poisson V (M ) = 1 4πε0 Z dq avec dq = λdl = σdS = ρdV r C,S,V Remarque : On retrouve l’expression de la loi de Coulomb du champ électrostatique simplement en prenant le gradient de l’expression de V (M ) J.-F. Reix page 3 / 8 PC J.-F. Reix page 4 / 8 PC Électromagnétisme Equations de Maxwell − → Continuité de la composante tangentielle de E − → Discontinuité de la composante normale de E IV.1 IV.2 IV.4 Equations de Maxwell • Énergie cédée à la matière : Nous avons déjà établit ce résultat. Pcédée = V.3 → − →− j E dV Bilan local d’énergie électromagnétique : équation locale de Poynting Localement, en utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky, on montre que : Exemples − L’énergie électromagnétique V.1 ZZZ V − → Discontinuité de la composante tangentielle de B − → Continuité de la composante normale de B IV.3 V. Électromagnétisme ∂ ∂t B2 ε0 E 2 + 2 2µ0 = div − → − → → E∧B − →− + j E µ0 Bilan d’énergie électromagnétique global V.4 e d dEem = δEem + δEem En absence de charges (dans le vide) : Théorème de Poynting Dans une région vide de charges, le bilan se réduit à la formulation globale suivante, qui constitue le théorème de Poynting. − V.2 dEem = dt I → − →− R .dS + Pcédée S − dEem dEem = Prayonnée soit − = dt dt Expression des différents termes du bilan − d dt ZZZ V ε0 E 2 B2 + 2 2µ0 dV = Exemples I − ZZZ → − → → → E∧B − − →− j E dV .dS + µ0 S V VI. • Energie contenue dans le champ : Eem = ZZZ V B2 ε0 E 2 + 2 2µ0 I − → − → → E∧B − .dS µ0 S Les équations de Maxwell dans l’A.R.Q.S. Le développement des équations de Maxwell dans l’A.R.Q.S. est à la base de l’ensemble de l’électrocinétique, c’est dire son importance ! Par conséquent, il faut connaître la définition de l’A.R.Q.S. et les équations de Maxwell dans ce cadre d’étude. dV On peut définir une énergie électromagnétique volumique ou densité volumique d’énergie, notée eem dEem = eem dV B2 ε0 E 2 + eem = 2 2µ0 telle que Remarque : On remarque qu’il y a deux contributions dans l’expression de l’énergie électromagnétique, une liée au champ électrique dont la densité correspondante est ε0 E 2 , ee = 2 VI.1 Définition de l’A.R.Q.S. PM ≪ 1 au premier ordre. cT Exemples VI.2 Equations de Maxwell dans l’A.R.Q.S. Comment s’écrivent les équations de Maxwell dans l’A.R.Q.S. ? l’autre liée au champ magnétique dont la densité correspondante est B2 . em = 2µ0 • Énergie transportée par le champ, vecteur de Poynting : I − → − → → E∧B − Prayonnée = .dS µ0 S La puissance rayonnée est égale au flux d’un vecteur appelé le vecteur de Poynting et noté, parmi − → d’autres notations : R − → − → − → E∧B R = µ0 On reprend les équations de Maxwell, Maxwell-Faraday, Maxwell-Ampère, et l’équation de conservation de la charge pour évaluer les équations utiles dans le cadre de l’A.R.Q.S. ! − → → ∂E − → −→− . Il faut distinguer deux cas : Seule change l’équation de Maxwell-Ampère : rot B = µ0 j + ε0 ∂t ∂E • Dans un milieu - l’exemple suivant est dans un conducteur -, après avoir vérifié que j ≫ ε0 en ∂t régime sinusoïdal, l’équation s’écrit : → − → −→− rot B = µ0 j • Dans le vide : − → → ∂E −→− rot B = µ0 ε0 ∂t Ce vecteur est homogène à une énergie par unité de surface (W.m−2 ) ou énergie surfacique. C’est aussi la densité de flux de l’énergie électromagnétique. J.-F. Reix page 5 / 8 PC J.-F. Reix page 6 / 8 PC Électromagnétisme VI.3 Equations de Maxwell Les milieux conducteurs dans l’A.R.Q.S. VI.5.3 La résolution des équations de Maxwell nécessite une relation supplémentaire reliant les sources aux champs. VI.3.1 La loi d’Ohm − → − → Dans le cadre de l’ARQS, la loi d’ohm s’écrit : j = γ E . VI.3.2 VI.5.4 Courant volumique induit VI.4.2 − → − → Conséquence du couplage entre E et B VI.4.3 Puissance moyenne dissipée par effet Joule Ordre de grandeur Puissance moyenne dissipée par effet Joule On calcule la puissance moyenne volumique, puis sur l’ensemble du conducteur. On cherche l’épaisseur équivalente d’un échantillon qui dissiperait la même puissance. Première application : Courants de Foucault dans un conducteur cylindrique, effet d’induction VI.4.1 Equations de Maxwell • δ = 9, 3 mm pour une fréquence de 50 Hz. Pour un fil de 1 mm de diamètre, on peut considérer que la densité de courant est uniforme sur une section. • En revanche, à 1 MHz, l’épaisseur de peau δ = 66µm. Le courant ne circule plus que sur la périphérie. l Le surface utile dans une section diminue beaucoup or la résistance d’un conducteur linéaire R = γS augmente beaucoup. Le signal électromagnétique ne peut plus être transmit de cette façon, il faut abandonner la ligne bifilaire au profit du cable coaxial. Neutralité des conducteurs Un conducteur est localement neutre à tout instant. VI.4 Électromagnétisme VI.5.5 Le modèle du conducteur parfait −−→ − → − → − → −−→ − → Dans le modèle du conducteur parfait, Eint = 0 , j = 0 et Bint = 0 . VI.6 Troisième application : Condensateur dans l’A.R.Q.S. Position du problème : Conservation de la charge ; Exemple : Quelle est l’utilité du feuilletage des carcasses métalliques soumises à des champs magnétiques variables dans le temps. VI.6.1 Calcul du champ magnétique → VI.5 → ∂E joue le même rôle , entre les armatures, que µ0 j , dans Conclusion : Le terme de déplacement µ0 ε0 ∂t le fil Deuxième application : effet de peau ou effet Kelvin VI.5.1 − → − → − → Equation différentielle satisfaite par E , B ou j . VI.6.2 On montre que quelque soit le champ de vecteur2 , on obtient : VI.5.2 − → ∂ ∆ − µ0 γ ∂t Champ électrique induit Conclusion − → − → − → − → ( E , B ou j ) = 0 . VI.6.3 VI.7 − → − → − → Expression de E , B ou j Bilan énergétique : Application du théorème de Poynting Conclusion sur l’A.R.Q.S. On peut ainsi, à la suite de l’interprétation du résultat, définir l’épaisseur de peau : δ= r 2 ωµ0 γ z z −−−→ z− → On obtient, tous calculs faits : j(z, t) = J0 exp − cos ωt − ex On notera Jm (z) = J0 . exp − , δ δ δ − → l’amplitude de j (z, t). Commentaire : 1. L’amplitude de la densité de courant décroît exponentiellement (cf. fig. ??). Elle a diminuée de 63 % quand on se situe à la profondeur z = δ. 2. δ est une fonction de ω. Plus ω augmente, plus δ est faible. 3. Le courant reste donc confiné près de la surface si l’épaisseur du conducteur est grande devant δ. 2 Il −−→ − → − → −→ − −→ −→→ faut utiliser la formule sur les opérateurs vectoriels suivante : rot(rot A ) = grad(div A ) − ∆ A . J.-F. Reix page 7 / 8 PC J.-F. Reix page 8 / 8 PC
