Conditionnement

Chapitre 5
Conditionnement
5.1
Probabilités conditionnelles
5.1.1
Probabilité de
B
sachant
A
On considère une expérience aléatoire sur un univers
E,
où
E
est l'ensemble des éventualités
(issues) de cette expérience (également appelé l'univers de l'expérience.)
Dénition. Si A et B deux événements de l'ensemble E , tels que P(A) 6= 0, alors la probabilité
de B sachant A (appelée probabilité conditionnelle) est le nombre suivant :
PA (B) =
P(A ∩ B)
P(A)
Il s'agit en fait de la probabilité que l'événement B se réalise, tout en sachant que l'événement
A s'est produit auparavant.
Propriétés. Si A et B deux événements de E tels que P(A) 6= 0, alors on a alors les propriétés
suivantes :
• 0 ≤ PA (B) ≤ 1
• PA (B) + PA (B) = 1
• Si l'on se trouve dans une situation d'équiprobabilité (dans laquelle la probabilité de chacune
des issues est la même), on a :
PA (B) =
nombre d'éléments de B ∩ A
nombre d'éléments de A
1
2
CHAPITRE 5.
Remarque. Attention à ne pas confondre
CONDITIONNEMENT
PA (B) (qui désigne la probabilité que B se réalise
sachant que A s'est produit avant) et P(A ∩ B) (qui désigne la probabilité que A et B se réalisent
tous les deux) !
Propriété. La probabilité d'une intersection (correspondant au et logique) se calcule de deux
manières :
• P(A ∩ B) = P(A) × PA (B) (avec P(A) 6= 0)
• P(A ∩ B) = P(B) × PB (A) (avec P(B) 6= 0)
5.1.2
Tableaux à double entrée
Les tableaux à double entrée permettent de présenter les probabilités pour faciliter leur lecture
et leur calcul. En voici un exemple :
A
A
Total
B
P(A ∩ B)
P(A ∩ B)
P(B)
B
P(A ∩ B)
P(A ∩ B)
P(B)
Total
P(A)
P(A)
1
PA (B)
est alors le quotient des valeurs de
P(A ∩ B)
et de
P(A)
contenues dans ce tableau.
Exemple. Considérons deux événements A et B , tels que P(A ∩ B) = 0.18 et P(A ∩ B) = 0.42.
On peut remplir partiellement le tableau à double entrée associé, en sachant que :
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = 0.18 + 0.42 = 0.6
On a donc : P(A) = 1 − P(A) = 1 − 0.6 = 0.4.
A
A
Total
B
0.18
0.1
0.28
B
0.42
0.3
0.72
Total
0.6
0.4
1
Si de plus on sait que PA (B) = 0.25, on peut alors calculer :
P(A ∩ B) = P(A) × PA (B) = 0.4 × 0.25 = 0.1
On en tire alors : P(A ∩ B) = 0.4 − 0.1 = 0.3 et l'on peut conclure avec les totaux.
5.2.
ARBRES PONDÉRÉS
5.2
3
Arbres pondérés
Lorsqu'une expérience aléatoire met en jeu des probabilités conditionnelles dans un univers
E,
on peut modéliser la situation à l'aide d'un
arbre pondéré,
également appelé
arbre de
probabilités. Chaque niveau (n÷ud) correspond à un choix. Dans les cas les plus courants, il
s'agira de choix entre un événement et son contraire : par exemple entre
A
et
A.
branche relie deux événements. Sur chaque branche, on note la probabilité correspondante. Un chemin est une suite de branches ; la probabilité d'un chemin est la probabilité de
l'intersection des événements rencontrés sur ce chemin. Un n÷ud est le point de départ d'une
Une
ou plusieurs branches.
Règles.
• La somme des probabilités des branches issues d'un même n÷ud est égale à 1.
• La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.
• La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet
événement.
4
CHAPITRE 5.
5.3
CONDITIONNEMENT
Formule des probabilités totales
Propriété. Soient
A1 , A2 , . . ., An des événements incompatibles deux à deux tels que leur
réunion représente l'univers E tout entier (on dira que ces événements forment une partition
de E .)
Pour tout événement B , on a alors :
P(B) = P(A1 ∩ B) + P(A2 ∩ B) + . . . + P(An ∩ B)
ou encore, à l'aide de la formule vue précédemment :
P(B) = P(A1 ) × PA1 (B) + P(A2 ) × PA2 (B) + . . . + P(An ) × PAn (B)
Cette formule n'étant pas forcément intuitive au premier abord, nous allons la mettre en relief
à l'aide d'un arbre de probabilités :
Exemple. Considérons trois événements
A1 , A2 et A3 deux à deux disjoints tels que P(A1 ) +
P(A2 ) + P(A3 ) = 1 (ils forment une partition de E .)
On considère également un événement B sur cet univers.
On peut dresser l'arbre suivant :
5.3.
FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES
5
La formule des probabilités totales s'obtient par lecture de l'arbre, en ajoutant les probabilités
de toutes les feuilles contenant B :
P(B) = P(A1 ∩ B) + P(A2 ∩ B) + P(A3 ∩ B)
Ou encore, en remontant tous les chemins conduisant à B :
P(B) = P(A1 ) × PA1 (B) + P(A2 ) × PA2 (B) + P(A3 ) × PA3 (B)
Cas particulier. Soient
A et B deux événements de E , tels que P(A) 6= 0. On peut dresser
l'arbre pondéré suivant, qui correspond à cette situation :
On a alors :
P(B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B)
Ce qui revient à écrire :
P(B) = P(A) × PA (B) + P(A) × PA (B)