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Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie Université Virtuelle de Tunis Physique - électricité : TC1 Champ et potentiel électrostatiques Concepteur du cours: Jilani Lamloumi et Monjia Ben Braiek Attention ! Ce produit pédagogique numérisé est la propriété exclusive de l'UVT. Il est strictement interdit de la reproduire à des fins commerciales. Seul le téléchargement ou impression pour un usage personnel (1 copie par utilisateur) est permis. Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques En analysant la loi de Coulomb présentée dans le chapitre précédent, nous introduisons le champ électrostatique E . L’étude des propriétés de ce champ à l’aide des notions mathématiques conduit au potentiel électrostatique et au théorème de Gauss. les méthodes permettant de calculer le champ et le potentiel électrostatiques lorsque la distribution de charges est donnée seront présentées. I. LE CHAMP ELECTROSTATIQUE I.1. Définition Toute région de l’espace dans laquelle une charge électrique subit une force électrique est appelée un champ électrique. Une charge q exerce sur une charge q' placée à une distance r, dans le vide, une force qui est donnée par la loi de Coulomb: 1 qq ' r F 4 0 r 2 r Cette force dépend de la grandeur des charges q et q' mais si on considère le rapport F q r , on constate qu’il ne dépend plus de la charge q' mais seulement de la charge 2 q ' 4 0 r r q. On pose F E et on désigne ce vecteur sous le nom de vecteur champ électrique au q' point M créé par la charge ponctuelle q. 1 q r E 4 0 r 2 r 2 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques r u : vecteur unitaire de la direction r , r PM r P M r E q>0 E q<0 P M r Remarques: 1. Le champ électrique qui existe en tout point de l’espace définit un champ de vecteurs. Pour mettre en évidence ce champ on introduit une charge q 0, appelée « charge d’épreuve », dans ce champ, il s’exerce sur cette dernière la force : F q 0 E La charge électrique étant une quantité algébrique, F et E sont de même sens si q0>0 et de sens contraire si q0<0. 2. Le champ électrique s’exprime en Volts par mètre (V/m). Le Volt est l’unité de potentiel électrostatique qui sera défini au paragraphe suivant. I.2. Expressions du champ électrique I.2.1. Cas d’un ensemble de charges ponctuelles-Principe de superposition 3 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques Considérons maintenant une charge q0 placée en un point M et se trouvant en présence d’autres charges qi placées en des points Pi (i = 1 à n). Le principe de superposition permet d’écrire la force F s’exerçant sur la charge q0 sous la forme: n q q r F 0 i i3 i 1 4 0 ri ( ri Pi M ) n 1 q i ri soit: F q 0 E avec E 3 i 1 4 0 ri On remarque que le champ E est la somme des champs E i créés en M par les différentes charges qi, ce que nous écrivons: n E E i avec E i i 1 1 q i ri 4 0 ri2 ri Le principe de superposition s’applique donc pour les champs dus à différentes charges. I.2.2. Cas d’une distribution continue de charges Ce sont des charges reparties dans un volume, sur une surface ou sur un fil. On peut considérer ces répartitions de charges comme continues dans la limite où la distance entre deux charges est très petite par rapport à la distance qui les sépare du point où on calcule le champ. a. Distribution volumique Considérons une répartition continue de charges à l’intérieur d’un certain volume V, répartition considérée en chaque point P du volume par la donnée de la densité volumique 4 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques dq où dq désigne la charge électrique contenue dans l’élément de volume dv dv entourant le point P. de charges Le champ dE créé en un point M par la charge dq a pour expression: 1 dq r 1 dv dE u 2 4 0 r r 4 0 r 2 r ( r PM , u ) r Nous écrivons donc pour l’ensemble de la répartition: E 1 4 0 dv u v r2 b. Distribution surfacique Pour une répartition surfacique de charges