IV – Energie électromagnétique 1 Energie électromagnétique en

IV – Energie électromagnétique
1 Energie électromagnétique en régime stationnaire
1.1 Energie électrostatique dans le vide
1.1.1 Distribution de charges ponctuelles
Il s'agit de calculer l'énergie potentielle contenue dans une distribution de N charges qi placées
aux points Mi. Selon la convention habituelle, nous prenons pour origine l'énergie de l'état
dans lequel les charges sont infiniment éloignées les unes des autres. L'énergie potentielle Ue
est donc le travail à fournir pour construire la distribution en ramenant les charges depuis
l'infini.
Pour un système de deux charges q1 et q2, on peut par exemple ramener la charge q2 jusqu'au
point M2 dans le potentiel de la charge q1 fixe :
U e = q 2 Φ (M 2 ) ,
1
q1
Φ (M 2 ) =
étant le potentiel créé par la charge q1 au point M2 .
4πε 0 M 1M 2
En effectuant la même opération en inversant le rôle des charges, on obtiendrait de la même
façon U e = q1Φ(M 1 ) . Le rôle des deux charges étant symétrique il est donc logique d'écrire
l'énergie Ue sous la forme :
Ue =
1
[q1Φ(M 1 ) + q2Φ(M 2 )]
2
Cette expression se généralise pour un système de N charges :
[IV-1]
1 N
U e = ∑ qi Φ i
2 i =1
Φ i étant le potentiel créé au point Mi par l'ensemble des N − 1 autres charges ( j ≠ i ).
Il faut noter cependant que la variation d'énergie potentielle pour apporter une charge
supplémentaire q au point M dans cette distribution est :
[IV-2]
∆U e = q Φ (M )
Ce résultat n'est pas contradictoire avec le précédent car la présence de la charge q modifie
tous les potentiels Φ i ressentis par les autres charges.
1.1.2 Distribution continue de charge
Pour calculer l'énergie potentielle d'une distribution continue de charge ρ (M ) contenue dans
un dans un volume V, on peut utiliser les résultats obtenus pour une distribution discrète. la
sommation étant remplacée par une intégrale sur le volume V, l'élément différentiel de charge
étant dq = ρ dV .
L'énergie potentielle totale de la distribution est alors déduite de l'expression [IV-1]:
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Ue =
[IV-3]
1
ρ (M )Φ (M )dV
2 ∫∫∫
V
De même, la variation d'énergie obtenue lorsqu'on rajoute en tous les points de la distribution
une petite densité de charge dρ (M ) est déduite de [IV-2] :
δU e = ∫∫∫ δρ (M )Φ (M ) dV
[IV-4]
V
On obtient évidemment des expressions analogues dans le cas de densités surfaciques de
charge distribuées sur une surface S :
Ue =
1
σ (M )Φ (M ) dS
2 ∫∫
S
δU e = ∫∫ δσ (M )Φ (M ) dS
S
1.1.3 Calcul à partir du champ électrique
Nous allons montrer que le calcul de l'énergie électrostatique peut être aussi effectué à partir
du champ électrique créé par la distribution de charges.
r
En utilisant l'équation locale ∇ ⋅ E = ρ ε 0 , la quantité Φ ρ qui intervient dans l'intégration
donnant Ue (équation [IV-3]) peut être écrite :
r
Φ ρ = ε 0 Φ∇ ⋅ E
r
r
r
En tenant compte de la relation ∇ ⋅ Φ E = ∇Φ ⋅ E + Φ ∇ ⋅ E et de la définition du potentiel,
cette expression peut être mise sous la forme :
r
r r
Φ ρ = ε0 ∇ ⋅ Φ E + E ⋅ E
( ) ( )
[ ( )
(
)
]
L'énergie potentielle peut être obtenue en intégrant cette égalité sur n'importe quel volume V'
entourant le volume V, la densité de charge étant nulle à l'extérieur de V :
[ ( )
]
r
r
1
1
1
ρ
Φ
dV
=
ρ
Φ
dV
=
ε
∇
⋅
Φ
E
+
E
⋅ E dV
0
2 ∫∫∫
2 ∫∫∫
2 ∫∫∫
V
V'
V'
r
Montrons que l'intégrale ε 0 ∫∫∫ ∇ ⋅ Φ E dV tend vers zéro si la surface Σ limitant le volume
Ue =
( )
V'
V' est repoussée à l'infini.
D'après le théorème de la divergence
r
ε 0 ∫∫∫ ∇ ⋅ Φ E dV = ε 0 ∫∫ Φ E ⋅ dS
( )
Σ
V'
Si la surface Σ est une sphère de rayon R, le potentiel Φ décroît en 1 R , le champ E en 1 R
alors que la surface n'augmente que comme R2. L'intégrale tend donc vers zéro comme 1 R
lorsque R tend vers l'infini. On obtient donc finalement l'expression :
2
[IV-5]
Ue =
r2
1
ε
E
∫∫∫ 0 dV
2 espace
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1.2 Energie électrostatique en présence de diélectriques
1.2.1 Elément polarisable dans un champ électrique
r
Nous avons vu dans le chapitre I que l'énergie potentielle d'un dipôle permanent p placé dans
un champ électrique est donnée par :
r r
U pot = − p ⋅ E
Dans le cas ou le dipôle est induit par le champ électrique, il faut intégrer la variation de
l'énergie potentielle au cours de l'établissement du champ.
Pour un élément ayant une réponse linéaire et isotrope, le moment dipolaire créé par un
r
r
r
r
r
r
champ E est p = ε Oα E . Lorsque le champ électrique passe de E ' à E ' +δE ' , la distance
entre les charges varie de δ d dans la direction du champ. Le travail effectué par le champ
r
r
est donc δw = qE ' ⋅ δd = E '⋅δ p .
r
L'énergie potentielle dans un champ E est l'opposé du travail total fourni par le champ :
E
E
r
r
r2
1
U pot = − ∫ E '⋅dp = − ∫ ε 0α E '⋅dE ' = ε 0α E d'où
2
0
0
[IV-6]
r2
1
1r r
U pot = − ε 0α E = − p ⋅ E
2
2
Quel que soit le sens du champ électrique, un élément polarisable sera donc toujours attiré
vers les régions dans lesquelles le champ électrique est maximal.
1.2.2 Energie d'une distribution de charges en présence de diélectriques
La distribution de charges est toujours construite à partir de charges initialement à l'infini,
mais certaines régions de l'espace sont remplies de diélectriques. Ces diélectriques, en
position fixe, sont déjà présents avant de ramener les charges. Leur polarisation dans le champ
des charges va donc modifier l'énergie totale de la distribution.
Le calcul de la variation d'énergie lorsque la densité de charge varie de δρ (équation [IV-4])
reste toujours valable mais la répartition de potentiel Φ est modifiée par les diélectriques.
r
On peut effectuer un calcul analogue a celui de la section 1.1.3 en utilisant le vecteur D . La
r
variation δ D de ce vecteur par l'apport d'une densité de charge δρ obéit à la relation
r r
∇ ⋅ δD = δρ . Le même calcul conduit donc directement à :
r r
δU e = ∫∫∫ E ⋅ δD dV
[IV-7]
espace
r
r
Si les diélectriques sont linéaires et isotropes, D est relié à E en chaque point par
r
r
r
r
r
D = ε 0 (1 + χ )E = ε E , d'où δD = ε δE . L'énergie totale de la distribution s'obtient alors en
r r
intégrant en chaque point la quantité ε E ⋅ δE entre l'état initial où le champ est nul et la
répartition finale du champ lorsque la distribution est complète :
[IV-8]
Ue =
r2
1
ε E dV
∫∫∫
2 espace
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On trouve une expression analogue à celle obtenue dans le vide, la permittivité diélectrique du
vide ε0 étant remplacée par celle du diélectrique ε.
1.3 Energie totale
Par un raisonnement analogue, en construisant une distribution de dipôles magnétiques ou de
r
boucles de courant créant un champ magnétique B dans tout l'espace, on peut montrer que
l'énergie potentielle magnétique de la distribution est donnée par :
Um =
1
2µ0
∫∫∫
r2
B dV
espace
Pour une distribution de charges électriques et de dipôles magnétiques, l'énergie potentielle
totale Uem sera la somme des deux contributions :
U em = U e + U m
2 Energie dans le vide en régime dynamique
2.1 Puissance fournie aux charges
