Chapitre 9 - Ecoulement non stationnaire - en conduite

CHAPITRE 9
ECOULEMENT NON STATIQNNAIRE, EN CONDUITE,
DE FLUIDE COMPRESSIBLE
© [E.RIEUTORD], [1985], INSA de Lyon, tous droits réservés.
- IX.1 -
ECOULEMENT NON STATIONNAI RE, EN CONDUITE, DE FLUIDE COMPRESSIBLE
Lorsque, dans un réseau de canalisations véhiculant un fluide, on
modifie localement les conditions d'écoulement (mise en route ou arrêt
d'une pompe, manoeuvre d'une vanne, etc.), on introduit dans le fluide une
discontinuité portant sur les paramètres eux-mêmes (pression, vitesse) ou
sur leurs dérivées (-r£, -^, etc.)- En raison de l'élasticité du milieu
dt ox
(fluide+conduite , cette discontinuité se propage de proche en proche avec
une célérité souvent élevée, affectant ainsi rapidement une zone étendue de
l'écoulement considéré.
Cette perturbation, dont l'amplitude peut être importante et qui
se propage, est communément appelée onde» En hydraulique, c'est souvent
sous le vocable de coup de bélier que l'on regroupe l'ensemble de ces phénomènes, cette désignation ayant pour origine les variations de pression
extrêmement brutales qui sont souvent observées.
De par leur nature, et hormis les cas particuliers de résonance,
les phénomènes liés à l'élasticité du milieu s'amortissent rapidement
(quelques aller et retour d'onde), conduisant soit à un nouveau régime permanent, soit, en présence de surface déformable (surface libre par exemple)
ou encore de volume, de grandes dimensions (réservoir d'air comprimé, ...) à
des mouvements d'ensemble le plus souvent de caractère oscillatoire que
l'on peut analyser directement en faisant abstraction de lfélasticité du
milieu.
Dès lors, l'étude des régimes transitoires peut être traitée :
- soit de façon générale avec prise en compte de l'élasticité du
milieu, ce qui conduit à une évaluation précise des paramètres (pression,
vitesse, etc.) en chaque point du fluide et quel que soit l'instant considéré,
- soit de façon simplifiée en supposant le fluide incompressible
et la conduite indéformable, d'où une estimation de valeurs moyennes,
concernant les mouvements dfensemble des domaines fluides considérés.
Dans le présent chapitre, nous traiterons principalement du cas
général et des méthodes de résolution associées. Le cas particulier du
fluide incompressible correspondant au "mouvement en masse" ne sera examiné que brièvement à propos de quelques exemples classiques.
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- IX.2 -
9.1. EQUATIONS DE BASE
Lfétude des écoulements non permanents en conduite de fluide
compressible est très complexe.
On simplifiera considérablement le problème si l'on peut considérer 1*écoulement comme unidimensionnel.
Cela sera possible en première approximation si :
- la conduite a une section lentement variable,
- les rayons de courbure sont grands par rapport aux diamètres,
- la déformation de la paroi reste de très faible amplitude.
Dans ces conditions, on a un écoulement à direction sensiblement
permanente et les paramètres caractéristiques peuvent être représentés à
chaque instant t par leur valeur moyenne dans une section normale aux lignes de courant.
1 ff .
Par exemple, p = —
pds
S
"S
~ 1 f ->
pu - —
pu as
b J
S
La section considérée qui, en raison du caractère quasi unidirectionnel de l'écoulement, est presque plane, sera repérée par son abscisse
curviligne prise sur l'axe de la conduite (par exemple centre de gravité de
la section).
Les valeurs moyennes des paramètres considérés seront alors des
fonctions de x et de t seulement.
9.1.1. Equation de conservation
- Masse
En désignant par p ( x , t ) la valeur moyenne de la masse volumique
dans une section d'abscisse x au temps t, la conservation de la masse
contenue entre deux sections d'abscisse x et x+Ax s'exprime par la relation :
d [
~
-T;
, PS dx
' Ax
fSpS + —Jdx
9puSl, = 0
[—
JAx
et, ceci étant vrai quel que soit Ax, on a, dans chaque section S,
•f-f 1 - 0
Si l'écoulement est permanent, il vient,
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<»-'>
- IX.3 -
puS « m « este ,
traduisant la constance du débit massique m
quelle que soit la section.
- Quantité de mouvement (en projection sur l'axe de la conduite)
Comme pour l'équation de continuité, les valeurs considérées sont
des valeurs moyennes. Dans ces conditions, l'équation intégrée sur une
tranche d'épaisseur Ax représentant un petit domaine AD permet d'écrire en
projection sur ox (= oxj pour les composantes du tenseur des contraintes).
L > £ s d x = j A - ^ s d x + l **•"*/,F s d *
Ax
Ax
JAD
3
;
Ax
où f est la valeur moyenne de la composante sur x des forces de volume «
^T i '
!
I
-—J- di =. j T, . n. ds « I
9>V
!
J
J
J
;
àD J
S
'S
f
Or,
f
T- . n. ds +
1J J
n
T. . n. ds
lj J
^AS,
L
J J
T J . n. ds ?M 0 car, pour les faces normales à la direction de
k
l'écoulement, les contraintes de viscosité ont une composante sur ox négligeable (TU
~ (A + 2p) -r—^ négligeable devant p et il en est de même pour
la résultante des contraintes tangentielles si les sections sont
curvées.
peu in-
Sur la paroi, la composante de la contrainte dans le système
d'ânes représenté ci-contre est :
n-^.,1^
TJ « T*2 - l^ (* + 2y) - 0
T5 = T^2 - 0
l'axe ex] étant orienté selon une génératrice
de la conduite et 0x2 suivant la normale à la
paroi.
