cours2 - 2015 - Ecole polytechnique

La particule libre en mécanique quantique
En mécanique quantique, l état d une particule ponctuelle est décrit
par une fonction d onde
(on se limitera ici au cas à une dimension)
Position et vitesse d une particule quantique
L équation de Schrödinger générale
Description probabiliste :
Une mesure de position donnera le résultat
à
près avec la probabilité
densité de probabilité :
Chapitre 2
Evolution dans le temps :
Si la particule est libre, c est-à-dire n est soumise à aucune force, ni aucune
mesure, l évolution de
est donnée par
Joseph Fourier
1768-1830
William R. Hamilton
1805-1865
Evolution selon l’équation de Schrödinger
En intégrant l’équation de Schrödinger
!" +" -" #
on obtient :
#############$%#&'%()'%#*$##
#############$%#&'%()'%#*$######################$,################
#############*$#./%012$#32'4/40506,$##
#########$%#&'%()'%#*$##
QCM !
Questions centrales du cours d’aujourd’hui
Que trouve-t-on quand on mesure la vitesse
ou
l impulsion
d une particule quantique ?
Il s’agit d’un résultat probabiliste comme pour la position
La densité de probabilité
où
pour l’impulsion est donnée par
est la transformée de Fourier de
Quelle est l'équation de Schrödinger en présence d un potentiel
Notion d’opérateurs "position", "impulsion", et "énergie"
Peut-on connaître à la fois la position et l impulsion d une particule ?
Les "relations d'incertitude" ou inégalités de Heisenberg.
?
Des séries de Fourier à la transformation de Fourier
Fonction périodique
de classe
1.
La transformation de Fourier
Convergence uniforme,
Peut-on exprimer une fonction non périodique
comme une somme «bcontinueb»
d exponentielles oscillantes
?
?
1768-1830
Si oui, comment trouver
La transformation de Fourier,
du cours de maths au cours de physique
connaissant
Trois propriétés cruciales de la TF pour la physique (I)
Connaissant
, on calcule
en utilisant
Maths en tronc commun : la TF est définie dans L1 (fonctions sommables)
Inversement, peut-on reconstruire
Physique : la TF est définie dans L2 (fonctions de carré sommable)
: sans dimension, x = longueur,
si on connaît sa TF
OUI !
"Formule d'inversion" de la TF
1D :
= Joule.seconde
p = impulsion
On utilise aussi l espace S de Schwartz :
fonctions
décroissant plus vite que toute puissance de x à l infini
?
On dit par convention que
est la TF directe de
et que
est la TF inverse de
=> se souvenir de la valeur du signe dans
position
(TF inverse)
TF
impulsion
(TF directe)
?
Trois propriétés cruciales de la TF pour la physique (II)
TF
Dérivation et transformée de Fourier
La TF est une isométrie pour l espace L2
TF
Trois propriétés cruciales de la TF pour la physique (III)
TF
On part de
et on suppose qu on peut dériver sous le signe intégral (OK dans l espace S)
par rapport à x :
On en déduit la TF de la dérivée de
Notation compacte:
l est également :
Notation compacte:
Dérivation dans l’espace des impulsions
La dérivation par rapport à dans l espace des impulsions
correspond à une multiplication dans l espace des positions, par le facteur :
!" +" -" 7" ###########
##
###############
##
]
est normée, alors
Dérivation par rapport à
= multiplication par
TF
[
Si
[ ]
TF
dans l espace des positions
dans l espace des impulsions
Pourquoi Fourier ?
Mathématicien, physicien, égyptologue, diplomate...
Professeur à l'Ecole Polytechnique, succède à Laplace (1797)
Préfet de l'Isère en 1802, Académie des Sciences en 1817
Travaux sur la propagation de la chaleur, sur l'effet de serre...
Longtemps critiqué pour son manque de rigueur mathématique,
complètement "réhabilité" au 20e siècle.
Joseph Fourier
1768-1830
Equation de la chaleur
=> Equation de Schrödinger en temps complexe
=> La TF permet de transformer des équations
différentielles en équations algébriques
Résolution de l’équation de Schrödinger (particule libre)
On se donne comme condition initiale la fonction d’onde à l’instant t=0 :
et on cherche la solution
Résolution de l’éq. de Schrödinger (particule libre) - suite
à tout instant t
Une fois connue la transformée de Fourier
de l’équation de Schrödinger :
on peut en déduire
à tout
t par transformation de Fourier inverse :
On utilise la transformation de Fourier
c’est-à-dire :
La TF de l’équation de Schrödinger est donc :
Cette équation s’intègre facilement :
"Condition initiale" :
Méthode générale de résolution de l’équation de Schrödinger libre !