Dans un champ électromagnétique, une particule de charge q est soumise à la force
r
r r r
F =q E+v∧B .
Pendant un temps dt, elle reçoit une énergie
r r
r r
du = F ⋅ v dt = qE ⋅ v dt
Le travail fourni dans le même temps à un ensemble de particules de charges qi contenues
dans un volume δ V assez petit pour que le champ puisse être considéré comme uniforme est
donc :
r
r
r r
dδ U = ∑ qi v i ⋅ E dt = ( j δ V ) ⋅ E dt
(
)
δV
r
d'après la définition de la densité de courant j .
En un point donné, la puissance par unité de volume fournie
par le champ électromagnétique
r
aux charges libres contribuant au courant de conduction jC est donc :
∂ uc r r
= jc ⋅ E
∂t
La puissance fournie dans un volume fini V s'obtient naturellement par intégration :
r r
dU c
= ∫∫∫ jc ⋅ E dV
dt
V
Pour un système sans dissipation, l'effet de cette puissance est une variation de l'énergie
cinétique des particules. C'est le cas par exemple pour l'accélération des électrons dans un
tube de téléviseur.
Pour un conducteur ohmique par exemple, la puissance fournie est transformée en chaleur
dissipée dans le système, c'est le chauffage par effet Joule.
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2.2 Localisation et conservation de l'énergie
Considérons l'expérience décrite dans le schéma ci-dessous.
A
S1
C
B1
B2
S2
K
Au départ le condensateur C est chargé. Quand on ferme l'interrupteur K, un courant oscillant
passe dans le circuit créant un champ magnétique oscillant dans la bobine B1. Par induction,
ce champ crée une force électromotrice aux bornes de la bobine B2 et donc un courant dans le
deuxième circuit, courant qui allume l'ampoule A.
On peut analyser cette expérience en observant que l'énergie, initialement stockée sous forme
électrostatique et localisée dans le système S1, est passée dans le système S2, puis a été
dissipée à l'extérieur sous forme de lumière et de chaleur rayonnées par l'ampoule. Ce résultat
conduit à penser que l'énergie électromagnétique peut être localisée dans une région donnée
de l'espace et qu'elle peut être transmise d'une région à l'autre. Ces deux propositions ne
peuvent cependant pas être démontrées, elles sont admises comme des postulats, vérifiés par
l'expérience.
On admet donc d'une part que les résultats obtenus en statique par intégration sur tout l'espace
restent valables si on limite l'intégration à un volume fini V. L'énergie électromagnétique
contenue dans le volume V est donc :
U em = ∫∫∫ uem dV
V
où uem est la densité d'énergie électromagnétique donnée par :
uem = u e + u m =
r2
1
1 r
B
ε0 E +
2
2µ0
2
ue et um étant respectivement les densité d'énergie électrique et magnétique.
On admet d'autre part qu'il existe une relation locale de conservation de l'énergie
électromagnétique. En considérant un volume fini V limité par une surface Σ, cette loi doit
exprimer que la variation d'énergie par unité de temps à l'intérieur de V est opposée à la
puissance totale sortant par la surface Σ.
La variation d'énergie à l'intérieur est la somme de la variation d'énergie électromagnétique
dU em dt , correspondant à l'énergie potentielle dans le système et de la puissance fournie aux
charges en mouvement dU c dt , correspondant à l'énergie cinétique ou à la dissipation vers
l'extérieur.r La puissance sortant par la surface peut être caractérisée par le flux sortant d'un
vecteur Iem , appelé intensité électromagnétique. La conservation de l'énergie se traduira
donc par :
r
dU em dU c
+
= − ∫∫ Iem ⋅ dS
dt
dt
Σ
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soit :
r
r r

