PHYSIQUE 3 PARTIE B: Oscillations - BFH

E2 / Physique / Vibrations
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HES Bernoise
Technique et Informatique
Electricité et Systèmes de Communication
PHYSIQUE 3
PARTIE B: Oscillations
Stefan Stankowski
BFH / HES BE - TI Biel / Bienne
E2 / Physique / Vibrations
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OSCILLATIONS
I. Introduction
Il convient de distinguer les deux types de mouvement suivants:
• mouvements dirigés (d'un point de départ à un point final, p.ex. chute libre)
• mouvements périodiques, p.ex.
mouvement circulaire ou elliptique (comme celui de la terre autour du soleil) ou
mouvement oscillatoire (p.ex. d'un noyau atomique autour de sa position d'équilibre).
De même, les machines et instruments produisent:
des transitions d'un état 1 à un état 2 à la suite d'un changement des paramètres de réglage,
des mouvements cycliques (moteur, turbine), ou bien
des vibrations.
Les réactions transitoires et oscillatoires sont donc ce qu'on étudie typiquement en technique de réglage.
Les vibrations (oscillations) s'observent lorsqu'un corps est dévié de sa position d'équilibre et y retourne
par intermédiaire d’une "force de rappel". Le travail effectué par la force de rappel produit de l'énergie
cinétique de manière que le corps dépasse la position d'équilibre et que les mouvements de déviation et
de rappel se répètent périodiquement.
Selon les caractéristiques de la force de rappel,
l'aspect des vibrations peut être très varié,
d'un sinus régulier jusqu'aux dents de scie.
La représentation à côté donne la vibration
produite par une flûte, une clarinette, un hautbois
et un saxophone, respectivement, tous jouant le
même son.
Cette situation apparemment compliquée, est pourtant simplifiée en considérant le théorème de Fourier:
Toute fonction périodique peut se construire par superposition de fonctions sinus et cosinus, ayant des fréquences différentes.
Cela justifie de nous concentrer ici sur les vibrations
les plus simples, dites "harmoniques" qui se décrivent
par des fonctions sinus ou cosinus simples.
En cas de besoin, on saura décrire les vibrations plus
compliquées en sommant différentes vibrations harmoniques.
Nous démontrerons au chapitre 3 que les vibrations harmoniques se produisent dans la nature au cas où
la force de rappel est une fonction linéaire de la déviation de l'équilibre. C'est le cas (au moins de manière
approximative) pour les systèmes élastiques.
I.1 Relation entre mouvement circulaire et oscillation harmonique
Le mouvement circulaire et la vibration sont tous deux des phénomènes périodiques.
En effet, la vibration harmonique peut être considérée comme
la projection du mouvement circulaire uniforme sur l'axe des x.
Soit ω (= const) la vitesse angulaire du mouvement circulaire.
L'angle du rayon vecteur par rapport à l'axe des x est
Φ =ωt +Φ0
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x = r cos Φ = A cos ( Φ 0 + ω t) est la projection sur l’axe des x.
A = r représente l'amplitude de la vibration
ω = 2 π f , la pulsation, est directement liée avec la fréquence f (vibrations par seconde).
T = 1 / f = 2π
π/ω
Φ0
est la période de la vibration.
donne la phase de la vibration par rapport au zéro du temps.
Si la vibration commence au point de déviation maximale, A:
si elle commence à la position d'équilibre (choc):
Φ 0 = 0,
Φ 0 = -π / 2,
x = A cos ω t
x = A sin ω t
L'argument de la fonction cosinus est appelé la "phase" de l'oscillation.
I.2 Systèmes élastiques
Dans la nature, on trouve des vibrations harmoniques avec les systèmes dits élastiques dont la force de
rappel augmente proportionnellement à la déviation de l'équilibre, x ("loi de Hooke"):
Frappel = - c x
[c] = Nm
-1
La constante c est souvent désignée comme D ou k.
Dans la plupart des cas, c est déterminée expérimentalement à partir de la déviation à l'équilibre:
c = F / x équilibre
En principe, c peut aussi se calculer à partir des paramètres du matériau élastique (voir annexe 1).
Exemples importants:
• ressort
• poutre élastique
Remarquez.
II.
Pour les déviations très faibles de la position d'équilibre
pratiquement toute force de rappel pourra être linéarisée.
Donc: les petites déviations donnent lieu à des vibrations harmoniques
Oscillation harmonique non amortie
II.1 Equation d'oscillation
Le modèle le plus simple d'un système capable de vibration harmonique est donné par un ressort
élastique de masse négligeable et avec frottement négligeable, auquel est suspendu une masse m. La
constante du ressort pourra être déterminée à partir de l'élongation à l'équilibre:
c x équilibre = m g
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A l'équilibre, la masse m est soumise à une force nulle.