caractérisée par la donnée de la densité dq surfacique en chaque point d’une surface S, nous écrirons de façon analogue: dS E 1 4 0 s σ dS u r2 c. Distribution linéique Pour une répartition linéique de charges caractérisée en chaque point d’une courbe , par la densité linéique dq , nous écrirons: d E 1 4 0 d u. r2 I.3. Propriétés de symétrie et principe de Curie 5 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques Les propriétés de symétrie d’une distribution de charges électriques permettent de déterminer par calcul, en un point quelconque de l’espace, la direction du champ électrique créé par cette distribution et les variables d’espace dont dépend E . En physique, les considérations de symétrie constituent un outil extrêmement puissant qui intervient dans des nombreux domaines. Les symétries propres d’une distribution de charges sont les opérations de symétries (rotations, translations, symétries par rapport à un plan ...) qui laissent le système de charges géométriquement invariant, c’est à dire qui le superposent à lui-même. Le principe de Curie permet de comparer les éléments de symétrie d’une distribution de charges ( système appelé «cause») aux éléments de symétrie du champ électrique (système appelé «effets»). Ce principe s’énonce de la manière suivante: - Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les éléments de symétrie des effets produits. - Lorsque certains effets révèlent une certaine dissymétrie, cette dissymétrie doit se retrouver dans les causes qui lui ont donné naissance. I.3.1. Eléments de symétrie et variables d’espace a. Symétrie de translation On décrit l’invariance d’une distribution de charges par translation en utilisant les coordonnées cartésiennes (x, y, z). Une distribution de charges invariante dans toute translation parallèle à un axe, z' z par exemple, est caractérisée par une densité de charges indépendante de z. Le champ E créé ne dépend pas donc de z. b. Symétrie de rotation autour d’un axe On décrit l’invariance d’une distribution de charges par rotation autour d’un axe en utilisant les coordonnées cylindriques (r,,z), l’axe z' z étant l’axe de rotation. Une 6 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques distribution de charges invariante dans toute rotation par rapport à un axe z' z est caractérisée par une densité de charges indépendante de l’angle . Le champ E créé ne dépendra que de r et de z: E (M) E (r, , z) E (r, z) c. Symétrie de rotation autour d’un point (Symétrie sphérique) On décrit l’invariance d’une distribution de charges par rotation autour d’un point en utilisant les coordonnées sphériques (r,,). Une distribution de charges invariante dans toute rotation autour d’un point fixe O, présentant la symétrie sphérique, est caractérisée par une densité de charges indépendante de et de . Le champ E créé ne dépendra que de r: E (M) E (r, , ) E (r ) I.3.2. Plans de symétrie et direction du champ E On dit qu’une distribution de charge volumique possède un plan de symétrie (ou plan de symétrie paire) lorsque l’opération de symétrie par rapport à ce plan ne la modifie pas: (P' ) (P) ( P' : symétrique de P par rapport au plan ). Lorsqu’une opération de symétrie par rapport à un plan ' change une distribution de charge en son opposée: (P' ) (P) , on dit que le plan de symétrie ' est un plan d’antisymétrie ( ou plan de symétrie impaire ). Les conséquences de l’application du principe de Curie pour le champ E conduisent aux résultats suivants pour la direction du champ E : Le champ, créé en tout point M appartenant au plan , est contenu au plan de symétrie paire . En effet: Soient deux charges élementaires dq1 et dq2, dq1 est symétrique de dq2 . P1(dq1) - dE1 (dq1= dq2, P1M = P2M = r ) Le champ électrique créé.au point M par ces charges est: H dE M dE 2 P2(dq2) 7 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques PM PM dE dE1 dE 2 kdq1 1 3 kdq 2 2 3 PM P2 M 1 kdq (P1 M P2 M ) r 3 kdq 2 HM r 3 le champ E appartient donc