Suites et séries de fonctions à valeurs dans un espace normé de

Chapitre 1
Suites et séries de fonctions à valeurs
dans un espace normé de dimension
finie.
On s’intéresse ici à des suites de fonctions définies sur un ensemble X qui sera souvent,
mais pas nécessairement, un intervalle de R, et prenant leurs valeurs dans un espace normé
E de dimension finie sur K = R, ou K = C. Lorsque X est un espace normé de dimension
finie, on notera |x| la norme d’un élément x de E. On réservera la notation kf k pour la
norme au sens de la convergence uniforme, d’une application f à valeurs dans un espace
normé E.
1.1
Rappels sur les fonctions à valeurs dans un espace normé
Définition 1.1 On dit que la fonction f X → E est bornée, s’il existe un A ∈ R+ tel
que
∀x ∈ X, |f (x)| ≤ A.
Définition 1.2 Soit f une fonction bornée f : X → E. On appelle norme de f au sens
de la convergence uniforme, le nombre positif ou nul
kf k = kf k∞ = sup |f (x)|.
x∈X
Définition 1.3 Soit f une fonction définie sur un intervalle réel I à valeurs dans E.
1. On dit que f est dérivable
1
au point t0 ∈ I, de dérivee u, si
f (t0 + h) − f (t0 )
= u.
h→0
h
lim
2. Lorsque f est dérivable en tout point t de I on dit que f est dérivable sur I, et on
note f 0 : I → E l’application qui envoie t ∈ I sur la dérivée de f au point t.
3. On définit par récurrence, la notion de fonction de classe C k définie sur I, à valeurs
dans E. Par définition f est de classe C 0 si elle est continue. Et, pour k ≥ 1, f est
de classe Ck , si f est dérivable et sa dérivée f 0 de classe C k−1 .
1
Pour ceux qui connaissent la notion d’application différentiable, dire que f est dérivable en t0 , est
équivalent à dire que f est différentiable en t0 . Si u est le vecteur dérivée de f au point t0 , la différentielle
de f au point t0 est l’application linéaire df : R → E, h 7→ hu
1
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Suites de fonctions.
Définition 1.4 Soit (fn )n une suite de fonctions définies sur X. On dit que la suite (fn )n
est simplement convergente si pour tout x de X la suite (fn (x))n est une suite d’éléments de E qui est convergente.
Définition 1.5 Soit (fn )n une suite de fonctions définies sur X. On dit que la suite (fn )n
converge uniformément vers la fonction f si pour tout n suffisament grand la fonction
f − fn est bornée, et si
lim kf − fn k = 0.
n→+∞
Remarque :
1. La définition ci–dessus est équivalente à :
∀ε > 0 ∃n0 ∀n n > n0 =⇒ sup |fn (x) − f (x)| ≤ x∈X
2. Notez la différence entre les formules quantifiées traduisant les notions de convergence
simple et uniforme :
Cv. simple :
Cv. uniforme :
∀x ∀ε > 0 ∃n0 ∀n, x ∈ X et n > n0 =⇒ |fn (x) − f (x)| < ε
∀ε > 0 ∃n0 ∀x ∀n, x ∈ X et n > n0 =⇒ |fn (x) − f (x)| < ε
Dans le cas de la convergence simple l’entier n0 dépend de x. Autrement dit, la
rapidité de la convergence de fn (x) vers f (x) dépend du point x considéré.
3. En pratique, pour prouver la convergence uniforme de la suite (fn )n vers f sur l’ensemble X, on majore |f (x) − fn (x)| par un nombre αn indépendant de x, qui tend
vers 0 lorsque n → +∞. En effet |f (x) − fn (x)| ≤ αn s’écrit |(f − fn )(x)| ≤ αn , et
si cela est satisfait pour tout x de X on a, par définition d’une borne supérieure,
kf − fn k∞ = sup |(f − fn )(x)| ≤ αn
x∈X
et, puisque αn → 0 cela donne limn→+∞ kf − fn k∞ = 0.
Théorème 1.6 Soit (fn )n une suite de fonctions continues sur un intervalle I. Si la (fn )
converge uniformément vers f , alors la fonction f est une fonction continue.
Théorème 1.7 Soit (fn )n une suite de fonctions continues sur un intervalle fermé borné
[a, b]. Si la suite (fn )n converge uniformément vers f , alors
Z b
Z b
Z b
lim
fn (t) dt =
f (t) dt =
lim fn (t) dt.
n→∞ a
a n→∞
a
On exprime ceci en disant que l’on peut permuter les symboles lim et
R
.
Théorème 1.8 Soit (fn )n une suite de fonctions de classe C 1 sur un intervalle réel quelconque I de R telle que,
1. Il existe un point x0 de I tel que la suite (fn (x0 ))n converge.
2. La suite des dérivées (fn0 )n est simplement convergente sur I, et elle est uniformément
sur tout intervalle fermé borné [a, b] contenu dans I.
Alors
1. La suite des (fn )n converge simplement sur I vers une fonction f .
2. La fonction f est de classe C 1 sur I et et f 0 est la limite de la suite (fn0 ).
3. La suite (fn )n converge uniformément sur tout intervalle fermé borné [a, b] contenu
dans I.
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Séries de fonctions.
Définition 1.9 Soit (un )n une série de fonctions définies sur X. On dit que la série est
simplement convergente, si, pour tout x de X, la série numérique des (un (x))n , est une
série convergente.
Définition 1.10 Soit (un )n une série de fonctions. On dit que la série est uniformément
convergente, si la suite des fonctions sommes partielles d’ordre n c’est à dire la suite de
fonctions (Sn )n , définie par
n
X
Sn (x) =
uk (x)
k=0
est une suite de fonctions uniformément convergente.
Remarque : Si la série des fonctions un est une série qui converge simplement,
P on peut
considérer pour tout x la suite des restes d’ordre n de la série un (x), Rn (x) = k>n uk (x).
Dire que la série de fonctions (un )n est uniformément convergente, c’est aussi dire que la
suite des fonctions Rn converge uniformément vers 0.
Définition 1.11 Soit (un )n une suite de fonctions bornées définies sur X ; on dit que la
série
P des fonctions (un )n est normalement convergente, si la série numérique positive
kun k∞ est convergente.
Théorème 1.12 Si une série de fonctions est normalement convergente alors elle est uniformément convergente, et aussi absolument convergente.
Les théorèmes (1.6,1.7,1.8) donnent immédiatement les trois suivants :
Théorème
1.13 Soit (un )n une suite de fonctions continues sur un intervalle I. Si la
P
série
un est uniformément convergente de somme s, alors s est une fonction
continue.
Théorème 1.14 Soit (un )P
n une suite de fonctions continues sur un intervalle fermé
borné [a, b]. Si la série
un est uniformément convergente de somme s alors
P∞ R b
n=0 a un (t) dt est une série numérique convergente, et on a
Z
b
s(t) dt =
a
∞ Z
X
b
un (t) dt.
n=0 a
Théorème 1.15 Soit (un )n une suite de fonctions de classe C 1 sur un intervalle réel
quelconque I, telle que,
P
1. Il existe un point de x0 de I tel que la série numérique n≥0 un (x0 ) converge.
P
2. La série des fonctions dérivées n≥0 u0n (x) converge uniformément sur tout intervalle
fermé borné contenu dans I.
Alors
1. La série
P
2. Soit s =
P
n≥0 un
n≥0 un .
est simplement convergente sur I.
Alors s est de classe C 1 et, pour tout x de I :
s0 (x) =
X
u0n (x).
n≥0
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P
3. La série
n≥0 un est uniformément convergente sur tout intervalle fermé borné
contenu dans I.
Attention : Signalons ici une faute très souvent lue dans les copies : La convergence
uniforme d’une suite (ou série) de fonctions sur chacun des intervalles [−a, a], 0 < a < 1
entraine bien sûr la convergence simple sur ] − 1, 1[, mais pas la convergence uniforme
sur ] − 1, 1[.