Il est donc possible de se limiter à considérer uniquement
les forces supplémentaires qui apparaissent lorsque la masse
dévie de l'équilibre d'une distance x:
Force résultante = - c (x équilibre + x) + m g = - c x
Soit le ressort étendu jusqu'à l'élongation A et puis lâché.
Ne reste que la force de rappel du ressort, - c x ,
ce qui conduit à l'équation du mouvement suivante:
••
ma = mx= -cx
••
mx+cx=0
ou bien:
(*)
(équation différentielle de l'oscillation harmonique)
Il est facile de démontrer que la fonction de la vibration harmonique représente une solution de cette
équation différentielle (ω étant un paramètre qui restera à déterminer):
x = A cos ω t
•
x = - A ω sin ω t
••
x = - A ω2 cos ω t
••
inséré en (*): x + (c / m) x = A cos ωt (- ω2 + c / m) = 0
Cela satisfait à l'équation du mouvement pourvu que l'expression s'annulle, donc si:
ω2 = c / m
La masse suspendue au ressort exécute donc des vibrations avec une fréquence angulaire
ω=
c
m
Amplitudes:
Période
T = 2π
élongation
vitesse
accélération
m
c
xmax = A
vmax = A ω
2
amax = A ω
Notez: La fréquence de la vibration ne dépend pas de l'amplitude!
| Si le mouvement du ressort ne commence pas à l'élongation maximale, mais (à la suite d'un
| choc) à la position d'équilibre, le cosinus de la solution sera remplacé par un sinus. Pour toute
| autre condition initiale, il faut introduire l'angle de phase Φ 0 correspondant .
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II.2 Energie
E tot = E pot = ½ c A 2
A élongation maximale, l'énergie cinétique est nulle et donc:
2
2
Au passage de la position d'équilibre, l'énergie potentielle est nulle, donc: E tot = E cin = ½ m A ω
A toute élongation, Etot doit être constante. Il s'en suit:
2
2
2
2
2
2
m vmax = m A ω = c xmax = c A ,
Pour un x arbitraire:
donc encore: ω = c / m.
•2
2
2
2
2
2
E kin = ½ m x = ½ m A ω sin (ωt + Φo)
2
E pot = ½ c x = ½ c A cos (ωt + Φo)
II.3 Combinaison de plusieurs éléments élastiques
Les systèmes complexes comportant plusieurs éléments élastiques peuvent être réduits à un système
équivalent à une seule constante élastique D, en respectant les règles suivants:
ressorts en parallèle:
c = c1 + c2
(forces additives, même déviation x)
1
-- =
c
ressorts en série:
1
-c1
1
+ -c2
(déviations additives, même force F)
II.4 Autres notations de l'oscillation harmonique
La solution de l'équation différentielle (*) peut s'écrire de différentes manières, toutes équivalentes
entr'elles:
ou bien
x = A cos (ω t + Φ 0)
(ou bien sin ...
avec un Φ 0 différent)
x = A cos ω t + B sin ω t
(A = A cos Φ 0 , B = - A sin Φ 0)
j(ω t + Φ 0)
ou bien
x=A e
ou bien
x = A1 e
jωt
-jωt
+
A2 e
A1 = ½ (A’ - j B’), A2 = ½ (A’ + j B’)
Notez que dans la dernière de ces notations, A1 , A2 sont des nombres complexes.
Pour les représentations complexes, il est sous-entendu que seul la partie réelle est mesurable.
Par la suite nous utiliserons surtout la première de ces notations. Elle pourra toujours être remplacée par
une des autres, en ajustant les constantes.
Dans le cas des oscillations non-harmoniques on aura des sommes de fonctions exponentielles avec
différentes fréquences. C’est la base des approches Fourier et Laplace.
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II.5 Vibrations de torsion
Les systèmes tournants peuvent eux aussi donner lieu à des vibrations (p.ex. balancier de montre, barre
ou fil de torsion). La description mathématique est analogue à celle des systèmes linéaires, les
coordonnées polaires remplaçant celles linéaires.
