MISE EN EQUATION D`UN SYSTEME MECANIQUE EN ROTATION
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MISE EN EQUATION D'UN SYSTEME MECANIQUE EN ROTATION Pour le système mécanique suivant : Réducteur Γm fm Jm ω f J → Ecrire les équations de bilan énergétique et en déduire l'équation différentielle liant le couple Γm appliqué à l'entrée et la vitesse angulaire de sortie ω. → Déterminer la fonction de transfert correspondante (entrée Γm, sortie Ω). Le réducteur a un rapport (n), ce qui signifie que si on note ωm la vitesse de rotation de l'arbre moteur, alors on a : ω = ωm / n RELATION entre le principe fondamental de la dynamique et les bilans à partir de l'énergie cinétique Pour les systèmes mécaniques en translation on considère un élément de masse m, et pour les systèmes en rotation un élément d'inertie J. Bilan général : dE cinétique dt + ΣQi − ΣQ j = + ΣM i − ΣM j Pour un système en translation : 1 mv2 2 Q = quantité de mouvement = v.F Ecinétique = où v est la vitesse du système, où F est une force appliquée au système. Le bilan s'écrit donc : 1 d mv 2 2 = +ΣvF − ΣvF i j dt [ ] 1 dv 2 m = v + ΣFi − ΣFj (la vitesse est la même pour un élément de masse m donnée) 2 dt 1 dv i.e. m 2v = v + ΣFi − ΣFj 2 dt Après simplification par v, on obtient : dv m = + ΣFi − ΣFj dt c'est-à-dire le principe fondamental de la dynamique. i.e. [ ] Pour un système en rotation : 1 2 Jω 2 M = moment cinétique = ω.Γ Ecinétique = où ω est la vitesse de rotation du système, où Γ est un couple appliqué au système. Le bilan s'écrit donc : 1 d Jω 2 2 = +ΣωΓ − ΣωΓ i j dt De la même manière que pour le système en translation, on obtient : dω J = +ΣΓi − ΣΓj dt c'est-à-dire le principe fondamental de la dynamique. CORRECTION Γm fm ΓI/II Jm ΓII/III ω f Système I J Système II Système III Détermination du nombre d'équations différentielles à considérer. On repère 2 éléments qui stockent/déstockent l’énergie : L'arbre moteur d'inertie Jm → sous-système I L'arbre de sortie d'inertie J → sous-système III On repère 1 élément qui transmet la puissance sans pertes : Réducteur de rapport (n) → sous-système II Bilan pour le sous-système I On utilise le principe fondamental de la dynamique. On cherche les termes faisant varier la vitesse de rotation de l'arbre moteur, ωm : • entraînement de l’arbre moteur : couple Γm, signe "+" (l'entrainement fait augmenter la vitesse). • frottements visqueux proportionnels à la vitesse : fmωm, signe "-" (résistance à la rotation qui fait diminuer la vitesse). • Le couple à l’interface arbre moteur (sous-système I) /réducteur (soussystème II), ΓI/II. Fait-il ↑ou ↓ la vitesse ? L’arbre moteur entraîne l’arbre de sortie, ce qui se traduit par une résistance à l’entraînement de l’arbre de sortie vue par l’arbre moteur à travers le réducteur sous la forme d’un couple résistant ΓI/II ⇒ ΓI/II a un signe "-" (négatif). D'ou l'équation différentielle suivante : Jm dω m (t ) = + Γm (t ) − f mω m (t ) − ΓI / II (t ) dt Bilan pour le sous-système III On utilise le principe fondamental de la dynamique. On cherche les termes faisant varier la vitesse de rotation l'arbre de sortie , ω : • frottements visqueux proportionnels à la vitesse : f*ω, signe "-" (résistance à la rotation qui fait diminuer la vitesse). • Le couple à l’interface réducteur (sous-système II) / arbre de sortie (soussystème III), ΓII/III. Fait-il ↑ou ↓ la vitesse ? L’arbre de sortie est entraîné par l’arbre moteur. Par conséquent, ΓII/III est l’effet d’entraînement de l’arbre moteur sur l’arbre de sortie à travers le réducteur ⇒ ΓII/III a un signe "+" (positif). D'ou l'équation différentielle suivante : J dω (t ) = ΓII / III (t ) − fω (t ) dt Bilan pour le sous-système II La puissance à l’entrée du réducteur est intégralement transmise à la sortie du réducteur, c'est-à-dire : ω m (t )ΓI / II (t ) = ω (t )ΓII / III (t ) avec la propriété du réducteur : ω (t ) = ω m (t ) n Equations différentielles de bilan et calcul de la fonction de transfert : dω m (t ) (I ) J m dt = Γm (t ) − f mω m (t ) − ΓI / II (t ) dω (t ) (III ) J = ΓII / III (t ) − fω (t ) dt (II ) ω m (t )ΓI / II (t ) = ω (t )ΓII / III (t ) ω (t ) ω (t ) = m Avec n [1] Ω( p ) , on peut directement prendre la transformée de Γm ( p ) Laplace, plutôt que de passer par l’équation différentielle entrée/sortie. Pour obtenir la fonction de transfert TL( [1] ) ⇔ J m [ pΩ m ( p ) − ω m (0)] = Γm ( p ) − f m Ω m ( p ) − ΓI / II ( p ) J [ pΩ( p ) − ω (0)] = Γ II / III ( p ) − fΩ( p ) Ω( p )n = Ω m ( p ) Ω( p )ΓII / III ( p ) = Ω m ( p )ΓI / II ( p ) TL( [1] ) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ J m pΩ m ( p ) − J mω m (0) + f m Ω m ( p ) + ΓI / II ( p ) = Γm ( p ) JpΩ( p ) − Jω (0) + fΩ( p ) = Γ II / III ( p ) Ω( p )n = Ω m ( p ) (p) Γ Ω( p ) ΓII / III ( p ) = II / III ΓI / II ( p ) = Ω m (p) n 1 Γm ( p ) = J m pΩ( p )n + f m Ω( p )n − J mω m (0) + [JpΩ( p ) + fΩ( p ) − Jω (0)] n J f J Γm ( p ) = J m n + pΩ( p ) + f m n + Ω( p ) − J mω m (0) − ω (0) n n n J f J Ω( p ) J m n + p + f m n + = Γm ( p ) + J mω m (0) + ω (0) n n n La transformée de Laplace du système [1] devient : caractérise la réponse libre e la réponse forcée J caractéris J mω m (0) + ω (0) Ω( p ) 1 1 n = + J f Γm ( p ) J f Γm ( p ) J mn + p + fmn + J mn + p + fmn + n n n n Le terme correspondant à la réponse libre est noté "PCI" pour Polynôme aux Conditions Initiales. Le terme correspondant à la réponse forcée, noté "FT", est la Fonction de Transfert du système. Il correspond au cas où l'on suppose les conditions initiales identiquement nulles (CI ≡ 0), c'est-à-dire à PCI = 0. Dans notre cas, CI ≡ 0 signifie ωm(0)=0 et ω(0)=0. Lorsque l'on cherche la FT d'un système, on suppose les CI ≡ 0 dès le début du calcul de la transformée de Laplace. Cela permet de simplifier les calculs. Remarque sur le réducteur : On a i.e. Or D’où ω(t) = ωm(t) / n Ω( p ) 1 = Ω m (p) n Ω( p ) Ω( p ) Ω m ( p ) = . Γm ( p ) Ω m ( p ) Γm ( p ) Ω m (p) 1 1 =n = J f J f Γm ( p ) Jmn + p + fmn + Jm + 2 p + fm + 2 n n n n Si l’on considère le schéma suivant : Γm fm + f/n2 ωm 2 Jm + J/n Ω m (p) 1 = J f Γm ( p ) Jm + 2 p + fm + 2 n n On constate que les deux fonctions de transfert sont égales. Le système a pour FT : En conclusion : dans le cas d’un système avec réducteur sans pertes, on peut directement écrire la FT sur l’arbre moteur (sortie = ωm) en ramenant à l’entrée les éléments (inertie, frottements, …) de l’arbre de sortie divisés par n2.