En pratique le moyen le plus simple pour prouver la convergence uniforme d’une série
de fonctions est de prouver qu’elle est normalement convergente.
Si l’on P
n’y parvient pas, on peut encore essayer de majorer la valeur absolue du reste
∞
Rn (x) =
k=n+1 uk (x), par un nombre αn qui ne dépend pas de x et qui tend vers
0, autrement dit, montrer que la suite de fonctions (Rn ) converge uniformément vers 0.
Quand la série n’est pas absolument convergente, un bon moyen pour majorer |Rn (x)| est
souvent le théorème des séries alternées, ou la méthode de sommation d’Abel.
Résumé suites et séries de fonctions
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Chapitre 2
Séries entières.
Les séries entières sont un cas particulier de séries de fonctions, pour lesquelles on
dispose de théorèmes très commodes. Nous nous intéressons ici aux fonctions réelles d’une
variable réelle, ou complexes d’une variable complexe.
Définition 2.1 Etant donnée une suite de P
complexes (resp. réels) (an )n , et un nombre
∞
n
z0 ∈ C (resp. ∈ R), la série de fonctions
n=0 an (z − z0 ) est appelée série entière
autour de z0 associée à la suite (an )n .
On n’énoncera la plupart des théorèmes suivants que dans le cas de séries entières
autour de 0, la transposition au cas général étant évidente.
P
Théorème et définition 2.2 Soit une série entière
an z n . Il existe un R ∈ [0, +∞] tel
que :
1. La série de fonctions converge simplement et absolument dans le disque |z| < R.
2. Pour
tout z, |z| > R, la suite des |an z n | n’est pas majorée (et, a fortiori, la série
P
an z n diverge).
P
Le nombre R est appelé le rayon de convergence de la série
an z n .
Pour calculer le rayon de convergence d’une série entière, le plus simple
P+∞est souvet
n
d’étudier, pour chaque valeur de z la série numérique à termes positifs
n=0 |an z |, à
l’aide du critère de d’Alembert, ou celui de Cauchy.
Exemple: Soit la série entière
X
n≥0
1
z n . On applique le critère de d’Alembert à la
2n + 1
|z|n
. On a
série des un =
2n + 1
lim
n→∞
un+1
2n + 3
= lim
|z| = |z|.
n→∞
un
2n + 1
Donc, si |z| < 1 la série est convergente, si |z| > 1 elle diverge grossièrement parce que
|z n |
limn→∞ 2n+1
= ∞. Ceci montre que le rayon de convergence est 1.
P
n
Remarque : On ne peut rien dire a priori de la nature de la série numérique +∞
n=0 an z ,
pour un z tel que |z| = R. Il y a des cas de convergence et des cas de divergence. Le
théorème des séries alternées, ou celui d’Abel, donne souvent la réponse.
P
P
Théorème 2.3 Si deux séries entières
an z n et
bn z n , convergent et ont même somme
sur un intervalle réel ouvert non vide −a < x < a alors elles sont identiques, i.e. an = bn
pour tout n.
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P
Théorème 2.4
1. Si R est le rayon de convergence de la série
an z n , alors, pour tout
a, 0 ≤ a < R elle converge normalement sur le disque |z| ≤ a.
P∞
n
2. La sériePdérivée terme à terme,
n=0 (n + 1)an+1 z , et la série intégrée terme à
∞ an−1 n
terme, n=1 n z ont le même rayon de convergence R.
P∞
n
3.
n=0 an z est dérivable et intégrable terme à terme. Plus précisément, si f et g sont
les fonctions définies sur |z| < R par
f (z) =
∞
X
n
an z ,
g(z) =
n=0
∞
X
an−1
n=1
xn
n
alors
P
n
– f est dérivable de dérivée f 0 (z) = +∞
n=0 (n + 1)an+1 z .
– g est une primitive de f .
Remarque : Le lecteur attentif remarquera que nous n’avons pas défini la dérivabilité
d’une fonction complexe de variable complexe. La fonction z 7→ f (z) définie au voisinage de
f (z) − f (z0 )
a une limite lorsque z,
z0 ∈ C est dérivable en z0 si et seulement si, le rapport
z − z0
différent de z0 , tend vers z0 . Dire que g est une primitive de f c’est dire que g est dérivable
en tout z, de dérivée f (z).
P
Corolaire 2.5 Si f (z) est la somme de la série entière n≥0 an z n , on a
an =
1 (n)
f (0).
n!
Définition 2.6 On dit que la fonction f est développable en série entière au voisinage
de z0 , si z0 est un point intérieur du domaine de définition de f , et si il existe une série
entière
∞
X
an (z − z0 )n
n=0
de rayon de convergence non nul dont la somme coïncide avec f (z) sur un voisinage de z0 .
Remarque : Il résulte du théorème (2.4) qu’une condition nécessaire pour que f soit
développable en série entière au voisinage de z0 est qu’il existe un ouvert contenant z0 sur
lequel f soit indéfiniment dérivable. Cette condition n’est pas suffisante dans le cas
des fonctions réelles. Dans le cas complexe, la dérivabilité est une propriété beaucoup plus
forte que dans le cas réel, et une condition nécessaire et suffisante pour que f , définie sur
un ouvert U ⊂ C, soit développable en série entière au voisinage de chaque point z0 ∈ U ,
est que f soit dérivable en tout point de U .
Théorème 2.7 Si f est développable en série entière au voisinage de z0 , alors elle possède,
pour tout n, un développement limité d’ordre n autour de z0 ; la partie régulière de ce
développement s’obtient en tronquant à l’ordre n la série entière de f au voisinage de z0 .
Attention : La convergence uniforme dans chaque disque |z| ≤ r, r < R, n’entraine pas
la convergence uniforme dans le disque ouvert |z| < R.
Le théorème 2.4 ci dessus permet d’expliciter les développements en série entière de
beaucoup de fonctions. Si par exemple f a une dérivée f 0 dont le développement est connu,
on déduit immédiatement de ce dernier celui de f par intégration terme à terme. Une
autre méthode très employée est la suivante. Si f est solution d’une équation différentielle
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00
linéaire a(x)f (x) + b(x)f 0 (x) + c(x)f (x) + d(x) = 0 avec a, b, c, d polynômes, on explicite
le développement en série entière du premier membre de l’égalité ci dessus en fonction des
coefficients indéterminés (an ) du développemt de f (x). En écrivant que tous les coefficients
de ce développement sont nuls on obtient une relation de récurrence qui permet de calculer
les an .
En tout cas, l’utilisation du corollaire (2.5) est rarement un bon moyen pour expliciter
le développement en série entière d’une fonction f . Premièrement, avant de l’utiliser il faut
déja avoir prouvé que f est développable en série entière, ensuite, le calcul explicite des
dérivées successives de f en 0 est en général inextricable.
2.1
Développements classiques en série entière
exp(z) =
P∞
zn
n!
R = +∞.
ch(z) =
P∞
z 2n
(2n)!
R = +∞.
sh(z) =
P∞
z 2n+1
(2n + 1)!
R = +∞.
cos(z) =
P∞
z 2n
(2n)!
R = +∞.
sin(z) =
P∞
z 2n+1
(2n + 1)!
R = +∞.
log(1 + z) =
P∞
(1 + z)α =
P∞
n=0
n=0
n=0
n
n=0 (−1)
n
n=0 (−1)
n−1
n=1 (−1)
n=1
zn
n
R = 1.
α(α − 1) . . . (α − n + 1) n
z
n!
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(α ∈ R)
R = 1.
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Chapitre 3
Séries de Fourier.
Les notions à retenir de ce chapitre sont
– Le théorème de Dirichlet qui donne une condition suffisante pour la convergence
simple d’une série de Fourier.
– La définition du produit scalaire dans le cas des fonctions réelles (ou hermitien dans
la cas des fonctions complexes) de deux fonctions périodiques.
– Le théorème de Bessel-Parseval qui dit que la série de Fourier d’une fonction f ,
périodique et continue par morceaux, converge en norme quadratique vers f .
3.1
Séries trigonométriques et séries de Fourier
2π
Définition 3.1 Une série trigonométrique en sinus et cosinus de période T =
ω
est une série de fonctions de la forme
a0 +
∞
X
(an cos ωnx + bn sin ωnx).
(3.1)
n=1
On appelle somme partielle d’ordre N de cette série la somme
SN (x) = a0 +
N
X
(an cos ωnx + bn sin ωnx).
(3.2)
n=0
Définition 3.2 Une série trigonométrique exponentielle de période T est une série
de fonctions de la forme
+∞
X
cn einωx
(3.3)
n=−∞
On appelle somme partielle d’ordre N de cette série la somme
SN (x) =
+N
X
cn einωx
(3.4)
n=−N
Il existe une bijection canonique de l’ensemble des séries trigonométriques exponentielles sur l’ensemble des séries trigonométriques en sinus et cosinus. En effet considérons
la série trigonométrique en sinus et cosinus donnée par (3.1), et sa somme partielle d’ordre
N donnée par (3.2) En utilisant les formules d’Euler,
cos (ωnx) =
eiωnx + e−iωnx
,
2
sin (ωnx) =
9
eiωnx − e−iωnx
−i iωnx
e
− e−iωnx
=
2i
2
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on obtient
SN (x) = a0 +
N
X
(an cos ωnx + bn sin ωnx) =
n=0
cn einωx ,
(3.5)
n=−N
avec
c0 = a0 ,
N
X
et, pour n ≥ 1 cn =
an − ibn
2
an + ibn
2
(3.6)
et bn = i(cn − c−n ).
(3.7)
et
c−n =
ou, ce qui est équivalent,
a0 = c0 ,
et, pour n ≥ 1 an = cn + c−n
Ainsi les formules (3.6) et (3.7) établissent une bijection naturelle entre l’ensemble des
séries trigonométriques exponentielles de période T et l’ensemble des séries trigonométriques en sinus et cosinus de période T . De plus les sommes partielles d’ordre N de deux
séries associées sont les mêmes. Les notions de série trigonométrique en sinus et cosinus,
et de série trigonométrique exponentielle sont deux façons de représenter un même objet.
Il ne s’agît que d’un choix de notation, selon les circonstances on préfèrera l’une ou l’autre
notation.
Le seul théorème général sur les série trigonométriques que nous retiendrons est le
suivant, dont la démonstration, évidente est laissée en exercice.
P+∞
Théorème 3.3 Si la série
la série (3.3)
n=−∞ cn est absolument convergentes,
P+∞
inωx
converge normalement sur R, ou, plus justement, la série c0 + n=1 (cn e
+ c−n einωx )
est normalement convergente.
P+∞
P+∞
Théorème 3.4 Si les séries
n=0 an et
n=0 bn sont absolument convergentes, la
série trigonométrique (3.1) converge normalement sur R.
3.2
Séries de Fourier
Dans cette section on associe à toute fonction f , T -péridodique et continue par morceaux (pour assurer l’intégrabilité de f ) une série trigonométrique, appellée la série de
Fourier de f . Ainsi l’ensemble des séries de Fourier est un sous ensemble de l’ensemble
des séries trigonométriques. Mais ces deux ensembles ne coïncident pas. Il existe des séries
trigonométriques qui ne sont pas des séries de Fourier (même si l’on étend l’ensemble des
fonctions considérées à l’ensemble de toutes les fonctions T -périodiques intégrables au sens
de Lebesgue).
2π
.
T
1. La série de Fourier en sinus et cosinus de f est la série
Définition 3.5 Soit f continue par morceaux, T –périodique, ω =
a0 +
+∞
X
(an cos nωt + bn sin nωt)
n=1
1
dont les coefficients sont a0 =
T
2
an =
T
Z
Z
T
f (t) dt et, pour n ≥ 1,
0
T
f (t) cos nωt dt
0
Résumé suites et séries de fonctions
10
2
bn =
T
Z
T
f (t) sin nωt dt.
(3.8)
0
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2. La série de Fourier exponentielle de f est la série
n=+∞
X
cn einωt dont les coeffi-
n=−∞
cients cn pour n ∈ Z sont donnés par
cn =
1
T
T
Z
f (t)e−inωt dt.
(3.9)
0
Remarques :
1. Par les formules d’Euler et la linéarité de l’intégrale, les coefficients de Fourier exponentiels cn = cn (f ), et les coefficients trigonométriques an = an (f ), bn = bn (f ) sont
reliés par les formules (3.6) et (3.7).
2. Les coefficients cn sont en générals complexes. Les coefficients an et bn sont réels
chaque fois que f est une fonction réelle.
3. Par la formule (3.5), pour tout x et tout N
a0 +
N
X
(an cos nωx + bn sin nωx) =
n=1
+N
X
cn einωx .
n=−N
On peut donc parler sans ambiguïté de la somme partielle d’ordre N de la série
de Fourier, sans qu’il soit nécessaire de préciser s’il s’agit de la série sous forme
exponentielle, ou en sinus et cosinus.
Définition 3.6 f (x) est de classe C 1 par morceaux sur l’intervalle [a, b] si il existe
une subdivision a0 = a < a1 < a2 < . . . < ak = b, et sur chaque intervalle [ak , bk ] une
fonction fk de classe C 1 sur [ak , bk ] qui coïncide avec f sur ]ak , bk [.
f est de classe C 1 par morceaux sur R si elle est de classe C 1 par morceaux sur
tout intervalle fermé borné de R.
Remarque : Cette définition laisse arbitraires les valeurs de f en les ak .
Théorème 3.7 [Théorème de Dirichlet] Si f est une fonction T –périodique et de classe
C 1 par morceaux, la série de Fourier de f converge simplement vers la fonction
x→
f (x+ ) + f (x− )
·
2
La convergence est uniforme sur chaque intervalle fermé borné sur lequel f est continue.
Si f est continue et de classe C 1 par morceaux sa série de Fourier est normalement
convergente.
Théorème 3.8 Si la série trigonométrique
+∞
X
cn einωt
(3.10)
n=−∞
est uniformément convergente, alors elle est la série de Fourier de sa somme.
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3.3
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L’espace prehilbertien des fonctions T -périodiques et la
formule de Parseval
Définition 3.9 Soit CR (T ) l’espace vectoriel réel des fonctions continues par morceaux,
périodiques de période T . L’application
1
(f, g) 7→
T
T
Z
f (t)g(t) dt
(3.11)
0
définit un pseudo produit scalaire sur CR (T ) (c’est une forme bilinéaire symétrique, positive,
mais pas définie positive, parce qu’une application nulle sauf en un nombre fini de points
a un carré scalaire non nul). La pseudo-norme quadratique sur CR (T ) est la norme
associée à ce pseudo produit scalaire, c’est à dire
f 7→ kf k2 =
1
T
T
Z
2
1/2
|f (t)| dt
.
(3.12)
0
Définition 3.10 Soit CC (T ) l’espace vectoriel cpmlexe des fonctions complexes continues
par morceaux, périodiques de période T . L’application
(f, g) 7→
1
T
T
Z
f (t)g(t) dt
(3.13)
0
définit un pseudo produit hermitien sur CC (T ) (ce n’est pas un vrai produit hermitien car
le carré d’une fonction nulle sauf en un nombre fini de points est nul) La pseudo-norme
hermitienne sur CR (T ) est la norme associée à ce pseudo produit, c’est à dire
f 7→ kf k2 =
1
T
Z
T
2
|f (t)| dt
1/2
.
(3.14)
0
Proposition 3.1
1. La famille Bc (T ) = (einωt )n∈Z est une famille orthonormée de CC (T ).
2. Les éléments de l’ensemble
o
n
Br (T ) = 1, (sin(nωt))n≥1 , (cos(nωt))n≥1
sont deux à deux orthogonaux, et
k1k2 = 1
et, pour n ≥ 1,
kcos(nωt)k2 = ksin(nωt)k2 =
1
2
Définition 3.11 (Polynômes trigonométriques) Un polynôme trigonométrique de degré ≤ n et de période T = 2π/ω est une application de la forme
t 7→
+n
X
ck eikωt
ou encore
t 7→ a0 +
k=−n
+n
X
(ak cos(kωt) + bk sin(kωt),
k=1
où les ak , bk , ck sont des complexes arbitraires.
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Théorème 3.12 Soit f une fonction T -périodique, continue par morceaux, et ck ses coeffcients de Fourier. La somme partielle d’ordre n de la série de Fourier de f ,
Sn (f ) =
+n
X
ck eikωx ,
k=−n
est la projection orthogonale de f sur l’espace vectoriel des polynômes trigonométriques de
degré au plus n.
P
Preuve : Il faut montrer que f − nk=−n ck (f )eikωx est orthogonale à eiqωx pour tout q,
−n ≤ q ≤ n. La linéarité de l’intégrale donne
!
Z
n
X
1 T
ikωx
f (x) −
ck (f )e
e−iqωx dx
T 0
k=−n
=
1
T
Z
T
−iωqx
f (t)e
+n
X
dx −
0
k=−n
Z
1
ck (f )
T
T
eikωx e−iqωx dx = cq (f ) − cq (f ) = 0,
0
car, la famille des eikωx étant orthonormée, dans la dernière somme tous les termes sont
nuls sauf le terme en k = q dont la valeur est cq .
Théorème 3.13 Pour toute fonction f continue par morceaux, et T -périodique, La série
de Fourier de f converge vers f en norme quadratique, c’est à dire que
lim kf − Sn (f )k2 = 0.
n→+∞
(3.15)
Ce théorème s’énonce encore de la manière suivante,
Théorème 3.14 [Théorème de Bessel–Parseval] Soit f : R → C, continue par morceaux et T -périodique. On a :
Z
∞ +∞
X
2 1 X
1 T
2
2
|an | 2 + |bn |2 .
(3.16)
|f (x)| dx =
|cn | = a0 +
T 0
2
−∞
n=1
Preuve : La décomposition orthogonale f = Sn (f ) + (f − Sn (f )) et le théorème de Pythagore donnent kf k22 = kSn (f )k22 + kf − Sn (f )k22 et donc. Avec le théorème précédent il
vient
kSn (f )k22 = kf k22 − kf − Sn (f )k22 −→ kf k22 .
(3.17)
n→+∞
Mais puisque les décompositions
Sn (f )(x) =
+n
X
ck eikωx = a0 +
n
X
[ak cos(kωx) + bk sin(kωx)]
k=1
k=−n
sont orthogonales, le théorème de Pythagore donne encore (en utilisant la proposition 3.1)
pour évaluer les normes des fonctions eikωx , cos(kωx) et sin(kωx))
kSn (f )(x)k22
=
=
+n
X
k=−n
+n
X
k=−n
n X
|ck |2 eikωx = |a0 |2 k1k22 +
|ak |2 kcos(ikωx)k22 + |bk |2 ksin(ikωx)k22
2
|ck |2 = |a0 |2 +
k=1
1
2
n
X
(|ak |2 + |bk |2 ).
k=1
Résumé suites et séries de fonctions
13
M. Deléglise
Université Lyon 1
Capes Math. 2008-2009
Avec (3.17) on en déduit
1
T
Z
0
T
2
2
|f (t)| dt = kf k2 =
lim kSn (f )k22
n→∞
∞ 2 1 X
=
|cn | = a0 +
|an | 2 + |bn |2 .
2
−∞
+∞
X
2
n=1
Remarque : Lorsque la fonction f est réelle les an et les bn sont réels et les valeurs
absolues autour des an et bn sont inutiles.
Résumé suites et séries de fonctions
14
M. Deléglise