La propriété caractéristique des vibrations harmoniques est alors que le couple de rappel est
proportionnel à la déviation angulaire Θ:
M rappel = - c r Θ
[ c r ] : Nm / rad)
••
I Θ + cr Θ = 0
Equation du mouvement:
(I = moment d'inertie)
solution:
Dr
Θ = A cos (ω t + Φ 0)
où A = θ max = amplitude angulaire et
et
ω2 =
cr
I
,
ω=
cr
I
,
T = 2π
I
cr
•
Il faut faire attention de ne pas confondre l'angle de rotation physique, Θ , et sa dérivée, Θ,
avec l'angle formel de phase et la fréquence angulaire ω.
ω est constante, Θ −point varie !
--> Vibration rotatoire combiné avec éléments élastiques linéaires
On trouve souvent des situations où le couple de
rappel est produit à l'aide de ressorts ou d'autres
éléments élastiques agissant sur un bras de levier.
Pour les petites déviations angulaires, Θ , on pourra
confondre l'élongation linéaire du ressort avec l'arc
a Θ , où a est le bras du levier auquel le ressort est
appliqué.
La force de rappel est alors - c a Θ , et le couple de
rappel s'obtient en multipliant encore une fois par le
bras du levier, a:
M rappel = - c a2 Θ
D
D
ou bien:
D r = c a2
• Les mêmes règles restent valables pour les éléments amortissants, traités plus en bas.
Les règles pour la combinaison des éléments en parallèle ou en série restent également valables pour les éléments amortissants en parallèle ou en série.
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II.6 Pendule
a) Pendule simple
Le pendule simple est constitué d'une masse ponctuelle m suspendue
au bout d'un fil de masse négligeable de longueur L.
Equation du mouvement lors d'une déviation Θ de la position
d'équilibre:
2
••
m L Θ = - m g L sin Θ
Pour les très faibles amplitudes (!) sin Θ peut être remplacé
par Θ (en radians). Après élimination de mL on trouve:
••
LΘ+gΘ=0
Par analogie avec la situation linéaire, la solution s'écrit
(pour A très petite!):
Θ = A cos (ω t + Φ 0)
ω=
,
g
L
Notez: La fréquence de l'oscillation de ce pendule ne dépend point de la masse m, mais uniquement de
la longueur du fil, L.
b) Pendule composé
Par analogie au pendule simple, mais en utilisant de manière plus
2
générale le moment d'inertie I (au lieu de mL ) et la distance b du
pivot au centre de gravité (au lieu de L du côté droite de l'équation
du mouvement) on aura:
Equation du mouvement:
solution:
••
IΘ+mgbΘ=0
Θ = A cos (ω t + ϕ0),
ω=
mgb
I
[Souvent on compare le pendule composé avec le pendule simple équivalent
ayant la même période. La longueur de ce pendule simple équivalent est
appelée la "longueur réduite" L réd . En comparant les expressions de ω, on
remarque que
L réd = I / mb
Sur la prolongation de la ligne qui relie le point de suspension et le centre de
gravité, à la distance L réd de l'axe, se trouve le point appelé "centre d'oscillation".
Si on fait osciller le pendule autour d'un axe qui passe par ce point, la fréquence
résultante est la même que celle autour de l'axe original.]
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III. Oscillation amortie
On rencontre des vibrations harmoniques non amorties en physique atomique et moléculaire. Les
systèmes macroscopiques, par contre, sont généralement soumis à des frottements, et l'énergie de
vibration est dissipée au fil du temps. L'amplitude diminue alors graduellement.
Sous quel aspect se présente la vibration amortie dépend de la nature de la force de frottement en jeu:
Le frottement sec est caractérisé par une force de frottement constante qui change de direction en
fonction de la direction de mouvement du corps oscillant.
Il en résulte une diminution linéaire de l'amplitude dans le temps.
Le frottement fluide (dans les liquides et les gaz) se décrit par une force de frottement proportionnelle à
la vitesse du mouvement (au moins dans les cas où les turbulences ne dominent pas, exemples:
résistance de l'air, amortisseur de voiture).
Dans ces cas, l'amplitude diminue dans le temps de manière exponentielle.
On démontrera ci-dessous que l'atténuation d'une oscillation électrique par une résistance ohmique est
analogue au cas du frottement fluide.
frottement sec
frottement fluide
En ce qui suit, nous nous limitons au cas du frottement fluide, proportionnel à la vitesse. C'est le cas le
plus important pour les applications pratiques.
La force de frottement s'écrit
•
Ffrott = - k v = - k x
(k = constante d'amortissement, dimension: Ns / m ou kg / s)
L'équation différentielle de l'oscillation devient:
••
•
mx+kx+cx=0
dont la solution est:
x = A e-δ t cos ( ω t + φ 0 )
avec le "coefficient de décroissement" δ
et la fréquence angulaire ω donnés par
δ=
k
,
2m
ω = ω 02 - δ 2 ,
ω0 =
(dimension: 1 / s)
c
(" fréquencepropre" )
m
Cette solution peut s'interpréter comme une vibration (avec une fréquence approximativement égale à
celle du système non amorti), dont l'amplitude diminue exponentiellement.
