Correction au format pdf - XMaths

CORRECTION
Exercice supplémentaire n° 22
Partie A
1°) La situation correspond à l'arbre pondéré ci-dessous.
On estime à 0,07 la fréquence d’animaux malades dans le cheptel, donc P(M) = 0,07 .
On sait que la probabilité que le test soit positif sachant que l'animal est malade est égale à 70% = 0,7 .
et que la probabilité que le test soit négatif sachant que l'animal n'est pas malade est 90% = 0,9 .
On peut compléter cet arbre en sachant que la somme des probabilités portées sur les branches issues
d'un même nœud est égale à 1.
0,7
T
0,3

M
0,07
T
0,1
T
0,93

M
0,9

T
2°) On a : P(M∩T) = PM(T) x p(M) = 0,7 x 0,07 .
Donc
P(M∩T) = 0,049 .
En utilisant la formule des probabilités totales on peut écrire :


P(T) = P(M∩T) + P( M ∩T) = PM(T) x p(M) + P 
M (T) x p( M ) = 0,7 x 0,07 + 0,1 x 0,93 = 0,049 + 0,093
Donc
P(T) = 0,142 .
3°) La probabilité que l’animal soit malade sachant que le test est positif est PT(M).
On a PT(M) = P(M∩T) = 0,049
P(T)
0,142
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donc
PT(M) = 49 ≈ 0,345 .
142
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Partie B
1°) Si on estime maintenant à x la fréquence d’animaux malades dans le cheptel, l'arbre pondéré devient :
0,7
T
0,3

M
x
T
0,1
T
1-x

M
0,9

T
2°) On a alors : P(M∩T) = PM(T) x p(M) = 0,7 x x
Donc
P(M∩T) = 0,7 x .
En utilisant la formule des probabilités totales on peut écrire :


P(T) = P(M∩T) + P( M ∩T) = PM(T) x p(M) + P 
M (T) x p( M ) = 0,7 x x + 0,1 x (1 - x) = 0,7x + 0,1 - 0,1x
Donc
P(T) = 0,6x + 0,1 .
0,7x
0,7x x 10
3°) On a PT(M) = P(M∩T) =
=
P(T)
0,6x + 0,1 (0,6x + 0,1) x 10
4°) f est définie sur [0 ; 1] par : f(x) =
f(x) ³ 0, 9
donc
⇔
f(x) ³ 0, 9
7x ³ 0,9
6x + 1
⇔
⇔
donc
PT(M) =
7x
.
6x + 1
7x
6x + 1
7x ³ 0,9 (6x + 1)
7x ³ 5,4x + 0,9
⇔
1,6x ³ 0,9
(6x + 1 est un nombre positif)
⇔
x ³ 0,9
1,6
Sur [0 ; 1] l’inéquation f(x) ³ 0 a donc pour ensemble de solutions
⇔
x ³ 0,5625
[0,5625 ; 1] .
Pour que la probabilité que l’animal soit malade sachant que le test est positif soit supérieure à 90%,
il faut que la proportion d'animaux malades soit supérieure à 56,25%.
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