Electricité (v7.0) - Laboratoire de Physique des Hautes Energies

13
Electricité
Faraday, ca. 1849
v7
1
Force de Coulomb et champ électrique
!
qQ
Force de Coulomb entre deux charges q et Q:
F = k 2 rˆ
!
r
! ! !
!
r
r = r2 " r 1
rˆ =
r= r
Q
r
q
r
r1
r2
!
L'unité de la charge est le Coulomb C
!
1 C = ⏐charge électron⏐×1/(1.6 10-19)
k = 9,0 × 109 N m2 C-2
Question: Définition du "Coulomb" ?
Si plusieurs charges Q1, Q2, .... on additionne toutes les contributions
!
! !
qQ i
Qi
F = k " 2 rˆi = qk " 2 rˆi = qE ( r 1 )
i=1,N ri
i=1,N ri
! !
Qi
E ( r 1 ) = k " 2 rˆi
i=1,N ri
! !
Ici E ( r 1 ) est le vecteur champ électrique, au point où se trouve
la charge q.
!
!
2
Champ électrique
Champ électrique en P, généré par la charge Q placée à distance r
! !
Q
E
E ( r ) = k 2 rˆ
r
Q
P
r
Si Q<0, le champ va vers la charge (comme dans la figure),
antiparallèle à r.
Si Q > 0, il est parallèle à r.
!
Quand on a plusieurs charges, on peut additionner vectoriellement
les valeurs de Ei, de chaque charge Qi.
Pour mesurer la valeur de E à un point P, on y place une
charge "de test" q, on mesure la force F qui agit sur q, et
! ! ! !
on déduit le vecteur E:
E (P) = F(P) /q
3
Champ électrique .2
lignes de champ autour d'une charge positive.
Q
! !
Q
E ( r ) = k 2 rˆ
r
Les lignes de champ sont radiales !
!
4
Le dipôle
z
r-
a
-q
P
r
x
-a +q
!
! !
! ! + ! !"
E( P ) = E( r ) + E( r )
si la distance de P est grande
comparée à a, on peut faire
des approximations:
r-, r+ et r sont presque parallèles,
et α ≈ α+ ≈ α-. Donc on a:
r " # r " acos$
z
! !"
$E x '
$ sin+ '
rˆ
"qk
E (P) = "qk " 2 # & ) *
&
)
(r ) % E z ( (r " acos+) 2 % cos+ (
! ! +
E (P ) "
!
!
$ sin# '
+qk
&
)
(r + acos#) 2 %cos#(
α-
a
P
r-
r
α
acos"
x
5
!
Le dipôle .2
! !
%
(+ sin$ .
#1
1
E (P) " qk'
+
0
*2
(r + acos$) 2 ), cos$ /
&(r # acos$)
!
"1
1
"1
1
+
=
+
=
2
2
2
2
(r " acos#)
(r + acos#)
(r " c)
(r + c)
c = acosα
"(r + c) 2 + (r " c) 2 "r 2 " c 2 + 2rc + r 2 + c 2 + 2rc
=
=
2
2
2
2 2
(r " c) (r + c)
(r " c )
4rc
4rc 4c 4acos#
$
= 3 =
2
2 2
4
(r " c )
r
r
r3
!
on néglige c<<r
! !
4acos# $ sin# '
E (P) " qk
&
)
3
r
% cos# (
!
4a $ 0'
" = 0 # E = qk 3 & ) // zˆ
r % 1(
!
" = 90° # E = 0
6
!
Le dipôle .3
! !
4acos# $ sin# '
E (P) " qk
&
)
3
r
% cos# (
!
4a $ 0'
" = 0 # E = qk 3 & ) // zˆ
r % 1(
!
" = 90° # E = 0
!
A suivre...
7
Champ d'un plan chargé uniformément
Plaçons une charge Q uniformément sur une surface plane A.
La densité de surface de charge est ρ = Q/A.
Si l'on est loin des bords, la symétrie du système implique
que le champ E est constant et orthogonal à la surface:
On trouve:
ρ
où ^
n est le vecteur unité normal
à la surface.
!
E = 2"k#nˆ
E
!
(démonstration
à plus tard...)
8
Deux plans chargés uniformément
Si les deux plans ont exactement la même
charge, mais avec des polarités opposées,
le champ E est nul à l'extérieur
du système (du moins si l'on se place
assez loin des ouvertures, pour éviter les
"effets de bords").
