Les fonctions analytiques comme ultra

MATHEMATISCHE ANNALEN
BEGRÜNDET 1868 DURCR
ALFRED CLEBSCH
UN D
CARL NEUMANN
FORTGEFÜRRT DURCR
FELIX KLEIN
DAVID HILBERT
OTTO BLUMENTHAL
ERICH HECKE
GEGENWÀRTIG RERAUSGEGEBEN VON
HEINRICH BEHNKE
MüNSTER (WESTF.)
RICHARD COURANT
NEW YORK
HEINZ HOPF
ZÜRICH
GOTTFRIED KOTHE
HEIDELBERG
KURT REIDEMEISTER
GlJTTINGEN
BARTEL L. VAN DEIt WAEItDEN
ZÜRIOH
136. BAND
SPR INGER.VERLAG
BERLIN · GOTTINGEN· H EIDELBERG
1958
SEBASTIAO E SILVA,
J.
Math. Annalen, Bd. 136, S. 58-96 (1958)
Les fonctions analytiques comme ultra-distributions
dans le calcul opérationnel
Par
J. SEBASTIÀO
A Monsieur
E
HEINRICH BEHNKE,
SU,VA à Lisbonne
à l'occasion de son 60me anniversaire
Introduction
Dans notre article «Le calcul opérationnel au point de vue des distributions» (voir Bibliographie, [11] et [12]) nous avons étudié d'abord l'espace
- que nous désignons maintenant par Qi~ - des fonctions <p(z) holomorphes
à croissance lente sur des demi-plans ~z > k, k = 0,1, ... , ces fonctions
étant les images de LAPLACE des distributions nulles à gauche de l'origine et
de type exponentiel à droite; ensuite, pour donner un sens à des «fonctions
del'opérateurD» telles que exp iD, sen VD, etc. (voir ici nO. 28), nous avons
considéré, plus généralement, l'espace - que nous notons maintenant 8 des fonctions holomorphes de type exponentiel sur des demi-plans ~z > k .
Or, pour prolonger à 8 la transformation inverse de LAPLACE, ~-1, il faut
sortir du cadre des distributions, en ajoutant de nouveaux êtres à l'espace
de distributions considéré, A + oo , image de Qi~ par ~-1 - et il nous a semblé
naturel d'appeler «ultra-distributions» ces entités, ainsi que les distributions
elles-mêmes (pour commodité de langage). Une telle extension de A+ oo
pourrait s'obtenir immédiatement, en considérant le complété de A+ oo pour la
topologie image, par ~-1, de la topologie induite dans Qi~ par 8 (Qi~ étant
dense dans 8). Mais c'était là une solution triviale, qui nous sembla peu
maniable et dépourvue d'intérêt. Notre but était de représenter les ultradistributions par des fonctions analytiques, de manière à pouvoir traduire
la somme, le produit par polynômes, la dérivation et les translations, par
ces opérations appliquées aux fonctions analytiques elles-mêmes de la façon
usuelle. D'ailleurs, certains espaces, que l'on pouvait dire aussi de «ultradistributions», av~ient déjà été considérés.
D'une part, M. KOTHE, dans [5J, avait introduit les «Randverteilungen»
(c.a.d. «ultra-distributions de frontière») des fonctions f(z) holomorphes
dans le complémentaire d'une courbe (t analytique, simple et fermée, identifiant ensuite une partie de ces Randverteilungen aux distributions sur (t au
sens de SCHWARTZ. Cette conception a été généralisée par M. TILLMANN,
dans [14J, au cas de produits (dans en) de lignes analytiques simples, ouvertes
ou fermées.
D'autre part M. EHRENPREIS, dans le but de prolonger à tout l'espace ~'
des distributions, la transformation 5' de FOURIER, définie par M. SCHWARTZ
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
comme un automorphisme
tempérées ou «à croissance
image de~' par 5', comme le
tions entières à décroissance
les verticalesl ) :
59
topologique de l'espace e' (des distributions
polynômiale»), a considéré, dans (2], l'espace
dual topologique de l'espace D =5'(~) des foncrapide sur l'axe réel et de type exponentiel sur
5' (~') = (5' (~»' = D' .
Pour atteindre notre but initial, nous avons dû adopter un point de vue
mixte, qui tient à la fois de celui de M. KOTHE et de celui de M. EHRENPREIS,
tout en divergeant de l'un et de l'autre: seul l'espace des ultra-distributions
que nous appelons ici «tempérées» est identifiable à un sous-espace de D',
et il n'est pas contenu (ni ne le contient, à ce que nous pensons) l'espace
des Randverteilungen de KOTHE-TILLMANN sur l'axe réel. (Nous nous bornons ici au cas d'une seule variable, mais l'extension au cas de n variables,
que nous nous proposons d'exposer dans un prochain travail, n'offre pas de
difficultés sérieuses).
Au lieu de prolonger 5' à l'espace ~' de toutes les distributions sur R (ce
dont nous n'avions pas besoin), nous avons pris pour point de départ un
espace compris entre e' et ~' - celui des distributions de «type exponentiel
à droite et à gauche» que nous désignons ici par Aoo (voir nO. 8) - et nous
avons envisagé une extension, U, dee',de façon à prolonger5' en un isomorphisme
topologique de Aoo sur U. Ce sont les éléments de U que nous appelons «ultradistributions tempérées» .
Pour réaliser U, on pourrait tout simplement utiliser la construction de
M. EHRENPREIS, en considérant U comme le sous-espace de D' qui est
l'image de Aoo par 5'. On pourrait aussi employer la méthode de complétion
topologique, indiquée plus haut, qui servirait d'ailleurs, également, pour
construire 5' (~'). Mais, comme nous l'avons déjà dit, notre but était d'obtenir
une représentation concrète des ultra-distributions au moyen de fonctions
analytiques, ce qui, outre les avantages indiqués, permettrait d'introduire
un critère convenable de localisation (no. 20) et d'étudier commodément les
opérateurs linéaires continus définis dans U, au moyen d'une intégration
complexe, voisine de la notion usuelle d'intégrale (nos. 13-19). Or la façon
la plus directe, et presque immédiate, de parvenir à cette réalisation fonctionnclle de U, est celle que nous avons adopté ici (no. 8):
Chaque TE Aoo admet la décomposition T = T +- T-, où T+ (resp. T-)
est une distribution de Aoo nulle à gauche (resp. à droite) de l'origine, ces
distributions T+ et T- étant déterminées à une même combinaison linéaire
près de dérivées de b. Or, si l'on adopte la formule
+00
5'T+=
f
e" u Ti; du,
- 00
+ i Y et où l'intégrale par rapport à T+ est
définie par prolongement continu, la transformation 5', appliquée aux distributions T+ (EA+ oo ), s'identifie à la transformation de LAPLACE suivie du
où z est la variable complexe x
') Pour commodité de notation nous désignons toujours par ff les divers prolonge.
ments de la transformation de FOURIER et par ~ ceux de la transformation de LAl'LACE.
60
J.
SEBASTIAO E SILVA:
changement de variable z ->- - i z. Donc 5' T + (resp. 5' T - ) est représentée
par une fonction rp+ (resp. rp- ) holomorphe à croissance lente dans un demi
plan 5z >k (resp. 5 z < - k). Alors 5' T se «réalise» par le couple (rp+, rp- ) de telles
fonctions, i.e. par une fonction rp{z) holomorphe à croissance lente dans l'ouvert
15 zl > k, cette fonction étant déterminée à un polynôme près (image d 'une
combinaison linéaire de dérivées de ~). Il est alors naturel de poser 5' T = rp+ - qr
(convention analogue à celle des vecteurs comme différences de points); d'ail+ 00
leurs, cette diffërence reprend le sens usuel, lorsque les intégrales f eizu T~ du,
0
o
. f eiz t T;; du sont convergentes pour tout z E R, l'intégrale de FOURIER
-00
jouant ici un rôle tout à fait analogue à celui de la série de LAURENT pour les
Randverteilungen de KOTHE (voir encore th. 10. 1.).
Dans cette interprétation fonctionnelle de l'espace U, il est essentiel de
préciser quelles sont les fonctions rp qui représentent les distributions tempérées: ce sont les fonctions holomorphes en dehors de l'axe réel, à croissance
lente vers cet axe et vers l' 00 (th. 12. 1.). Le passage de la «représentation
réelle» à la «représentation complexe» s'effectue par la transformation de
STIELTJES généralisée et légèrement modifiée (nO_19), la distribution ~ donnant
lieu à la fonction -1 /(2 n i. z) et la «formule intégrale de DIRAC» étant remplacée par la «formule intégrale de CAUCHY». Voilà donc les racines profondes
de l'analogie frappante, que nous avions déjà signalée dans [11 J, entre ces
deux formules .
Dans le nO. 21, on étudie les ultra-distributions (tempérées) à support
compact. Considérées comme opérateurs de convolution, elles s'identifient à
certains opérateurs différentiels d'ordre fini ou infini (ces derniers n'ayant
pas de sens en théorie des distributions).
