Signal et ondes progressives

Signal 1 Signal et ondes progressives
Lycée Jules Viette - Grand Chenois - Physique-Chimie - TSI 1 - 2016-2017
Contenu du programme officiel :
Notions et contenus
Exemples de signaux, spectre.
Onde progressive dans le cas d’une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive. Célérité, retard
temporel.
Onde progressive sinusoïdale : déphasage, double périodicité spatiale et temporelle.
Capacités exigibles
- Identifier les grandeurs physiques correspondant à des signaux acoustiques, électriques, électromagnétiques.
- Connaître quelques ordres de grandeur de fréquences dans les domaines
acoustiques et électromagnétiques.
- Prévoir dans le cas d’un onde progressive pure l’évolution temporelle à
position fixée, et prévoir la forme à différents instants.
- Établir la relation entre la fréquence, la longueur d’onde et la célérité.
- Mesurer la célérité, la longueur d’onde et le déphasage dû à la
propagation d’un phénomène ondulatoire.
En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.
Table des matières
1 Ondes et signal
1.1 Les ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Le signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2 Description d’une onde progressive dans
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Représentations spatiales et temporelles .
2.3 Célérité et retard . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Passage d’une représentation à une autre
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2
2
2
3
4
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5
5
6
7
8
3 L’onde progressive sinusoïdale
3.1 Point mathématique : les fonctions sin et
3.2 Le signal sinusoïdal . . . . . . . . . . . . .
3.3 Spectre d’un signal . . . . . . . . . . . . .
3.4 Périodicités spatiale et temporelle . . . .
le cas unidimensionnel
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
cos .
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4 Transmission d’un signal physique par une onde
1
1.1
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9
Ondes et signal
Les ondes
Sur la figure 1 ci-contre, on observe une feuille
qui touche la surface de l’eau. Localement, au point
d’impact, la hauteur de l’eau est perturbée. On
constate que cette perturbation se transmet depuis
ce point source sous la forme d’un phénomène que
l’on nomme une onde.
Définition. Une onde est la propagation d’une
modification des propriétés physiques d’un
milieu matériel ou immatériel engendrée par une
action locale. Cette propagation s’effectue à vitesse finie déterminée par les caractéristiques du
milieu.
Maxime Champion - www.mchampion.fr
Fig. 1 – « Ronds » dans l’eau : il s’agit de la propagation d’une onde.
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Signal 1 : Signal et ondes progressives
Le phénomène ondulatoire nécessite donc une source et un milieu de propagation. Un éventuel récepteur
situé plus loin recevra l’onde en un temps fini.
Milieu de propagation
Source
Recepteur
Onde
Exemple 1 :
B Les ondes mécaniques : vagues, son, ondes sismiques...
B Les ondes électromagnétiques : radio, lumière, UV...
B Les ondes électriques...
1.2
Le signal
Définition. Un signal physique correspond à la perturbation portée par l’onde en un point donné de
l’espace.
Le signal est ce qui est lu par le récepteur, placé en un point donné de l’espace.
Exemple 2 : L’onde radio porte le signal d’une chanson.
2
Description d’une onde progressive dans le cas unidimensionnel
2.1
Définitions
Définition. Un phénomène propagatif est dit unidimensionnel lorsque la propagation se fait dans une
seule direction de l’espace.
C’est le cas des signaux dans les câbles électriques, dans les fibres optiques, les vagues dans les canaux...
Définition. Une onde progressive est une perturbation qui se retrouve à l’identique un peu plus loin
un peu plus tard.
Ce sera le cas des signaux étudiés cette année. Ainsi, la propagation ne de l’onde ne modifie pas le
contenu du signal.
2.2
Représentations spatiales et temporelles
I Représentation spatiale
Expérience 1 : Ébranlement d’une corde
t=0
•
_
t = t1
•
t = t2 > t1
•
x
Dans une représentation spatiale, on regarde à un temps fixé la perturbation dans tout l’espace.
Exemple 3 : Une photographie est une évolution spatiale, à un instant donné, on regarde la
disposition des choses.
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Signal 1 : Signal et ondes progressives
I Représentation temporelle
Dans une représentation temporelle, on regarde à un endroit fixé la perturbation sur toute sa
durée.
Exemple 4 : Dans l’exemple de l’ébranlement de la corde, une représentation temporelle
serait représentée par le schéma ci-dessous.
x1 fixé
•
t
Exemple 5 : L’évolution d’un pixel à un endroit donné au cours d’un film est une représentation temporelle.