d 
 ∫∫∫ uem dV  + ∫∫∫ jc ⋅ E dV = − ∫∫ Iem ⋅ dS

dt  V
Σ
 V
Cette relation sera vérifiée quel que soit le volume V si on a la relation locale :
r r
∂ uem r r
+ jc ⋅ E = −∇ ⋅ Iem
∂t
2.3 Egalité de Poynting
r
Pour obtenir une expression de l'intensité électromagnétique Iem , nous pouvons utiliser les
∂ uem r r
équations de Maxwell pour calculer
+ jc ⋅ E :
∂t
r
r
r
2
∂ uem r r ∂  ε 0 E
B 2  r r r  ∂ E r  B ∂B
+ jc ⋅ E = 
+
+ jc  +
⋅
 + jc ⋅ E = E ⋅  ε 0
∂t
∂t  2
2 µ0 
 ∂t
 µ0 ∂t
d'où
r r
v E ∧B
∂ uem r r 1 r r r r r r

+ jc ⋅ E =
E ⋅ ∇ ∧ B − B ⋅ ∇ ∧ E = −∇ ⋅ 
∂t
µ0
 µ0 
On trouve bien l'équation locale de conservation de l'énergie en prenant pour l'intensité
électromagnétique, appelée aussi vecteur de Poynting, l'expression :
r r
r
E∧B
Iem =
[ (
)
(
)]
µ0
Du point de vue des dimensions, l'intensité électromagnétique est une puissance par unité de
surface et s'exprime donc en W⋅m-2.
Il faut noter que l'égalité
r r
2
v E ∧B
∂ ε 0 E
B2  r r

+

 + jc ⋅ E = −∇ ⋅ 
∂t  2
2 µ0 
µ
 0 
appelée Théorème de Poynting est démontrée à partir des équations de Maxwell. Les postulats
sont dans son interprétation
en termes de densité d'énergie (uem) d'une part et d'intensité
r
électromagnétique ( Iem ) d'autre part. On peut remarquer d'ailleurs qu'en prenant un champ de
r r
vecteurs quelconque X (r , t ) les définitions de la densité d'énergie et l'intensité
r
r
r
r r
∂X
u 'em = uem + ∇ ⋅ X et I 'em = Iem −
∂t
vérifieraient aussi l'équation locale de conservation de l'énergie.
Les postulats de définition sont justifiés par l'expérience. Il n'y a pas de méthode simple de
mesure directe de la densité d'énergie, par contre la puissance transportée par une section
donnée d'une onde électromagnétique peut être mesurée directement, par ses effets thermiques
par exemple, ce qui donne accès à la mesure de l'intensité.
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2.4 Exemple
Considérons une onde plane sinusoïdale se propageant selon l'axe Oz, polarisée rectilignement
selon Ox. Les champs électrique et magnétique de cette onde sont donnés par :
r
r r
r
E = E0 cos(ω t − k z )u x , B = E0 c cos(ω t − k z )u y .
Le vecteur de Poynting est donc
r r
r
r
r
E ∧ B E02
Iem =
=
cos 2 (ω t − kz )u z = cε 0 E02 cos 2 (ω t − kz )u z
µ0
µ0 c
En un point donné, l'intensité électromagnétique varie donc sinusoïdalement dans le temps en
cos 2 (ω t − ϕ ) . Dans la pratique, pour des ondes dans le domaine infrarouge ou de fréquence
plus élevée, le temps de réponse des détecteurs est grand
devant la période. L'expérience ne
r
donne alors qu'une valeur moyenne dans le temps < Iem > de l'intensité. Le temps étant grand
devant la période, cette valeur moyenne peut être calculée sur une période :
r
r 1
r
< Iem > = cε 0 E02 < cos 2 (ω t − kz ) > u z = cε 0 E02 u z
2
Remarquons que la densité d'énergie électromagnétique de cette onde est :
r2
1
1 r2
u em = ε 0 E +
B = ε 0 E02 cos 2 (ω t − kz )
2
2µ 0
ce qui, en moyenne dans le temps donne
1
< u em > = ε 0 E02 < cos 2 (ω t − kz ) > = ε 0 E02
2
On trouve donc la relation
r
r
< Iem > = c < uem > u z
qui traduit le fait que, en valeur moyenne, la densité d'énergie d'une onde électromagnétique
dans le vide se déplace à la vitesse c.
3 Energie dans les milieux matériels en régime dynamique
r
Dans un milieu matériel, en plus des courants de conduction jC dont nous avons tenu compte
r
dans le vide, les bilans d'énergie doivent faire intervenir la variation de la polarisation P et
r
l'aimantation M , que l'on peut prendre en compte sous la forme des densités de courant
r
r
correspondantes jP et jM .
3.1 Egalité de Poynting et conservation de l'énergie
Reprenons à l'envers le calcul qui nous a servi à établir l'égalité de Poynting. Pour calculer
v r r
∇ ⋅ E ∧ B µ0 , il suffit d'ajouter au courant de conduction les courants de polarisation et
r
d'aimantation dans l'expression du rotationnel de B .
(
)
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On obtient donc sans nouveau calcul :
r r
vide
r r
v  E ∧ B  ∂uem
r
r
 =
− ∇ ⋅ 
+ E ⋅ jC + j P + j M
∂t
 µ0 
(
vide
où uem
= uevide + u mvide =
ε0E 2
)
B2
est la densité d'énergie calculée comme pour le vide, mais
2µ 0
+
2
r
r
avec les champs E et B créés par les charges et par la polarisation et l'aimantation.
On pourrait se contenter de cette égalité pour traduire la conservation de l'énergie : la
variation locale d'énergie est la variation de l'énergie des champs dans le vide plus le travail
du champ électrique sur tous les courants. Cependant il est d'usage (et pratique) de séparer
différemment en faisant apparaître des densité d'énergie électrique et magnétique dans le
milieu, uemilieu et u mmilieu d'une part et le travail sur les seuls courants de conduction d'autre part.
On inclut tout d'abord la polarisation dans la densité d'énergie électrique en posant :
r
r
r
r  ∂E ∂P  r ∂D
∂uemilieu ∂uevide r r
 = E ⋅
=
+ E ⋅ j P = E ⋅  ε 0
+
∂t
∂t
∂
t
∂
t
∂t


