Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie Université Virtuelle de Tunis Physique - électricité : TC1 Induction électromagnétique Concepteur du cours: Jilani LAMLOUMI & Mongia BEN BRAÏEK Attention ! Ce produit pédagogique numérisé est la propriété exclusive de l'UVT. Il est strictement interdit de la reproduire à des fins commerciales. Seul le téléchargement ou impression pour un usage personnel (1 copie par utilisateur) est permis. Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Induction électromagnétique I. LE PHENOMENE DE L'INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE I. 1. Expériences fondamentales Expérience 1 Considérons deux bobines (C1) et (C2), (C1) étant parcourue par un courant d'intensité constante I et (C2) ayant des extrémités reliées à un galvanomètre G. a . Supposons (C1) fixe. Lorsqu'on approche (C2), on s’aperçoit que le galvanomètre G est parcouru par un courant de sens constant, tant que (C2) est en mouvement. Ce courant s'annule lorsque (C2) devient immobile. Lorsqu'on éloigne (C2), les faits sont identiques, le courant ayant alors un sens opposé au sens précédent. (C1) (C2) I G + R E Fig.1 b . Supposons (C2) fixe et déplaçons (C1) Le galvanomètre G est encore parcouru par un courant, le sens du courant change selon que l'on approche ou on éloigne (C 1) de (C2). Expérience 2 Remplaçons (C1) par un aimant droit. Les résultats sont identiques aux précédents : le galvanomètreG est parcouru par un courant dont le sens change selon qu'on approche ou on éloigne (C2) de l'aimant. 2 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Induction électromagnétique Expérience 3 Revenons aux deux bobines (C1) et (C2), mais supposons les immobiles l'une par rapport à l'autre ; cette fois, l'intensité I du courant augmente (ou diminue), le courant ne changeant pas de sens. Le galvanomètre G est encore parcouru par un courant dont le sens change selon que I augmente ou diminue. Expérience 4 Supposons maintenant que (C2) entoure (C1), (C1) étant parcouru par un courant d'intensité constante I. Introduisons un noyau de fer doux dans (C1). I G E (C2) (C1) Fig.2 On s'aperçoit que le galvanomètre auquel est relié (C2) dévie. Le sens du courant change selon que l'on introduit ou on retire le noyau de fer doux. Expérience 5 M B Considérons le circuit ci-contre (C2) G placé dans un champ magnétique invariable et uniforme : 3 (C2) Fig.3 M’ Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Induction électromagnétique - MM' est un rail mobile - B est perpendiculaire au plan. Lorsqu'on déplace le rail mobile MM' le galvanomètre G est parcouru par un courant dont le sens change lorsqu'on change le sens du déplacement du rail. Interprétation Le point commun aux cinq expériences est le suivant : le flux magnétique traversant (C2) varie au cours du temps. Cette variation se fait : - Soit par variation du champ magnétique B traversant (C2) : * dans les expériences 1 et 2, le module de B diminue lorsque (C2) s'éloigne et augmente lorsque (C2) se rapproche. * dans l'expérience 3, le module de B augmente avec l'intensité I. * dans l'expérience 4, le module de B augmente lorsqu'on introduit le noyau de fer doux, dont le rôle est de canaliser les lignes du champ magnétique, donc d'augmenter localement le module de B ; - Soit par variation de la surface du circuit comme dans l’expérience 5. Le courant traversant (C2) est appelé courant induit. Le circuit (C2) est le circuit induit, le circuit (C1) éventuel est le circuit inducteur. L'apparition d’un courant induit, indiquant l'existence d'une force électromotrice (f.é.m) appelée f.é.m induite, constitue le phénomène d'induction électromagnétique. I. 2 Loi de Faraday Quand le flux d’un champ magnétique à travers un circuit conducteur fermé varie dans le temps, il apparaît à chaque instant, dans ce circuit, une f.é.m d'induction : e 4 d dt (1) Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Induction électromagnétique en webers, t en secondes, la f.