Ensuite, on étudie la transformation de LAPLACE pour les ultra-distributions tempérées de support limité à gauche (th. 23. 1). Leurs images par ~
forment un sous-espace de 8. Pour interpréter ~ -l (8) on est amené naturellement à élargir U: on obtient alors l'espace 'D des ultra-distributions de type
exponentiel sur R - contenant à la fois U et Aoo (ce dernier n 'est plus contenu
dans l'espace D' de EHRENPREIS). L'image de 8 par ~-1 est donc l'espace 'D t
des distributions de type exponentiel sur R et de support limité à gauche
(th. 26.1): voilà donc atteint notre but initial. Le calcul opérationnel général
établi dans [Il J et [12J pour Ql~ et Qt~ s'étend maintenant à 8 (no. 27). En
particulier, l'opérateur ehD , avec h complexe quelconque, est bien la translation
Th' qui n'a de sens pour les distributions que si h estréel; et certains développements en série, défendus en théorie des distributions, deviennent maintenant
utilisables. Au nO _28 on donne une première esquisse d'application de ces méthodes.
Enfin, la transformation de FOURIER se prolonge en un automorphisme
vectoriel-topologique de'D : ainsi la belle symétrie créée par M. SCHWARTZ avec son
espace €l'est rétablie dans Q3, par une sorte de synthèse FOURIER-LAPLACE 2).
S) Tandis que li s'identifie au dual de l'espace des fonctions entières à décroissance
rapide sur R, 'iD peut s'interpréter comme le dual de l'espace des fonctions entières 8.
décroissance Bous-exponentielle sur R, qui cohtcide avec son image de FOURIER.
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
61
Tableau des principales notations employées
espace des fonctions holomorphes à croissance lente sur un
ensemble fermé F .
1. Espaces (01 ): - espaces de SCHWARTZ métrisables complets; appelés
espaces (rm*) dans [10].
1. Espaces (0 2 ): -duals forts des espaces (01) ; appelés espaces (~m*) dans [10).
3. ~\} (CD): espace des fonctions holomorphes à décroissance presque rapide
dans tout ensemble CD k (complémentaire de D k ).
No.
1. Qiw (F) :
5.
Ql~
(resp. Qi;;;): - espace des fonctions holomorphes à croissance lente sur
des demi-plans droits (resp. gauches).
6. A+ (resp. A _(0): - espace des distributions du type exponentiel, nulles
à gauche (resp. droite) de l'origine.
6, etc. ~: - transformation de LAPLACE.
8. Q(~+ (resp. Q(~-): - image de Qi~ (resp. Qi;;;) par le changement de variable
00
z-'>- - iz .
8. Qiw=' Qi~ X QI;;;, Qi~= Qi:'; X Qi~- .
8. II: - espace des polynômes en z.
8. U = QiUlI, espace des ultra-distributions tempérées.
8. x: - application canonique de Qi~ dans li (interprétation analogue pour
d'autres espaces).
8. Aoo : - espace des distributions du type exponentiel sur R.
8, etc. 'J: - transformation de FOURIER.
Il. U,: - espace des ultra-distributions tempérées de frontière.
15. rmu: - espace des opérateurs de multiplication dans U.
17. <ru: - espace des opérateurs de convolution dans li.
21. llc: - espace des ultra-distributions tempérées à support compact.
22. U+: - espace des ultra-distributions tempérées de support limité à gauche.
2:l. 80: - image de LAPLACE de U+.
24. 8: -limite inductive des espaces Tk 80' k = 0, 1,2, ...
25. Œw: - espace des fonctions holomorphes dans des ensembles l\Jzl > k,
à croissance lente sur les verticales et du type exponentiel sur les horizontales.
25. m: - espace des fonctions entières du type exponentiel sur les horizontales
et à croissance lente sur les verticales.
25. en = ŒJJ7., espace des ultra-distributions du type exponentiel sur R..
25. en,: - espace des ultra-distributions rp E en de frontière.
26. en+: - espace des ultra-distributions du type exponentiel sur R. et de
support limité à gauche, image de 3 par ~-1.
Tou8 le8 e8pace8 vectoriels ici considérés 8eront des e8paces vectoriels sur le
Corps complexe.
62
J.
SEBASTIAO E SILVA:
1. L'espace QI",(F) des fonctions holomorphes à croissance lente
sur un ensemble fermé 3)
Soit F un vrai sous-ensemble, fermé et non vide, du plan C de la variable
complexe . Pour tout k = 1, 2, . .. nous désignerons par Fk l'ensemble des
points de C dont la distance à F est ~ I Jk et par Fk sa frontière . Cela étant,
nous désignerons par QIk{F) l'espace des fonctions complexes, <p(z), définies
et continues sur F /c' holomorphes à l'intérieur de F k et telles que le quotient
de <p(z) par (1 + Izi)" soit borné sur F k ; nous considérons QIk(F) muni des
notions de somme et de produit par scalaires et d'une topologie, <:tic' au moyen
de la norme suivante
Il <p Il k =
:~R
Itp(z) 1
(1
Izl)k
+
On voit aussitôt que l'application <p(z) -')- (1 + Izi}-k <p(z) est alors un
isomorphisme bicontinu de 2l k (F) sur un sous-espace fermé de l'espace (de
BANACH) des fonctions continues bornées sur Fk' D'autre part, si, pour tout k,
on identifie chaque fonction <p E 2lk (F) à la fonction cp E 2l k +1 (F) qui est la
restriction de <p à Fk +l' on voit, à peu près comme dans [Il], p . 109, que:
Pour tout k, l'application canonique de 2l k (F) dans QIk +1(P) est totalement
continue [c.a.d. transforme toute partie bornée de 2l k (F) en une partie relativement
compacte de 2l k +1 (F)].
Il s'ensuit que la limite inductive de la suite d'espaces normés Q(k (F) est
un espace (~ <R*), d'après les définitions que nous avons introduites dans [10).
Désormais nous appellerons «espaces du type (61)>> les espaces de SCHWARTZ
métrisables complets, d'après GROTHENDIECK [3], et «espaces du type (6 2 )>>
leurs duals torts, qui coïncident avec nos espaces (~ <R*)4).
Nous désignerons par QI",(F) la limite inductive des espaces 2l k (F) et par <:tw
la topologie de QI",(F). Puisque chaque élément de 2l(JJ(F) se représente par
une fonction <p(z) appartenant à l'un des espaces 2l k (F), nous apellerons
encore fonctions les éléments de Q(w (F), qui, en réalité, ne sont que des classes
d'équivalence de fonctions.
2. Les espaces QI", (D)
Par la suite nous nous limiterons au cas où F est l'intersection ou la
réunion de deux demi-plans fermés à frontières parallèles; dans ce cas, nous désigneronsl' ensembleF par D. En particulier, D peut être un demi-plan; alors, pour
tout k, Die est un demi-plan contenant D, et sa frontière, Die, est une droite
située à la distance IJk de D. II se peut encore que D soit une bande ou une
droite; alors Dk est la bande fermée determinée par les deux droites (dont
la réunion est D k ) situées à la distance I jk de D. Enfin, D peut être le complémentaire d'une bande ouverte; alors les Dk sont des ensembles de même
type ou le plan C.
3) Le lecteur qui connaisse déjà nos travaux [11] et [12] peut se borner ici à une lecture
rapide des nOS. 1-7.
4) Les espaces (01) sont les mêmes que nous appelons «espaces (~1*)) dans [10].
63
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
Cela étant, pour tout k = l, 2, ... , nous désignerons par Qlt (D) l'ensemble
des éléments de ~lk (D) tels que (1 + Izl) rp (z) soit une fonction de z bornée
00
sur Dk et nous poserons
Ql~ (D) =
U Qli (D). On démontre comme dans [11),
o
p. Ill, que:
Proposition 2.1. L'ensemble Ql! (D) est dense dans Ql", (D).
D'autre part, si l'on considère la frontière de Dk orientée de jw;on à laisser à
gauche les points de D, on voit aussitôt que
rp (z)
=
1
2n i
f
q:>().)
Â_
z d Â,
J\
pour tout z E D k +1 et toute rp E Ql! (D).
Nous désignerons par \) l'application  -'>- (À c'est-à-dire, nous poserons
1
\)(Â)=
À
-z '
Z) - l
de CD dans Qlw (D),
pour tout À E CD,
où le signe ~ sert à indiquer que z est une variable muette.
On démontre, à peu près comme dans [Il), p.1l2-113, les deux propositions
suivantes:
Proposition 2.2. La fonction vectorielle \) (Â) est holomorphe dans CD, par
rapport à crw '
Proposition 2.3. La fonction À\) (Â) de À est bornée sur CD k , par rapport
à cr"" pour k = 1,2, ...
Pour démontrer la prop. 2.3 il est commode de se ramener au cas où D ne
contient pas l'origine et sa frontière est verticale, au moyen d'un déplacement
Z -+ a z+ (3 (avec lai = 1), qui détermine, évidemment, une application linéaire
continue rp(z)-+ rp[oc- 1 (z - (3)] de Ql",(D) sur Qlw(ocD + (3).
Maintenant, il est aisé de voir que l'on a, pour tout k et toute rp e~{t (D),
la formule de représentation
rp =
2~ if\) (Â)
rp(À) dÀ ,
par rapport à
cr", ,
A
que l'on peut étendre à tout élément rp de QldD), avec k arbitraire, en posant,
par définition:
3. Applications linéaires continues de Qlw(D) dans un espace localement convexe
Soit encore D un ensemble du type indiqué au nO. 2 et soit E un espace
localement convexe, complet pour les suites.
Définition 3.1. Nous dirons qu'une fonction f(Â) à valeurs dans E, définie
dans CD, est à décroissance presque rapide dans CD, si, pour tout k, il existe k
J.