On peut inclure de même l'aimantation dans la densité d'énergie magnétique en calculant
r r
∂u mvide r r
B ∂B r r r
+ E ⋅ jM =
+ E⋅ ∇∧M .
∂t
µ 0 ∂t
(
)
Pour éviter d'avoir une densité magnétique dépendant du champ électrique, on peut
transformer cette expression en utilisant la relation
r
r r r
r r r r r r
r ∂B r r r
E ⋅ ∇ ∧ M = M ⋅ ∇ ∧ E − ∇ ⋅ E ∧ M = −M ⋅
−∇⋅ E ∧ M
∂t
puis en faisant passer le dernier terme de l'autre côté de l'égalité de Poynting que l'on écrit
finalement sous la forme :
r
r
r
r  r ∂
r r  B
r  ∂B r r
v r  B
− ∇ ⋅  E ∧ 
− M  = E ⋅
+ j C .E
ε 0 E + P +  − M  ⋅
µ
∂
t
 0

 µ0
 ∂t

soit :
r
r ∂ r r ∂B r r
v r r
−∇⋅ E ∧ H = E⋅ D + H ⋅
+ jC .E
∂t
∂t
(
)
(
)
(
(
(
)
(
)
)
)
Cette égalité peut donc être interprétée comme l'équation locale de conservation de l'énergie
électromagnétique en identifiant
r
r
r  B
r r r
Iem = E ∧  − M  = E ∧ H
intensité électromagnétique (vecteur de Poynting)
 µ0