au plan de symétrie - Le champ, créé en tout point M appartenant au plan, est perpendiculaire au plan de symétrie impaire.En effet: Le champ électrique créé Au point M par dq1 et dq2 P1(dq1) (dq1 = -dq2 ) est donné par : (P M P M) PP dE dE 1 dE 2 kdq 1 3 2 kdq 1 3 2 r r 2 Ed H ' Le champ E est donc perpendiculaire au plan M dE1 dE d'antisymétrie ' P2(dq2) I.4. Exemples de calcul direct du champ E I.4.1. Fil uniformément chargé avec une densité linéique >0 Considérons un fil AB de longueur 2L uniformément chargé coïncidant avec l’axe Oz et chargé avec une densité linéique constante. Calculons directement le champ créé en tout poit M d'un axe orthogonal à AB passant par le point O milieu de AB. La distance OM sera notée a ( Fig.1 ). Un élément de fil de longueur d à la distance de O porte une charge d et crée au point M un champ dE r : A d 8 ur Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI P 0 O u dE r r M a dE Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques dE r 1 d ur 4 0 r 2 ( PM r ; u r r ; OM a ; OP ) r En raison de la symétrie du problème, à chaque élément d à la distance au-dessus de O, correspond un élément d au-dessous de O à la même distance. L’addition vectorielle des champs créés par des éléments symétriques deux à deux donne une résultante dont la composante parallèle au fil est nulle. Seule la composante parallèle à OM perpendiculaire au fil est différente de zéro et vaut : d dE dE r cos u cos u ; 4 0 r 2 Sur la figure on vérifie que r On a donc: dE OM (u ) OM a et atg cos d cos 3 2 4 0 a Le calcul du champ total créé au point M resultera de l'intégration de cette expression sur toute la longueur de la tige. On remarque que dans cette expression, l'élément de longueur d est réperé par l'angle . Il serait donc intéressant de choisir comme variable d'intégration. On a: . d 9 a d cos 2 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques Soit: cos d 4 0 a dE Intégrons cette expression entre -0 et 0 qui sont les deux angles délimitant le fil AB vu du point M. E 0 sin 0 cos d 4 0 a 0 2 0 a On peut remplacer sin 0 par son expression en fonction des données a et L: sin 0 L a 2 L2 D'où l'expression finale du champ électrique en M: E L 2 0 a L 2 2 u Remarque: cas d'un fil infini uniformément chargé. * L'expression du champ électrique créé par un fil infini au point M est donnée par: E 2 cos d 4 0 a 2 2 0 a Puisque E a la direction de u , on obtient finalement sous forme vectorielle: E u 2 0 a * Un plan 1 passant par M et contenant Oz est un plan de symétrie paire. Il en est de même pour un plan 2 passant par M et perpendiculaire à Oz. Le champ E doit donc être contenu à la fois dans 1 et dans 2; il est donc porté par la direction commune de 1 et 2 10 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques c’est à dire qu’il est perpendiculaire au fil. Le système de coordonnées adapté à la symétrie est celui de coordonnées cylindriques dans lequel le point M est défini par , et z (=OM=a). Le module de E est le même pour un même , ceci quelque soit . D’autre part, E est invariant par une translation suivant Oz. Finalement E est indépendant de z et de et varie seulement en fonction de . Ceci correspond bien au résultat trouvé précédemment pour E : E u 2 0 a I.4.2. Disque uniformément chargé Considérons un disque de rayon R portant la charge totale Q uniformément répartie à sa surface, ce qui correspond à une Q densité surfacique uniforme ; nous R ² nous proposons de calculer le champ électrostatique créé par ce disque en un point M de son axe Oz à la distance z (z>0) de son centre O ( Fig.2). z dE M r O P dS R Tout plan contenant la droite OM est Fig.2 un plan de symétrie paire; le champ E est nécessairement porté par la direction commune à tous ces plans, c’est à dire par Oz. Le champ dE dû à un élément de surface dS, de charge dq dS , a pour expression: dS dE u dE u 4 0 r ² 11 ( r PM , u r ) r Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques On peut associer