Entre les 2 plaques: !
1
E = 2 " 2#k$nˆ = 4#k$nˆ = $nˆ
%0
réalisation
pratique:
!
1
"0 =
= 8,85 10$12 C 2N$1m$2
4#k
9
Le potentiel électrique
Le potentiel électrique V d'une charge q dans un champ électrique
est V = U/q où U est l'énergie potentielle de q.
L'unité est le Volt (V). Par la définition précédente:
Volt = Joules/Coulomb
Ex.: une charge d'1 C est accélérée entre deux plaques qui
possèdent une différence de potentiel ΔV = 10 V.
L'énergie potentielle vaut initialement U = q ΔV= 1x10 J.
Après accélération, la charge aura l'énergie cinétique
correspondante.
10 V
q=1C
10
Le potentiel électrique .2
On utilise la définition de potentiel électrique pour introduire
la définition d' électron-Volt, eV comme unité d'énergie.
1 eV est l'énergie qu'une charge e = charge de l'électron,
obtient quand elle aura traversé la différence de potentiel de 1 V.
En valeur absolue, la charge de l'électron e vaut e =1.6 10-19 C,
1 eV correspond à 1.6 10-19 Joules.
L'électron a une masse de 9 10-31 kg. Si sa vitesse initiale est 0,
après accélération la vitesse finale sera donnée par la conservation
de l'énergie: E cinétique = U
1 2
mv = U
2
1/ 2
v = [2U /m]
1/ 2
= [2e"V /m]
donc la vitesse de l'électron d'1 eV vaut environ 6 105 m/s.
Question: faire de même pour un proton. !
11
Relation entre champ et potentiel
{
Charge q dans un champ E.
Considérons un parcours dx parallèle à E, avec E constant.
La force qui s'exerce sur q vaut: F = qE et le travail
dW = F dx = qE dx , car F // E // dx.
D'après la déf. de potentiel dW = dU = q dV, où dV est
la différence de potentiel aux extrémités de dx. Donc:
qE dx = q dV ⇒ E = dV/dx
dV/dx est la dérivée de V par rapport à l'espace, ou "gradient" dV
Les unités de E sont
E
dx
N/C mais aussi V/m ! 12
Potentiel dû à une charge ponctuelle
A cause de la symétrie,
le problème peut être
considéré unidimensionnel
! !
Q
E ( r ) = k 2 rˆ
r
"
x
0
Q
E(x) = k 2 × (signe de x)
x
De E = dV/dx :
"
!
V(x) =
# E(x')dx' = kQ #
x
En 3D:
!
"
x
"
1!
kQ
dx' = kQ($1/x') = 0 +
2
x
x'
x
kQ
V(r) =
r
V(x) =
kQ
x
!
On considère donc que V(r=infini) = 0
!
13
Surfaces équipotentielles: V=cte
Exemple: charge ponctuelle
une ligne de champ
kQ
V(r) =
r
r = cte ⇔ V = cte
Les surfaces sont des sphères centrées
!
sur la charge.
Donc les
lignes de champ sont
normales aux surfaces équipotentielles.
Cela est toujours vrai: le déplacement
d'une charge de d sur une surface V=cte,
implique ΔV=0, donc un travail nul, donc"
"
"
dW = d! E = 0 " d!#E
pour des E et d quelconques.
14
Potentiel entre deux plaques parallèles
!
1
E = 4"k#nˆ = #nˆ
$0
surface=A
charge Q
!
0
De E = dV/dx :
dV = Edx que l'on intègre:
x
!
d
d
"V =
# Edx = Ed =4$k%d =
0
!
1
1 Q
%d =
d
&0
&0 A
E constant
15
Les conducteurs
Dans un conducteur, les charges peuvent se déplacer librement.
A l'équilibre, toutes les charges sont immobiles. Donc à
l'intérieur du conducteur, le champ E doit être nul, sinon on aurait
localement une force de Coulomb non nulle et l'accélération
des charges. Si E est nul, le potentiel V doit être constant:
si l'on déplace une (petite) charge de test dans le conducteur,
le travail est nul car E = 0, donc ΔV = 0.
Pour les mêmes raisons, à la surface du conducteur,
le champ E doit être normal à la surface et V constant.