r
r
r
∂ue r  ∂E ∂P  r ∂D
= E⋅
= E ⋅  ε 0
+

∂t
∂
t
∂
t
∂t


variation de la densité d'énergie électrique
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r
r
r
r  ∂B r ∂B
∂u m  B
=H⋅
=
− M  ⋅
∂t
∂t  µ 0
 ∂t
variation de la densité d'énergie magnétique
∂uC r r
= jC .E
∂t
puissance fournie aux charges libres
L'indication milieu pour ue et um a été omise puisque cette définition est valable aussi bien dans
le vide que dans le milieu.
L'avantage de cette présentation est de séparer les contributions électrique et magnétique mais
en l'absence de moyen direct pour sonder séparément ue et um, cette séparation reste assez
formelle
3.2 Densité d'énergie électromagnétique
On peut remarquer que, dans ce qui précède, les densité d'énergie électrique et magnétique ne
sont définies que par leurs variations dans le temps. Il n'y a en général pas de relation simple
donnant la densité d'énergie électrique à un instant donné connaissant le champ électrique et
la polarisation, ou la densité d'énergie magnétique connaissant le champ magnétique et
l'aimantation. Nous allons voir que l'on peut cependant trouver de telles relations dans
certains cas.
3.2.1 Milieu linéaire en régime statique ou quasistatique
Si les variations temporelles sont assez lentes, le milieu se comporte comme en régime
r
r
r
r
statique, on peut alors écrire P = ε 0 χE ou D = ε E . En intégrant dans le temps les variations
de la densité d'énergie électrique entre un instant initial t1 sans champ et un instant final t2 où
les champs sont établis, on obtient :
r
tf
E
r ∂D
r r 1 r2
ue = ∫ E ⋅
dt = ∫ ε E ⋅ dE = ε E
∂t
2
ti
0
On trouve donc la même expression que dans le vide avec ε au lieu de ε 0.
De la même façon, la densité d'énergie magnétique est donnée par :
1 r2
um =
B
2µ
3.2.2 Milieu linéaire en excitation sinusoïdale
Pour tous les autres cas, lorsque les variations temporelles sont rapides, il faut tenir compte du
r
r
fait que la relation entre P et E n'est plus une simple proportionnalité mais un produit de
convolution. L'intégration entre l'état initial et l'état final devient beaucoup plus complexe.
Dans le cas d'une excitation sinusoïdale, on peut cependant calculer la valeur moyenne dans le
temps de la densité d'énergie électrique stockée.
Considérons le champ électrique parallèle à un axe fixe, dont la valeur algébrique est
E = E0 [cos(ω − Ω )t + cos(ω + Ω )t ] avec Ω << ω . Ce champ présente des battements avec des
alternances d'amplitude maximum E0 et d'amplitude nulle. En intégrant entre les instants
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2π
où l'amplitude est nulle et t 2 = 0 où elle est maximum, on peut déterminer la valeur
Ω
moyenne dans le temps de la densité d'énergie stockée pour une amplitude E0 du champ. En
faisant tendre Ω vers zéro, le temps t1 tend vers moins l'infini, ce qui donne, par passage à la
limite, la densité d'énergie stockée pour un champ établi d'amplitude E0. Le résultat de ce
calcul est :
t1 = −
< ue > =
dε 
1 2
E0 ε + ω
d ω 
4 
Le terme ω dε dω , lié à la dispersion, est en général faible devant ε . Pour un verre ordinaire,
dans le domaine des fréquences optique, sa contribution est d'environ 5%. Il pourra donc
souvent être négligé. On obtient alors :
r
1
1
< u e > = ε E02 = ε < E
4
2
2
>
De la même façon, en négligeant la dispersion sur la susceptibilité magnétique, la valeur
moyenne dans le temps de la densité d'énergie magnétique est :
< um > =
r2
1
< B >
2µ
3.3 Dissipation d'énergie en régime sinusoïdal
Considérons, dans un milieu quelconque, un élément de volume soumis à un champ électrique
sinusoïdal. Nous prendrons pour simplifier un champ dirigé selon un axe fixe :
r
r
v
E (t ) = E (t ) u = E0 cos(ω t ) u
Par son action sur les charges libres ou sur les charges de polarisation, ce champ va échanger
de l'énergie avec le milieu. C'est la valeur moyenne dans le temps de cet échange d'énergie
que nous voulons calculer.
3.3.1 Dissipation par conduction
Dans le cas d'un conducteur, si l'on néglige les effets dus à la polarisabilité du milieu,
l'échange d'énergie se réduit à l'échange avec les charges libres. Comme on l'a vu plus haut, la
puissance instantanée fournie par le champ par unité de volume est donc :
∂uC r r
= jC .E
∂t
Dans le cas d'un conducteur ohmique, la conductivité σs est réelle, d'où
r
r
r
jC = σ S E = σ S E0 cos(ω t ) u
et
r r
∂u
1
< C > = < jC .E > = σ S E02 < cos 2 (ω t ) > = σ S E02
∂t
2
Le champ fournit en permanence de l'énergie aux charges. Cette énergie dissipée dans le
milieu sous forme thermique par effet Joule.
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IV-10
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Dans le cas d'un plasma, la conductivité en régime sinusoïdal est imaginaire pure :
σ = −i
σS
= −iσ "
ωτ
La densité de courant est donc déphasée de − π 2 par rapport au champ électrique :
r
r
jC = σ " E0 sin (ω t ) u
d'où
∂uC
= σ " E02 sin (ω t )cos(ω t )
∂t
et
∂u
1
< C > = σ " E02 < sin (2ω t ) > = 0
∂t
2
Il n'y a donc pas d'échange d'énergie en valeur moyenne. La puissance est alternativement
absorbée et restituée par les charges, mais elle n'est pas transmise au milieu en valeur
moyenne. Ceci n'est pas surprenant puisque, dans le modèle de conductivité que nous avons
pris, le cas du plasma est la limite où il n'y a plus de chocs, donc plus de contact entre les
charges libres et le milieu environnant.
3.3.2 Pertes diélectriques
Dans un milieu diélectrique, la puissance instantanée fournie par l'intermédiaire des courants
de polarisation est :
r
r ∂P
∂ uP r r
= E ⋅ jP = E ⋅
∂t
∂t
Dans le cas général, la susceptibilité diélectrique du milieu est une grandeur complexe
r
r
χ = χ '−iχ " . En représentation complexe, la polarisation du milieu est donc P = ε 0 χ E .
La puissance moyenne dissipée peut se calculer en utilisant :
r*
∂ uP
1  r ∂P 
<
> = Re  E ⋅