deux à deux les éléments de surface de façon que les composantes normales à Oz des champs correspondants se compensent comme nous l’avons prévu à partir des éléments de symétrie du problème, seules s’ajoutent les composantes dE z dE cos . dE z avec dS = dd cos dScos 4 0 r² (en coordonnées polaires); r² = ² + z² ( = OP ; z = OM) et z ² z² dE z Soit: z dd 4 0 ² z² 3 / 2 L’expression du champ E en M ( qui se confond avec sa composante sur Oz) est donnée par: E z 4 0 E 2 0 R d ² z² 3/ 2 0 2 0 d z z z R ² z ² z z E uz 2 0 z R ² z ² Soit: Cette expression est valable quelque soit le signe de z. 12 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques Cas limites: * Si le point M est très éloigné du disque z R , on aura: z z z E(M) 2 0 z R² 1 z² R ² z R ² 4 0 z ² z 4 0 z ² z 1 1 R ² 2 z 2z ² 0 z z C’est l’expression du champ créé en M par une charge Q R ² (c’est la charge totale du disque) placée en O. * Si le point M est très proche du disque z R , l’expression du champ devient approximativement égale à : E ( M) z 2 0 z Nous retrouvons ainsi, au voisinage immédiat du disque, le champ d’un plan uniformément chargé . E(z 0) 2 0 et Remarquons la discontinuité de E(z 0) 2 0 de E à la traversée de la couche superficielle 0 chargée. E(z 0) E(z 0) 0 13 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques II. LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE II.1. Circulation du champ électrostatique - Définition du potentiel électrostatique II.1.1. Circulation du champ électrostatique d’une charge ponctuelle A Une charge ponctuelle fixe q placée en O crée en tout point de l’espace un champ électrostatique: M d ur q r q EM u r 4 0 r 3 4 0 r 2 E (M ) O B Fig.3 La circulation élémentaire dC de E correspondant à un déplacement élémentaire d du point M sur la courbe AB est: dC E . d or u r . d d . u r dr dC q u r . d 4 0 r ² (dr est la projectionde d sur u r .) q q dV(r ) dr d 4 0 r ² 4 0 r avec V(r) q Cte 4 0 r La circulation élémentaire dC est donc la différentielle totale d’une fonction de r. 14 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques II.1.2. Potentiel électrostatique Nous venons de montrer que pour une charge ponctuelle, on a: q E . d dV(r) avec V(r) Cte . 4 0 r La fonction V(r) est appelée potentiel électrostatique; V(r) est définie à une constante prés. V(r) q Cte 4 0 r L’unité du potentiel électrostatique dans le système SI est le Volt (V). Remarquons que le choix du volt justifie le nom du Volt/mètre attachée à l’unité de E . Relation entre E et V: Le potentiel électrostatique a été défini à partir de la circulation élémentaire de E : dC E . d dV or dV grad V. d d’où la relation locale entre E et V: EM grad V(M ) Cette relation locale montre que le champ électrostatique E dérive du potentiel électrostatique V. II.1.3. Notion de différence de potentiel 15 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques La circulation C du champ E le long du contour AB (Fig.4) est: AB C AB dC B A dV (r ) VA VB AB q 4 0 E Cette circulation est donc égale à la différence de potentiel VA-VB. 1 1 rA rB d A B Fig.4 B A E . d VA VB La circulation du champ électrostatique entre deux points A et B est indépendante du trajet suivi pour aller de A à B et ne dépend que des potentiels du point de départ et d’arrivée. Remarque: Physiquement, on n’a aucun moyen pour déterminer le potentiel V. Par contre on sait mesurer des différences de potentiel entre deux points A et B. II.2. Expressions du potentiel électrostatique II.2.1. Cas d’une distribution ponctuelle de charges a. Cas d’une charge ponctuelle 16 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques Le potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle en un point M de l’espace distant de r, est donné par l’expression suivante: q Cte 4 0 r V( M) V( r ) On choisit en général la valeur de la constante de façon à satisfaire à la condition V=0 à l’infini (potentiel coulombien). Dans ce cas la constante est nulle et le potentiel