64
SEllASTIÀO E SILVA;
éléments al' ... , ak de E et une partie bornée Lk de E, tels que
f(l\) ET +
,
SI
Sk
L~
... + 1k
+ Âk+l
pour tout
'
"
1\
E CD,
1\
=l= 0 .
On voit aussitôt que, si cette condition est vérifiée, les éléments al' ... , a k
sont déterminés par la seule donnée de f(À), indépendamment de k, par
récurrence:
= lim [Â f(Â)]
l°
aI
).--H'"
aj+l=}~[Âi+I(f(Â) - f~;)J
sur
CD
Ces éléments al' ... , a k , ... de E seront dits les coefficients asymptotiques
de f(Â). Si a k =
pour tout k, nous dirons que f(Â) est à décroissance rapide
dans CD; cela équivaut à dire, évidemment, que la fonction )Jf(À) de À est
bornée sur CD, quel que soit j = 1, 2, ...
Compte tenu de la prop. 2.3 et de la formule
pour z =l= À =l= 0,
on voit que
Proposition 3.1. La fonction l)(Â) = (À-Z)--l, définie dans CD et à valeurs
dans QIw(D), est une fonction à décroissance presque rapide sur CD k , quel que
soit k = 1,2, ...
On peut maintenant établir le théorème suivant, en raisonnant comme
dans [Il] et [12]:
Théorème 3.1. Il existe une correspondance biunivoque F ---. f entre les
applications linéaires continues F de QIw(D) dans E et les fonctions f(À) de la
variable complexe Â, à valeurs dans E, qui sont holomorphes dans CD et à
décroissance presque rapide sur tout CD k . Cette correspondance est définie par
les formules
pour ÀE CD
f(À) = F [Â~z]'
F(cp)
=
2~i
f
f(À) cp(À) dÀ,
pour cp EQIw (D) ,
D.
où k est tel que cp EQIk (D) et où l'intégrale est définie par rapport à la topologie
<!w de Qtw (D), d'après la convention:
J
Dk
f(Â) cp(À) dÀ =
lim
J
f(À)C(À) dÀ,
avec
CEQIt(D),
C-><p Dk
en considérant la frontière 1\ orientée de façon à laisser à gauche les points de D.
(Pour la démonstration, il sera encore commode de se ramener au cas où D
ne contient pas l'origine).
La fonction f(Â) =F [l)(Â)] est nommée l'indicatrice de F.
En particulier on voit ainsi que:
L'espace dual, QI;" (D), de QIw (D) est isomorphe (algébriquement) à l'espace
des fonctions complexes !(À), holomorphes et à décroissance presque rapide dans
les ensembles CD k ; nous désignerons par .fJw(CD) cet espace.
65
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
On peut rendre bicontinu l'isomorphisme entre Q{~ (D) et .f>w (CD) par
rapport à la topologie forte de Q{' (D), en munissant .f>w (C D) d'une topologie
convenable, définie au moyen des coefficients asymptotiques des fonctions
appartenant à cet espace. Alors on peut identifier Q{~ (D) à .f>w (C D).
Il faut remarquer que, du th . 3.1., on déduit les propositions suivantes:
Corollaire 1. Si f(Â) est holomorphe dans CD et à décroissance presque
rapide sur tout CD k , les coefficients asymptotiques de f(Â) sont les mêmes pour
tout k.
Corollaire 2. Si f (Â) est l'indicatrice d'une application linéaire continue de
Q{w (D) dans E, alors f' (Â) est encore l'indicatrice d'une telle application.
Corollaire 3. Si f (Â) est l'indicatrice d'une application linéaire continue de
~w (D) dans E, alors pour tout Ao E C et tout k, il existe k éléments Cl' . . . , c"
de E et un borné Lk de E, tels que
A
f,
f( ) E .1-.10
+ ... +
C.
(À _ ÀO ;k
+
L.
(À -
Ào)k+! '
pour AE CD k
.
Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer que 1) (Â) possède les mêmes
propriétés.
4. Décomposition canonique de
Q{w (D)
dans le cas où D est une droite
Supposons maintenant que D est une droite. Alors le complémentaire
de D est la réunion de deux demi-plans ouverts, que nous désignerons par Dl
et D2.
Nous avons vu que le dual de Q{w (D) est constitué par les fonctions f(Â)
holomorphes et à décroissance presque rapide sur tout CD k • Si l'on désigne
par fI et f2 les restrictions de f à Dl et D2 respectivement, il est évident que
fI (resp. f2) est une fonction holomorphe dans Dl (resp. D2) et à décroissance
presque rapide sur le complémentaire de tout Dr, (resp. Dl); et que, en outre,
ces deux fonctions fI et f2 ont la même suite de coefficients asymptotiques. La
réciproque est aussi évidente: tout couple (fI' f2) de fonctions holomorphes dans
Dl et D2, respectivement, vérifiant ces conditions, définit une fonction holomorphe à décroissance presque rapide dans le complémentaire de tout Dk' Il
s'ensuit que:
-l'espace Q{~(D) est isomorphe (algébriquement) au sous-espace de .f>",(Dl) X
X .f>w (D2) formé par les couples (fI' f 2) çle fonctions ayant la mime suite de
coefficients asymptotiques dans Dl et D2.
Il est aisé de voir, d 'ailleurs, que cet isomorphisme est topologique. Et,
comme Q{w(D) est réflexif 5), ainsi que Q{w{Dl) et Q{w{D2), il en résulte que
QIw (D) est isomorphe au quotient de QIw (Dl) X Q{w (1)2) par le sous-espace de ce
produit orthogonal à Q{;"(D).
Pour préciser ce résulat, considérons une fonctionnelle linéaire continue (/J,
quelconque, sur .f>w (CD) ~ Q!~ (D). Il existe alors un entier k et deux fonctions
a) Puisqu'il s'agit d'espaces du type (es) (voir nO. l et [10]).
Math. Ann. 136
5
66
J.
SEBASTIAO E SILVA:
<Pl E~k(Dl),<P2E ~dD2), tels que
f
f/J(f)=
<Pl(Â)12(Â)dÂ
+
h~
pour toute fonction
On aura donc
t=
f
<P2(Â)/l(Â)dÂ,
h~
(fI' 12) E ~w(Dl) X
f
2~i
f/J(f)=
[<Pl (1-)
~w(D2).
+ <pz(À)]f(Â)dÂ,
hk
ce qui montre que <P = <Pl + <Pz est la fonction indicatrice de f/J. Pour essayer
de déterminer <Pl' supposons, pour fixer les idées, que Dl ne contient pas l'origine
(dans le cas général, on peut remplacer l'origine par un point quelconque, en
tenant compte du corollaire 3 du th. 3.1). Alors, si l'on rappelle que
1
1
l-z
z
T +y. + ... +
=
Zk
lk+ 1
Zk
lk t l(Z-l) ,
+
pour  =!= z, on voit aisément que, pour tout z E Dl:
1
<pd z ) = 2:n:i
f
Zk cp,(l)
lk+l(z-l) dÂ,
hl
tandis que, pour les mêmes valeurs de z:
f
_ 1_
2:n:i .,
zkcp.(l)
lk +l(Z-l)
1 _
~ ~ (rl
dl\--r7: rI <P2 (0) .
o
Dk
Et, comme <P = <Pl + <P2' on aura donc, pour z E Dl:
(4.1)
_
<Pl(Z) -
1
2:n:i
f
.,
Zk cp(l)
lk+l(Z-l) dÂ
k
z'
(rl
+ /~'o rT <P2
(0),
Dk
ce qui permet de déterminer fj!2 (et par suite <Pl)' à partir de <P, à moins d'un
polyn6me. Alors, si l'on pose <P+ = <Pl' <P- = - <P2' on conclut:
Théorème 4.1. Tout élément <P de ~w(D) est de la forme <P = <P+- <p-,
avec <p+E ~w(Dl), <p-E ~w(D2), où <P+ et <P- sont déterminées à un même polyn6me
arbitraire près.
On verra par la suite l'avantage de mettre <P sous la forme d'une différence,
plutôt que sous la forme d'une somme.
5. Les espaces ~~,
~;;;
et
~w
Pour tout nombre réel ex, nous désignerons par V«la droite verticale 9t z = ex,
par V~ [resp. Va] le demi-plan 9tz ~ ex [resp. 9tz ~ ex] et par ~~ [resp. ~a]
l'espace de BANACH des fonctions <p(z) holomorphes à l'intérieur de Vt
(resp. V;;) et telles que le quotient de <p(z) par (1 + Iz/) I«I se prolonge comme
fonction continue bornée à Vt (resp. V;).
La limite inductive des espaces normés ~t pour ex> 0 est l'espace des
fonctions holomorphes à croi88ance lente 8ur de8 demi-plans droit8, que nous
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
67
avons étudié dans [11] sous la notation Qiw et que nous désignerons maintenant
par Qi~ . Il est aisé de voir que Qi! est aussi la limite inductive des espaces
localement convexes Qiw (V~).
D'autre part, nous désignerons par Qi;;; l'espace image de Qi~ par la symétrie
z --+ - z et nous noterons Qiw l'espace Qi~ X Qi;;;. On peut encore considérer,
plus généralement, les espaces images de Qi~ et Qi;;; par des rotations quelconques_
Il va sans dire que le th. 3.1 et ses conséquences s'étendent, d'une façon
naturelle, à ces nouveaux espaces. D'ailleurs, le th. 1 établi dans [11] et [12]
n'en est qu'un cas particulier.