Ex: On amène des charges du réservoir R par un fil sur le
conducteur C. A l'équilibre, l'ampèremètre A indique un
courant nul. Alors V est constant dans tout C.
C
A
R
16
Les conducteurs .2
De même, si l'on insert un conducteur dans un champ, les
lignes de champ et les surfaces équipotentielles sont modifiées
par le déplacement des charges dans le conducteur.
A l'équilibre, le conducteur prendra un potentiel constant,
un champ nul à l'intérieur, un champ orthogonal à la surface.
Donc les lignes de champs vont se tordre pour pouvoir arriver
orthogonalement à la surface du conducteur. Le surfaces
équipotentielles doivent arriver
parallèlement à la surface.
ex: champ généré par une
charge, en présence d'un plan
conducteur.
17
Le dipôle .3
z
r-
a
-q
p
P
+q
1
E " qa 3
r
r
x
-a
on avait vu que le champ
à distance r >> a était
On introduit le
"moment dipolaire électrique" p:
!
!
p = q2a
!
avec le vecteur a qui pointe de -q vers +q.
#3
Avec cette définition, E " pr
!
Quelle est la valeur du potentiel engendré par p au point P ?
!
18
Le potentiel créé par un dipôle
z
# r" " r + &
#1 1&
+q
"q
P
V(P) = k r + + k r " = kq%$ r + " r " (' = kq%$ r "r + ('
r-
a
p
-q
α
r
x
-a
+q
!
si r >> a:
r " # r " acos$
r + " r + acos#
!
$ 2acos# ! '
cos#
p , rˆ
V(P) = "kq& 2 2
) * "kq2a 2 + k 2
2
% r " a cos !
#(
r
r
négligeable car a<<r
!
+
signes de V
+
-
-
19
Forces sur un dipôle
Quelles sont les forces qui agissent sur p immergé dans
un champ E ?
!
!
+
"
F = qE
F = "qE
q
2a
F+
α
F-
-q
!
E
Le couple de forces induit
un moment:
" = 2(aF sin#) = 2aqE sin# = pE sin#
! ! !
" =p#E
!
20
Energie potentielle d'un dipôle
L'E potentielle d'un dipôle U est minimale quand le dipôle
est en équilibre, c. à d. parallèle à E: a).
a)
-q
+q
Si l'on place verticalement p b) et on le
tourne, p.ex. en maintenant fixe -q,
E
p
jusqu'à ce qu'il forme un angle θ par
rapport à E c), le travail sur +q sera
b)
E
θ
c)
E
W= Fdx = -qE 2a cosθ = - pEcosθ d'où on tire la valeur
de U pour un angle donné: U = - pEcosθ Par convention U(90°) = 0
cas b). 21
Condensateur (capacité) électrique
+Q
-Q
V
On considère deux conducteurs proches (dans le
vide).
On les charge avec +Q et -Q (p. ex. on déplace
une charge +Q d'un conducteur à l'autre).
On mesure une différence de potentiel V.
La capacité vaut:
C = Q/V
l'unité est le Farad (F) = 1C / 1V Exemple:
22
Condensateur électrique .2
+Q
-Q
A
d
Deux plaques planes et parallèles, surface A,
distance d. On avait trouvé: 1
1 Q
V(r) = 4"k#d = #d =
d
$0
$0 A
V
La capacité vaut
! donc Q
A
C = = "0
V
d
Elle dépend seulement des facteurs géométriques.
!
23
Capacité et diélectriques
On introduit une substance (isolée) entre les deux plaques
du condensateur.
Le champ électrique entre les plaques induit une modification
de la distribution des charges dans la substance. Si par exemple on utilise de l'eau, la molécule possédant un dipôle
permanent, elle va s'orienter selon les lignes de champ.
L'agitation thermique va s'opposer à ce mouvement.
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
Le champ E initial
est modifié par une
contribution E' qui
vient des petits
dipôles Eeff = E - E' = E/K
24
Capacité et diélectriques .2
Si le champ n'est pas trop fort, on a la proportionnalité
Eeff = E / K
où K est la constante diélectrique.
Pour le "vide", K = 1.
Air sec (1 atm)
1.00059
Verre 5-10
Quelques exemples:
Papier 3.5
Eau (25°C) 78
Eau (80°C) 61
La capacité de notre condensateur à plaques parallèles,
avec diélectrique entre les plaques, augmentera d'un
facteur K, car, si l'on maintient Q sur les plaques, V
va devenir Veff = V/K. Q
Q
A
C=
= K = K"0
Veff
V
d
25
Energie stockée dans un condensateur
Quel est le travail nécessaire pour porter une capacité C
d'une différence de potentiel 0 à V0 ?
La charge finale sera Q0 = V0C.
Pendant le processus, si l'on se trouve à un potentiel V,
un apport de charge dQ nécessite un travail
dW = VdQ = (Q/C)dQ
On intègre entre Q=0 et Q = Q0:
Q
Q
Q
0
W=
0
" dW = "
0
0
Q
1 1 2 0 1 Q 02 1
dQ =
Q
=
= CV 2
C
2C 0
2 C
2
26
Condensateurs en parallèle
Capacités C1 et C2 en parallèle:
pour un même V, les charges sur les
plaques seront Q1 = VC1 et Q2 = VC2
V
Au total Q = Q1 + Q2 =V(C1 + C2)
est la charge stockée.
Le système se comporte comme un seul
condensateur de capacité C = C1 + C2
Q
A
Q.: comprendre cette expression à partir de C = = "0
V
d
27
Condensateurs en série
+Q -Q
+Q -Q
V1
V2
V
Capacités C1 et C2 en série:
Le segment central a une charge 0 avant
l'application de la différence de potentiel.
Donc il doit l'être aussi après.
Les charges +Q et -Q se répartissent
comme sur la figure et Vi= Q/Ci
"1
Q Q
1% Q
V = V1 + V2 = +
= Q$ + ' =
C1 C 2
# C1 C 2 & C
Le système se comporte comme un seul condensateur de
capacité
1/C = 1/C1 + 1/C2
!
Q
A
Q.: comprendre cette expression à partir de C = = "0
V
d
28
Flux du champ électrique
Des lignes de champ traversent l'élément de surface dS. Le maximum du "flux" a lieu quand dS est placé
normalement aux lignes de champ. Le flux est nul
quand les lignes de champ sont parallèles à dS.
Si û est un vecteur normal à dS, l'élément de flux est !
d" = (uˆ # E )dS = cos$EdS
dS
û
!
où α est l'angle entre u et le
champ que l'on considère
constant sur dS.
α
E
29
Flux du champ électrique .2
Parfois on indique le "vecteur surface" par
ce qui donne:
! !
d" = E # dS = cos$EdS
!
dS " uˆ dS
dS
α
E
!
Si l'on veut calculer le flux total sur une surface finie S, on
doit intégrer:
! !
!
"=
$$ E # dS
surface S
Ex.: champ E constant orthogonal à une surface plane S:
E
!
S
! !
" = $$ E # dS = ES
surface S
30
Flux du champ électrique .3
Ex.: flux à travers une surface sphérique de rayon r,
qui entoure une charge ponctuelle q.
E
r
q
Le champ est orthogonal à
la surface de la sphère et il
a pour valeur
q
E =k 2
r
Le flux est donc
! !
q
1
" = $$ E # dS = ES = k 2 4%r 2 = 4%kq = q
! r
&0
surface S
ce résultat ne dépend pas de r !
!
31
Flux du champ électrique .4
Le fait que la valeur du flux de l'exemple ne dépend pas
du rayon n'est pas un cas particulier. Le théorème de Gauss
relie le flux sortant d'une surface fermée à la charge totale
qui se trouve à l'intérieur de la surface.
" = 4#kQ tot
q1
q5
q4
q2 q3
S
!
Dans la figure, on a un flux
total à travers S qui vaut:
" = 4#k(q 2 + q 3 + q 4 )
Les charges externes produisent un champ qui entre et sort
de la surface, ce qui annule leur contribution à φ. !
32
Champ par une surface chargée
E
ρ
S
La densité de charges vaut
ρ = ΔQ/ΔS
constante sur toute la
surface S.
E
On entoure une portion
de S par une boîte d'hauteur
h et base L×L.
h
L
Le flux total vaut donc
La charge dans la boîte vaut Q = ρ L2
" = 4#kQ tot = 4#k$L2
Par symétrie, E est orthogonal à S. On a donc aussi φ = 2L2E
(le facteur 2: haut et bas de la boîte). On peut tirer E:
E = 2"k#
!
33