s’écrit: V ( M ) V( r ) q 4 0 r b. Cas de n charges ponctuelles La formule du potentiel donnée par le paragraphe (II.1.2.) se généralise à n charges. En effet, la loi de composition pour les champs: n n q n q i i E E i grad Cte grad Cte i 1 i 1 4 0 ri i 1 4 0 ri entraîne la loi de superposition pour les potentiels: n n i 1 i 1 V Vi qi Cte 4 0 ri II.2.2. Cas d’une distribution continue de charges - Pour une répartition linéique de charge caractérisée par la densité linéique , nous écrirons: V(M) 17 1 4 0 d r Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques - Pour une répartition surfacique de charge caractérisée par la donnée de la densité surfacique , nous écrirons: V(M) 1 4 0 dS S r - Pour une répartition volumique de charge caractérisée par la donnée de la densité volumique , nous écrirons: V(M) 1 4 0 dv v r Remarque: Ces expressions du potentiel reposent sur la convention suivant laquelle V tend vers zéro lorsque l’on s’éloigne infiniment des charges. II.3. Exemples de calcul du potentiel électrostatique II.3.1. Segment uniformément chargée a. Le point M est sur la médiatrice du segment Calculons le potentiel électrique créé en un point M de la médiatrice (OM=a) du segment AB. A d PM=r P r en P, est : 18 B OP= a O Le potentiel élémentaire dV, créé au point M par la charge dq contenue dans l’élément de longueur d dq d , centré AB=2L L M -L Fig.5 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques dV(M ) V(M ) d d 4 0 r 4 0 a 2 2 4 0 L L d a 2 2 On pose: t a 2 2 dt d Soit: V(M) d a 2 2 dt d 2 t a 2 dt L a 2 L2 Logt L a 2 L2 4 0 t 4 0 L a 2 L2 V(M) Log 4 0 L a 2 L2 Cas limites: a- Si le point M est très éloigné (a>>L): V(M) 2L Q 4 0 a 4 0 a ( Q 2L ) b- Si le point M appartient à l’axe, extérieur au segment : PM=a- OP= dV(M ) dq d 4 0 r 4 0 a d (a ) V(M ) L 4 a 0 L 19 A -L O P OM=a B L M Fig.6 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques V(M) aL Log 4 0 aL II.3.2. Disque uniformément chargé On peut calculer le potentiel électrostatique V(z) sur l’axe (Fig.2) soit à partir de V en tenant compte de la condition V 0 à l’infini, soit par sommation directe; Ez z c’est cette seconde méthode que nous allons utiliser ici: 1 dS 1 dd 4 0 r 4 0 ² z ² 12 2 R d V(M) d 1 4 0 0 ² z ² 2 0 dV(M) V(M) 2 0 R ² z² z Remarque: V est continu à la traversée du disque : V(z 0) V(0) R 2 0 II.4. Surfaces équipotentielles et lignes du champ électrique II.4.1. Surfaces équipotentielles Ce sont des surfaces sur lesquelles le potentiel a une valeur constante, leur équation VM Constante est donc: II.4.2. Lignes de champs Ce sont des courbes qui sont tangentes au vecteur E en chacun de leurs points. Ces lignes sont orientées dans le sens de E . Si d désigne un vecteur élémentaire, tangent à la ligne de champ, on a: 20 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques E k d (k est un coefficient de proportionnalité) En coordonnées cartésiennes, on a: E x kdx , E y kdy , E z kdz Et l’équation des lignes du champ s’écrit: dx dy dz Ex Ey Ez Remarque: L’ensemble des lignes de champ qui s’appuie sur une courbe C constitue ce qu’on appelle tube de force. II.4.3. Propriétés diverses a. Le long d’un trajet petit sur une équipotentielle on a dV = 0 d’où, d’après dV E . d , E . d 0 E est donc perpendiculaire à un déplacement d quelconque sur l’équipotentielle. Les lignes du champ sont donc perpendiculaires aux équipotentielles. b. Les lignes du champ vont dans le sens des potentiels décroissants. En effet, dV E . d 0 . III. FLUX DU VECTEUR CHAMP ELECTROSTATIQUE - THEOREME DE GAUSS III.1. Angle solide A Dans le plan, on peut déterminer l’angle par: O 21 B Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques AB r ( AB est la mesure de l'arc AB) r Par analogie, dans l’espace, on définit aussi l’angle, noté , qui permet la mesure de l’étendue d’un cône de sommet O et dont les génératrices s’appuient sur une surface (S). désigne l’angle solide sous lequel du point O, on voit la surface (S). S O R S