6. La transformation unilatérale de LAPLACE
D'après ce que nous avons vu dans [11], la formule
IX
(6.1 )
1
~q; = 2ni
+ coi
J-
etAq;(Â.)dÂ.,
ooi·
Ct. -
pour q; EQi~, IX ER+, définit une application linéaire continue ~ de Qi~ dans
l'espace <r; des distributions de support limité à gauche . L'image de Qi~ par ~
est préci..3ément l'espace que nous avons représenté dans [11] par tYw et que
nous désignerons maintenant par Â+ oo , constitué par les distributions (/J du type
qJ
= Df[ektF(t)] ,
où k = 0,1,2, ... et F est une fonction continue bornée sur R, nulle pour
t <: 0; cet espace étant muni de la topologie de la limite inductive de ses sousespaces normés par IlqJllk= sup IF(t)l. Nous savons, en outre, que ~ est une
tER
application biunivoque de Qi;',; sur Â+ oo et que son inverse est la transformation
LAPLACE (encore continue) donnée par
+00
(6.2)
J e- z tqJt dt .
~ qJ =
-
00
Évidemment, la restriction de ~ à chaque espace Qiw(vt) est encore
continue et l'image de cet espace par ~ est formée par les distributions qJ
du type
qJ = D~ (ePtF(t))
avec f3 < IX, k = 0, 1,2, ... et F fonction continue bornée, nulle pour t < O.
Observons enfin que la formule (6.1), pour q; E Qiœ- et IX parcourant R-,
définit une application linéaire bicontinue ~ de Qi;;; sur l'espace image de Â+ 00
par la symétrie t -+ - t, espace que nous désignerons par A-ex)' L'inverse de
cette application est encore la transformation de LAPLACE (relative à ce dernier
espace), donnée par (6.2).
7. La transformation bilatérale de LAPLACE
Nous désignerons par <rb l'espace des fonctions continues bornées sur R
avec sa norme usuelle:
11/11 = sup I/(tH ;
tER
68
J.
SEBASTIÂO E SILVA:
et par Ao l'espace des distributions T de la forme
T =
Dde- {- F(tl],
où k = 1 ,2, ... etF E<r b , muni de la topologie de la limite inductive des espaces
images de l'espace normé <rb par ces applications F -+ T. Plus généralement,
nous désignerons par A"" pour tout IX E R, l'image de Ao par la transformation
T -+ e'" t T. Et nous noterons A~ (resp. A;) le sous-espace de A", constitué
par les distributions T EAoc qui sont nulles à gauche (resp. à droite) de l'origine.
On voit aussitôt que
Proposition 7.1. Tout élément T de Aoc peut se mettre so'us la forme T = T +T-, avec T +E A~, T- E A;, où T + et T - sont déterminées à une même combinaison linéaire arbitraire de dérivées de <5 près.
Alors, si l'on pose
+00
~T
=
J
e-zuTudu,
on voit aisément, à l'aide de la prop. 7.1 et du th. 4.1, que cette formule
définit une application linéaire continue ~ de Aoc sur Q{w (V oc), telle que ~ (D T)
= Z(~T) et ~ <5 = l, et que, pour cette raison, nous nommerons encore transformation (bilatérale) de LAPLACE.
8. L'espace des ultra-distributions tempérées
L'espace des distributions tempérées, ou à croissance lente, a été défini par M.
SCHWARTZ comme le dual fort, ES', de l'espace ES des fonctions indéfiniment
dérivables à décroissance rapide . Il peut être défini directement comme
l'espace des distributions T de la forme
T = D~ (1 + X2)kf(x) ,
k = 0,1,2, . ..
où f E (fb (fonction continue bornée sur R), avec la topologie de la limite
inductive des espaces images de l'espace normé <rb par ces applications f -+ T
(cf. [9], Notes Finales, VI).
Considérons la transformation de FOURIER ff : ES' -+ ES', sous la forme
(8.1)
ffT=JeiXVT"dy.
R
Son inverse ff-1: ES' -+ ES' est alors donnée par
Il ..
ff- 1S = 2n
e- '''' 11 S", dx.
Si l'on remplace dans (8.1.) la variable réelle x par la variable complexe
+ i y, la restriction de ff à Ao C ES' s'identifie à la transformation de
LAPLACE ~, suivie du changement de variable z -+ - i z.
Il en résulte (cf. nO. 7) que chaque élément q; de Q(w (R) admet une représentation (unique) du type
z= x
+00
q;=
J
- 00
eih T lI dy,
T étant l'image de q;(iz) par
n = ~-l.
avec TE Ao,
Cette intégrale joue, par rapport aux
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
69
fonctions f(J E2!w (R), un rôle tout à fait analogue à celui des séries de LAURENT
pour les fonctions holomorphes sur le cercle, considérées par M. KOTHE dans
sa théorie des «Randverteilungen» [4). Désignons par R+ (resp. R_) le demiplan supérieur 5z ~ 0 (resp. inférieur 5z ~ 0). D'après le th. 4.1, la fonction
cp ci-haut considérée peut se mettre sous la forme
où cp+, f(J- sont déterminées à un même polynôme arbitraire près. A ces
fonctions cp+, cp- correspondent deux distributions T + E At, T- E Aü, telles
que T = T+ - T - , avec
+00
o
f(J+= f eiZYTtdy, f(J- = f eiz !! T;dy,
- 00
o
c'est-à-dire f(J+ ='iJT+, f(J- ='iJT-. Donc f(J+ et f(J- remplacent, dans le cas
présent, les fonctions holomorphes représentées, à l'intérieur et au dehors du
cercle, par les deux parties de la série de LAURENT, dans le cas classiqu~.
Toutes ces considérations nous suggèrent une extension naturelle de
l'espace e'. Nous désignerons par Aoo l'espace des distributions T du type
exponentiel, c'est-à-dire, tels que
où k = 0,1, .... , t E(Sb' et nous le considérons muni de la topologie de la
limite inductive des espaces images de l'espace normé (Sb par ces applications
f -+ T. On voit aussitôt que A+ oo et A-oc sont des sous-espaces fermés de
Aoo et que tout élément T de Aoc est de la forme T = T+ - T - , avec T+EA+ oo ,
T - E A-oc, ces termes T+ et T- étant déterminés à une même combinaison
linéaire de dérivées de b près.
Il est aisé de voir que Aoo est un espace du type (e 2), ainsi que ces sousespaces A +oo , A-oo.
Il est encore évident que
Proposition 8.1. L'espace e' des distributions tempérées est un sous-espace
ver;toriel de Aoo et l'injection canonique e' -+ Aoo est continue.
Enfin, il est aisé de voir que la formule intégrale de DIRAC subsiste pour
l'espace Aoc (donc aussi pour A+ oo et A-oo), c'est-à-dire, on a
T = f b{x - u) Tudu,
pour tout TE Aoo,
R
par rapport à la topologie de cet espace. Et puisque b (x - u) Ee' pour tout
u ER, il en résulte que
Proposition 8.2. L'espace e'est dense dans Aoc.
Cela posé, nous désignerons par 2!~+, 2!~- et Q{~ respectivement, les images
de 2!~, 2!;;; et 2!(1l par le changement de variable z -+ - iz. Donc, les éléments de
QI:,,' (resp. Q{~-) sont les fonctions f(J (z) chacune étant holomorphe et à croissance
lente dans un demi-plan supérieur 5z > rx (resp. inférieur 5z< rx), deuxtellesfonctions étant identifiées si, et seulement si, elles coïncident dans un de ces demiplans; et les éléments de2!~ =2!t+ X 2!~- sont représentés, de façon analogue, par les
70
J.
SEBASTIAO E SILVA:
fonctions 9/(z), holomorphes et à croissance lente dans des ensembles 18z1 > rJ.,
complémentaires des bandes horizontales symétriques.
Or la transformation 5' se prolonge (univoquement) en une application
linéaire continue de A"oo sur Qt~+ (resp. de A-oo sur Qtt-). Cette application,
que nous désignerons encore par 5', est évidemment le produit de ~ par la
rotation z ~ - iz.
Observons maintenant que Aoc est isomorphe au quotient de A +oc X A-oo
par l'espace des combinaisons linéaires de dérivées de <5, et que les images
de FOURIER de ces combinaisons linéaires sont les polynômes. Soit alors T
un élément quelconque de A oc ; si l'on pose
T
=
T +- T - ,
avec T+ E A +oc , T- E A-co ,
et
9/+ =
5' T +,
9/- =
5' T - ,
on a (9/+,9/-) EQt~, mais ces deux fonctions sont déterminées, à partir de T,
à un même polynôme près. Rappelons d'ailleurs que le couple (rp+, rp- ) peut
être identifié à une fonction unique, définie et holomorphe dans le complémentaire
d'une bande horizontale 18 zl ~ IX. Donc, si l'on désigne par Il l'espace des
polynômes, on trouve le résultat suivant
Théorème 8.1. La transformation 5': e' ~ e' se prolonge univoquement
en une application linéaire continue de Aoc sur l'espace quotient de Qt~ par Il.