é.m e en volts. I. 3 Loi de Lenz Le sens des courants induits est tel que leurs actions électrodynamiques tendent à s'opposer aux causes qui leur ont donné naissance. Remarque Bien que la loi de lenz n'ajoute rien sur le plan théorique à la loi de Faraday (on pourrait l'établir à partir de cette dernière), elle est cependant très utile dans la pratique pour prévoir le sens des courants induits. II. CIRCUIT MOBILE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE NE DEPENDANT PAS DU TEMPS Considérons un circuit filiforme (C), en mouvement avec une vitesse v , dans un champ magnétique ne dépendant pas du temps (c'est donc un champ magnétostatique). Les charges mobiles q du circuit animées d'une vitesse v par rapport à un référentiel galiléen sont alors soumises à une force de Laplace F m q v B (C) dx Cette relation peut aussi s'écrire : F q E m Où E m v B est appelé B Fig.4 champ électromoteur. Examinons la circulation de ce champ, d'origine non électrostatique, le long du circuit (C ) et qui représente la force électromotrice apparue dans (C). 5 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Induction électromagnétique e E m .d C C Fm . d ( v B).d C q dx En remplaçant v par son expression : v , on obtient : dt e C C dx dx E. d ( B) . d ( d) . B C dt C dt (dx d) d E . d . B ( B . dS) C dt dt Où dS est le vecteur surface de l'aire balayée par l'élément de longueur d du circuit (C) au cours de son déplacement dx v dt . D'où : e E m .d C Soit : e d d d (B.dS) B.dS C S dt dt S dt d C E m . d C dt Où dc est le flux de B à travers la surface dS balayée par le circuit dans son déplacement (flux coupé). Puisque le champ B est un champ magnétostatique, il est à flux conservatif, dc n'est rien d'autre que la variation du flux de B à travers (C) lors du mouvement du circuit. On écrira e donc plus généralement : d dt III. CIRCUIT FIXE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE VARIABLE Considérons un circuit filiforme (C), fixe par rapport à un référentiel galiléen, soumis à un champ magnétique variable. La variation du champ magnétique dans le temps conduit à l'apparition d'un courant induit dans (C) et par conséquent d'un champ électrique induit E i qui est un champ électromoteur . La circulation du champ E i , le long du contour fermé coïncidant avec le circuit (C) est donnée par : 6 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Induction électromagnétique e C E i . d C E i. d d d B . dS dt dt S Le circuit étant fixe, et si l'on suppose qu'il est indéformable, la surface S est une surface constante. D'où : d B B . dS S t . dS dt S On peut écrire, en utilisant le théorème de Stokes : B E . d rot E . dS i C i S S t . dS Localement, cela s'écrit : B rot E i t (2) Toute variation du champ magnétique B en fonction du temps entraîne l'existence d'un champ électrique induit E i . On a : rot E i B rot A rot A t t t A D'où : E i t (3) Si en plus, dans la région d'espace considérée règne règne un champ électrostatique E s dérivant d'un potentiel électrostatique V (E s grad V) , on parle alors d'un champ A électrique s'écrivant E E i E s = grad V . E est le champ électrique total; c'est à t dire créé par des charges stationnaires et par des courants variables. Ceci permet d'établir la relation entre le champ électrique et le champ magnétique B , appelée relation de Maxwell Faraday. B rot E t 7 (4) Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Induction électromagnétique Remarques * Si le circuit est mobile, B est un champ permanent, on a : Em A v B , 0 t * Si le circuit est fixe, B est variable. A Ei , v0 t IV. CAS GENERAL : CIRCUIT MOBILE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE VARIABLE Si les deux phénomènes coexistent : circuit mobile et champ magnétique B variable, le champ électromoteur induit est donné par : A Em v B v B Ei t La force électromotrice induite dans le circuit (C) est égale à : e ( E i v B) . d C où E i et B sont reliés par la relation de Maxwell-Faraday B rot E i t ou encore : e E i . d ( v B).d C C e rot E i . dS ( v B). d S C B e . dS ( v B) . d S t C Soit : 8 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Induction électromagnétique V. APPLICATIONS PRATIQUES DES PHENOMENES D'INDUCTION V.1. Générateurs électromécaniques L'application la plus importante de la loi de l'induction pour des systèmes de conducteurs en mouvement est la conversion directe de l'énergie mécanique en énergie électrique grâce aux générateurs électromécaniques. Considérons le dispositif simple suivant : i M B v R Fm Fig.5 F ex M’ Si on déplace le segment MM' de longueur de gauche à droite avec la vitesse uniforme v , la force électromotrice d'induction dans le circuit fermé MM'RM est donnée par : e d dx B B v dt dt Cette f.é.m est à l'origine du courant induit qui circule dans le circuit. Ce courant s'oppose au déplacement imposé, il circule dans le sens MM' et a pour intensité i e B v . R R On a ainsi réalisé un générateur. Au cours du déplacement du rail, une force F m s'éxerce alors sur chaque porteur contribuant à la conduction . Cette force trasmise à l'ensemble du segment fournit pendant un temps dt un travail : d F m. v dt . 9 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Induction électromagnétique Pour que le mouvement du rail puisse s’effectuer avec une vitesse uniforme, il faudra donc appliquer à chaque instant au conducteur mobile une force extérieure égale et opposée à la force magnétique. Le travail de la force extérieure au cours d'un petit déplacement dx du conducteur mobile est positif et correspond à une énergie fournie au système. Cette énergie se retrouve sous forme d'énergie électrique d'induction. On a en effet : d ex d Fm v dt i B dx e i d t dW . W étant le travail fourni au circuit par la f.e.m d'induction : c'est l’énergie apparue dans le circuit induit. Si la f.é.m débite dans un circuit de résistance R, l'énergie électrique est finalement dissipée sous forme de chaleur par effet Joule. Le dispositif ci-dessus a donc réalisé la conversion : énergie mécanique en énergie électrique. C'est le principe des générateurs électromagnétiques. V.2.Moteurs Considérons le dispositif ci dessous : I B + F F ex Fig.6 Une pile fait circuler un courant dans le circuit et la force de Laplace qui s'exerce sur la partie mobile du rail provoque son mouvement dans le sens indiqué par la figure. Le travail des forces extérieures est alors négatif; la pile fournit de l'énergie électrique qui se transforme en énergie mécanique : c'est le principe des moteurs électromagnétiques. V.3. Courants de Foucault 10 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Induction électromagnétique Une masse métallique placée dans un champ magnétique variable est le siège d'un courant induit de densité j donnée par j E i , où E i est le champ électromoteur ( E i A ) et t est la conductivité électrique du matériau. Ces courants induits sont appelés courants de Foucault. Les effets des courants sont de deux natures : - effets mécaniques * Si une pièce métallique se déplace dans un champ magnétique de manière à couper les lignes de champ, les courants induits tendent à freiner cette pièce métallique. * En revanche, si un aimant tourne devant un disque conducteur, celui-ci est mis en mouvement dans le sens de rotation de l'aimant (principe des moteurs asynchrones). - effets calorifiques Les courants induits circulant dans la masse métallique vont provoquer un effet Joule. De ce fait, la masse métallique va s'échauffer et il y aura ainsi perte d'énergie sous forme calorifique. On réduit ces pertes en modifiant la topographie des lignes de courant. Les applications pratiques des courants de Foucault sont nombreuses citons : - Les ralentisseurs de camions et de Wagons. - Les fours à induction permettant d'échauffer une masse métallique, à l'aide d'un champ magnétique variable qui induit des courants de Foucault ; la masse est chauffée mais le support isolant ne l'est pas. VI.AUTO-INDUCTION VI.1.Self inductance ou inductance