R² où S désigne la surface interceptée par le cône sur une sphère de rayon R centrée en O. * Expression de l’angle solide élémentaire Soit M le point moyen d’un élément de surface dS, r la distance de O à M et u un vecteur unitaire porté par OM . L’expression de l’angle solide d sous lequel de O on voit dS c’est à dire l’angle solide délimité par le cône de sommet O et de base dS est donnée par: O M d dS0 u dS dS dS cos dS. u dS n . u d 20 r² r² r² r 22 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques III.2. Flux du vecteur champ électrostatique créé par une charge ponctuelle III.2.1. Flux élémentaire Soit q une charge ponctuelle fixe placée en O et dS un élément de surface orienté (Fig.7). Le champ électrostatique O q d M u dS E créé en M par q, a pour expression: E Fig.7 1 q u 4 0 r ² Le flux élémentaire d de E à travers dS est donné par: q u . dS d E .dS 4 0 r ² d q d 4 0 d étant l’angle solide élémentaire sous lequel de O on voit l’élément de surface dS. III.2.2. Flux sortant d’une surface fermée Soit S une surface fermée délimitant un volume fini de l’espace. Soit q une charge ponctuelle placée en un point O; cette charge se trouve soit à l’intérieur de S soit à l’extérieur (nous ne considérons pas le cas où la charge viendrait se trouver justement sur S). 23 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques Nous nous proposons, dans les deux cas, de calculer le flux, de E créé par la charge q, sortant de S. a- Charge située à l’intérieur de S Dans ce cas (Fig.8), du point O où se trouve la charge q, on voit la surface S sous l’angle solide d 4 , cette intégrale correspond à l’angle solide sous lequel on voit l’espace tout entier. O q Fig.8 q q4 q d’où: d 4 0 4 0 0 b- Charge située à l’extérieur de S Si la charge q se trouve à l’extérieur de S, un cône élémentaire issu de la charge coupe un nombre pair de fois la surface (Fig.9), les flux élémentaires correspondants ont tous même module mais ont des signes différents à cause des variations de signe de u . dS puisque les normales ont une orientation différente. dS u dS1 u dS2 q dS 24 Fig.9 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques En effet, sur dS1, u . dS est négatif, tandis que sur dS2, u . dS est positif. On a donc pour l’ensemble des surfaces dS1 et dS2, d d 1 d 2 0 . On peut ainsi associer par couples tous les éléments de la surface S et en déduire que 0 En résumé, le flux, du champ créé par une charge ponctuelle, sortant d’une surface fermée q S est nul si la charge est à l’extérieur de S et vaut si la charge est à l’intérieur de S. 0 III.3. Flux du champ créé par une distribution de charges- Théorème de Gauss Si l’on considère maintenant plusieurs charges q1, q2 ,..., qn , elles créent un champ E dû à la superposition des champs E1 , E 2 ,..., E n , on a donc: i j i j avec i les flux des charges qi intérieures à S ( S étant une surface fermée délimitant le volume fini v de l’espace ) et j les flux des charges qj extérieures. Or, comme nous l’avons vu, i qi et j 0 , nous écrirons donc pour le flux 0 total sortant de S: i qi Q , soit int 0 0 où Q int q i est la charge électrique totale intérieure à la surface S. i Ce résultat constitue le théorème de Gauss qui peut s’énoncer ainsi: 25 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques Le flux sortant, du champ électrostatique créé par une distribution donnée de charges placée dans le vide, à travers une surface fermée S est égal à la somme algébrique des charges intérieures à la surface divisée par 0. 1 E .dS q S 0 i i Remarques: 1. Le théorème de Gauss est très utile dans les applications car il permet de calculer d’une façon simple et rapide les champs dans les problèmes où la symétrie des données est assez grande. 