Dans cet énoncé, on considère, évidemment, chaque distribution tempérée
S = 5'(T) (avec TEe') identifiée à l'élément de QtL/ii représenté par le couple
de fonctions analytiques de z
J ei z 'V Tt dy, J e izy Tïi dy, définies resp . pour 8 z > 0, 8 z < O.
R
R
Il est alors naturel d'appeler transformation de FOURIER relative à Aco
ce prolongement unique de 5' dont il est question dans le th. 8.1. et de le
désigner encore par 5'.
D'autre part, nous poserons
U = Qt~/Il
et nous appellerons uUra-distributions tempérées sur R les éléments de U. Cette
dénomination est, en partie, justifiée par le théorème suivant:
Théorème 8.2. L'espace e' des distributions tempérées s'identifie à un
sous-espace vectoriel dense de U et l'injection canonique e' ~ U est continue.
Ce théorème est une conséquence immédiate du th. 8.1 et des propositions
8.1. et 8.2.
D'ailleurs il résulte du th. 8.1 que Il est un sous-espace fermé de Qt~ ct
que U est un espace (e 2), puisqu'il en est de même de Aoo.
Nous désignerons par" l'application canonique de Qt~ sur U. Donc, si
9/ E Qt~, on a
" 9/ = 9/ + Il.
Exemples. - Dans e' on a tr-l~ = 1/(2 n). Or on a la décomposition
111
2,ï"= 2n H-2;ï(H-I),
71
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
où H est la fonction de HEAVISIDE, donc HE A +co et H - 1 E A-co. D'ailleurs,
il est aisé de voir que 5= H, comme élément de QI~+ , s'identifie à la fonction
- l j(iz), i:1z > 0, tandis que 5=(H -1), comme élément de QIt-, s'identifie à
- 1j(iz), i:1z < O. Il en découle que
Plus généralement, on voit que
tJ(:ê -h) = -2
(8.2)
1
:Il
.
~
x h 1 ~,
pour tout h ER.
- z
D'autre part, il est aisé de voir que, si l'on pose
log* z
=
log
Izl + 2n i
arg z,
avec
- n < arg z < n,
on a
1
H = - -2 . xlog* (-z),
(8.3)
:Il~
ce que, d'ailleurs, on vérifie directement à l'aide des considérations que l'on
développera plus loin (prop. 10.1).
9. Décomposition canonique des éléments de U
Observons que les correspondances
avec cp! E QI~+ et CP2 EQI~-, définissent des isomorphismes entre ces deux espaces
et deux sous-espaces fermés de QI~ = QI~+ X QI~-, qui sont, à leur tour, isomorphes à deux sous-espaces de U, les intersections de ces sous-espaces avecii
se réduisant à l'origine. Or il sera commode d'identifier par la suite chaque
fonction cp! EQlt+- à l'élément x( cp!, 0) de U et chaque fonction CP2 EQI;;; à l'élément
x(O,- CP2) de U, ce qui rend cohérentes les formules qui sont à la base de notre
construction:
D'ailleurs, nous avons vu que, pour tout élément l/> de U, il existe une
distribution T E Aco telle que l/> = 5= T, et cela veut dire que, si l'on pose
T = T+- T- avec T+ E A+ co , T- E A-co, et
cP+ =
5= T +,
cP-= 5= T-,
f]> est représenté par le couple (cp+, cp-), c'est-à-dire, l/> = x (cp+, cp-). Alors,
puisque nous identifions cP+ à x (cp+, 0) et cp- à x (0, - cp-), on pourra écrire
l/>
=
x(cp+, 0) -x(O, - cp-) = cp+- cp-
ce qui est d'accord avec le th. 4.1, lorsque l/> EQlw(R) (dans ce cas particulier,
cp+- cp- est bien la différence des deux fonctions au sens usuel). Donc:
Théorème 9.1 Tout élément l/> de U est représentable sous la forme l/> = cp+- cp-, avec cp+ EQI~+, cp- EQI~-, où les fonctions cp+ et cp- sont déterminées à
Un même polyn6me arbitraire près.
72
J.
SEBASTIAO E SILVA:
On pourra donc écrire indifféremment
et on dira que q;+ et q;- sont deux composantes associées de
supérieure et inférieure.
([J,
respectivement
10. Approximations frontières des distributions tempérées
Soit S une distribution tempérée. Alors, si l'on a T = fr-1S, T = T+ - T-,
T+ E A+ oo , T - E A-oo, les distributions T +, T - , et par suite leurs composantes
S+ fr T+, S- = fr T- seront aussi des distributions tempérées. Donc:
Proposition 10.1. Les compo8antes associées, S + et S - , d'une distribution
tempérée, S, sont toujours des distributions tempérées.
Considérons, par exemple, le cas très simple de la fonction de HEAVISIDE.
Nous avons vu (formule 8.8) que l'on a H = - (2n i)- l;l( log* (- z). Donc,
H aura pour composantes associées les deux fonctions suivantes, localement
sommables sur R:
=:
- -21.- 10gIXI
H+(x) = : n t
j
+~
2'
1
pour x < 0
- "2nTlog Ixl,
H-(x)
=
- 2~
j
i log Ixl -
1
pour x > 0
!'
pour x > 0
pour x < 0 .
- -2:nl,- log Ixl,
On a donc bien H = H +- H-.
La prop. 10.1 s'étend à plusieurs autres sous-espaces de li. Mais on peut
encore l'améliorer, en utilisant la définition et le lemme suivants:
Definition 10.1. Soient S += fr T+ et S- = fr T- deux composantes associées
d'une distribution tempérée, S. Pour tout ë > 0, nous appellerons approximation frontière (ë) de S + (resp. S--) la fonction de x ainsi définie
S:(x)
=
J ei(x+ei)u
T~
du
R
resp.
S;(x)
=
J ei(X-ei)U
T~du
R
(les approximations frontières jouent ici le rôle des «approximations concentriques» de M. KOTHE dans sa théorie des Randverteilungen).
Lemme - Soient f+ et f- deux compo8antes as8ociée8 d'une fonction f, continûment différentiable jU8qu'à un ordre k ;;;; 2 8ur R et telle8 que x t(V) (x) soit
80mmable sur R, pour tout 'JI = l, ... , k. Alors t+ et t- sont de8 fonctions k - 2
foi8 continûment différentiables et on a
lim Dv
0-+0
r
<
(x)
limDVr;(x)
<-+0
= Dv f+ (X)!
= Dvt-(x)
uniformément sur R,
pour'JI=O, ... ,k-2.
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
73
En effet, d'après l'hypotèse, la fonction F = fJ-1(f) admet dérivée continue
sur R telle que Xk F' (x) est bornée sur R. Alors les fonctions de z
+00
zD" fI (z) = _ iV+ 1
J
-
zD" f2(z) = - iV+ 1
eizu
UV
eizu
UV F'
F' (u) du ,
o
J
00
(u) du
o
pour v = l, ... , k - 2, sont continues et bornées sur les demi-plans fermés
B" z ~ 0 et 8" z ~ 0, respectivement, et telles que fI' f2 forment un couple composantes associées de f. Il en découle que D"f1(z), D f2(Z) se prolongent comme
fonctions continues s'annulant au point =(y=l, ... ,k-l). Cela permet
d'arriver aussitôt à la thèse.
Il est maintenant facile d'établir le résultat suivant:
Théorème 10.1. Soit E un des espaces €l', €l,OM' Oc. 6 ). Soient d'autre
part 1> un élément quelconque de E et (cp+, cp-) un couple de composantes associées
de f/J. Alors les approximations frontières CP: et cp-; de ces composantes convergent
resp. vers cp+ et cp-, au sens de la topologie de E, lorsque ê. -+ O.
Ce théorème s'étend aussi au cas où E = <rw (R). Il suffit d'utiliser le th. 4.1
et la déf. 10.1 en tenant compte de la topologie de <rw(R).
Enfin, une méthode semblable permet d'étendre ce résultat au cas où
(/J E LP(1 ~ P < =) et au cas où 1> appartient à l'espace des fonctions localement sommables et tempérées.
V
11. Représentation intégrale des éléments de U
de
Rappelons que, pour toute distribution tempérée T, la transformation
est donnée par la formule:
fJ
FOURIER
+00
(11.1 )
fJ T = J ei iu Tu du
-
00
où l'intégrale, initialement définie pour le cas où T est, par exemple, une
fOIl ction sommable, a été prolongée par continuité à tout TEe'. Mais €l'
est dense dans Aoo et nous avons déjà vu que fJ est prolongeable en une application linéaire continue de Aoo sur U (th. 8.1). Nous pouvons donc étendre
la formule (1l.1) au cas où T est une distribution du type exponentiel queleonque. Donc:
Proposition 11.1. Tout élément 1> de U est représentable sous la forme
+00
J
1> --
ei iu T u du
00
où la distribution TE Aoo est univoquement déterminé par 1> et où l'intégrale
(par rapport à T) est définie par prolongement continu à AocCette représentation intégrale des éléments de U est analogue à la représen~tion des fonctions analytiques sur le cercle par des séries de LAURENT, qui
i) Cf [5J. t. II, p. 89-100.
74
J.
SEBASTIAO E SILVA:
jouent également un rôle essentiel dans la théorie des Randverteilungen de
M. KOTHE. Posons de nouveau
= T+ - T - , avec T + E .1+ T -E .1-
T
00 ,
00 •
Nous appellerons ordonnée de convergence de l'intégrale
+00
f
o
eizu
T u+ du ,
f
resp.
-
o
ei z u T;; du
00
la borne inférieure, at+ (resp. supérieure, at-) des valeurs de iJ z pour lesquelles
cette intégrale, dépendante du nombre complexe z et définie par prolongement
continu à .1+ 00 (resp . .1- est convergente. It est aisé de voir que ces deux
nombres réels 1:(+ et 1:(- sont univoquement déterminées par T [donc par
if> = 3'-1 (T)). Nous distinguerons les cas suivants:
1 r cas. at+ < 0 < 1:(-. Les ultra-distributions vérifiant cette condition
sont les fonctions holomorphes à croissance lente sur R, c'est-à-dire, les éléments
de Q{w (R). Dans ce cas, l'intégrale de FOURIER converge sur R au sens usuel,
même au sens de la topologie de Q{w(R).
2<% cas. 1:(+;:;:;; 0 ;:;:;; 1:(-. Il est aisé de voir que les ultra-distributions vérifiant
cette condition sont celles déterminées par les fonctions holomorphes dans
CR et à croissance lente dans les complémentaires, Hk' des bandes liJzl < 1Jk,
k = 1,2, .. . .
Elles forment donc un espace vectoriel algébriquement isomorphe à l'inter·
section des espaces
k = 1,2, ....
(0 )
Nous lui donnerons la topologie de la limite projective de ces espaces du
type (e 2 ) . Nous désignerons par Ut l'espace ainsi obtenu et nous dirons que
tout élément if> de Ut est l'uUra-di8tribution de frontière de tout couple de
composantes associées de if> (considérées comme fonctions analytiques dans
les demi-plans ouverts iJz > -0, iJz < 0). La déf. JO.1 et le th. JO.1 s'étendent
immédiatement aux éléments de Ut. D'autre part, il est bien aisé de voir
que l'intégrale de FOURIER d'un élément if> de Ut converge vers if> au sens
de la topologie de Ut. Il est d'ailleurs facile de déterminer l'espace vectoriel
topologique ir- 1 (Ut)) €l': il est constitué par les distributions T à croissance
sous-exponentielle, c'est-à-dire dont le quotient par e(l+e) Ia:1 est borné pmlr tout
e > o. On voit alors que l'injection canonique €l' -+ Ut (de même que l'injection
Ut -+ U) est continhe, mais non pas bicontinue. Enfin, il est classique que,
si cp E IJ (R), la valeur principale de CAUCHY de l'intégrale de FOURIER qui
représente cp est égale à 1/2 [if>(x+) - if> (x-)] en tout point x où les limites
latérales if>(x+) et if>(x-) existent.
3' cas. (x.-< 0 ou at+ > O. Alors il s'agit de ultra-distributions tempérées
qui n'appartiennent pas à Ut; dans ce cas on ne peut plus parler de «approxi·
mations frontières».
En sortant du cadre des ultra-distributions (tempérées), on pourrait
encore envisager le cas où l'on a au moins 1:(- = - 00 ou at+ = + 00. Alors
75
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
on n'aurait plus de représentation directe au moyen de couples de fonctions
holomorphes. C'est ce qu'il arrive, en général, pour les éléments de l'espace D'
de EHRENPREIS [2].
12. Caractérisation des distributions tempérées dans U,
Soit S une distribution tempérée sur R et soient S+ et S- deux composantes
associées de S. Alors on a aussi S+ EE)', S-E E)' (prop. 10.1) et il sera donc
possible de choisir un entier k et deux fonctions Il' 12 deux fois continûment
dérivables sur R, telles que
S+= Dk(1 + x2)k/l' S- = Dk(1 + X2)kI2'
2
avec x ft<vl(x) et x 2/2<Vl(x) bornées sur R (v = 0,1,2). Dans ces conditions,
il est aisé de voir (cf. lemme du nO. 10) que, si l'on pose FI = 'iY- lfl> Fz='iY- 1 /2
les fonctions de z,
fl(z) =
J eiZUF1(u) du,
12(z) =
R
J ei ZUF 2(u) du
R
définies dans les demi-plans 6z ;:;;; 0 et 6z ;:;; 0, respectivement, sont continues
et telles que z 11 (z), Z f 2 (z) y sont bornées. Alors on aura, au sens usuel
f
+00
+ 00
fl(z) = -2 1 --;-:1tt
-
f 2 (z)
Il(U)
- du,
z- u
rpl(Z) = Dk(1
2:1tt
00
pour 6z > 0, 6z < 0, respectivement.
fonctions de z
+ Z2)kf~k)(z),
f
= _ 1_ .
- 00
~0!l
du
z-u
Il est d'ailleurs évident que les
rp2(Z) = Dk(1
+ z2)knkl(z)
s'identifient aux composantes S+ et S-, respectivement. Or les intégrales
de CAUCHY de Il et 12 donnent pour 6z > 0 et 6z < 0, respectivement:
111(v) ( z)1 < 18Mv
zI +l '
11(")(
)1
Mv
'2 z < i8 zlV-iT
V
v = O. 1, ... , k
où les Mv sont des constantes. Il en resulte que rpl et rp2 vérifient les conditions
1rpd z )1 <
+ Izl')k
18 zlk+l ,1 rp2(z)1 <
L(l
+ Izl')k
ISzlk+l
L(l
(L,. constante)
ce que nous exprimerons en disant que rpl et rpz sont à croissance lente dans
le8 demi-plans ouverts 6z > 0 et 6z < 0, respectivement (vers 00 et vers l'axe
réel) .
Réciproquement, supposons que les composantes associées, rpl et rp2'
d'une ultra-distribution rp E U, vérifient ces conditions. Alors si l'on pose
en général, dans un voisinage V de a E C:
z
Pa rp(z)
= J rp().) d)'
a
pour toute fonction rp holomorphe dans V, et encore
F1(z)
=
p:+ 2 rpl(Z) , F 2(z) = P~121P2(Z) ,
J.
76
SEBASTIAO E SILVA:
on voit aisément, par un raisonnement semblable à celui de M.
[4], p. 28-29, que
lim F 2 (x + iy)
lim Fdx + iy) ,
KOTHE
dans
1/-+0-
11-+0+
existent pour tout x ER et définissent deux fonctions continues à croissance
lente sur R. Donc, les dérivées Dk+ 2 de ces fonctions sont des distributions
tempérées que l'on identifie aussitôt aux composantes (jJl et (jJ2 de CP.
En conclusion:
Théorème 12.1. Pour que deux fonctions (jJl(Z), (jJ2(Z), holomorphes respectivement dans les demi-plans ouverts tJ Z > et tJ z < 0, soient des composantes
associées d'une distribution tempérée S, il faut et il suffit que ces fonctions soient à
croissance lente dans ces demi-plans (vers 00 et vers l'axe réel).
Remarque. Il est encore aisé de voir que, dans ces conditions, pour que S
soit une distribution réelle, il faut et il suttit que (jJ2(ï) = - (jJl (z), pour tout z
tel que tJz > o.
°
13. Applications linéaires continues de II dans un espace localement convexe
Puisque II est le quotient de Ql~ par II, une application linéaire continue F
de Ql~ dans un espace localement convexe E détermine une application
linéaire continue F de II dans E (de façon que F =Fx), si, et seulement si,
l'image de tout polynôme par F est l'élément nul de E. D'autre part, si E
est complet pour les suites, on voit sans peine (voir nO. 5) que les applications
linéaires continues de Ql~ dans E sont en correspondance biunivoque avec les
fonctions entières, f(À), à valeurs dans E et à décroissance presque rapide
dans les bandes horizontales ItJzl < k, la correspondance étant établie par
les formules
F(jJ
= 2~i
f
Ll
f(À) (jJ(À)dÀ,
k
où LI k est la frontière d'une telle bande, dépendante de (jJ E ll, orientée de
façon à laisser à droite l'axe réel. Il reste à caractériser l'indicatrice de façon
que l'image de tout polynôme par F soit l'élément nul de E.
A cet effet, observons que, comme F = Fu, on a
D'autre part on a, pour tout À E C et tout k
=
1,2,3 .. . ,
U(-X~Z)=U(T~Z-V~l Z~:l)
et puisque, sur les bandes horizontales, on a
1
lim Àk ( _ ). - z
'<-+00
îV-1) =
k
"\' - ":").v
v= 1
°
au sens de la topologie de Ql~, on en déduit que la fonction 1 (À) à valeurs dans E
77
Ultra-distributions dana le calcul opérationnel
doit être à décroissance rapide sur les bandes horizontales (pour que F soit une
application linéaire continue de li dans E). En conclusion:
Théorème 13. 1. Il existe une correspondance biunivoque F ~ f entre les
applications linéaires continues F de li dans E et les fonctions entières f(A)
à valeurs dans E qui sont à décroissance rapide sur les bandes horizontales. Cette
correspondance est définie par les formules réciproques
f(A)
= FX(A - Z)-1 pour tout A E C
J
1
FW=2:ni
(13.1)
J
1
f(Â)W(A)dÂ=2:ni
d
f(Â)q;>(Â)dÂ
d
k
k
pour tout W E li, où q;> est telle que W = x q;> et où LI k est la frontière d'une bande
horizontale dépendante de q;>, orientée de faç.on à laisser à droite l'axe réel.
Il en résulte, en particulier, que:
- le dual fort de li est l'espace des fonctions entières à décroissance rapide
sur les bandes horizontales (muni d'une topologie que l'on explicite aisément).