Finalement, le terme visqueux se réduit à la composante tangentielle T] = y ——f (on retrouve la loi de Newton).
dX2
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- IX.4 -
En projection sur ox, on a alors
Tf . d$L cos a « ïf x dx
où T
est une valeur moyenne de Tj sur le périmètre x«
D f où la relation i
sf d
sa
tsd
L £ *--IJ *-L'«"" • L *
et si Ax -* 0
T
X
- du
p
_ . - .SPJ Uf_ +
f
ou encore en introduisant le diamètre hydraulique D = —
*3?--s*^*
™
H.
Nous avons vu que T- est de la forme T
= - C^.y p|u|u où C
est le coeffi-
cient de frottement à la paroi, fonction essentiellement du nombre de
Reynolds —
et de la rugosité relative de la paroi —.
En écoulement turbulent, la valeur de C
égale à celle du régime permanent.
est prise habituellement
En écoulement laminaire, il est par contre possible, selon une
méthode proposée par ZIELKE^), d'exprimer C en fonction du profil des
vitesses réel.
- Energie
II convient ici de choisir la variable thermodynamique s, h ou e la
mieux adaptée à la nature de l'écoulement considéré (isentropique, isenthalpique, ...).
a. Formulation à partir de l'énergie interne
On considère la relation générale :
p
d(e + | u.u)
-_
« Q^ _ div(q -f pu - T.U) -s- î,u
(1) ZIELKE W. : Frequency dépendent friction in transient pipe flow,
A.S.M.E., Journal of Basic Engineering, mars 1968, pp. 109-115.
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- IX.5 -
que l'on intègre sur une tranche de fluide d ? épalsseur Ax après transformation de certaines intégrales de volume en intégrale de surface, ce qui donne :
r
J
_ d(e + ~ u2) ,
r
^
f -* +
f « ->
f -> +
pg
_
Q g^x _
q.nds pu.nos +
T.unds +
f.u ai
dt
v
js
Js
js
JD
Ax
^Ax
Pour les intégrales du second membre, on a, en les explicitant à
partir des valeurs moyennes des paramètres sur une tranche Ax :
*/ EHif!-!ïE..aEE2E££e_.0H._Ëïî-'-eYi:e 5U ^iHl^e S2HS £2rî£ thermique
- par transfert à la paroi
4-
Si 1 on néglige les transferts par conduction sur les faces d'entrée et de sortie du fluide (gradient thermique longitudinal et conductivité faible^ ne considérant que les transferts à la paroi AS , on a :
-
q.n ds - J
où q
q.n ds =
'ASL
S
q
JAX
dx
C
est une quantité de chaleur apportée ou enlevée par conduction a la
paroi par unité de longueur et de temps.
- par apport (ou enlèvement) thermique au sein du fluide
(Réaction chimique, changement de phase, rayonnement, dissociation, ...).
On pose q
si q
- Q S quantité de chaleur moyenne produite (ou enlevée
< 0) au sein du fluide par unité de longueur et de temps.
Dans ces conditions, l'apport thermique total sera par unité de
longueur et de temps q « q^ + q^ et l'apport total sur la tranche d'écoulement Ax
f
;
q
dx
Ax
* A noter que, si l'on veut tenir compte de ce type de transfert, il s u f f i t
d ' a j o u t e r au terme en q des équations ci-dessous un terme en 9q/8x où q
représente le flux de cnaleur lié au gradient longitudinal de température.
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- IX.6 -
• par di-ssïpCLt-ipn
J
visqueuse
( r . u ) . n ds
S
• _Ë.U£. ie^. i.a£e^. lL°£PlL^s_a_^J_®£9Hl^JË:n.£.
La seule composante de T qui intervienne est T J I qui, comme
nous l'avons vu, est très faible. Sa contribution peut donc être négligée.
• JLHE ia_P^.r°.^_™^£ i3^0®.11^.11^^
u ?M 0 à la paroi, la seule composante.non nulle^de la vitesse,
résultant du déplacement de la paroi. Toutefois, la contrainte visqueuse
qui lui est associée étant très faible, sa contribution est négligeable et
l'on a pratiquement
(i.u).nds - 0.
J
S
2/ Puissance résultant_des forces_de pression
\ + +, ,, j j_E_
fspus + p _j
as),
j^.nas
dx
le terme en p —
ot
correspondant au déplacement de la paroi.
Finalement, lféquation de l'énergie peut s'écrire :
r
•'A
»^^-[v-| (^-fj- 4'.-.
•'A
•'Ax
Cette relation étant vraie quel que soit Ax, il vient :
d(e + - u2)
P»—âf- -.-^-Pf-xoù f représente la composante des forces de volume dans la direction de
l1écoulement.
Si ces forces dérivent d'un potentiel tel que :
? »-p grad V
f.u «-pu —
(pour la pesanteur, V « gz)
—p —
(V étant supposé indépendant de t),
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- IX.7 -
on a la relation :
d(e
DS
PS
+. — u 2 + V)}
2
__
dt
Jpus
« t " "tr "
=
P
3S
3F
(9
~3)
b) en fonction de l'enthalpie
_
Comme
8puS
3uS
_ 3p
—*— = p --— -f uS T^
3x
3x
dx
et que, d'après l'équation de continuité s
3uS _
_§_ _dp _ 3S
8x ~ ~ p dt
3t '
il vient :
3uS
P 1F ' +
Spp
d!
p
3S
-âT - p ^
et en reportant dans (9-3), compte tenu du fait que :
I
p = dh
j. dp
dt
dt ~ p dt
d
de
dt
P
d(h 4- }u 2 + V)
q
p__^__^,|£.
(9.4)
A noter qu'en régime permanent, on a simplement :
pSu -^ (h + |u 2 -f V) - q t
.
