QU AD RIPÔ LES LIN ÉA IRES - sur le site de Claude Lahache

i1
Un quadripôle est un élément comportant 4 bornes,
deux que nous plaçons sur sa gauche et deux sur sa droite.
i2
u1
u2
De la façon la plus générale, le quadripôle considéré
effectue une opération de traitement du signal, telle que de
l’amplification ou du filtrage. On ne précise pas le sens du
transfert de l’information dans le quadripôle : La tension
d’entrée peut être u1 ou u2, voire les 2 simultanément ! (Le quadripôle est alors bidirectionnel)
Les 2 courants i1 et i2 sont ainsi fléchés comme entrants dans le quadripôle (convention récepteur)
Pour aborder plus simplement cette étude, nous allons
tout d’abord considérer que le transfert de l’information est
unidirectionnel dans un quadripôle.
Dans ces conditions, les 2 bornes de gauche sont les bornes
d’entrée du circuit et celles de droite les bornes de sortie.
Il paraît alors plus logique de flécher les grandeurs de sortie
avec la convention générateur.
i1
i2
u1
u2
En fin de chapitre, nous donnerons un aperçu de l’approche généralisée des quadripôles, dans laquelle la
notion d’entrée et de sortie perd son sens.
Classification des quadripôles : On peut les classer selon qu’ils ont un comportement linéaire ou non,
selon qu’ils sont actifs ou passifs, selon qu’ils sont symétriques ou non…
7.1 Modélisation linéaire.
Considérons un quadripôle traitant un signal appliqué
sur ses bornes d’entrée.
Ce quadripôle est inséré dans une chaîne électronique ; il
est ainsi connecté, côté entrée, à un générateur de commande,
et à une impédance de charge, côté sortie.
ie
is
Q
ue
us
Le fait que ce quadripôle soit qualifié de linéaire signifie qu’il
ne renferme que des éléments dont le comportement est linéaire.
(C’est à dire que les relations qu’on peut écrire entre les différentes grandeurs internes sont linéaires)
Une conséquence du comportement linéaire est que l’application en entrée d’un régime sinusoïdal entraîne que
toutes les grandeurs électriques sont sinusoïdales pour le quadripôle.
Dans ce qui suit, les quadripôles fonctionnent en régime sinusoïdal établi.
7.1.1 Modèle d’entrée.
Pour le générateur de commande (eG ; ZG), le
quadripôle représente un récepteur.
Il est donc vu comme une impédance ZE
ZG
eG
Cette impédance est nommée impédance d’entrée ;
U
soit
ZE = U E en module
ZE = E
IE
IE
ie
ue
Ze
Elle n’a, le plus souvent, aucune existence physique, mais résulte d’un calcul.
L’impédance d’entrée peut dépendre des conditions de fonctionnement du quadripôle, en particulier de la
charge à laquelle sa sortie est connectée.
Exemple : Impédance d’entrée d’un circuit RC chargé.
Pour une valeur quelconque de Ru
Ru
ZE = R +
1 + jR uCω
On définit les 2 valeurs limites pour ZE :
En sortie à vide
ZEV = R + 1
jCω
En sortie court-circuitée
ZECC = R
R
uE
uS
C
Ru
7.1.2 Nature de la commande.
- Commande en tension : L’entrée du quadripôle « voit »
un générateur de tension.
uE = eG si ZG → 0 ou si ZE → ∝
ceci correspond à une condition stricte ;
toutefois, de façon approchée, on admet que le quadripôle
est commandé en tension si ZE >> ZG
ZG
uE
eG
- Commande en courant : L’entrée du quadripôle « voit »
un générateur de courant.
iE = iG si ZG → ∝ ou si ZE → 0 ;
(condition stricte)
ici également, on considère la commande en courant
réalisée de façon approchée si ZG >> ZE
iE
ZE
iE
iG
ZG
ZE
uE
7.1.3 Modèles de sortie.
Pour la charge, le quadripôle est assimilable à un générateur.
Dans la mesure où il fonctionne de façon linéaire, cet électromoteur se décrit par une structure de Thévenin
ou de Norton.
On appelle impédance de sortie d’un quadripôle, l’impédance interne du générateur modèle de sa sortie.
Remarquer que la source active de ce générateur est une source commandée par une grandeur d’entrée.
Comme nous avons 2 grandeurs d’entrée (iE et uE) et 2 structures de générateur de sortie (Thévenin ou
Norton), nous aurons 4 possibilités pour décrire la sortie d’un quadripôle :
Quadripôle commandé en tension
ZS
iE
iS
iE
iS
YCCuE
uE
ZE
A0uE
A0 est l’amplification en tension à vide
uS
uE
ZE
ZS
uS
YCC est l’admittance de transfert en court-circuit
Quadripôle commandé en courant
ZS
iE
iS
iS
iE
AiCCiE
uE
ZE
ZTiE
uS
ZE
uE
ZT est l’impédance de transfert à vide
ZS
uS
AiCC est l’amplification en courant en court-circuit
Remarque 1 : L’impédance de sortie peut dépendre de l’impédance de sortie du générateur de commande.
Exemple : Impédance de sortie d’un quadripôle RC.
Calculons l’impédance de sortie du
circuit RC précédent, commandé par un générateur
décrit par {eG ; RG}
En appliquant le th. de Thévenin, on neutralise eG ;
entre S1 et S2, on voit l’impédance équivalente à
R + RG en parallèle avec C :
R + RG
ZS =
1 + j(R + R G)Cω
Selon RG, ZS peut varier entre 2 extrêmes :
R
RG
S1
eG
C
S2
R
1 + jRCω
- Pour une commande en courant (RG → ∝) ZSI = 1
jCω
- Pour une commande en tension (RG → 0)
ZSU =
Remarque 2 : Calcul d’impédances de sortie en présence de sources commandées dans les schémas.
Ce cas est typique dans l’étude des amplificateurs ; d’après le théorème de Thévenin, on ne neutralise en effet
que les sources dites « autonomes » (qui ne dépendent en fait d’aucune autre grandeur interne au circuit
étudié).
iB
iC
Dans les étages à transistors, par exemple, intervient le
modèle « petits signaux » du transistor (cf. ci-contre)
βiB
Nous verrons lors de leur étude que 2 cas peuvent se produire,
selon que le courant iB disparaît ou non lors de la neutralisation
de la source de commande de l’étage.
vBE
r
ρ
vCE
7.2 Cascades de quadripôles.
Dans les chaînes de traitement analogique de signal, les différent blocs fonctionnels, assimilables à
des quadripôles, s’enchaînent (l’un au bout de l’autre). Ce type d’association se nomme « cascade »
Considérons une cascade élémentaire de 2 quadripôles linéaires Q1 et Q2, commandée par un générateur
{eG, RG}, et chargée par une résistance RU. Pour simplifier, supposons toutes les impédances résistives pures.
RG
eG
RS1
iE
uE
RE1
A1uE
RS2
i
u
Q1
RE2
A2u
iS
uS
RU
Q2
Recherchons le modèle linéaire du quadripôle Q équivalent à la cascade de Q1 et Q2.
Résistance d’entrée.
La résistance d’entrée de la cascade est R E = u E ; c’est la résistance d’entrée RE1 du 1er quadripôle !
iE
(Compte-tenu de la présence des autres étages, éventuellement (cf. 711))
Résistance de sortie.
C’est la résistance interne du générateur « vu » par la charge RU ; pour la définir, nous débranchons RU, puis
nous neutralisons la seule source autonome du schéma, c’est à dire eG .
Si eG devient nulle, uE s’annule ; d’où disparition de la source A1uE, donc de la tension u et de la source A2u !
Finalement, il ne reste plus que la résistance RS2 entre les 2 bornes de sortie de la cascade, et la résistance
cherchée n’est autre que RS2.
La résistance de sortie d’une cascade d’étages est la résistance de sortie du dernier étage.
(Compte-tenu de la présence des autres étages, éventuellement (cf. 713))
Source active de sortie.
Selon que l’on veuille décrire la sortie de la cascade par un générateur de Thévenin ou de Norton, on
recherche la tension de sortie à vide ou le courant de sortie en court-circuit de la cascade.
D’après le schéma proposé ci-dessus, la fém. de sortie de la cascade est eTH = A2u.
R E2
Or, u =
Au
R E2 + RS1 1 E
R E2
Finalement, nous pouvons écrire : eTH = AéquE = A1A 2
u
R E2 + RS1 E
Noter que l’amplification en tension à vide globale est strictement inférieure au produit des amplifications en
tension à vide des différents étages.
Finalement, la cascade considérée se ramène au quadripôle Q ci dessous :
RG
eG
RS2
iE
uE
RE1
A1A 2
R E2
u
R E2 + RS1 E
Q
iS
uS
RU
Remarque : Liaisons entre quadripôles.
-
Liaison continue : La liaison est directe (fil)
-
Liaison capacitive : Cas classique entre les étages
à transistors ; le continu et les plus basses fréquences eG
ne peuvent pas être transmis.
-
Liaison par transformateur : Se rencontre entre 2
circuits accordés pour adapter une bande passante,
ou en liaison entre étage de puissance et haut-parleur.
Là aussi, ce type de liaison interdit la transmission
eG
du continu et des fréquences les plus basses.
C
RG
RE
RG
RE
7.3 Adaptations d’impédances.
Le problème consiste à obtenir une certaine relation d’ordre entre l’impédance de sortie d’un
quadripôle et l’impédance d’entrée du suivant, afin d’optimiser le transfert d’une grandeur électrique donnée.
Au départ, cette relation d’ordre n’est pas satisfaite ; la solution généralement adoptée consiste à intercaler un
quadripôle adaptateur entre les 2 quadripôles.
7.3.1 Adaptation en tension.
Ce cas est fréquent en électronique : Il s’agit de réaliser la commande en tension d’un quadripôle par
un autre.
R1
La commande en tension nécessite u ≈ e1 , ce qui ne peut
être résolu que par i = 0.
i
R2
u
e1
Il faudrait vérifier R1 << R2 pour qu’il en soit ainsi.
Si ça n’est pas le cas, on intercale un quadripôle
adaptateur nommé suiveur de tension, caractérisé
par une impédance d’entrée infinie, une impédance
de sortie nulle et une amplification en tension unitaire.
R1
u
e1
Ainsi, le quadripôle amont fonctionne-t-il à vide et
u = e1 ; le quadripôle aval voit un générateur de
tension u = e1.
i
0
R2
u
Quadripôle suiveur de tension
0
u
u
Exemple : Suiveur de tension à A. Op
7.3.2 Adaptation en puissance.
RG
• Position du problème
Considérons un générateur {eG, RG}, débitant sur une charge
Variable R.
eG
La puissance P fournie par ce générateur à la charge R
2
s’écrit P = R.I = < u.i >
Elle est nulle si R → ∝ (pas de courant i) et si R = 0 (pas de
tension) ; en conséquence, elle doit admettre un maximum pour
une valeur finie de R !
P
2
R ⋅ EG
EG
0.5
donc P =
On a I =
R + RG
(R + R G) 2
Le maximum de P est donné par l’annulation
de la dérivée de la fonction P(R)
2
2
2
dP = EG.(R + R G ) − 2REG.(R + R G )
dR
(R + R G)4
Cette dérivée s’annule si son numérateur
s’annule ; on vérifie aisément que dP = 0
dR
si R = RG
i
u
R
Pmax= 0,5W
0.4
0.3
R = 50Ω
0.2
0.1
La puissance maximale est alors :
100m
1
10
100
1k
2
EG
Pmax =
4R G
Cf. ci-dessus un exemple pour lequel EG = 10V et RG =50Ω ; on obtient PMAX = 0,5W pour R =RG = 50Ω.
En charge sur R = RG, un générateur fournit un maximum de puissance : Pmax =
2
EG
4R G
(Remarque : Dans ces conditions, le générateur fonctionne au point u = eG
2
i = eG )
2R G
• Cas général
Le générateur est caractérisé par une impédance de sortie
ZG et il est chargé par une impédance Z.
Le même raisonnement s’effectue, mais en grandeurs
complexes :
Posons ZG = RG + jXG et Z = R + jX
et
ZG
eG
( RΩ )
i
u
Z
La puissance P fournie à la charge est en fait celle fournie
à la seule résistance R : P = R.I2
EG
EG
=
Avec I =
Z + ZG
(R + R G) + j(X + X G)
2
R.EG
(R + R G)2 + (X + X G)2
Afin de minimiser le dénominateur de P, on peut déjà choisir X = - XG ; dans ces conditions, nous sommes
ramenés à une expression de P identique à celle vue lors de la position du problème. Nous savons que P sera
E2
maximale pour R = RG et vaudra Pmax = G .
4R G
L’adaptation en puissance entre un générateur d’impédance de sortie ZG et une impédance de charge Z est
réalisée lorsque ces 2 impédances complexes sont conjuguées : R = RG et X = -XG
d’où P =
Remarque : X et XG dépendent de la fréquence de travail ; en conséquence, l’adaptation rigoureuse des
impédances n’est réalisée qu’à une fréquence (et approximativement en son voisinage proche)
• Adaptation par quadripôle réactif.
Les possibilités sont multiples ; le principe consiste à insérer un quadripôle associant bobines et condensateurs (qui ne consomme théoriquement pas) entre 2 quadripôles non adaptés.
Choisissons la configuration représentée à droite :
L
RG
Au départ, RG ≠ R
Pour les calculs, on considère que C fait partie
eG
du générateur et que L fait partie de la charge.
RG
et
Z = R + jLω
D’où ZG =
1 + jR GCω
L’adaptation en puissance exige :
RG
= R − jLω
1 + jR GCω
soit encore RG = (1 + jRGCω)×(R - jLω) = (R + RGLCω2) + j(RRGC – L)ω
L’identification des parties réelles et imaginaires amène à
La seconde équation entraîne L = RRGC ;
R
C
Quadripôle adaptateur
RG = R + RGLCω2
0 = RRGC - L
en éliminant alors L dans la 1ère équation, il vient, tous calculs faits : C =
RG − R
2 Rω2
RG
Cette condition ne peut être satisfaite que si RG > R, et la solution trouvée ne sera valable que pour une valeur
donnée de la pulsation !
• Adaptation par transformateur.
Supposons le transformateur idéal ; dans cette
hypothèse, U 2 = I1 = m
U1
I2
(m est le rapport de transformation)
RG
eG
i1
u1
i2
u2
R
Cherchons quelle est l’impédance d’entrée
Z = U1 du transformateur chargé par R.
I1
Nous avons U2 = R.I2, ce qui peut s’écrire mU1 = R I1 , ou encore U1 = R2 .I1
m
m
U
L’impédance d’entrée cherchée est Z = 1 = R2 (c’est en fait une résistance)
I1
m
L’adaptation en puissance exige que RG et Z soient identiques : R G = R2
m
en général, R et RG sont différentes et ne sont pas modifiables ; il faut alors choisir le rapport de transformation m de telle sorte que m = R
RG
Nous avons ici une adaptation en puissance qui ne dépend pas de la fréquence de travail (à la bande passante
du transformateur près !)
7.4 Etude généralisée des quadripôles linéaires – Notions.
Considérons ici un quadripôle linéaire le plus
général, dont le sens de fonctionnement est quelconque.
Par convention, le fléchage des grandeurs électriques
est celui donné à droite.
i1
i2
u1
u2
On montre que ce quadripôle est entièrement décrit
par deux relations indépendantes entre les grandeurs u1, i1, u2 et i2.
Ces 2 relations font intervenir 4 paramètres qui sont alors
des grandeurs caractéristiques.
Nous supposons un fonctionnement en régime sinusoïdal établi, ce qui permet d’utiliser la notation
complexe.
7.4.1 Quadripôle décrit par des paramètres « impédance ».
On choisit d’exprimer chacune des 2 tensions u1 et u2 en fonction des 2 courants i1 et i2.
U1 = Z11. I1 + Z12. I2
U2 = Z21. I1 + Z22. I2
Les coefficients Zij sont les 4 paramètres “z” ou “impédance”; la dimension de leur module est en effet une
impédance.
Signification, pour un quadripôle fonctionnant de gauche à droite :
U1
: c’est l’impédance d’entrée en sortie à vide.
Z11 =
I1
I2 = 0
Z22 =
U2
: c’est l’impédance de sortie pour une commande en courant.
I2 I = 0
1
Z21 =
U2
I1
Z12 =
U1
I2
: c’est l’impédance de transfert à vide.
I2 = 0
: c’est l’impédance de transfert inverse (ou de réaction)
I1 = 0
7.4.2 Quadripôle décrit par des paramètres « hybrides »
U1 = H11. I1 + H12. U2
I2 = H21. I1 + H22. U2
Ici, H12 et H21 sont sans dimensions ; ils correspondent respectivement à un transfert en tension inverse et à
une amplification en courant ;
U1
H11 a la dimension d’une impédance : c’est l’impédance d’entrée, à sortie court-circuitée H11 =
I1
U2 = 0
I2
U2 I = 0
1
Les paramètres hybrides sont notamment utilisés pour la description dynamique du transistor.
H22 a la dimension d’une admittance : c’est l’admittance de sortie, à entrée ouverte H 22 =
Citons également les descriptions par les paramètres « admittances » (i1 et i2 en fonction de u1 et u2) , les
paramètres « de transfert » (u2 et i2 en fonction de u1 et i1).
Pour de plus amples informations sur cette approche des quadripôles, on consultera l’abondante littérature
consacrée au sujet.