Et, puisque li est réflexif [étant du type (6 2)], on pourrait définir li
comme le dual fort du susdit espace de fonctions entières, qui est, manifestement, un sous-espace de 6, muni d'une topologie plus fine que celle
induite par 6.
Mais, à côté de la formule d'intégration complexe (13. 1), on peut établir une
formule d'intégration réelle, en raisonnant de la façon suivante:
Pour toute distribution tempérée S, on a la formule de DIRAC
+ 00
(13.1)
S
=
J
b(x - t) Stdu,
- 00
rapportée à la topologie de 6' . Puisque 6' est dense dans U et qu'il s'agit là
de l'application identique 6' --+ 6', évidemment continue pour la topologie
induite sur 6' par li, il en découle que la formule de DIRAC est prolongeable à li.
Nous avons déjà vu [formule (8.2)] que, pour chaque tER, la distribution
b (x - t), comme élément de U, est déterminée par la fonction [2:Tt i (t - Z)]-1
de z, définie dans CR. La formule de DIRAC pourra donc s'écrire aussi
J
+00
(13.2)
W=
1'
-2
:n~
-
Par conséquent toute application
que l'on déduit de (13.2):
_
00
F
de U dans E aura encore l'expression,
+ 00.
f r(t) CPtdt ,
F W=
(13.3)
1 ' W dt.
" -t --z
t
-
00
où l'intégrale est définie par prolongement continu à U et où la fonction i (t)
est définie sur R par
.
-
I(t) =F b(x-t)
1-
=
1
2ni F" t-z
=
11
2ni F -i=i:
=
1
2:ni f(t).
78
J.
SEBASTIAO E SILVA:
Donc, (13.3) est la formule d'intégration réelle que nous cherchions. Dans
cette formule, la deuxième indicatrice, f(t), de F, n'est que la restriction à R
de la première indicatrice, f (À), divisée par 2 ;Tt i. En outre, l'ultra-distribution
f/J est à envisager ici comme limite de distributions tempérées au sens de la
topologie induite par lt dans €l' (forme réelle de f/J), plutôt que comme classe de
fonctions analytiques (forme complexe de f/J).
Nous allons étudier plusieurs exemples importants des opérateurs linéaires
continus définis dans lt.
14. La dérivation
L'opérateur de dérivation D défini dans €l' a pour indicatrice la fonction
b' (x - t) de t. Or on a
j"(A)
u x -t =
d uS(A)
d
-a:e
x-t = -a:e x
1
t-z
=-x
1
(t-Z)2
-z
puisque x est une application continue de QI~ dans lt. D'autre part, - (t
)-2
est l'indicatrice de l'opérateur de dérivation D défini dans QI~, lequel transforme
polynômes en polynômes. Il s'ensuit que:
Théorème 14.1. L'opérateur de dérivation défini dans €l' se prolonge (univoquement) en une application linéaire continue D : lt ~ lt définie par
D f/J = -
J
x -( -~ f/J t dt,
pour tout f/J EU.
t- z)'
R
Cette application vérifie donc la condition
D x rp = x Drp ,
pour toute
rp E QI~ ,
c'est-à-dire: la dérivation danslt se traduit par la dérivation usuelle dans l'espace
fonctionnel analytique QI~.
Par exemple, de la formule (8.2), on déduit
b(n)
(x - h)
=~
x_
_1_ _
21tl
(h-z)n+l'
pour n -- 1, 2
...
Théorème 14.2. Pour toute uUra-distribution f/J E lt, il existe une autre
"'P E lt, telle que f/J = D"'P. En outre, l'égalité D"'PI = D"'P2 entraîne que "'Pl -"'P2
est une fonction constante sur R.
Pour la démonstration, remarquons que, si rp+ et rp- sont deux composantes
associées de f/J, il existe toujours deux primitives VJ+ et VJ-, au sens usuel, de
ces fonctions holomorphes, et toute primitive de (rp+, rp-) est de la forme
(VJ+ + 0 1 , VJ-+ O2 ), où 0 1 , O2 sont des constantes arbitraires. Or tout élément
de QI!., du type (01 , O2 ) définit, précisément, la fonction 0 1 - O2 , constante sur R.
15. Le produit multiplicatif
Soit oc un élément de OM' c'est-à-dire, une fonction indéfiniment dérivable
à croissance lente sur R (cf. [5], th. 2, p. 99-100). Alors on définit le produit
oc S de oc par une distribution tempérée S quelconque et on voit que S -)- oc S
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
79
est une application linéaire continue de ES' dans ES', dont l'indicatrice (réelle)
est la fonction de t
1
nt
oc(x)b(x-t) = oc(t)b(x-t) = -2 . x cx(t~.
t- z
Maintenant, on voit sans peine que
Proposition 15.1. Pour que l'application S -+ oc S soit prolongeable en une
application linéaire continue de lt dans lt, il suffit que oc (x) soit prolongeable à C
comme fonction entière à croissance lente sur les bande8 horizontales').
L'image de chaque ultra-distribution (/J E lt, par cette application, sera
dite encore le produit (multiplicatif) de oc par (/J et représentée par oc (/J. On
aura donc
J t-z
+ 00
oc (/J = -1-.
2nt
-
=X _ l _.
2nt
cx(t)
- . (/Jt dt
J
00
oc(Â)
'P~Â) d)'
À-z
(16zl > le)
dk
où rp est un élément de 2{~ tel que (/J = x fP et LI" la frontière, dûment orientée
d'une bande l'i)).1 ~ le dépendante de rp.
Nous désignerons par mlu l'espace localement convexe des fonctions
entières oc à croissance lente sur les bandes horizontales, considéré comme
limite projective des espaces 2{w(Bk) où Bk est la bande 16 zl ~ le.
Il est aisé de voir que toutes les propriétés usuelles de la multiplication d'une
fon ction par une distribution, et, en particulier, la règle de la dérivation du
produit, sont conservées dans cette généralisation.
S i oc est à croissance lente dans tout le plan C, alors on aura, évidemment
oc (/J = x(oc (/J) ,
c'est-à-dire
oc(x fP) = x (oc rp).
Mais les seules fonctions entières à croissance lente dans tout le plan
sont les fonctions polynômiales. Donc,seulement dans le cas où rxEII, le produit
rx cp se traduit par le produit usuel dans 2{~. En particulier on a
16. Les translations
Dans ES' on définit, pour tout h réel, un opérateur de translation Th E L(e'),
dont l'indicatrice est
b(x-t-h)=
2~i x t+~-z
Maintenant on peut, plus généralement, définir pour tout h complexe un
opérateur de translation ThE L(lt), qui prolonge l'opérateur précédent dans
') Nous croyons que cette condition est aussi nécessaire.
80
J.
SEBASTIAO E SILVA:
le cas où h est réel. Son indicatrice complexe sera, évidemment, la fonction de J.
1
1
2ni" Â+h- z
et on voit aussitôt que
fP =" Th fP
Il devient alors naturel d'écrire
Th"
rh <P
= " fP(z -
= <P(z -
h),
pour tout fP E li .
h)
et, en particulier Th () = () (z - h), comme dans le cas réel.
Remarque. Pour qu'une distribution tempérée S reste encore dans 6 '
après une translation imaginaire, il faut, évidemment, que S EQ{w (R).
17. La convolution
On sait que toute application linéaire continue de l'espace 6' dans lui·
même, permutant avec la dérivation (ou , ce qui revient au même, avec les
translations), est de la forme
T(S)
=
J T(x- t) S{t) dt,
R
où T est une distribution à décroissance rapide (T EOc); et réciproquement.
On écrit alors
T(S) = T
*S
et on dit que T * S est la convolution (ou le produit de composition) de T par S.
Maintenant, il est aisé de voir que
Théorème 17.1. Il existe une correspondance biunivoque e _ e, entre
les applications è E L(U) qui permutent avec la dérivation (i.e. avec les trans·
lations) et les ultra-distributions
= x8, où 8 est une fonction holomorphe à
décroissance presque rapidé dans, au moins, le complémentaire d'une bande
15 zl ~ k. Oette correspondance est donnée par la formule d'intégration réelle.
e
e(<p) =
J
e(z - t) <Ptdt,
R
ou par la correspondante formule d'intégration complexe:
8(<P)
=" J 8(z -
À) fP(À) d). ,
.j~
où " fP = <P et où LI k est la frontière, dûment orientée, d'une bande horizontale
dépendante Ik f/J.
Nous écrirons encore
e.
e
et nous dirons que
f/J est la convolution de par <P.
D'autre part, nous désignerons par (tu l'espace de ces ultra-distributions e,
que nous dirons à décroi88ance rapilk. L'espace vectoriel(tl1 est donc isomorphe
à un sous-espace de L(U). Nous pouvons rendre cet isomorphisme topologique,
81
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
par rapport à la topologie de Lb(U), en donnant à <ru une topologie de limite
projective d'espaces (0 2), qu'il est facile d'expliciter, comme celle de ~.
Observons encore que, dans ces conditions, le dual de <ru est précisément
isomorphe (algébriquement) à l'espace mlu des fonctions entières à croissance
lente sur les horizontales.