I Représentation spatio-temporelle
Au vu de ces deux représentations, on constate qu’une onde dépend de deux variables, le temps t et la
position x. Cette représentation spatio-temporelle est illustrée figure 2.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
(a)
0 1 2 3 4 5
x
(c)
0 1 2 3 4 5
t
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
(b)
0 1 2 3 4 5
x
(d)
0 1 2 3 4 5
t
Fig. 2 – Représentation spatio-temporelle d’une onde (à gauche). Les 4 figures de droites représentent l’allure du
signal suivant les coupes représentées par les ligne rouge du schéma de gauche. La figure (a) est la représentation
au temps t = 0 de la variation spatiale de l’onde, la figure (b) celle au temps t = 3, la figure (c) est la
représentation temporelle du signal à la position x = 1 et la figure (d) est celle à la position x = 3.
Exemple 6 : Un film est la représentations spatio-temporelle du pixel (représentation temporelle) et de la photographie (représentation spatiale).
2.3
Célérité et retard
Expérience 2 : TP 01 - Mesures de la célérité du son
Lors du TP 01, on réalise l’expérience schématisée ci-dessous :
un émetteur d’ultrason envoie des salves mesurées par deux récepteurs situés à une distance L l’un de l’autre. Sur l’oscilloscope,
on visualise simultanément les deux signaux mesurés en fonction
du temps. On observe une figure similaire au schéma ci-contre.
Émetteur
R1
L
R1
τ
R2
R2
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Signal 1 : Signal et ondes progressives
Le temps mesuré τ est le retard entre la réception de l’onde par le récepteur R1 et le récepteur R2 . Le
retard d’une onde correspond au temps nécessaire pour que le signal se propage.
Définition. On définit la célérité c d’une onde comme sa vitesse de propagation. Elle s’exprime en m/s.
Dans l’expérience du TP 01, la célérité correspond à la distance entre les deux récepteurs divisée par
L
.
le temps nécessaire pour parcourir cette distance, on a donc c =
τ
Signal
B ondes électromagnétiques dans le vide
B son dans l’air à 20 ◦C sous 1 bar
B son dans les métaux
B son dans l’eau
Célérité
3 × 108 m/s (vitesse de la lumière)
≈ 340 m/s
quelques km/s
≈ 1500 m/s
Tab. 1 – Quelques ordres de grandeurs de célérités à connaître.
Remarque : Comme le son se propage beaucoup plus vite dans les métaux que dans l’air, les
Indiens d’Amériques pouvaient anticiper l’arrivée d’un train en écoutant les rails. De même,
une explosion sera entendue beaucoup plus rapidement sous la mer que dans l’air.
La célérité lie les évolutions spatiales et temporelles de l’onde. Ce qui se passe en un point donné x1 à
un temps donné t1 est lié à ce qui s’est passé à un point x0 précédent et à à un temps t0 antérieur. Comme
cela est représenté figure 3, la célérité influe donc naturellement sur la représentation spatio-temporelle, et
donc sur les représentations spatiales et temporelles.
(a) Célérité c = 0.5 m/s
(b) Célérité c = 1 m/s
(c) Célérité c = 1.5 m/s
Fig. 3 – Représentation spatio-temporelle de la propagation de l’onde de la figure 2 pour différentes célérités.
2.4
Passage d’une représentation à une autre
Reprenons les représentations spatiales et temporelles de la figure 2. Nous pouvons faire deux remarques
visuelles, les deux représentations semblent « inversées » et elles n’ont pas le même « étalement ».
L L L Attention ! Ces remarques sont purement visuelles. Les deux représentations ne sont pas en réalités
comparables car ce qui se passe dans le temps et ce qui se passe dans l’espace sont des choses totalement
différentes.
Pour comprendre ces observations, prenons l’exemple d’une « ola » dans un stade. Pour simplifier le
schéma, chaque personne sera représentée par un point dans la figure 4.
En « lisant » la photographie de gauche à droite, la première personne vue est en train de se rasseoir
(fin de l’onde au niveau temporel) alors que la dernière personne vue se lève (début de l’onde au niveau
temporel). Début de l’onde et fin de l’onde s’inverse au niveau de la lecture entre les représentations
spatiales et temporelles.
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Signal 1 : Signal et ondes progressives
Par ailleurs, la photographie ne donne pas d’information sur la célérité à elle seule. Il y a toujours 5
personnes sur la « ola », mais selon la célérité, chaque personne reste plus ou moins longtemps debout.
Ainsi, le signal peut être plus ou moins « étalé ». Ce phénomène est visible en faisant des coupes de la
figure 3 pour obtenir des représentations spatio-temporelles.
•
Cette personne se rasseoit.
•
•
•
Cette personne commence à se lever.
•
•
•
•
•
Fig. 4 – Représentation spatiale (photographie) d’une « ola ».
Application 1 : Une onde progressive se propage le long d’une corde à la célérité c = 100 cm · s−1
vers les x croissants. À t = 0, le signal créé au point A débute. En utilisant la figure, déterminer
l’instant correspondant à l’image et la durée de la perturbation. Tracer ensuite yA (t) puis représenter
la corde à t = 1 s.
y
A
2
4
6
x(dm)
8
Application 2 : Une onde progressive se propage le long d’une corde à la célérité c = 10 cm · s−1
vers les x croissants. En x = 0 (point A de la corde), on crée le signal représenté sur le schéma.
Déterminer la durée et la longueur de la perturbation. Tracer ensuite y(x) à t = 1 s puis tracer yM (t)
avec AM = 3 cm.
yA (cm)
0.2
3
3.1
0.4
0.6
t(s)
0.8
L’onde progressive sinusoïdale
Point mathématique : les fonctions sin et cos
I Relations dans le triangle rectangle
Les fonctions sinus et cosinus sont avant tout des relations dans le triangle rectangle. Avec les notations
du triangle ci-dessous, il vient
c
Adjacent
=
;
a
Hypothénuse
b
Opposé
sin θ = =
;
a
Hypothénuse
sin θ
b
Opposé
tan θ =
= =
.
cos θ
c
Adjacent
cos θ =
a
θ
c
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b
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Signal 1 : Signal et ondes progressives
Remarque : Pour se souvenir des relations trigonométriques, on peut se souvenir par exemple
de la phrase « CAHSOHTOA ».
I Le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1. Il permet la lecture directe des sinus et des cosinus
grâce à des projections directes sur les axes, comme tracé figure 5. Ce cerle permet par ailleurs de retrouver
la plupart des relations trigonométriques entre les sinus et les cosinus. On pourra par exemple manipuler
cette animation [1].
Application 3 : À l’aide du cercle trigonométrique, montrer que
B sin θ = sin(π − θ) ;
B cos θ = cos(−θ) ;
B cos θ = sin(π + θ) ;
B sin θ = − sin(π + θ).
I Graphes
On rappelle le tracé des fonctions sinus et cosinus figure 6. Ce tracé est à savoir refaire.
f (x)
sin θ
cos x
1
1
sin x
θ
x
cos θ
−2π − 3π −π
2
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
−1
Fig. 6 – Graphes des fonctions sinus et cosinus.
Fig. 5 – Le cercle trigonométrique.
3.2
Le signal sinusoïdal
Expérience 3 : Le son d’un diapason : observation à l’oscilloscope du son d’un diapason
enregistré avec un microphone. Le signal mesuré est sinusoïdal.
Définition. Le son est une phénomène vibratoire, c’est-à-dire un phénomène qui se reproduit identique
à lui même à intervalle de temps régulier.
La durée entre deux phénomènes identiques consécutifs est la période T , son unité est la seconde.
Le nombre de périodes par seconde est la fréquence f , son unité est le hertz (Hz).
La période et la fréquence sont liées par la relation
f=
On définit la pulsation ω par la relation
1
.
T
ω = 2πf .
La pulsation s’exprime en radian par secondes (rad/s).
Les différentes notations sont matérialisées figure 7.
Un diapason est un instrument qui émet une note pure, c’est-à-dire que le signal sonore émis est
sinusoïdal de fréquence f donnée. Le signal émis est donc de la forme s(t) = A sin(2πf t) = A sin(ωt).
Chaque note de musique a une fréquence donnée. Par exemple, le La3 vaut 440 Hz, le La4 vaut 880 Hz et
le Do2 vaut 130.81 Hz.
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Signal 1 : Signal et ondes progressives
s(t)
A
t
0
−A
T =
1
f
Fig. 7 – Un signal sinusoïdal.
3.3
Spectre d’un signal
Le diapason produit des notes pures, mais ce n’est pas le cas de tous les instruments, et encore moins
de tous les sons. Dans le cas général, un son est la superposition de notes. À l’aide de l’animation [2], on
peut visualiser pour différents instruments l’ensemble des notes produites lors d’un son. C’est une propriété
générale des signaux.
Théorème. Théorème de Fourier
Tout signal physique peut s’écrire comme une somme de signaux sinusoïdaux.
Ainsi, si l’on sait travailler sur un signal sinusoïdal, on sait étudier quasiment tous les signaux car, à
l’aide de ce théorème, on peut décomposer n’importe quel signal en sommes de signaux que l’on fait traiter
indépendamment les uns des autres.
Définition. Pour un signal physique donné, l’ensemble des composantes sinusoïdales d’un signal ainsi que
leur amplitude constituent son spectre en fréquence. On le représente généralement graphiquement.
Pour un signal périodique, la première fréquence s’appelle la fréquence fondamentale et les suivantes
sont les harmoniques. Les fréquences des harmoniques sont des multiples de la fréquence fondamentale.
S(f )
Premières
harmoniques
0 f0
f1
Fondamentale
f2
f
Fig. 8 – Spectre d’un signal.
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Signal 1 : Signal et ondes progressives
3.4
Périodicités spatiale et temporelle
Définition. Une onde sinusoïdale qui se propage est appelée onde progressive sinusoïdale. Mathématiquement, on écrit le signal au point M
SM
+ φ0
s(t, M ) = A sin 2πf t − 2π
λ
où l’on note
. A l’amplitude de l’onde ;
. f sa fréquence (en hertz) ;
. λ sa longueur d’onde (en mètres) ;
. S le point source de l’onde, et donc SM la distance entre le point de mesure et la source ;
. φ0 sa phase à l’origine.
SM
La grandeur Φ(t, x) = 2πf t − 2π
+ φ0 est la phase de l’onde.
λ
Une onde progressive sinusoïdale présente donc une double périodicité, l’une dans sa représentation
spatiale et l’autre dans sa représentation temporelle. La longueur d’onde λ est l’équivalent spatial de la
période T .
x
t
T = 1/f
λ
Fig. 9 – À x fixé, l’onde progressive sinusoïdale est
une fonction sinusoïdale en fonction du temps.
Fig. 10 – À t fixé, l’onde progressive sinusoïdale est
une fonction sinusoïdale en fonction de la position.
I Relation entre longueur d’onde, période et célérité
Considérons la phase Φ(t1 , x1 ) de l’onde à un instant t1 et à la position x1 = SM1 . Supposons, pour se
fixer les idées, que cette phase est maximale. L’onde se propage ensuite d’une distance d pendant le temps
τ . Dans ce cas, il vient
Φ(t1 + τ, x1 + L) = Φ(t1 , x1 ) .
On peut alors utiliser la définition de la phase donnée précédemment et donc
2πf t1 − 2π
x1
x1 + d
+ φ0 = 2πf (t1 + τ ) − 2π
+ φ0 .
λ
λ
•
Position x1
t1
•
Position x1 + d
t
t1 + τ
t
Fig. 11 – Le point rouge matérialise le point que l’on suit. Entre les deux schémas, l’onde, et donc le point
rouge, s’est propagé pendant le temps τ sur une distance d.
d
On montre alors que = λf .
τ
Propriété. La célérité c d’une onde progressive sinusoïdale est reliée à la fréquence et à la longueur d’onde
par la relation
c = λf .
8/9
Maxime Champion
Signal 1 : Signal et ondes progressives
Remarque : On peut aussi démontrer cette relation en notant x(t) la position de la phase
du point rouge en fonction du temps. La célérité de l’onde vaut alors simplement c = x0 (t), la
dérivée de cette position. Par ailleurs, la fonction Φ(t, x(t)) est une constante, et en la dérivant
par rapport au temps, on arrive directement à la relation précédente.
Remarque : Un milieu est dit dispersif si la célérité c dépend de la fréquence ou de la longueur
d’onde. Si c’est le cas, les différentes composantes spectrales d’un signal ne vont pas à la même
vitesse et donc le signal peut se déformer lors de la propagation. Il s’agit de la principale limite
des transmissions réelles.
4
Transmission d’un signal physique par une onde
I Les signaux acoustiques
Les signaux acoustiques se propagent par une modification locale de la pression et de la vitesse locale du
milieu.
Il se propagent dans l’air (≈ 340 m/s à 20 ◦C sous 1 bar) et dans les solides ou les liquides.
Les fréquences audibles sont situées entre 20 Hz (grave) et 20 kHz (aigu) mais ces valeurs varient selon les
individus.
I Les signaux électromagnétiques
Les signaux électromagnétiques se propagent par une modification locale du champ électromagnétique
#” #”
(E, B).
Ils se propagent dans le vide (c ≈ 3 × 108 m/s) et dans certains milieux transparents pour certaines fréquences, par exemple dans l’eau à ≈ 2.25 × 108 m/s et dans les verres entre 1.66 × 108 m/s −
−2.20 × 108 m/s.
Type
Longueur d’onde (dans le vide)
Type
Longueur d’onde (dans le vide)
Rayon X
10 µm - 10 nm
IR
800 nm-1 mm
UV
10 nm–400 nm
Micro-ondes
1 mm - 1 m
Visible
400 nm (violet) - 800 nm (rouge)
Radio
1 m - 106 km
I Les signaux électriques
Ils se propagent dans les conducteurs électriques (métaux notamment) et correspondent à une modification
locale du courant I et de la tension U .
Références
[1] http://tfleisch.profweb.ca/cercle-trigonomeacutetrique.html
[2] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/son/analyseur.php
9/9