∂t
2 
∂ t 
d'où
∂ uP
1
> = ω ε 0 χ " E02
2
∂t
La valeur moyenne de la puissance dissipée dans le milieu est donc liée à la partie imaginaire
de la susceptibilité complexe. Dans le modèle de l'atome de Thomson, cette partie imaginaire
est proportionnelle au coefficient de frottement introduit dans le modèle. Dans un modèle de
polarisation d'orientation (modèle de Debye) elle est liée à la constante de temps de relaxation
qui traduit aussi les frottements. Plus généralement, il y a dissipation d'énergie vers le milieu
lorsqu'il y a un retard de phase de la polarisation sur le champ électrique.
Inversement, si la partie imaginaire de χ est positive ( χ " < 0 ), la polarisation est en avance
de phase sur le champ et c'est le milieu qui fournie de l'énergie à l'onde. C'est ce qui se passe
dans le milieu amplificateur d'un laser par exemple. Remarquons cependant que ceci n'est pas
possible en régime permanent si le milieu est un milieu passif. Il faut forcément lui fournir de
l'énergie par ailleurs, ce qui est réalisé par une décharge électrique ou par un flash lumineux
dans le cas d'un milieu laser.
<
Université Pierre et Marie Curie - Licence de Sciences et Technologie - Parcours PF - L3
Module LP312 Electromagnétisme I
Pierre Boissel
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Remarque Pour le calcul des échanges moyens d'énergie en régime sinusoïdal on a
r
r
r
r ∂P
r ∂D
r ∂E
∂ uP
∂ ue
<
> =< E ⋅
> =< E ⋅
> =<
> puisque < ε 0 E ⋅
>=0.
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
On trouve indifféremment les deux expressions dans la littérature, mais il ne faut pas oublier
qu'elles ne sont équivalentes que si l'on s'intéresse seulement aux valeurs moyennes.
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