mth1101: nombres complexes

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MTH1101: NOMBRES COMPLEXES
Issmail El Hallaoui
Dr
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af t
MTH1101: NOMBRES COMPLEXES
Problème
Définitions et règles de calcul dans C
Représentation géométrique des nombres complexes
Conjugué d’un nombre complexe. Inverse d’un nombre complexe non nul
Module et argument d’un nombre complexe
Différentes formes d’écriture d’un nombre complexe
Formules de Moivre et formules d’Euler
Les racines ne d’un nombre complexe
Quelques propriétés des nombres complexes
Polytechnique Montréal
Département de mathématiques et de génie Industriel
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Issmail El Hallaoui
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Conjugué d’un nombre complexe. Inverse d’un nombre complexe non nul
Module et argument d’un nombre complexe
Différentes formes d’écriture d’un nombre complexe
Formules de Moivre et formules d’Euler
Les racines ne d’un nombre complexe
Quelques propriétés des nombres complexes
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Problème
2.
Définitions et règles de calcul dans C
3.
Représentation géométrique des nombres complexes
4.
Conjugué d’un nombre complexe. Inverse d’un nombre complexe non nul
5.
Module et argument d’un nombre complexe
6.
Différentes formes d’écriture d’un nombre complexe
7.
Formules de Moivre et formules d’Euler
8.
Les racines ne d’un nombre complexe
9.
Quelques propriétés des nombres complexes
Dr
1.
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Conjugué d’un nombre complexe. Inverse d’un nombre complexe non nul
Module et argument d’un nombre complexe
Différentes formes d’écriture d’un nombre complexe
Formules de Moivre et formules d’Euler
Les racines ne d’un nombre complexe
Quelques propriétés des nombres complexes
L’équation x + 2 = 1 n’a pas de solution dans N, mais elle en a dans un
ensemble plus grand : Z (x = −1). De même, l’équation 2x = 1 n’a pas de
solution dans Z, alors que dans un ensemble plus grand, Q par exemple, il y en
a une: x = 12 . Et puis, l’équation x 2 = 2 n’a pas de solution dans Q; il faut
chercher dans l’ensemble des nombres réels R pour en trouver une.
Dr
Quand une équation n’a pas de solution, une démarche naturelle consiste à en
chercher une dans un ensemble plus grand. A ce stade, l’ensemble le plus grand
que l’on a rencontré est R. Pourtant, l’équation x 2 + 1 = 0 n’a pas de solution
dans R.
On va donc, dans ce chapitre construire ou imaginer un ensemble plus grand
que R dans lequel l’équation x 2 + 1 = 0 a des solutions. On l’appellera C:
ensemble des nombres complexes.
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Conjugué d’un nombre complexe. Inverse d’un nombre complexe non nul
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Différentes formes d’écriture d’un nombre complexe
Formules de Moivre et formules d’Euler
Les racines ne d’un nombre complexe
Quelques propriétés des nombres complexes
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Principe
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On note C l’ensemble des nombres complexes de la forme Z = a + ib où
i. 2 = −1 avec a et b réels
Dr
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Théorème
.
Deux nombres complexes Z = a + ib et Z ′ = a′ + ib ′ sont égaux si et
seulement si a = a′ et b = b ′ .
Les règles de calcul (la multiplication et l’addition) sont les mêmes que dans R,
2
.en remplaçant i par −1
.
Théorème
.
L
. ’ensemble R est un sous ensemble de C
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Conjugué d’un nombre complexe. Inverse d’un nombre complexe non nul
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Quelques propriétés des nombres complexes
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−
→−
→
Munissons le plan d’un repère orthonormé (O, i , j ).
.
Principe
.
A
. tout nombre complexe Z = a + ib, on peut associer le point M(a;b).
Dr
.
Vocabulaire
.
Le point M(a;b) s’appelle image du nombre complexe Z = a + ib.
Le nombre complexe Z = a + ib s’appelle l’affixe du point M(a;b). On note
souvent
Z = affixe(M) ou Z = aff (M).
.
.
Autre interprétation
.
On peut également associer à chaque nombre complexe Z = a + ib le vecteur
−−→
−
→
−
→
.w (a;b) = OM, ce vecteur w s’appelle le vecteur image du nombre complexe Z .
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Vocabulaire
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Le nombre complexe conjugué de Z = a + ib est le nombre complexe
Z̄ = a − ib.
.On dit que Z et Z̄ sont des nombres complexes conjugués.
Dr
.
Propriété
.
Re(Z ) = Re(Z̄ )
Z réel ⇐⇒ Z = Z̄
Z imaginaire pur ⇐⇒ Z = −Z̄
.
Z Z̄ = a2 + b 2
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Conjugué d’un nombre complexe. Inverse d’un nombre complexe non nul
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Définition
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On appelle module d’un nombre complexe Z = a + ib la quantité positive
√
a2 + b 2 notée |Z |
Si Z est l’affixe d’un point M(a; b), le module n’est autre que la distance OM:
OM
= |Z |.
.
Dr
.
Définition
.
On appelle argument d’un nombre complexe Z non nul toute mesure en radians
−
→ −−→
de
. l’angle ( i , OM). On le note θ = arg (Z ).
.
Remarque
.
Un nombre complexe possède une infinité d’arguments! Si θ est un argument
de
. Z , tout autre argument de Z est de la forme θ + 2kπ(k∈ Z).
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Conjugué d’un nombre complexe. Inverse d’un nombre complexe non nul
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Théorème
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Si
. Z = r (cos θ + i sin θ) avec r > 0 alors r = |Z | et θ = arg (Z )(2π).
Dr
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Définition
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Pour tout réel θ, on note e iθ le nombre complexe cos θ + i sin θ.
iθ
iθ
.|e | = 1 et arg (e ) = θ(2π)
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Théorème (Formule de Moivre)
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Soit Z = r (cos θ + i sin θ) = re iθ , Z̄ = r (cos θ − i sin θ) = re −iθ . Pour tout
n∈Z
Z n = [r (cos θ + i sin θ)]n = r n (cos nθ + i sin nθ) = r n e inθ
.
Dr
Z̄ n = [r (cos θ − i sin θ)]n = r n (cos nθ − i sin nθ) = r n e −inθ
.
Théorème (Formules d’Euler)
.
On sait que e iθ = cos θ + i sin θ et e −iθ = cos θ − i sin θ .
Les formules d’Euler sont :
.
cos θ =
e iθ + e −iθ
2
sin θ =
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e iθ − e −iθ
2i
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Définitions
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Soit z = r (cos θ + i sin θ).
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Les racines ne d’un nombre complexe
Quelques propriétés des nombres complexes
Les racines ne de z sont tous les nombres w qui vérifient w n = z.
Les racines de w n = z sont données par la formule:
1
.
.
i(θ+2kπ)
1
θ + 2kπ
θ + 2kπ
) + i sin (
)] = r n e n
n
n
∀k = 0, . . . , n − 1
Dr
wk = r n [cos (
Le nombre de racines de w n = z est n racines.
Exemple : Trouver les racines 6e de −8
Il faut mettre −8 sous forme polaire (forme trigonométrique),
−8 = 8(cos (π) + i sin (π)) donc r = 8, θ = π et n = 6
on utilise la formule qui donne les 6 racines de w 6 = −8 = z
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Conjugué d’un nombre complexe. Inverse d’un nombre complexe non nul
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1
k = 0, w0 = 8 6 [cos ( π+(2×0)π
) + i sin ( π+(2×0)π
)] =
6√ √
6
√
√
1
π
π
8 6 [cos ( 6 ) + i sin ( 6 )] = 2[ 23 + i 12 ] = 26 + i 22
1
arg (w0 ) =
π
6
1
k = 1, w1 = 8 6 [cos ( π+(2×1)π
) + i sin ( π+(2×1)π
)] = 8 6 [cos ( 3π
)+
6
6
√ 6
√
1
3π
π
π
i sin ( 6 )] = 8 6 [cos ( 2 ) + i sin ( 2 )] = 2[0 + 1i] = i 2 arg (w1 ) =
1
6
k = 2, w2 = 8 [cos ( π+(2×2)π
) + i sin ( π+(2×2)π
)] =
6 √
6
√
√
√
1
5π
5π
8 6 [cos ( 6 ) + i sin ( 6 )] = 2[ −2 3 + i 12 ] = − 26 + i 22
π
2
5π
6
arg (w3 ) =
7π
6
k = 4, w4 = 8 [cos ( π+(2×4)π
) + i sin ( π+(2×4)π
)] = 8 [cos ( 9π
)+
6
6
√
√6
1
9π
3π
3π
i sin ( 6 )] = 8 6 [cos ( 2 ) + i sin ( 2 )] = 2[0 − i] = i 2 arg (w4 ) =
9π
6
Dr
arg (w2 ) =
1
k = 3, w3 = 8 6 [cos ( π+(2×3)π
) + i sin ( π+(2×3)π
)] =
6 √
6
√
√
√
1
7π
1
7π
− 3
6
8 [cos ( 6 ) + i sin ( 6 )] = 2[ 2 − i 2 ] = − 26 − i 22
1
6
1
6
1
k = 5, w5 = 8 6 [cos ( π+(2×5)π
) + i sin ( π+(2×5)π
)] =
6
6 √
√
√
√
1
11π
1
11π
3
6
6
8 [cos ( 6 ) + i sin ( 6 )] = 2[ 2 − i 2 ] = 2 − i 22
.
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arg (w5 ) =
11π
6
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Théorème
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Pour tout nombre complexe Z = a + ib et Z ′ = a′ + ib ′ on a :
Z+
.
Z′
= Z̄ + Z¯′
−Z = −Z̄
ZZ ′
= Z̄ Z¯′
Zn
= Z̄
(
n
Z
Z′
)
=
Z̄
Z¯′
Dr
.
Théorème (Propriétés des modules)
.
Pour tous nombres complexes Z et Z ′ :
Module d’un produit :|Z × Z ′ | = |Z | × |Z ′ |. En particulier si λ est réel :
|λZ | = |λ||Z |
Module d’un quotient : Z′ = |Z′| (lorsque Z’̸= 0)
Z
.
|Z |
Inégalité triangulaire : |Z + Z ′ | ≤ |Z | + |Z ′ |.
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Théorème (Propriétés des arguments)
.
arg (Z̄ ) = −arg (Z ) (2π).
arg (−Z ) = arg (Z ) + π (2π).
.
arg (−Z̄ ) = π − arg (Z ) (2π).
Dr
.
Théorème (Propriétés des arguments (bis))
.
arg (Z ) = 0 ⇐⇒ Z ∈ R
π
⇐⇒ Z est un imaginaire pur
2
n
arg (Z ) = n arg (Z )(2π) ∀n
arg (Z ) =
arg (Z .Z ′ ) = arg (Z ) + arg (Z ′ )(2π)
Z
arg ( ′ ) = arg (Z ) − arg (Z ′ )(2π)
Z
.
arg (
1
) = −arg (Z )(2π).
Z
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