2. Pour que le calcul du flux sortant d’une surface soit simple, il faut choisir judicieusement une surface fermée, appelée surface de Gauss, telle que: * E soit perpendiculaire à cette surface E . dS EdS (la direction de E devrait être déterminée au préalable en utilisant la symétrie de distribution). *. E doit avoir en chaque point de la surface une valeur constante EdS ES (S étant l’aire de ). III.4. Applications du théorème de Gauss III.4.1. Fil infini uniformément chargé Considérons un fil coincidant avec l'axe Oz et uniformément chargé avec une densité linéaire . Le plans (P1) passant par M et contenant l'axe Oz est un plan de symétrie. Il en est de même pour un plan (P2) passant par M et z r 26 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI h O ur M Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques perpendiculaire à Oz. Le champ E doit donc être contenu à la fois dans (P1) et dans (P2); il est donc porté par la direction commune de (P1) et (P2) c'est à dire qu'il est radial. E (M) E(r, , z) u r La distribution de charges est invariante par translation le long de Oz et par rotation autour de Oz . Par conséquent, le module de E ne peut dépendre que de la distance r de M à l'axe Oz. E ( M) E ( r ) u r Appliquons le théorème de Gauss à un cylindre de hauteur h, d'axe Oz et de rayon r . Le flux sortant de E à travers les surfaces des bases est nul ( E dS ). En chaque point de la surface latérale E et dS sont colinéaires et E(r) a une valeure constante. Le flux de E à travers la surface latérale est donc égal à E(r )2rh . La charge contenue dans la surface de Gauss est Q = h; le théorème de Gauss s'écrit donc: E(r)2rh D'où l'expression du champ : E h 0 1 ur 2 0 r III.4.2. Sphère uniformément chargée en volume a- Calcul du champ 27 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques Considérons une sphère de centre O et de rayon R, de charge Q. Cette charge est répartie avec une densité volumique uniforme. R E O Nous allons déterminer l’expression de l’intérieur comme à l’extérieur de la sphère. r M Eà Fig.10 Tout plan contenant OM est un plan de symétrie. Le champ E est nécessairement porté par la direction commune à tous ces plans, donc par OM . Soit r = OM la distance de O au point M où l’on veut calculer le champ et OM r u le vecteur unitaire porté par OM . La distribution de charges présente une OM r symétrie sphérique, le module de E est indépendant de et de , il ne peut dépendre que de r et nous poserons E(M) E(r ) E(r ) u . La surface de Gauss est une sphère de centre O et de rayon r. Le champ E est en tout point de porté par la normale u et son module est constant en tout point de . Le flux de E à travers est donc: (E) E . dS Er S E r 4r ² 1er cas : r > R La charge intérieure à la surface de Gauss est la charge totale : Q 4 R 3 3 Le théorème de Gauss se traduit donc par la relation: 28 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques E(r)4r ² E( r ) Soit : Q 4 R 3 0 3 0 1 R 3 3 0 r ² L’expression de E sous forme vectorielle est donc: E1 (M) E(r R ) R 3 Q u u 3 0 r ² 4 0 r ² 2ème cas : r < R La charge comprise à l’intérieur de la surface de Gauss est cette fois inférieure à Q et 4 vaut: Q int r 3 3 et le théorème de Gauss s’écrit: E(r)4r ² 4 r 3 3 0 d’où l’expression de E : E 2 (M) E(r R ) r u 3 0 Remarque: 29 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques E(r) On remarque que E est continu en tout point de l’espace, en particulier pour r =R; ce fait est général en présence d’une distribution volumique de charges. R r Fig.11 b- Calcul du potentiel A cause de la symétrie sphérique, le potentiel V ne peut dépendre que de r; V=V(r) et la relation E grad V s’écrit ici: E( r ) dV(r ) dr ou V(r) - E(r)dr 1er cas : r > R R 3 R 3 V1 (r) dr C1 3 0 r ² 3 0 r où C1 est une constante d’intégration; en supposant que V () 0 ( il n’y a pas de charges à l’infini ), nous obtenons C1=0, d’où l’expression de V(r) s’écrit : R 3 V1 (r) 3 0 r 2ème cas : r < R 30 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques V(r) r r ² dr C2 3 0 6 0 V(r) où C2 est une constante d’intégration que nous allons déterminer en exprimant la continuité de V(r) pour r = R. Cette condition de continuité se