„
1 o
= pSu et h - h + y u z + V, il vient la relation
En notant q
classique :
fV x
;
h
t
X2
" ht
=
xi
xx
m
•
exprimant que la variation d f enthalpie entre deux sections x j et X2 est
égale à la chaleur reçue par unité de débit massique.
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- IX.8 -
k* ÏSI^Hi^EiS11»! P2EB.il™!6 ^l£™r°E^e
En utilisant la relation (4.51) exprimant la conservation de
l'énergie en termes d^entropie. on a, par intégration sur un domaine AD,
compte-tenu que 4>} = T : grad u, la relation
pT ~ dT = )QvdT -
•'AD
q.n ds +
h
•'AD
TÎ grad u di
(9-5)
•'AD
et en introduisant des valeurs moyennes sur la section, compte-tenu de la
forme ci-dessus donnée aux termes correspondant à l'apport thermique
[
J
pi ^S dx - |
J
Ax
q t dx+ f
'AD
Ax
!£ d.
T
J
j
Or, le dernier terme peut s'écrire i
f
r
9u.
i j
3x
T. . "T—— QT =
JAD X J
ST. . u.
i ] 3 - j
8x
•r
——T**— ÛT -
j
JAD
9i. .
" iJ j
x 3x
U, ——-*• dT
j
JAD
j
Sij dans cette expression, on admet que
r
~ pour la raison déjà invoquée
JAD
9t.. u.
J
dT - 0
3x
j
- les composantes normales (112,1*3) de la vitesse sont négligeables
- les gradients de vitesses sont très faibles en-dehors du voisinage immédiat de la paroi et que seules leurs composantes normales à l'écoulement ont une valeur appréciable. Alors, on peut écrire, compte-tenu de
(4.18) et (4.19)
f
^T ' *
^Tl •
f
f
dT
i ^J dT " ui ^
J
•'AD
•'AD
•'s
u
et finalement l'expression (9-5)
f
^AX
^T ^ S dx = f
dt
q
JAX l
f
u
* ^1 j nj dT M "i Tf x ^
^s
s*écrit :
dx - f ïï T
JAX
f
X
dx
soit sous forme différentielle,
«i-V^
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- IX.9 -
Si l'on note que Tf est de la forme T- * - Cf.y P|Û|Û, on voit
que le terme correspondant du second membre de cette expression est toujours positif.
9.1.2» Equations de comportement
- Fluide
On a p = p(s9p), mais, comme on supposera négligeables les phénomènes thermiques liés à la dissipation mécanique ou aux échanges avec l'extérieur (s = este), il vient simplement :
f-£dp.
(9-7)
où K est le module d'élasticité volumique du fluide à entropie constante,
coefficient qui, pour l'eau, est pratiquement identique au module isotherme
K
Û0 (Y ^ 1)» soit environ 2,1.109 Pa.
Pour un gaz, le caractère isentropique supposé pour les transformations conduit à :
K = Y? ,
avec y = 1»^ pour les gaz diatomiques usuels (air, N£ S 02, ...).
~ Conduite
La conduite est supposée élastique et se déformer comme si elle
était constituée dfanneaux indépendants.
En supposant par ailleurs son épaisseur suffisamment faible pour
admettre que la contrainte est uniforme sur l'épaisseur, la loi de comportement à considérer se réduit à la loi de Hooke a = Ee, où e est la variaD — T)
tion relative du périmètre £ = -—~—%
D le diamètre, a la contrainte norD
0
mâle et E le module d'Young»
Comme on sait que, dans une conduite de faible épaisseur et de
section circulaire, la contrainte a, pour une différence de pression p entre l'extérieur et l'intérieur, peut être prise de la forme :
a -f
(9-8)
où e est l'épaisseur de la conduite.
On en déduit immédiatement :
D
- D° _ PD
D0
~ 2eE '
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(99)
(9 9J
- IX.10 -
c'est-à-dire:
f „ f£
d'où, en introduisant la section S =
7TD2
, ,
dS=ME
S
eE
(9-10)
9,2. METHODE DE RESOLUTION
En considérant les relations de conservation sous la forme des
équations (9-1), (9-2), (9-4) et (9-7), le système à résoudre est le suivant :
IPS + iPSu m
3t
3x
du
dp
3z
n
DR
M -r— + T^ = - M6
dt
dx
3x
dp
1
•p
K
+
AT
f
D
— = — dp
dS^ = dp_
S
E
D
* e
En introduisant, dans l'équation de continuité, les relations
liant p et S à p, ce système se réduit à :
£+ »£+"2£-°
p
9u
-ât
+ pu
a2 =
avec
9u
+
3p
=
-sr -^ i
et
pg
(9 u)
-
3z +
f
tr "T
io\
(9/n 12)
"
^L = dp
K
pfl.i]
M
[K
4T
P
Eej
Dans le cas des gaz où le terme en —
Le
il vient,
est négligeable devant —,
K
a2 = - = ï - = yrT ,
P
P
ceci pour un gaz supposé parfait (p/P = rT) et compte tenu d'une évolution
isentropique (p/p
= este) .
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- IX.11 -
9.2.1. Méthode des caractéristiques
Le système d'équations ci-dessus est un système d'équations aux
dérivées partielles de type hyperbolique dont les directions caractéristiques peuvent être obtenues en considérant les dérivées des fonctions p, u
le long des courbes du plan x, t où ces dérivées sont indéterminées.