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L'approximation ω = ω0 est normalement très bien satisfaite. Elle n'est plus valable dans les cas où
l'amortissement est tellement fort qu’une oscillation ne se développe guère.
La diminution relative de l'amplitude est la même au bout de chaque période.
On appelle "décrément logarithmique" la grandeur:
ln
décrément logarithmique
Ai
=δ T
Ai +1
III.1 Mouvement apériodique
Dans des cas extrêmes, l'amortissement peut devenir tellement fort qu'aucune oscillation ne peut plus se
développer et que le mouvement devient "apériodique" (= non périodique).
Le cas limite où cela apparaît est caractérisé par la condition δ = ω 0
cas limite apériodique:
δ =ω0
Il n'y a plus de vibration; le retour à l'équilibre se fait de manière asymptotique.
Cela vaut de plus forte raison pour les valeurs de δ plus grandes:
cas apériodique
δ >ω0
Le retour à l'équilibre est alors plus lent qu'au cas limite apériodique.
C'est au cas limite que l'équilibre est atteint le plus rapidement (les amortissements plus importants
augmentent le temps pour l'approche à l'asymptote, et dans le cas oscillatoire, le mouvement autour de
l'asymptote peut continuer assez longtemps). On tend donc à choisir un amortissement proche du cas
limite apériodique pour la construction des instruments de mesure et d'affichage.
2
2
2
Dans le cas apériodique, ω = √ ω0 - δ devenant imaginaire, j ω = √ δ
utilisé en tant que nouveau paramètre réel.
La notation complexe-exponentielle de la solution de l'équation différentielle,
x(t) = (A1 e
x(t) =
A1 e
j ωt
+ A2 e
- (δ − κ) t
- j ωt
+ A2 e
) e
-δt
2
- ω0
= κ est
devient alors
- (δ + κ) t
Les constantes A 1 et A 2 sont à déterminer à partir des conditions initiales (p.ex. position, x0, et
vitesse initiale, v0, à l'instant t = 0).
(Dans le cas particulier du cas limite apériodique, la solution générale s'écrit:
x(t) =
A1 e
-δt
+ A2 t e
-δt
).
Degré d'amortissement:
Le rapport des paramètres δ et ω 0 détermine le
degré d'amortissement d'un système, c.-à-d. s'il
s'agit d'un mouvement oscillatoire ou apériodique.
Si le rapport est unité, on se trouve au cas limite.
Degré d'amortissement ϑ = δ / ω 0
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IV. Oscillation forcée, résonance
IV.1 Condition de résonance
Ici nous considérons le cas familier qu'un système oscillateur soit excité par des secousses ou d'autres
forces périodiques extérieures. Il exécutera alors des vibrations forcées.
Au bout d’une période transitoire, la vibration aura lieu avec la fréquence des forces extérieures. Si la
fréquence d’excitation est proche de la fréquence propre du système oscillant, la force extérieure tirera
souvent dans la "bonne" direction de manière à produire un accroissement de l'oscillation: c'est le cas de
résonance.
Par la suite nous considérerons le cas le plus important où la force extérieure a elle-même une allure
sinusoïdale et le système oscillateur comporte une force de rappel linéaire (et, éventuellement, un
amortissement proportionnel à la vitesse).
Equation du mouvement:
••
•
m x + k x + c x = F0 cos ω e t
Au bout d’une période transitoire initiale on trouve la solution stationnaire suivante:
x = A cos (ω e t - φ)
l’amplitude A et l’angle de phase, φ étant donnés par
A =
F0 / m
2
2
(ω 02 - ω e2) + k 2 ω e / m2
tan φ =
k ωe / m
ω 02 - ω e 2
Dans le cas d’un amortissement négligeable, l'amplitude accroît indéfiniment si la fréquence ωe = ω0,
fréquence propre du système.
Avec un amortissement non négligeable le maximum de l'amplitude est obtenu lorsque la
fréquence d'excitation satisfait à la condition de "résonance d'amplitude"; la valeur de ωe est
alors presque (mais pas tout à fait) égale à la fréquence propre ω 0 (la différence étant
pratiquement négligeable dans la plupart des cas pratiques).
Si l'on demande la fréquence d'excitation à laquelle la force extérieure pompe le plus d'énergie
dans le système oscillant, on trouve que cette "résonance d'énergie" a lieu quand ωe = ω0 (cela si
F0 est constante, les formules changent si F0 dépend de ω).
Pour la pratique il suffit normalement d’admettre : résonance
ωe = ω0
Souvent on écrit la solution dans la forme équivalente suivante :
x = A 1 cos ω e t + A 2 sin ω e t
2
où, en notant Γ = k/m:
2
F0
(ω 0 – ω e )
A 1 = ---- -------------------------2
2 2
2 2
m (ω 0 – ω e ) + Γ ω
s’appelle „amplitude élastique“ (pas d’absorption de puissance),
F0
Γωe
A 2 = ---- -------------------------2
2 2
2 2
m (ω 0 – ω e ) + Γ ω
s’appelle „amplitude absorptive“ (absorption de puissance).
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Le graphique à côté donne l'angle de déphasage,
φ, qui indique le décalage de phase entre la force
excitante et la réponse du système
Pour les petites fréquences, ce décalage est petit,
l'oscillateur est capable de suivre la sollicitation
extérieure.
Pour les fréquences excitantes très
élevées, il se produit un décalage d'une demie
phase. Plus grand le frottement, plus étalée la
o
transition du déphasage entre 0 et 180 .
Pour les applications techniques, la fréquence de résonance se détecte plus aisément par la variation
marquée du déphasage plutôt que par le maximum de l'amplitude.
IV.2 Balourd et système guidé
Dans un grand nombre de cas pratiques, l'amplitude de la force d'excitation, F0, dépend elle-même de ω.
Les formules ci-dessus en restent pour la plupart invariablement valables. Seules changent la forme de la
courbe de résonance A(ω) et les valeurs exactes des fréquences de résonance. Cettes dernières n'ont
aucune importance puisqu'on se contente généralement de poser ω = ω 0 pour la résonance.
Les cas les plus importants sont les suivants:
• Sollicitation par un balourd
Le rotor d'un moteur tournant avec une vitesse angulaire ωe , soit un balourd de masse m à une distance
e du centre de rotation. La composante verticale de la force centrifuge sollicitera le support du moteur
2
périodiquement par
F = m e ωe sin ω t (attention : m = masse du balourd, non pas du moteur !)
F0 = m e ωe2 <----• « Système guidé »
Le système oscillant est fixé à une suspension qui est agitée elle-même et décrit un mouvement
x = x0 cos ω t
(p.ex. sysmomètre)
Pour le système guidé on trouve (voir démonsrtration en bas):
2
F0 = m x0 ωe
<-----
Le balourd et le système guidé donnent lieu à une
2
force d'excitation ∼ ω :
La courbe A(ω) correspondante est donné à côté.
Système guidé (dérivation)
x1 = coordonnée du guidage
x2 = coordonnée de la masse oscillante
x = x2 - x1 = coordonnée relative
Le mouvement du guidage est donné:: x1 = x0 cos ω t
••
•
m x2 = - c (x2 - x1) - k (x2 - x1)
••
••
••
•
2
m (x2 - x1) + m x1 = m x - m x0 ω cos ω t = - c x - k x
••
•
2
2
m x + k x + c x = m x0 ω cos ω t = F0 cos ω t
donc F0 = m x0 ω
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IV.3 Circuit oscillateur électrique
Il existe une analogie presque parfaite entre les oscillateurs électriques et mécaniques. Les circuits
oscillateurs se construisent en combinant des capacités et des inductivités.
La capacité tend à décharger et à équilibrer les tensions. Elle met le courant en marche et est à
comparer avec le ressort (lui aussi "chargé" par l'extension ou la compression et qui met en marche la
masse suspendue).
L'inductivité résiste à la circulation libre du courant en vertu de son auto-inducitivité. C'est l'élément
"inerte" du circuit, à comparer avec la masse.
Dans le cas où le circuit comporte aussi des résistances ohmiques, ceux-là produisent une atténuation
proportionnelle à l'intensité du courant (et donc à la vitesse de flux des porteurs de charge). C'est donc un
amortissement proportionnel à la vitesse.
Voici ces éléments dans un circuit sériel:
Dans le cas de l'oscillation libre, les tensions sont données par:
•
U=Li + Ri + Q/C
•
Ici, i = Q. Préférant comme variable l'intensité du courant, i, on prend la dérivée de l'équation:
••
•
0 = Li + Ri + i/C
C'est donc l’analogue de l'oscillation libre mécanique, si on confond les grandeurs suivantes:
mL
kR
c
1/C
En tenant compte de ces remplacements,
toutes les formules mécaniques s'appliquent
aussi au circuit électrique.
(Si l’état de charge du condensateur est
donné comme une des conditions initiales,
on aura besoin aussi de l’équation originale,
U = ...)
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Dans la cas d’un circuit non court-circuité, mais connecté à une tension alternative (schéma en haut à
droite), on trouve l'analogue de l'oscillation forcée:
U0 e
j ωt
•
= Li + Ri + Q/C
En dérivant pour obtenir partout la variable i :
U0 j ω e
j ωt
••
•
= Li + Ri + i/C
Contrairement au cas mécanique, le côté gauche est maintenant imaginaire et contient un facteur ω.
On posera alors F 0 = ω U 0 .
La formule d’amplitude s’applique alors telle quelle.
L’allure de l’amplitude de courant est tracée à côté.
Lors du calcul de l’angle de phase, le facteur j
produit l’échange des parties réelle et imaginaire :
2
2
(ω 0 – ω e )
tan φ = --------------k ωe/m
2
----->
(1/(LC) - ω e )
1/(ω eC) - ω e L
tan φ = ------------------ = ----------------R ωe/ L
R
La formule d’amplitude reste invariée et s’écrit, en transformant:
A
U0
-----------------------------------[(1/(ωeC) – ωeL)2 + R2]1/2
=
A étant une amplitude de courant, cela s’interprète comme formule d’impédance,
le dénominateur étant l'impédance du circuit oscillateur.
IV.4 Energie et puissance
Surtout en électrotechnique, les oscillateurs sont souvent considérés sous l'aspect de la
puissance consommée.
Il y apparaissent des notions comme
• le facteur de qualité Q
• le temps de relaxiation (énergétique) τ
• la largeur à mi-hauteur de la courbe de résonance, Γ
-1
Le facteur de qualité est essentiellement l'inverse du degré d'amortissement: Q = ½ ϑ = ½ ω 0 / δ.
(voir annexe où on explique aussi le facteur ½ ).
Plus grande la qualité moins d'énergie est perdue lors d'une oscillation.
Le temps de relaxation τ = 1/(2δ) est essentiellement l'inverse de la constante d'amortissement δ.
A faible amortissement, la largeur à mi-hauteur de la courbe de résonance est juste Γ = 1 / τ.
Les propriétés d'atténuation de l'oscillation libre (τ ou δ) peuvent donc être déterminées par une
analyse de la résonance de l'oscillation forcée ( Γ ).
Ces grandeurs et les relations correspondantes sont présentées à l'annexe.
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V. Interférence
Essayant d'exciter un oscillateur simultanément dans deux directions différentes, les deux effets
s'annulent mutuellement:
les vibrations opposées sont capables de se compenser (totalement ou partiellement).
C'est le phénomène appelé interférence.
Addition de vibrations:
y1 =
A1 e
j(ω1 t + φ1)
y1 + y2 = A1 e
y2 =
j(ω1 t + φ1)
+ A2 e
A2 e
j(ω2 t + φ2)
j(ω2 t + φ2)
Les propriétés d'une telle addition deviennent aisément visible en utilisant la représentation en forme
de flèches dans le plan complexe (voir traitement du courant alterné).
y1 est représenté par une flèche de longueur A1 faisant un angle ω1 t + φ1 avec l'axe réel ; y2 de
manière analogue.
y1 + y2 est alors donné par la somme vectorielle des deux flèches.
j ( ω t + φ)
Pour ω1 = ω2 =ω, la somme devient une vibration harmonique du type A e
avec l'amplitude
2
2
A = A1 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
L'angle de phase φ s’obtient de la manière la plus
simple en comparant les valeurs numériques à
t=0.
Battement:
Soit ω2 = ω1 +∆ω et A1 = A2 = A.
La somme des vibrations peut s'écrire:
∆ω
(ω1+ω2)
y1 + y2 = 2A cos --- t exp ----------- t
2
2
C'est donc une oscillation dont l'amplitude est modulée
La fréquence ∆f avec laquelle le "paquet" s’ouvre et se
ferme s'appelle fréquence de battement :
Fréquence de battement f
battement
= ∆f = ∆ω / 2π
De tels battements sont perceptibles à l'oreille si l'on bat
deux cordes légèrement désaccordées. Le battement devient
d'autant plus lent que les deux fréquences s'approchent l'une de l'autre (mettant plus de temps pour
que les deux oscillations se décalent l'une par rapport à l'autre).