Remarque :
Transformation de Fourier et distribution en impulsion
Proposition : si une particule est dans l’état
de probabilité pour son impulsion est :
, alors la distribution
TF
Est-ce raisonnable ?
2.
La distribution en impulsion d une particule quantique
1) On a vu que
est normée si
est normée, donc
2) On a vu que
. La quantité
est donc
indépendante du temps, comme attendu pour une particule libre.
3) Est-ce conforme à l’intuition qu’on a d’une vitesse ou d’une impulsion ?
Classiquement, une fois connue la
trajectoire
de la particule, on
définit l impulsion de la particule par :
Retrouve-t-on ce résultat au
niveau quantique pour les
valeurs moyennes ?
?
Impulsion moyenne d une particule libre quantique
Au niveau quantique, on sait calculer l évolution de la position moyenne de
la particule en fonction du temps :
Un résultat utile pour la suite du cours
Comment s exprime
en fonction de
TF
?
On réécrit cette valeur moyenne sous la forme :
x
x
isométrie :
TF
TF
dérivation :
Trouve-t-on
si on définit
par
?
Retour à la question :
d où le résultat:
Démonstration pour les densités de probabilités ?
?
L évolution de la position moyenne de la particule est donnée par
On injecte alors l évolution donnée par l équation de Schrödinger
Intégration par parties en supposant que
tend vers 0 quand
A l instant
, la particule a pour fonction d onde
Méthode de temps de vol : la particule évolue pendant un temps t suffisamment
long de sorte que
(on peut montrer que
quand
)
L
à vérifier en exercice
(ne pas oublier que
est normée)
cf. diapo précédente
La relation attendue est vérifiée !
Si
, la distribution de position reproduit la distribution de
vitesse (ou d'impulsion) initiale, et on trouve qu'elle s'identifie bien à
L analyse rigoureuse de ce problème est faite au chapitre 2, 6 (hors programme)
Position et impulsion en mécanique quantique
Valeur moyenne de la position :
Valeur moyenne de l impulsion :
3.
Opérateurs position, impulsion, énergie
Structure commune en terme d opérateur :
multiplication par
L équation de Schrödinger générale
x
fois la dérivation
par rapport à x
Nous généraliserons plus tard cette structure à toute quantité physique
Retour sur l équation de Schrödinger
pour une particule libre
Nous avons vu que l évolution de la fonction d onde
libre était régie à une dimension par l équation :
L équation de Schrödinger en présence d un potentiel
V(x)
Nous allons garder la structure
d une particule
en incluant dans
toutes les contributions à
l énergie de la particule : cinétique et potentielle
x
Cette équation peut se réécrire en utilisant l opérateur impulsion
avec
ou encore
Principe 2 (cas général)
L équation de Schrödinger qui régit l évolution de la fonction d onde
d une particule de masse m en mouvement dans le potentiel V(x) s écrit :
avec
avec
est l opérateur «bénergie cinétiqueb», qui coïncide ici avec
l énergie totale car aucun potentiel n est pris en compte
Equation de Schrödinger = lien temps - énergie
: opérateur énergie totale ou «bHamiltonienb»
Ecriture explicite :
Equivalent quantique du principe fondamental de la dynamique (Newton)
Pourquoi Hamilton ?
Mathématicien, physicien, astronome irlandais
Parlait 10 langues à 12 ans
1805-1865
4.
Inventeur des quaternions, contributions majeures à
l analyse vectorielle et à l algèbre linéaire (th. de Cayley-Hamilton)
Paquets d ondes
Effectue la synthèse entre l'optique ondulatoire et l'optique géométrique
Inégalités de Heisenberg
Après Lagrange, il reformule la mécanique de Newton
La mécanique newtonienne
correspond à la même limite
que l'optique géométrique par
rapport à l'optique ondulatoire
optique
géométrique
optique
ondulatoire
mécanique
newtonienne
?