traduit en écrivant :V1(r = R) =V2(r = R). Soit: R 2 R 3 R 2 C2 6 0 3 0R 3 0 C2 R2 3 0 R r Fig.12 R 2 2 0 D’où l’expression de V2(r) à l’intérieur de la sphère chargée: V(r) (3R ² r ²) 6 0 III.4.3. Sphère uniformément chargée en surface Considérons une sphère de centre O et de rayon R, chargée uniformément avec une densité superficielle . Soit Q dS S 4R S 2 sa charge totale. En utilisant le même raisonnement que celui d’une sphère chargée en volume on peut montrer que : * E(M) E(r ) u (E) E(r )4r ² Et on obtient: E1 (M) E(r R ) 0 R ² u E 2 (M) E(r R ) 0 r² 31 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques De la relation E grad V on déduit le potentiel: V1 (M) V(r R ) V(r R ) V2 (M) V(r R ) R ² 0r R 0 La représentation des variations de V(r) et E(r) en fonction de r ( Fig.13 ) montre que le potentiel est continu alors que le champ E(r) subit, à la traversée de la surface chargée, une discontinuité égale à . 0 E(r) V(r ) 0 R 0 R r r R Fig. 13 III.4.4. Plan uniformément chargé Considérons un plan «infini» portant la charge surfacique uniforme sur toute sa surface.Soit M un point de l’espace extérieur à . Tout plan passant par M et perpendiculaire au plan est un plan de symétrie paire; le 32 L E M 2 M’ E 1 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Fig.14 Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques champ E appartient donc à l’un de ces plans. La seule direction commune à tous ces plans étant la perpendiculaire à passant par M, le champ en M est nécessairement porté par cette direction. Pour calculer le module de E en un point M, nous allons considérer une surface de Gauss constituée d’un cylindre droit, dont les génératrices sont normales au plan chargé, fermé par deux sections droites d’aire S parallèles au plan et symétriques par rapport à celuici dont l’un passe par M ( Fig.14 ). 1 2 L Le flux de E sortant de la surface latérale L du cylindre est nul, car en tout point de L, E . dS 0 . Le flux sortant de se réduit au flux sortant de 1 et 2 : ( E) E . dS 1 E(M). dS E(M). dS 2ES 2 D’aprés le théorème de Gauss: D’où le champ E : E Q int S 0 0 n 2 0 n est un vecteur unitaire normal au plan dirigé du plan vers M. IV. LES EQUATIONS LOCALES DU CHAMP ELECTRIQUE ET DU POTENTIEL IV.1. Les équations locales de E IV.1.1. Le rotationnel 33 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques Si on prend le rotationnel de l’expression E grad V , et sachant que le rotationnel d’un gradient est toujours nul, on obtient l’équation locale rot E 0 vérifiée en chaque point. Cette relation est valable pour une distribution quelconque de charges et on a : rot E 0 Le champ électrique est donc un champ à rotationnel nul. Remarque: Si on calcule le flux du vecteur rot E , à travers une surface (S), s’appuyant sur une courbe (C) fermée quelconque on a: rot E . dS 0 ( S) or d’après le théorème de Stokes: rot E . dS E . d ( S) ( C) E . d 0 On en déduit que: ( C) La circulation du vecteur E le long d’un circuit fermé est nulle. IV.1.2. La divergence Si on applique le théorème de Green- Ostrogradski au champ E : E . dS S div E dv v Et sachant que, pour une distribution volumique de charges, le théorème de Gauss est: dv v 0 On obtient: (div E v 34 )dv 0 0 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Champ et potentiel électrostatiques Cette expression est valable quelque soit le volume dv, on a donc: div E 0 Cette expression représente la forme locale du théorème de Gauss. Elle est appelée aussi équation de Poisson pour le champ. Lorsqu’il n’y a pas de charges au point considéré, div E 0 ; le champ E est à flux conservatif. IV.2. Les équations locales de V: On a vu que div E , or E grad V on en déduit donc: 0 div E div grad V V 0 Soit: V 0 C’est l’équation de Poisson pour le potentiel; V est le Laplacien de la fonction potentiel et la densité volumique de charges. Remarque: 35 Si = 0 on a: V 0 C’est l’équation de Laplace. Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI