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VI. Oscillations couplées
Lorsqu'on couple plusieurs oscillateurs, on a affaire à un système avec plusieurs degrés de liberté
(degré de liberté = coordonnée indépendante)
Dans un tel système, la vibration d'un oscillateur individuel peut apparaître relativement compliquée. Sa
vibration devient particulièrement forte lorsqu'on excite une "vibration normale". Il s'agit là d'une vibration
où les différents oscillateurs se meuvent de manière synchronisée, leur influence mutuelle restant
toujours égale. Pour chaque oscillateur individuel il en résulte une vibration harmonique.
L'analyse des oscillations couplées commence donc invariablement par la détermination des vibrations
normales. Notez qu'un système avec n degrés de liberté est toujours caractérisé par n vibrations
normales. Elles constituent les modes de vibration les plus marqués et, en plus, leur superposition permet
de décrire toute autre forme d'oscillation du système.
Mathématiquement parlé, un système avec n degrés de liberté conduit à n équations différentielles
couplées. Sachant que les vibrations normales sont harmoniques, on assume une forme harmonique
pour toutes les variables (avec la même pulsation ω):
xi = A i cos ω t
••
2
2
Puisque x i = - ω A i cos ω t = - ω x i ,
toutes les dérivées de deuxième ordre s'éliminent et il résulte un système de n équations algébriques
qu'on résout d'après les règles standard de l'algèbre. Les mathématiciens parlent d'un problème de
"valeurs propres" (eigenvalues). Si on calcule aussi les amplitudes des vibrations normales, cela mène au
calcul des "vecteurs propres" (eigenvectors). Tous les autres "vecteurs" (= fonctions d'oscillation) sont à
représenter par des combinaisons linéaires de vecteurs propres.
Ci-dessous nous démontrons la méthode en utilisant un exemple simple.
Le système représenté à côté mène aux équations du mouvement
suivantes:
••
m x 1 + c x 1 + c (x 1 – x 2) = 0
••
m x 2 + c x 2 + c (x 2 – x 1) = 0
En posant (cf. texte ci-dessus): x1 = A1 cos ω t
il vient:
- m ω2 x1 + c x1 + c (x1 - x2) = 0
- m ω2 x2 + c x2 + c (x2 - x1) = 0
,
x2 = A2 cos ω t
ou - ω2 x1 + 2 ω02 x1 = ω02 x2
ou - ω2 x2 + 2 ω02 x2 = ω02 x1
2
en utilisant ω0 = D/m . Ce système d'équations se résout en faisant
appel à l'algèbre élémentaire On obtient les 2 solutions (positives)
suivantes:
ω (Ι) = ω0
A1(I) = A2(I)
ω (ΙΙ) = √3 ω0
A1(II) = - A2(II)
La première solution correspond à la vibration normale où les
deux masses vibrent en phase; la deuxième correspond à la
vibration normale où les masses vibrent en sens opposé.
Une vibration arbitraire des deux masse s'écrit
x1 = A (I) cos (ω (Ι) t + φ (I)) + A (II) cos (ω (ΙΙ) t + φ (II))
x2 = A (I) cos (ω (Ι) t + φ (I)) - A (II) cos (ω (ΙΙ) t + φ (II))
C'est une combinaison linéaire des deux vibrations normales.
Notez que, pour toute vibration, les relations entre les amplitudes des oscillateurs 1 et 2 restent les
mêmes que pour les vibrations normales!
Stefan Stankowski
BFH / HES BE - TI Biel / Bienne
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16
Annexe 1
Calcul des constantes élastiques à partir des paramètres du matériau
Exemples importants:
• ressort, c = constante de raideur
(c peut se calculer à partir des dimensions du
ressort et le module de glissement G du matériau:
3
c = (G Ip) / (2π i R )
Ip étant le moment de surface de la section du fil
de fer, i le nombre de tours effectif et R le rayon
de la spirale).
• poutre unilatéralement libre
3
c=3EJ /L
E = module d'élasticité, J = moment de surface axial
• poutre chargée au milieu,
2
2
c = (3 E J L) / (a b )
Stefan Stankowski
a+b=L
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E2 / Physique / Vibrations
17
Annexe 2:
Solutions des équations d'oscillation
A) Oscillation amortie
••
•
m x + k x + c x = 0 bzw.
••
•
2
x + 2δx +ω0 =0
2
avec δ = k / (2m) , ω 0 = c / m
Fonction d'essai: x = A exp( z t )
avec z = a + jb
complexe
2
2
En insérant:
z +2δz+ω0 = 0
Partie réelle:
Partie imaginaire:
a -b +2δa+ω0 = 0
2ab+2δb=0
2
2
2
2
2
2
-->
2
Ce résultat inséré dans la partie réelle: δ - b - 2 δ + ω 0 = 0 -->
a=-δ
2
2
b =ω0 -δ
2
En écrivant ω , pulsation de l'oscillation amortie, au lieu de b , on obtient la solution donnée au script.
B) Oscillation forcée
Remplaçons cos ω t par exp ( j ω?t), ω étant la fréquence d'excitation, l'équation diff. devient:
••
•
j ω?t
2
x + 2 δ x + ω 0 = (F0 / m) e
2
avec δ = k / (2m) , ω 0 = c / m
j (ω t − φ )
Comme solution particulière, nous prenons:
x=A e
le φ dans l'exposant permettant un décalage de phase entre la force excitatrice et la réponse du
système oscillant.
Introduction dans l'équation diff. et élimination de exp ( j ω t) :
(- w
2
+ j 2 δ ω + ω 0 ) A exp ( - φ ) = F0 / m
2
- w
2
+ j 2 δ ω + ω 0 = (F0 / mA ) exp ( + φ ) = (F0 / mA) (cos φ + j sin φ )
partie réelle:
partie imaginaire:
ou bien, écrit un peu différemment:
2
2
ω0 - ω
2δω
2
= (F0 / mA ) cos φ
= (F0 / mA ) sin φ
2
2
En divisant la partie imaginaire par la partie réelle:
tan φ = 2 δ ω / (ω 0 - ω )
partie réelle au carré + partie imaginaire au carré:
F0 / (m A ) = ω 0 - ω
ou alors:
A = F0 / (m N )
2
2
2
2
2
+2δω =N
ce qui coïncide avec les formules du scipt.
La solution générale est alors égale à la solution de l'équation homogène (= oscillation libre amortie) +
solution particulière. La solution de l'équation homogène tend vers zéro avec le temps parce qu'elle
contient un terme exp (- δ t) . Après une phase transitoire il ne reste finalement que la solution
particulière (aussi appelée solution stationnaire).
Stefan Stankowski
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18
Annexe 3
Grandeurs énergétiques et de puissance
Oscillation amortie
Lors d'une période, l'énergie d'un oscillateur diminue de
∆E = ½ c A 1
2
- ½cA0
2
= ½cA
2
(exp ( - 2 δ T) - 1)
La variation relative de l'énergie devient, pour δ petit , donc exp (- δ t) = 1 - δ t :
1
1
/ 2π (∆E / E) =
/ 2π ( 2 δ T) = 2 δ / ω = k / mω
On appelle facteur de qualité, Q, la valeur réciproque de cette quantité:
Q = ω / (2δ)
Plus petit l'amortissement, d'autant plus petite la perte d'énergie par période et d'autant plus grand le
facteur Q. A part le facteur 2 (dû au fait qu'on considère l'énergie et non pas l'amplitude), Q est
l'inverse du degré d'amortissement.
1 / (2δ) = m / k = τ
est appelé temps de relaxation (d'énergie) de l'oscillateur.
Q=ωτ
Résonance
La puissance injectée dans une oscillation forcée par la force excitatrice, se calcule selon
P = F v = F 0 cos ω t (- A ω sin ( ω t - φ) = F 0 cos ω t
A ω {- sin ω t cos φ + cos ω t sin φ}
En prenant la moyenne d'une période, le terme mixte sin ω t cos ω t s'annule et le terme en cos
donne ½ .
La formule générale pour tan φ (voir script) peut se transformer en sin φ ce qui donne:
sin φ = k ω / m √N
2
√N étant la racine du dénominateur de la formule d'amplitude.
En insérant la formule d'amplitude pour A, on obtient finalement pour la puissance moyenne:
2
P moyenne = ½
F0
----m
2
2
Γ ω
---------------------------2
2 2
2 2
(ω0 - ω ) + Γ ω
avec Γ = k / m
Dans le cas d'un amortissement faible (donc Γ << ω0) on trouve la relation suivante:
La pulsation où l'oscillateur absorbe moitié de la puissance de résonance est donnée par:
ω½
2
2
= ω0 + Γ ω ½
(Γ << ω0):
ω ½ = ω0 + ½ Γ
Γ = k / m est donc l'épaisseur à mi-hauteur de la courbe de puissance en fonction de la pulsation
excitatrice.
Remarquez que
Γ= 1/τ
en comparant avec l'oscillation libre amortie.
Q = ω/ Γ
Stefan Stankowski
BFH / HES BE - TI Biel / Bienne