Interprétation « physique » de la TF
Premier amphi : on a vu l onde de de Broglie
associée à une particule d impulsion
, mais cette onde n est pas normalisée
Aujourd hui : toute fonction d onde normalisée peut s écrire
Les paquets d’ondes
La phrase classique
Considérons une particule au point
avec l’impulsion
doit être remplacée par :
Considérons une particule dans l’état
de TF
avec une densité de probabilité en position
avec une densité de probabilité en impulsion
est une superposition d ondes de de Broglie
représente l amplitude de l onde
+
+
dans ce développement
=
paquet d ondes
,
centrée autour de
centrée autour de
L exemple d un paquet d ondes «bgaussienb»
Les calculs de TF peuvent être menés analytiquement avec les gaussiennes
Deux cas limites intéressants du paquet gaussien
Le paquet quasi-monocinétique :
Il y a alors beaucoup d oscillations de
avec une amplitude similaire car
moyenne :
écart-type :
Quelle est la fonction d onde
On retrouve une onde plane
dans la limite
correspondante ?
Le paquet bien localisé :
moyenne :
L impulsion est alors mal définie :
écart-type :
Pour ce paquet d ondes gaussien, on a toujours :
: un paquet ne peut pas être à la fois bien localisé et quasi-monocinétique
Les inégalités de Heisenberg
Signification physique des inégalités de Heisenberg
On voit sur le cas du paquet d’ondes gaussien qu’une bonne localisation
en x se « paye » par une mauvaise localisation en p et réciproquement.
Est-ce général ?
OUI !
Distribution de probabilité pour la position de la particule :
Distribution de probabilité pour l impulsion de la particule :
On a toujours :
Trois dim, vrai pour chaque axe:
cf. PC
L’inégalité de Heisenberg
signifie que :
A. le produit de la résolution des mesures de x et de p doit être plus
grand que
B. il est impossible de préparer une particule dans un état où sa position
et son impulsion sont simultanément arbitrairement bien définies
C. le paquet d’onde s’étale
Signification physique des inégalités de Heisenberg
L’inégalité de Heisenberg
signifie que :
A. le produit de la résolution des mesures de x et de p doit être plus
grand que
B. il est impossible de préparer une particule dans un état où sa position
et son impulsion sont simultanément arbitrairement bien définies
C. le paquet d’onde s’étale
On considère 2N particules toutes préparées dans le même état
5.
La stabilité de la matière
assurée par les inégalités de Heisenberg
Mesure de la position sur N particules Mesure de l impulsion sur N particules
Ces histogrammes ne peuvent pas être simultanément arbitrairement étroits
L instabilité de la matière «bclassiqueb» (1)
La «bcatastropheb» du rayonnement classique pour un atome :
un électron tournant autour d un noyau est accéléré,
L instabilité de la matière «bclassiqueb» (2)
Puissance rayonnée par une charge accélérée
(cf. cours d électromagnétisme antérieur) :
une charge accélérée rayonne.
: accélération
Dans le modèle planétaire classique, l électron en rotation
autour du noyau finit par «btomberb» sur ce noyau.
Un électron en mouvement circulaire uniforme de rayon r et de pulsation
énergie potentielle :
équilibre des forces :
énergie cinétique :
énergie totale :
c : vitesse de la lumière
� ωr �3
δE
Perte relative d énergie sur un tour :
= 4π
∼
4π
√
|Etot |
c
ωr = e/ mr
Valeur typiques :
La perte relative d énergie par tour est faible (
),
mais l électron fait
tours par seconde
En un temps de l ordre de
l électron devrait tomber sur le noyau !
,
�
e2 /r
mc2
�3/2
La stabilité de la matière «bquantiqueb»
La taille de «bl orbiteb» de l électron
qui minimise son énergie totale
quantique
classique
Les atomes sauvés par les inégalités de Heisenberg
Confiner une particule dans une région d étendue L «bcoûteb»
de l énergie cinétique :
Minimum de
On a donc
Quand la taille L de «bl orbiteb» tend vers 0, ce coût en énergie
cinétique
l emporte sur le gain en énergie potentielle
En résumé
Distribution de probabilité pour la position
et pour l impulsion
TF
Structure opératorielle :
Opérateur position :
Opérateur impulsion :
Equation de Schrödinger générale :
Opérateur énergie ou «bHamiltonienb»
atteint pour
Raisonnement non rigoureux, mais qui donne bien (à un facteur numérique ¾ près)
le rayon de Bohr, c est-à-dire la taille de l état fondamental de l atome d hydrogène
Dans cet état fondamental, l atome ne peut pas rayonner d énergie