On a ainsi pour les courbesC(A) du plan (x, t) définiesparamétriquement par les coordonnées x = x(A), t « t(A) de chacun de leurs points :
ES. _ lE É*
dA " 8x dA
9p j_t
3t dA
_du _ jh£ dx
dA
9x dA
9u dt
3t dA
Ces deux relations associées aux relations (9-11) et (9-12) cidessus constituent un système qui peut s'écrire, en posant t^ = —
'i
u
„
0
*X
_
1
X
X
2
Pa ]
o
P
|Ed]L f
n
n
9u
°
°
3l
X
8u
3ïJ
n
0
C
°
X
o
3p
3z
^ ^ - pg —
pu
X j
et x^ = -^-,
d
4T
f
+ -jj-
P
dA
du
dl
t
On en déduit la solution pour les dérivées partielles
12-^L
3t
A, Ap , Ap
A
iE.^L
' 3x
A
* "
... sont les déterminants habituels.
Courbes et directions caractéris^igjje^
Dans le cas particulier où les courbes C(A) correspondent à des valeurs de —
et —
telles que A = 0, il n'y aura de solution finie que
si, simultanément, les numérateurs Ap
s
Ap , Au , Au
sont nuls.
Les courbes C(A) où la relation A = 0 est vérifiée sont appelées
courbes caractéristiques et la condition A = 0, qui définit en chaque point
(x, t) la pente de ces courbes, conditions de direction.
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- IX.12 -
De façon analogue, les conditions Ap , Ap , Au , Au
= 0 néces-
saires pour obtenir une solution éventuellement finie sont appelées conditions de compatibilité.
Dans le cas présent, on a les deux directions caractéristiques
correspondant à A • 0,
dx
,
. dt
dl = (u + a) dl
dx
,
. dt
dl = (u ' a) dî
et
ou simplement, puisque u et a sont finis
É* .
dt
u
±a
(9-13)
Dans ces deux directions caractéristiques, les conditions de
compatibilité
Ap
, Ap , Au , Au = 0 conduisent aux deux relations difféF
F
x* F t
x'
t
rentielles ordinaires
AT
dp .
du .
8z dt f dt
_ n
^±
P a ï ï l ± pag-ÏÏI+-F-^- « - 0
,Q ...
(9-14)
le long respectivement des courbes caractéristiques C (A) de pente u + a et
C (A) de pente u - a.
Physiquement, les courbes C(A), où la solution du système linéaire est indéterminée» correspondent aux points (x, t) où les fonctions p et
u peuvent éventuellement avoir leurs dérivées discontinues. On peut donc
interpréter les courbes caractéristiques comme le lieu possible (et le seul)
du plan (x, t) correspondant à des discontinuités pour les dérivées, c'està-dire des surfaces d'onde ordinaire existant éventuellement dans le fluide.
Les équations u ± a qui correspondent en chaque point x,t à la pente
locale des deux caractéristiques qui s'y
croissent représentent respectivement la
vitesse locale de propagation d'ondes
dont la célérité (vitesse par rapport au
fluide) serait ± a.
Dans le cas de conduites parfaitement rigides, on retrouve bien pour
a, compte tenu de sa définition, la vitesse de propagation du son dans le
fluide considéré.
a ) ^^£2?fli2H£
Dans le cas particulier des liquides et, notamment, de l'eau, on a
- u « a, d'où en première
approximation
£-*•
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« IX.13 -
— p, a - este, d'où, en posant p + pgz = p , la forme réduite des
relations de compatibilité
*
4T
—£— + pa T-T - —r— ~rr -a , le long des caractéristiques de pente > 0
—jj-r— pa -rr- - - —r— —
QA
0A
a le long des caractéristiques de pente < 0
J J u A f
Si l'on se limite au cas de l'hydraulique et que l'on introduit,
«
au lieu de la pression motrice p , la hauteur piézométrique h = ^-—s les reUJ
lations ci-dessus s'écrivent en passant à la forme d i f f é r e n t i e l l e
dh ± ^ du ± A a ^ d t = 0
g
2gD
en notant pour dh et du des accroissements pris dans les directions
•j— = ± a et en remplaçant T
par sa valeur- ^ P|U|U
Si enfins au lieu de la vitesse u, on choisit comme inconnue le
débit q, on obtient
- le long de C+ de pente ~| = + a :
- le long de G" de pente —• =* - a :
dh + ~ dq + X j
|
^ dt = 0
d h - - | d q - X j^^ dt = 0.
Comme a est supposé constant, les courbes caractéristiques C et
C du plan x, t sont des droites de pente ± a le long desquelles on a, en
intégrant
h 4- mq +
K q|q| dt = este
h - mq -
K q|q| dt = este
où l*on a posé :
m = —
«s
et K *
•
2gS2D
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- IX.14 -
En_considérant des points suffisamment voisins i, i-1 sur C, et
i, i + 1 sur C, , on peut admettre que le terme sous le signe somme varie peu
sur l'intervalle considéré et écrire
h. -h.., +
h
m
[„. -Vj]
+Kq
._,
q._,
i - hi+1 - » (li - <ïi+1) - K «> i+1 |li+1
[t. - t . ^ j - O
(S - ti+|) = 0
(9-15)
(9-16)
Ces relations permettent le calcul des valeurs de h et q en i à
un instant t à partir des valeurs supposées connues en un point i + 1 et
i - i à un instant t - At antérieur (At = t. - t. t).
i
i±I
A noter que, si l'on néglige les pertes de charges, les relations
ci-dessus forment, dans le plan h,q, un réseau de droites qui est à la base
de la méthode graphique de BERGERON (cf. f'Du coup de bélier en Hydraulique
au coup de foudre en électricité", Ed. Dunod).
- Application aux réseaux hydrauliques
Tout réseau hydraulique peut
être décomposé en un certain nombre de
tronçons de conduite, par exemple ABj,
B 2 Ci, C2D, C 3 E pour l'installation cicontre.