propre Considérons un circuit quelconque (C) parcouru par un courant d'intensité I. Ce courant crée un champ magnétique B . Soit le flux de B à travers le circuit (C). Le flux peut s'écrire sous la forme : = L I Où L est par définition la self-inductance du circuit (C) exprimée en Henry dans le système SI. 11 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Induction électromagnétique Lorsque l'intensité I du courant varie lentement en fonction du temps, le flux de B , créé par le circuit (C), à travers lui même, appelé flux propre, varie. D'après la loi de Faraday, il apparaît à chaque instant dans (C) une f.é.m induite : e d d L I (t) L dI dt dt dt (5) Cette f.é.m est appelée force électromotrice d'auto-induction VI.2. Loi d’Ohm pour une bobine Soit une bobine pure L, on sait que si elle est traversée par un courant continu, il n’apparaît aucune différence de potentiel entre ces bornes. Si ce courant vient à varier, il y a apparition d'une f.é.m d'induction qui s'oppose à la variation du courant : L I e L dI(t ) dt VA VB e L B A Fig.7 dI(t ) dt (6) VI .3. Calcul de l'inductance propre d'un solénoïde Considérons une portion de longueur , d'un solénoïde infiniment long de section S et comportant n spires par mètre. Le nombre de spires de cette portion sera N n. L'expression du champ magnétique en un point intérieur du solénoide est donné par : B = µ 0 n I. L'expression du flux propre du solénoide est : N B . dS NB S N 0 S D'où : L = N² = 0 S I N N² IS 0 S I L I (6) L'inductance L est toujours positive et dépend du milieu et des dimensions du circuit. 12 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Induction électromagnétique VII. INDUCTANCE MUTUELLE Soit un ensemble de circuits C1,C2, C3,... Cn parcourus par des courants d'intensités I1, I2,.... In. Les flux étant proportionnels aux champs magnétiques, eux-mêmes proportionnels aux intensités, on peut écrire le flux k traversant le circuit Ck sous la forme : n k M k I (7) 1 Pour l'ensemble des circuits, on pourra écrire, sous forme matricielle : 1 M11 2 M 21 . . . . n M n1 M12 ... M1n M 22 ... M 2n M n2 ... M nn I1 I2 . . In Les éléments de la diagonale sont appelés inductances propres des circuits ( M kk L k ), les autres éléments sont appelés inductances mutuelles. Dans le système SI, les inductances propre et mutuelle s'expriment en Henry. Remarques * M kk L k > 0 * Les inductances mutuelles peuvent être positives ou négatives (ou éventuellement négligeables si les circuits sont éloignés). * On peut montrer que : M ij M ji , en effet : 13 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Induction électromagnétique Si on considère deux circuits filiformes quelconques (C1) et (C2) parcourus respectivement par des courants I1 et I2. Le flux du champ magnétique B 2 , créé par (C2) à travers la surface S1 s'appuyant sur (C1) est égal à : 21 S B 2 . dS1 1 S Le flux 12 de B1 à travers (C2) est égal à : 12 2 B 1. dS2 Si on introduit le potentiel vecteur A 2 dont dérive B 2 on a : 21 B2 . dS1 rot A 2 . dS1 S1 I A2 0 2 4 avec S1 C1 A 2 .d 1 C 2 d 2 r d 1 .d 2 21 0 I 2 M12 I 2 C1 C 2 4 r (C1) On en déduit : (C2) d1 0 d 1 .d 2 M12 4 C1 C2 r I1 P1 r P2 I2 d 2 De la symétrie de l'expression Fig.8 trouvée, il résulte que : M12 M 21 M Soit : d 1 .d 2 M 0 C C 4 1 2 r 14 (8) Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Induction électromagnétique L'expression (8) represente la formule de Neumann Exemple : Calcul de l'inductance mutuelle bobine - solénoïde. On considère une bobine plate de N2 spires de surface S2 qui entoure un solénoïde "infiniment" long de N1 spires, de longueur et de section S, parcouru par un courant d'intensité I1. Le champ magnétique B1 créé par le solénoïde est égal à 0 N1 I1 à l'intérieur du solénoide et nul à l'extérieur. En admettant que les deux circuits ont même axe, le flux de ce champ magnétique traversant la bobine est : 12 N 2 S B1 N 2 S D'où : 15 M= 0 N1 N 2 S 0 N1 I1 M I1 (9) Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI