5. Le champ magnétique
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Chapitre 5 OCPH 5. Le champ magnétique 22 Le champ magnétique De nos jours, les aimants sont utilisés dans les appareils de mesure, les moteurs, les hautparleurs, les appareils d'enregistrement, les mémoires d'ordinateur, en analyse chimique, pour concentrer le faisceau d'électrons dans un tube de télévision, et dans une foule d'autres mécanismes. En plus d'être utile à la navigation, le champ magnétique nous protège contre les effets dangereux des particules chargées de haute énergie provenant de l'espace. Nous allons étudier dans ce chapitre les forces exercées par des champs magnétiques sur des particules chargées et sur des courants électriques. 5.1. Le champ magnétique Au voisinage d'un barreau aimanté, la limaille de fer forme une configuration caractéristique qui montre l'influence de l'aimant sur le milieu environnant. C'est à partir de ces configurations que Michael Faraday eut l'idée d'introduire la notion du champ magnétique et les lignes de champ correspondantes. Le champ magnétique B en un point est dirigé selon la tangente à une ligne de champ. Le sens de B est celui de la force agissant sur le pôle Nord d'un barreau aimanté et correspond à la direction vers laquelle pointe l'aiguille d'une boussole. L'intensité du champ est proportionnelle au nombre de lignes traversant une surface unitaire normale au champ. On remarque à la figure de gauche que les pôles ne sont pas situés en des points précis mais qu'ils correspondent plutôt à des régions mal définies proches des extrémités de l'aimant. Si l'on essaie d'isoler les pôles en coupant l'aimant, il se produit une chose curieuse : on obtient deux aimants, comme on le voit à la figure ci-contre. Si l'on coupe l'aimant en tranches très fines, chaque fragment garde toujours deux pôles. Même à l'échelle atomique, nul n'est parvenu à trouver un pôle magnétique isolé, ce que l'on appelle un monopole. C'est pourquoi les lignes de champ magnétique forment des boucles fermées. À l'extérieur de l'aimant, les lignes émergent du pôle Nord et entrent par le pôle sud ; à l'intérieur, elles sont dirigées du pôle sud vers le pôle Nord. Définition du champ magnétique La définition du champ électrique est assez simple. Si F est la force agissant sur une charge électrique stationnaire q placée dans le champ, le champ électrique est E F q , c'est-à-dire la force par charge unitaire. Mais puisqu'il n'est pas possible d'isoler un pôle, la définition du Chapitre 5 OCPH Le champ magnétique 23 champ magnétique n'est pas aussi simple. En examinant l'effet d'un champ magnétique sur une charge électrique, on constate : La force agissant sur une particule chargée est directement proportionnelle à la charge q et à la vitesse v, c'est-à-dire : F qv Si la vitesse v de la particule fait un angle avec les lignes de B , on trouve : F sin F est perpendiculaire à la fois à v et à B . On peut tenir compte de tous ces résultats en définissant le produit vectoriel : F qv B équation 5.1 Puisque F est toujours perpendiculaire à v , une force magnétique n'effectue aucun travail sur une particule et ne peut servir à faire varier son énergie cinétique. L'unité SI de champ magnétique est le tesla (T). Un aimant ordinaire de laboratoire peut produire un champ d'environ 1 T, alors qu'un aimant supraconducteur peut produire plus de 30 T. Le tesla étant une grande unité, on utilise parfois une autre unité, le gauss (G), dont la conversion est la suivante : 1 G 10 4 T L'intensité du champ magnétique terrestre près de la surface est voisine de 0,5 G, alors que l'intensité du champ au voisinage d'un barreau aimanté peut atteindre 50 G. EXEMPLE 5.1 - Un électron a une vitesse v 10 6 m selon l’axe y, dans un champ s B 500 G selon l’axe z. Quelle est la force agissant sur l’électron ? 5.2. La force sur un conducteur parcouru par un courant Si l'on place un fil dans un champ magnétique, il n'est soumis à aucune force. Les vitesses thermiques des électrons libres sont orientées au hasard et la force nette est donc nulle. Par contre, lorsque le fil est parcouru par un courant, les électrons acquièrent une faible vitesse de dérive v d et sont donc soumis à une force magnétique qui est ensuite transmise au fil. Considérons un segment rectiligne de fil de longueur l et de section S parcouru par un courant I perpendiculaire à un champ magnétique uniforme. Si n est le nombre d'électrons de conduction par unité de volume, le nombre de charges dans ce segment de fil est nSl. Chaque électron est soumis à une force ev d B et la force totale exercée sur les électrons dans ce segment est : F (nSl )ev d B Chapitre 5 OCPH Le champ magnétique 24 D'après l'équation I nSevd , et l'expression précédente devient F IlB . Si le conducteur parcouru par un courant n'est pas perpendiculaire au champ, la force exercée sur le fil est donnée par l'expression vectorielle : F Il B équation 5.2 où le vecteur l est par définition de même sens que le courant. Comme le montre la figure, la force est toujours normale au fil et aux lignes de champ. L'intensité de la force est : F IlB sin équation 5.3 où est l'angle entre le vecteur l et le champ B . Si le fil n'est pas rectiligne ou si le champ n'est pas uniforme, la force agissant sur un élément de courant infinitésimal Idl est : dF Idl B La force sur un fil est égale à la somme vectorielle (intégrale) des les éléments de courant. EXEMPLE 5.2: Un fil rectiligne de longueur 30 cm et de masse 50 g suit la direction estouest. Le champ magnétique terrestre en ce point est horizontal et a une intensité de 0,8 G. Pour quelle valeur du courant l’effet du champ compense-t-il le poids du fil ? 5.3. Le mouvement des particules chargées La figure représente deux vues différentes d'une particule chargée positivement animée d'une vitesse initiale v perpendiculaire à un champ magnétique uniforme B . Comme - v et B sont perpendiculaires, la particule est soumise à une force F qvB , d'intensité constante et dirigée perpendiculairement à v . Sous l'action d'une telle force, la particule se déplace sur une trajectoire circulaire à vitesse constante. D'après la deuxième loi de Newton, F = ma, nous avons : qvB mv 2 r équation 5.6 où r est le rayon de l’orbite. mv r qB Le rayon de l’orbite est proportionnel à la quantité de mouvement et inversement proportionnelle au champ magnétique. La période de l’orbite est : 2r 2m T v qB et la fréquence est donc : fc qB 2m équation 5.7 On constate, dans ces équations que la période ou la fréquence ne dépendent pas de la vitesse de la particule. Les particules de même rapport q/m ont même fréquence. Chapitre 5 OCPH Le champ magnétique 25 Le mouvement hélicoïdal Considérons le mouvement d'une particule positive dont la vitesse a une composante parallèle aux lignes d'un champ magnétique uniforme. La composante perpendiculaire donne lieu à une force qv B qui produit un mouvement circulaire, mais la composante parallèle ne change pas. On obtient la superposition d'un mouvement circulaire uniforme normal aux lignes de champ et d'un mouvement rectiligne uniforme parallèle aux lignes. Ces deux mouvements se combinent pour produire une trajectoire en spirale ou hélicoïdale. Le «pas» de l'hélice est le déplacement de la particule dans la direction des lignes pendant une période. Dans un champ non uniforme, le rayon de la trajectoire varie. Si les autres variables ont des valeurs fixes, on peut voir d'après l'équation 5.6 que r va comme 1/B, ce qui signifie que le rayon décroît au fur et à mesure que l'intensité du champ augmente. Il se produit aussi un effet plus important, lié au fait que la particule est soumise à une force dirigée vers la région où le champ est plus faible (figure). Il en résulte que la composante de la vitesse le long des lignes de B n'est pas constante. Un exemple important du confinement magnétique est observé dans le champ magnétique terrestre. Les particules chargées provenant de l'espace décrivent des trajectoires en spirale le long des lignes de champ d'un pôle à l'autre (figure). Ces particules captives sont confinées dans des régions que l'on appelle ceintures de Van Allen. La forme de ces éruptions solaires est une preuve de l'existence du champ magnétique solaire. 5.4. La combinaison des champs électrique et magnétique La force de Lorentz : F qEvB équation 5.8 Le sélecteur de vitesse On construit une région dans laquelle des champs magnétique et électrique sont perpendiculaires. Seule les particules dont la vitesse est : Chapitre 5 OCPH Le champ magnétique 26 E B vont traverser la zone sans être déviées. v Le spectromètre de masse Un spectromètre de masse est un dispositif qui sépare les particules chargées, en général des ions, selon leur rapport masse/charge. Si les charges sont identiques, l'instrument peut servir à mesurer la masse des ions. La figure représente un instrument datant de 1933. Un faisceau de particules chargées passe dans un collimateur (qui en fait un pinceau de particules) constitué par les fentes S1 et S2. Les particules pénètrent alors dans un sélecteur de vitesse dans lequel le champ magnétique est B1 et le champ électrique perpendiculaire est E . Il s'ensuit que seules les particules de vitesse v = E/B1 pénètrent dans la section suivante, où il ne règne qu'un champ magnétique B2 . Les particules décrivent des trajectoires demi-circulaires et frappent une plaque photographique. D'après l'équation 5.6, on sait que le rayon de la trajectoire est mv r . En remplaçant v = E/B1, on obtient : qB 2 m B1 B 2 r q E équation 5.9 Pour une valeur donnée de q, le rayon de la trajectoire est proportionnel à la masse. On utilise cette technique pour séparer les isotopes. 5.5. Le cyclotron On obtient une multitude d'informations concernant les propriétés des noyaux et des particules élémentaires en bombardant des cibles atomiques avec des particules de haute énergie. Le physicien américain Ernest Lawrence avait envisagé la possibilité d'accélérer des particules par étapes successives à l'aide de différences de potentiel relativement faibles. Il mit au point un dispositif, appelé cyclotron (1930), en collaboration avec M. S. Livingston. Le fonctionnement du cyclotron s'appuie sur le fait que la période orbitale d'une particule dans un champ magnétique est indépendante de sa vitesse. Le cyclotron, représenté à la figure, est composé de deux demi-cylindres en forme de dé, appelés Dl et D2, séparés par un petit espace et placés dans un champ magnétique uniforme. Au centre de l'espace se trouve une source d'ions qui produit des particules chargées, telles que des protons ou des particules alpha, lesquelles sont injectées dans l'un des demi-cylindres avec une faible vitesse. On a créé le vide dans l'appareil afin de réduire au minimum les pertes dues aux collisions avec les molécules de l'air. Le champ magnétique pénètre dans les demi-cylindres et donne aux particules une trajectoire circulaire. On applique aux demi-cylindres une tension élevée dont la polarité s'inverse selon une période correspondant au temps que mettent les particules pour parcourir une demi-révolution. Le champ électrique associé à cette différence de potentiel est principalement confiné dans l'espace entre les demi-cylindres. Au moment même où les particules terminent leur première demi-révolution, D2 devient positif et Dl négatif. Puisque cette polarité accélère les particules (positives) lorsqu'elles traversent l'espace entre les demi-cylindres, elles acquièrent l'énergie Chapitre 5 OCPH Le champ magnétique 27 cinétique, Ec qU et passent à une orbite plus grande. Au bout d'un temps T/2, elles arrivent à nouveau dans cet espace, mais la polarité de la différence de potentiel s'est inversée de sorte qu'elles accélèrent à nouveau en le traversant. Ce processus se répétant à chaque traversée de l'espace, les particules subissent une nouvelle accélération en traversant l'espace et décrivent des cercles de plus en plus grands, mais toujours avec la même période. Lorsqu'elles atteignent le rayon maximal, les particules sont déviées par une plaque qui les dirige vers la zone expérimentale. cyclotron de l'hôpital universitaire de Genève Dans la pratique, le fonctionnement du cyclotron présente quelques complications. Tout d'abord, il est difficile de produire un champ magnétique uniforme dans une région étendue comme celle des cyclotrons modernes (de rayon voisin de 2 m). Ensuite, à chaque accélération, la masse relativiste de la particule devient nettement supérieure à sa masse habituelle mesurée à faible vitesse. Cela crée un déphasage entre l'alternance de la différence de potentiel et le passage des particules dans l'espace. C'est pourquoi on utilise des protons, qui sont des particules plus lourdes que les électrons : pour une énergie donnée, la vitesse d'un proton est bien inférieure à celle d'un électron. Dans un cyclotron, les protons atteignent une énergie maximale voisine de 25 MeV. Pourquoi un cyclotron en médecine ? Le diagnostic en médecine nucléaire fait appel à des marqueurs radioactifs pour déterminer ce qui se passe à l’intérieur du corps. On y recourt très couramment pour recueillir des informations sur le fonctionnement et le métabolisme des organes. Ces marqueurs ont une durée de vie qui peut être très courte et nécessite ainsi une production sur place. Chapitre 5 OCPH Le champ magnétique 28 Ce scanner TEP à l'Hôpital cantonal de Genève. Exercices : 1. Un électron d’énergie cinétique de 50 keV est projeté perpendiculairement aux lignes d’un champ d’intensité 0,5 T. (a) Calculer le rayon de sa trajectoire (b) son accélération (c) sa période. 2. Une ligne de transmission transporte un courant de 103 A d’Ouest en Est. Le champ terrestre est horizontal, orienté vers le Nord et a une intensité de 0,5 G. Quelle est la force exercée sur 1 m de ligne ? 3. Un proton décrit une orbite circulaire de rayon 20 cm perpendiculaire à un champ de 0,8 T. Trouvez: (a) le module de sa vitesse ; (b) sa période ; (c) son énergie cinétique. 4. Un proton du rayonnement cosmique s'approche de la Terre à 0,1 c le long d'une ligne radiale dans le plan équatorial, c'est-à-dire normalement aux lignes de champ. On suppose que le champ terrestre a une intensité de 0,2 G dans la région. (a) Quel est le rayon de la trajectoire du proton ? (b) La déviation se produit-elle vers l'Est ou vers l'Ouest ? 5. Un proton décrit un cercle de rayon 3,2 cm perpendiculaire à un champ magnétique de 0,75 T. Trouvez: (a) la fréquence du cyclotron ; (b) l'énergie cinétique ; (c) la quantité de mouvement. 6. Une particule alpha de masse 6, 7 10 27 kg et de charge 2e est accélérée à partir du repos par une différence de potentiel de 14 kV et pénètre dans un champ magnétique uniforme de 0,6 T, normalement aux lignes de champ. Trouvez le rayon de sa trajectoire. 7. Les deux isotopes du néon ont des masses de 20 u et 22 u. Des ions portant une seule charge sont accélérés à partir du repos par une différence de potentiel de 1 kV, puis pénètrent dans un champ magnétique uniforme de 0,4 T, normalement aux lignes du champ. Quelle distance les sépare-t-elle après une demi-révolution dans un spectromètre ? 8. Un proton effectue cent révolutions dans un cyclotron avant de sortir avec un rayon de 50 cm et une énergie de 10 MeV. Trouvez: (a) le champ magnétique dans le cyclotron ; (b) la différence de potentiel entre les demicylindres; (c) la fréquence de la source de tension.
