Point mobile dans un cylindre creux, avec et sans frottement. Du point le plus bas Po d’un cylindre creux, de rayon R et d’axe horizontal, est lancée une particule de masse m avec une vitesse horizontale vo perpendiculaire à la génératrice passant par Po. Cette particule , qui se déplace dans le plan de section droite du cylindre de centre O, est repérée à chaque instant par l’angle OP o , OP . On désigne par g la valeur du champ de pesanteur, supposé constant. Partie 1. La particule glisse sans frottement. 1. A l’aide de la seconde loi de Newton, exprimer, en fonction des données m, R, vo et g : a. le carré 2 de la vitesse angulaire de P en fonction de son élongation angulaire . d d d d On rappelle que : dt d dt d b. la réaction N ( ) du cylindre sur la particule M en P. 7 gR . 5 3. Pour quelles valeurs de la vitesse initiale vo (exprimées en fonction de R et g), la particule serat-elle animée d’un mouvement révolutif (toujours dans le même sens) ? 2. Calculer l’amplitude M de la particule pour vo gR et pour vo Partie 2. La particule glisse avec frottement. La particule glisse maintenant avec frottement à l’intérieur du cylindre, avec un coefficient de T frottement , où T et N sont les valeurs des composantes tangentielle et normale de la réaction du N cylindre sur M. 1. Etablir l’équation différentielle non linéaire du second ordre en t , qui fait intervenir les seules données , g et R . 2. On donne 1 7 et vo gR . On pose x = 2 . 4 5 Mettre l’équation différentielle précédente sous la forme : dx g ax (b cos c cos ) . d R Déterminer les coefficients numériques a, b et c. g ( A cos B sin ). En R reportant cette solution dans l’équation différentielle en x, et en procédant par identification, déterminer les coefficients A et B. En considérant l’état initial déterminer l’expression de K. Exprimer 2 en fonction de , g et R. En déduire la loi N ( ) . 3. Calculer la valeur maximale 'M de l’élongation. DTL1. 05/06. La solution de l’équation différentielle est de la forme : x Ke a