Le but étant de connaître à
chaque instant t la pression, c'est-àdire h et le débit q en tout point du
réseau, on est conduit à résoudre numériquement et simultanément les relations
ci-dessus pour chacun des tronçons de
conduite.
Résolution pour un tronçon de conduite AB
On utilise le maillage régulier formé
dans le plan x, t par les courbes caractéristiques obtenues à partir d'une division de la
conduite en n tronçons Ax égaux. Cela conduit à
des intervalles de temps At = —
également
égaux.
Lorsque le réseau comporte plusieurs
conduites de sections ou de natures différentes, donc où la vitesse de "propagation a est
différente, il est intéressant de conserver,
pour tout le réseau, un même intervalle de temps At, d'où des tronçons Ax.
Ax.
de longueurs différentes de façon que —- « At.
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- IX.15 -
La dimension des mailles est choisie en fonction de la longueur
de la conduite, du taux de variation des paramètres aux extrémités et de la
précision du calcul souhaité.
Dans la pratique, le programme de calcul se développe ainsi :
1. partage de la conduite
en n (pair) tronçons égaux,
2. affectation des valeurs
de h et q en chaque points impairs (h
q 1 ,h 3 ,q 3 ... à t = 0, où elles sont
supposées connues.
3. calcul des points pairs
courants 2, 4, 6, ..., n au temps
At, en résolvant le système des équations (9-12) et (9-13), pour calculer
par exemple q^, puis h.,
4. calcul des points d'extrémité £4
E^
On suppose connues les conditions aux limites données par les caractéristiques de l'appareil qui s'y trouve, par exemple :
- réservoir
: h = este
- vanne, pompe, etc.
: h = f(q, t)
- embranchement à p direction : qj + q2 + • « • q
=0
hi = h2 ... - h
La relation (9-15) ou (9-16), associée à cette condition aux limites, permet de calculer le point correspondant.
5. calcul des points impairs oourant ( 3,5,..) au temps 2At
6. retour à l'étape 3 du programme et nouveau calcul des points
pairs au temps 3At, etc...
Remarque
Dans le cas d'un liquide, il peut se faire que la pression atteigne, en certains points, la valeur p de la pression de vapeur saturante du
fluide. Dans ce cas, il y a formation locale de bulles de vapeur (et de gaz
dissous) limitant à p la valeur minimale de la pression.
Si, de part et d'autre de ces points dits de cavitation, le fluide a des vitesses telles que leurs différences soient négatives, il y a
formation de poches de cavitation que l'on traite habituellement comme de
nouvelles conditions aux limites correspondant à une hauteur piëzométrique
Pv
constante (h - -1—).
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- IX.16 -
b) Aéraul-ique
Le fait que le fluide soit un gaz ne modifie théoriquement pas le
processus de résolution du système d'équations qui reste inchangé.
Toutefois, il sera souvent possible de négliger les forces de pesanteur (p* - p) et de frottement devant celles de pression.
Par contre, la masse volumique, de même que la vitesse de propagation des perturbations, ne pourront plus en général être considérées
comme des constantes. De même, les phénomènes thermodynamiques, liés aux
alternances de compression et de détente, devront, le plus souvent, être
pris en compte.
A cet effet, il est habituel de distinguer le cas des détentes
rapides où l'on considère habituellement les phénomènes comme adiabatiques
ou même isentropiques, si le frottement peut être négligé, du cas des écoulements de gaz en conduite de grande longueur (gazoduc), avec des variations lentes des paramètres conduisant à considérer l'écoulement comme
isotherme.
- Détente (°u_£ompression) isentropique d'un gaz parfait
Les relations (9-Î.5) et (9-16) ci-dessus s'écrivent simplement en
négligeante JLe_fro-ttement—et-J,es—forées—de—pesaatéuï^-:
•— = u ± a
et
P
dp ± padu = 0 .
Comme -~- = este et a
o
pf
P
= y —-, il
p
(9-17)
est possible d'exprimer p et a en
fonction de p seulement et d f i n t ë g r e r la relation de compatibilité sous la
forme :
.Z±
J L ± _ L J J L 2Y „
ao
cste
m
(9 _ 18)
Y - - HPOJ
La non linéarité de cette expression fait qu'il est plus usuel
d'utiliser la vitesse du son comme variable thermodynamique, ce qui conduit
à la relation classique :
^±7^r^= cste'
correspondant, dans le plan u,a, à un réseau de droites de pente ±
(9 9)
-'
r-.
Ce réseau peut être utilisé pour une résolution graphique de façon analogue
à celle proposée par BERGERON dans le plan h,q. Ici, toutefois, les
directions caractéristiques ne sont plus, dans le plan x,t, des droites et
leur trace doit être mené par petits tronçons Ax et At à partir des
conditions initiales.
Supposant les phénomènes isentropiques, il a été, ci-dessus, négligé tout effet lié à la viscosité du fluide. L'expérience confirme bien
la validité de cette approximation dans le cas de conduits dont le rapport
longueur-diamètre reste faible.
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- IX.17 -
Dans le cas contraire, la viscosité du fluide doit être prise en
compte, ce qui, comme dans le cas de lfhydraulique, ne pose pas de problème
au niveau de 1*équation de la dynamique,, Toutefois, dans le cas des gaz,
l'énergie ainsi dissipée peut avoir une incidence non négligeable sur le
plan thermodynamique et il convient alors de considérer également l*équation de l'énergie que l'on exprime habituellement en fonction de lfentropie
selon la relation (9-2).
Cela conduit alors, par un raisonnement analogue à celui développé ci-dessus, à la prise en considération d'une troisième direction caractéristique :
dx
dF = U *
avec, comme relation de compatibilité correspondante, lséquation de l'énergie (9- ), qui est déjà sous forme caractéristique,
ds
q
t
4uT
f .
(9"20>
dt ~ JST ~ ÏTD~H
La méthode de résolution reste sensiblement la même, à cela près
que l'on doit prendre en compte, en sus des relations (9-13), (9-14), une
troisième relation telle que :
S
i
S
im
A
.
pST
^
f
pTD
H
1111
(9-21)
im
Les valeurs des paramètres en i sont ob
tenues par interpolation linéaire à partir de celles en i-1 et i+1, le point i pouvant être déterminé en menant, à partir du point i (obtenu par in
tersection des caractéristiques de pente u+u et
u-a), la droite de pente u. Par itération, il est
ensuite possible d'améliorer la détermination des
coordonnées de i et de i , ainsi que les valeurs
des paramètres u, p, ... en ces points.
- Ecoulement a variations Isntes^des^garametres
De tels écoulements se rencontrent dans les gazoducs où les fluctuations des paramètres sont relativement lentes.
De ce fait, il est possible, compte tenu également de la faible
masse volumique du fluide, de négliger les termes d'inertie et d'obtenir
des solutions approchées relativement simples (voir, par exemple, PASCAL
"Ecoulement non permanent dans les gazoducs", Ed. Technip).
Actuellement, compte tenu des développements des moyens de calcul actuels, il est tout aussi aisé de résoudre directement le système
d'équations original (consulter à. ce sujet l'ouvrage de E.B. WYLIE et
V.L. STREETER : "Fluid Transients", Me Graw-Hill.
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- ÏX.18 -
En effet, les variations des paramètres étant relativement lentes, les transformations qui leur sont associées s'effectuent à température
sensiblement constante et l'expérience montre que la vitesse de propagation
a des perturbations correspondant également à une évolution isotherme. Pour
un gaz parfait tel que ^ = ZrT, a = /ZrT.
Dans ces conditions, le calcul est tout à fait analogue à celui
de l'hydraulique et l'on a simplement à traiter, comme ci-dessus, les relations (9-13) et (9-14).
On choisit habituellement comme variable la pression et le débit
massique m = pSu, S étant constant pour une conduite donnée.
S±t de plus, on admet que le terme de frottement peut s'identifier à la perte de charge en régime permanent, il vient, puisque G£ = A/4t
m
A p
Tf
=
i l
- g § U . | u |
«,
,
S0lt
A m m
Vf-^ '
Comme le fluide a une vitesse habituellement faible devant celle
de propagation des perturbations, on a :
-~ = ± a
avec ici
dt
a = \l^-
yp
(= este)
et comme relation de compatibilité correspondante :
dp ± ^ dm ± £& |5- dt ± \ iMsi dt = 0 ,
S
3 3X
2pDS 2
puisque
(9-22)
p = —
a2
En remplaçant dans cette expression dt par — et en intégrant, il
a
vient immédiatement :
p ± | m±
S
k -|i + X a 2 m l m l ] d x = este .
[a2 9x
2pDS 2 J
(9-23)
Si l'on remarque qu'en écoulement permanent (dm = 0 ) , la relation
(9-22) s'intégre explicitement entre deux points i-1 et i d'abscisse x—Ax
et x sous la forme :
p2 = p ?
i
avec :
i-i - —~rAx ~~r~ /e
Aa^lm! .
B
e
- 1 , 8
. l^x |z
a2
3x
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(9, rt 24)
nl.
'
- IX.19 -
on peut chercher une formulation de lfintégrale de (9-22), telle que, lorsque m -* este, on retrouve l'expression (9-24), traduisant la chute de pression, entre deux sections, en régime permanent.
On obtient ainsi, pour les relations de compatibilité,
,
, dx
. ,le long
de
-r- = + a :
PI - Pt-i + f K - -t-i) + pj+XJ6" - ''
+
__ia!Ax__
•(-i
+
Pi-l)
. « - 1 -j * "i-1 .
M2
0
m
i Vi-1 1 . Q
2
(9 - 25)
J
, d—
x = ~a
. ile llong de
P
af
}
£
i+l
f 3
,]
PI - PI+I - s K - "i+ij - p . + P l + / e - V
3
. m. + m. .
m. + m, ,
. ±_^_L x
1*1 . -i—111
•v 2,
^2^
Ds2
(Pi*Pi+l)
.0
(9-26)
'
Remarque
Dans la plupart des cas pratiques, les variations de pression et
de débit s'étalent sur des périodes relativement longues (plusieurs heures). Dans ces conditions, compte tenu de la valeur élevée de a, le temps
Axl étant
= —
(
Pour pallier
a
1
cet inconvénient, YOW propose d ' a f f e c t e r , dans
l'équation de la dynamique, le terme d'inertie (p •—•) d ' u n coefficient
a 2 » 1, ce qui n'entraîne, lorsque les variations sont très lentes, q u ' u n e
erreur négligeable, mais permet de diviser par a le temps de calcul.
En e f f e t , il vient alors ~r~ = ± ~ et, dans les relations de
dt
a
compatibilité (9-Z2), les termes en dp et dm sont, respectivement, multipliés par a et a2.
Dans les expressions (9-25) et (9-26), seuls les termes en
—(m
- m.+1) sont affectés du coefficient a.
* YOW : Analysis and control of transient flow in naturel gas riping systems, Ph. D. Dissertation, University of Michigan, Ann. Arbor, 1971.
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- IX.20 -
~ î?Ë!l!î2lËJiîL3££I??!::
Même dans le cas des liquides, la méthode des caractéristiques,
telle qu'elle a été exposé ci-dessus, peut s'avérer d'un emploi mal aisé,
notamment en présence de réseau de conduites ayant des caractéristiques
très différentes. L'obligation d'avoir des noeuds de maillage aux divers
embranchements du réseau peut alors conduire à des pas de temps extrêmement
faibles, d'où des temps de calcul exagérés.
Il est alors intéressant
d'utiliser, comme l ? a proposé HARTREE, un
maillage régulier, à pas de temps et d'espace constant, comme indiqué ci-contre, et
de calculer les paramètres en chaque noeud
i, i+1, ..., et à chaque pas de temps
j,
n, n+i, ... à partir des valeurs connues
des paramètres aux points M 9 N et P où les
caractéristiques passant par i, au temps
nAt
coupent la droite de temps constant
(n-l)At.
La condition de COURANT impose, comme dans le cas des différenAx
ces finies classiques, que At ^ T~~~p—T* c'est-à-dire que les points M, N
et P soient compris entre i+1 et i-1.
9.3.1. Méthode générale de résolution
Si, dans les liquides, en-dehors des zones où il y a cavitation,
le fluide peut toujours être considéré comme continu, il n'en est pas de
même dans les gaz où, en présence d'onde de recompression (ligne caractéristique d'une même famille convergente), il y a formation d'ondes de choc,
c'est-à-dire de discontinuité des paramètres.
La méthode des caractéristiques se prête alors mal au traitement
numérique du problème, car il y a une sorte de dégénérescence du réseau
maillé, du fait que les lignes caractéristiques d'une même famille peuvent
se couper.
Dans ces conditions» il est préférable
d'utiliser une méthode de différences finies
classique, malgré les "effets secondaires" qu'introduisent les discrétisations et qui se traduisent par un étalement des fronts d'onde et/ou par la
présence d'oscillations parasites, comme indiqué
sur la figure ci-contre.
Les équations de la mécanique des
fluides étant des équations de conservation, on
montre (voir ROACHE i "Computational fluid dynamics - Hermosa Publishers)
qu'il est avantageux de garder cette forme lors de l'écriture et, par là
même, de la discrétisation de ces équations.
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- IX.21 -
Dans le cas qui nous concerne, la forme conservâtive pure serait :
(9
IMK*
-->
-+
-">
avec des vecteurs F et G tels que :
PS
°
->
-*-
FPSU
G
PSE
oùE = e + y u
_
3n
s
^ £ _
'
,^Su
I 8x
2
+ V
F
3V
pS
.__+TfX
^o
«
8t
'
4
t
e
Ici, toutefois, G f a i t intervenir des dérivées et l ' o n utilisera
plutôt une écriture de la forme suivante, d i t e également conservative :
3Fi
9F 2
(9 28)
ir + ibr = «
-
avec :
pS
pSu
Fi PSu
PSE - P 4- pS
0
2
F2 PSu
*P
pSEu 4 pSu
H -pgssin a + Tfx
q
où l'on a posé :
P = J Sdp
V =
gz (force de pesanteur seulement)
sin a = -g— (définit l'inclinaison locale de la conduite par rapport à l*horizontale).
9 . 4 . CAS PARTICULIER DES MOUVEMENTS D'ENSEMBLE ; OSCILLATION, MASSE
Ainsi qu'il est indiqué au début de ce chapitre, les perturbations de caractère ondulatoire, engendrées à la suite d'une modification
des conditions aux limites, s'amortissent relativement vite, laissant place
soit à un nouveau régime permanent, soit, dans certaines configurations, à
un régime oscillatoire dont les caractéristiques sont directement fonction
de la structure du réseau.
Lorsque les constantes de temps du système liées à l'inertie du
fluide sont importantes devant les temps d'aller et retour d'ondes, il est
possible de calculer directement la phase transitoire de l'écoulement en
négligeant la compressibilité du fluide.
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- IX.22 -
Pour cela, on utilise habituellement la relation de BERNOULLI
sous la forme donnée au paragraphe 4.1.2.2, c'est-à-dire, pour une conduite
de section constante :
— £ + Hi !=—|H + H2 + AHp
r
g dt
g dt
^
(9-29)
où,
, EI et H2 sont les charges instantanées dans les sections d Abscisses curvilignes sj et 5.2 t
. AHp est la perte de charge entre ces deux sections.
Nous avons donné, au paragraphe précité, un exemple d'application
de cette relation au calcul de l'établissement de l'écoulement dans une
conduite après
Nous considérerons ci-après deux exemples classiques de régimes
transitoires pouvant être traités, en première approximation, à partir de
la relation précitée,
- Installation de pompage avec cheminée d*équilibre
Afin d'assurer la protection contre le phénomène de coup de bélier dans le cas notamment où l'installation comporte au refoulement une
vanne (ou un clapet de retenue) pouvant être fermée rapidement, on place,
comme indiqué sur la figure, soit un réservoir avec de l'air comprimé,
soit, lorsque la hauteur de refoulement n'est pas trop élevée, une cheminée
d'équilibre
• Equations de l'écoulement
si et , d0niaPPll2UîU 5elatl°n (9~29> ci-dessus entre les deux abscisses
si et S2 de la conduite où la perte de charge AHp est telle que AHp-AHML
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- IX,23 -
Gela conduit à :
81
du
S2
„
du
„ + x, u | u | L
Tâ? + H ' - T d T + H2
Comme ici
82 - s j *= L
2To
et
H2 - H j » - z ,
ceci en supposant qu'au débouche dans le réservoir l'énergie cinétique
u 2 /2g du fluide est entièrement perdue et que la cheminée se comporte comme
un tube piézométrique. En f a i t , on observe, en régime permanent, une fluctuation de niveau dans la cheminée d'équilibre de l'ordre de cette pression
dynamique u 2 /2g, dont la valeur est habituellement négligeable. On en
déduit :
L du
g dt ~
x
Z
*
ujjul L
2g D
(9_30)
relation à laquelle il convient d'adjoindre l'équation de continuité :
q = su + sv ,
où q est le débit dans la conduite
et v la vitesse dans la cheminée d'équilibre de section S.
. Application au cas d'une variation brusque du débit, dans l'hypothèse où l'on néglige les pertes de charge.
Supposons qu'au temps t = 0, le débit passe brusquement de q à
a
q b , c'est-à-dire t « 0 - e , q = qa
t - 0 + e , q - q
b
.
Pour t > 0, on a alors :
q, « su + sv ,
,, „
d ou
S d2z
— ,
s - 2
du
S dv
-r- « - — -r— =
dt
s dt
.
puisgue
dz
v = dt
-r~ ,
d'où, en portant ces valeurs de —, dans l'équation (8.1), il vient :
iiâ!i.+ , . 0
8
s
dt?
+ w2z = 0
d'où
en posant
a) «
dt 2
•— .
L S
La solution est immédiate :
z « A sin(o)t + <J>)
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- IX.24 -
A t = Q , z = 0 , d'où
=0.
!
D a u t r e p a r t , à t = 0 + e, l'équation de continuité donne :
q b - sua + SV 0
d'où
su
en posant,
*
'
= su
u
U
a
b
+ SVQ
q
a
= •—
s
=
q
b
T"
et VQ la vitesse dans la cheminée au temps t ~ 0 + e.
On en déduit :
v
»
=
f(ub ' V
et
—
= Au) cos wt
= TT(U, - u )
tdtJt=0+E
t=0+e
S b
a
d ' où
Ao) = — (u, - u )
S b
a
2
p-^»,
• fvë ( u b-V s i n ?!'
f
r—~»
s in 11 •?— t .
\J
Remarques
a) Pour une variation donnée Au = u, - u
conduite, lîamplitude varie comme :
de vitesse dans la
—, donc inversement proportionnel à la racine carrée de la secJs tion de la cheminée,
/sL, donc proportionnel à la racine carrée du volume de la
conduite.
b) La période du phénomène est très grande, par exemple, pour
L = 10 km et un rapport de section S/s = 10. On a T = 10 mn 28 s, alors
que, du point de vue coup de bélier, le temps de base (aller et retour
d'onde) serait de l'ordre de 20 s.
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- IX.25 »
c) Si l'on avait tenu compte des pertes de charges, on aurait obtenu un mouvement oscillatoire amorti,,
" Installation de ventiTtâew^
volume
Considérons l'installation représentée
ci-contre comprenant successivement un ventilateur, une conduite de longueur L, un réservoir et
une vanne de réglage du débit,
.——
Hr
""^^S^^I"""™
ZSE
Nous négligerons toutes les pertes de
charge sauf celles localisées à la vanne de réglage du débit.
De même la compressibilité du fluide
ne sera prise en compte que dans le réservoir d'un volume supposé très supérieur à celui du reste de l'installation.
En appliquant, comme ci-dessus, le théorème .de BERNOULLI entre
les extrémités 1 et 2 de la conduite de longueur L, on a :
^|H+H2.Hl = o .
Ici H2 est sensiblement égal à la charge dans le réservoir H
à l'entrée de la vanne 113.
et
En introduisant le débit volumique q - qi ~ qa dans la conduite,
on a :
T
—
d(
î2
~r— * Ho
= 0 .
z - HT
A
gs dt
Par ailleurs, l'équation de continuité appliquée entre l'entrée 2
et la sortie 3 du réservoir nous donne :
p(q2 „ qs) = -JL_
où V est le volume du réservoir. En supposant le gaz parfait (— = rT), la
compression isentropique (— = este) et en posant a2 = yrT (a représente la
PY
vitesse du son).
Il vient :
V dp
V
dp
=
q2 - qs • ^dT
—
dT '
H
paz
Comme p - PgH, si la vitesse est faible dans le réservoir et p
correspondant au p moyen considéré dans le reste de l'installation, on peut
écrire :
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-IIX.26 -
V£ d H 2
iz-qs-^^.
Si l'on admet qu'au voisinage du point
de fonctionnement M les courbes caractéristiques
du ventilateur et de la vanne peuvent être approximëes par leur tangente, il vient :
H
I - "M - a(qi ' V
pour la caractéristique du ventilateur
H 3 ~ HM - 6(q 3 - qM)
pour la caractéristique de la vanne 9
d'où :
H 3 - HI = 3qs - aq£ - ($ - a)q M
et le système d'équations devient,, avec H3/vH2 î
dq2
L _
_
. +
q2
3q>3
.
Yg
.q 3 , _^
az
aq2
« (g _
a)qM
dq3
0
B
En éliminant q2, on obtient Inéquation du second ordre :
^ » -V
a
dt
+
£[> -^ - * f « - -> <« - %,> ' » .
(
a L
qui correspond à un mouvement oscillatoire autour de la valeur q
période :
T = 2 J_L!^L_]'/
e
h
2
<»-3"
et de
,
- «J
qui est d ' a u t a n t plus grande que les valeurs de L et V sont importantes et
la compressibilitê du fluide ( a 2 ) , ainsi que la section S faibles. Cette
oscillation sera amortie et l'écoulement stable si le coefficient du terme
en d q 3 / d t est p o s i t i f , c'est-à-dire si :
Ve2S
_S_Ë. ctg < i.
a2L
Vg 2 S
Deux cas sont à considérer puisque —fi— est toujours positif :
a2L
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- IX.27 -
1) a < Q
'• P-te ^^rca^c^e-^^^^^/^g^^correspon^,,,
au cag clflssique
^
2) a > 0
^ ««'-.^îtS^jr^.6^V < L
de
^nsueur et section données,
a2
s • ~7~»
2
c
g a3
1 1
""""'"'" - ——«--««.-.-.«.^1M...
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