18. La transformation de
La transformation de
FOURIER ~:
~S =
FOURIER
0' ---+ 0' définie par
J eixtS(t) dt
R
est prolongeable en une application linéaire continue ~ : U---+ A"", d'après la
formule généralisée
~ ifJ = J eixtifJtdt = J eiX )' rp(l) dl,
R
Ll k
où rp est un élément de Q{~ tel que ifJ = x rp et où Ll k est la frontière, dûment,
orientée, d'une bande 16 li ~ k dépendante de rp. Cela résulte du fait que
la fonction de l à valeurs dans A"", eii ). (indicatrice de ~) est entière et à
décroissance rapide sur les horizontales.
En tenant compte de ce que l'on a dit au nO. 8, on voit aisémment que
cette transformation est inversible et que son inverse est donnée par
~-l(T) =
f .-
1
2n.
e- u
t
Tt d t,
pour TE A",,_
R
Cette application ~ -1 coïncide donc avec le produit de la transformation
de FOURIER ~ : A",,---+ U, par (2 n)-1 et par la symétrie z ---+ - z.
On établit encore, sans difficulté, que
~(D
~(ex
~ (z ifJ)
ifJ) = - ix(~ ifJ),
ifJ) =~(ex) .~(ifJ),
~(e.
= - iD(~ ifJ)
ifJ) =~(e)~(ifJ),
e
pour toute ifJ E U, toute ex E mlu et toute
E<ruL'espace image de mlu par ~ est constitué par les distributions T à décroissance sous-exponentielle, c'est-à-dire, telles que le produit ek1zl T est borné
pour tout le; la convolution T * S (avec SE Aoo et T à décroissance sousexponentielle) est encore définie par la formule
f
T(x - t) Stdt .
R
L'espace image de <ru par ~ est formé par les fonctions indéfiniment
dérivables rp du type exponentiel, c'est-à-dire, telles que, pour tout i il existe le
vérifiant
lim [e-k lzl rp(i)(x)] = O.
z~oo
19. La transformation de
STIELTJES
La nouvelle forme de la formule de DIRAC
1f I l f
ifJ = - 2
n.'
X -" •
t-z
1.\
Math. Ann. 130
ifJtdt
= -n.
2. X
!p().)
~
d ,
I\-Z
avec x rp
= ifJ ,
.11
6
82
J.
SEBASTIÀO E SILVA:
met en évidence les liens profonds, que nous avons déjà signalé dans [9],
entre la formule de DIRAC et celle de CAUCHY. Dans le cas où 8 est une
distribution tempérée, elle permet de passer de la «représentation réelle ))
de 8 à sa «représentation complexe»; de ce point de vue, elle définit la transformation de STIELTJES (voir [14], ch. VIII) généralisée aux distributions
tempérée8, 80U8 une forme légèrement modifiée, qui rappelle la transformation
de HILBERT.
Soit en effet 8 E €i'. Alors on peut choisir un entier k et une fonction f
continue, de façon que xf(x) soit bornée sur R et que
8 = DIc(l
et la formule
f
1'
8= -2nt
+ x2 )lcf
1 -.
x --~
8,dt,
t-z
R
peut maintenant s'écrire (voir nO. 14 et 15)
- Dk
8 -x
z
(1 +Z2)k
2
nt'
jJJ!L d t
t-z
U
où la dernière intégrale converge au sens usuel pour tout z 4 R.
On obtient donc ainsi deux composantes associées de 8. Observons encore
que, dans cette déduction, il suffit de supposer que f est une fonction localement
sommable telle que l'intégrale
f JJ!L
u
t -z
dt '
pour tout z ER,
existe au sens de LEBESGUE. Si en outre j(t) est nulle pour t < 0 et que, dans
cette intégrale, on substitue -z à z, on retrouve la forme usuelle de la transformation de STIELTJES.
La transformation de STIELTJES, telle que nous la considérons, généralisée
à U, coïncide, évidemment, 'avec l'application identique, donc avec fr-1fr8).
Cette remarque triviale permet de retrouver plusieurs propriétés classiques
de la transformation de STIELTJES, à partir de celles de fr.
20. La localisation
Soit 8 une distribution tempérée et supposons que 8 est nulle dans un
ouvert A de R. Alors, on voit aussitôt que toute fonction de z de l'ensemble
1
-2nt
'
f
x -tS(t)
~ dt
-z
(intégrale prise dans €i')
R
qui définit 8 comme élément de U, est prolongeable comme fonction holomorphe à croissance lente aux points de A. Cela nous invite à poser les
définitions suivantes:
8) Plus précisément, on pourra dire que la transformation de STIELTJES fait passer
de la. «forme réelle» de chaque (/) EU (comme limite de distributions tempérées) à sa
«forme complexe»,
83
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
Définition 20.1. Nous dirons qu'une ultradistribution 1> = ~ cp, avec
EQ(~, est nulle dans un ouvert A de R, si la fonction g; est prolongeable
comme fonction holomorphe, à croissance lente vers l' 00 (si A n'est pas borné),
à une bande ou demi-plan vertical ct. < ~z < {J, contenant A (en particulier
on peut avoir ct. = - 00 ou ct. = + (0).
Définition 20.2. Nous dirons que deux éléments 1>, P de U sont égaux
dans un ouvert A de R et nous écrirons
qJ
1> = P
dans A,
si 1> - P est nulle dans A.
La réunion de tous les ouverts de R, où une ultra-distribution 1> est nulle,
est, évidemment, encore un ouvert où 1> est nulle.
Définition 20.3. On appelle support d 'une ultra-distribution 1> le complémentaire de la réunion des ouverts de R où 1> est nulle.
Ces notions permettent d'étudier une ultra-distribution 1> localement.
Supposons, par exemple, que 1> est égale à une fonction f à variation bornée
dans un voisinage ouvert d'un point x de R, où f admet limites latérales, et
soient cp+ et cp- deux composantes associées de <P. Alors on a, d'après la
théorie classique
lim [g;+ (x
+
ic) - g;- (x - ie)]
= -}
[f(x
+)+
f(x - )]
....... 0
Il est évident que le support d 'une ultra-distribution tempérée ~ cp contient
l'intersection de R avec l'ensemble des singularités de g;. Mais, en général,
il ne coïncide pas avec cette intersection: il suffit de considérer l'exemple
H = - (2 n il-lX log*(- z).
21. Les ultra-distributions à support compact et les opérateurs
différentiels d'ordre infini
Nous désignerons par U e l'espace vectoriel des ultra-distributions (tempérées) à support compact.
Théorème 21.1. L'espace U e• des ultra-distributions à support compact est
(algébriquement) isomorphe à l'espace Q{ (00), des germes de fonctions analytiques
nulles à l'infini.
Démonstration. Soit 1> = x g; une ultra-distribution tempérée à support
borné. Il en découle que g; est prolongeable à un ensemble du type Izl > k,
comme fonction, (j, holomorphe et telle que qi(Z)jzk soit bornée dans cet
ensemble. Alors, la fonction gi(ljz) de z est holomorphe dans l'ouvert 0 < Izl <
< I jk et telle que Zk+2 qi(l jz) se prolonge comme fonction ayant dérivée nulle
au point O. Cette dernière fonction de z est donc holomorphe dans le disque
Izl < Ijk et, par suite, qi (ljz) est de la forme qi (ljz) = -;Po (l/z) + P(l/z), où
gio(ljz) est une fonction de z holomorphe dans Izl < l/k et P(z) un polynôme.
Mais cela veut dire que qio(z) est holomorphe et nulle au point 00 (adjoint à C)
et que 1> = x CPo' où CPo est la restriction de qio au domaine de cp. D'ailleurs,
on voit aussitôt que l'application 1>- qio de lle dans Qt(oo) est linéaire.
6*
J.
84
SEBASTIAO E SILVA:
Réciproquement, il est évident que, pour toute fonction ,poE 2!(00), il
existe un élément f/J de U c tel que f/J = x CPo' où CPo est une restriction de fPo
appartenant à 2!~, ce qui achève la démonstration.
Nous considérons l'espace U c muni de la topologie (strictement plus fine
que celle induite par U), qui rend topologique l'isomorphisme Uc~2!(oo),
par rapport à la topologie naturelle de 2!(00) (voir [3]).
Donc, tout élément f/J de U c est déterminé par une (et une seule) fonction
cp E2!(00) et nous poserons encore, pour commodité, f/J = x cp.
Soit maintenant E un espace localement convexe quelconque complet
pour les suites. Alors (cf. [8], p. 44-45) il existe une correspondance biunivoque
F ~'f entre les applications FE L(U c' E) et toutes les fonctions entières f(À)
à valeurs dans E, cette correspondance étant donnée par les formules
2~i
f
f(À) cp(À) dÀ,
r
où f/J = x cp EUc et où
e8t, par exemple, une circonférence contenue dans un
domaine d'lwlomorphie de cp et orientée de façon à laisser l' 00 à gauche.
Il en résulte une nouvelle expression pour les transformations déjà définies
dans U et maintenant restreintes à U c (comme celle de FOURIER, par exemple).
Observons encore que toute fonction entière est multipliable par toute ultradistribution à 8upport compact et que U c est une algèbre par rapport à la convolution.
Rappelons maintenant que toute fonction cp E2! (00) est représentable sous
la forme d'une série de puissances de l/z:
F(f/J)
=
r
00
cp(z)=1:
n=O
Z::l'
V~ borné.
avec
Alors, puisque l'on a
l5(n)
(-1)'·+1
n!
= - - -.- 7( - -
Z"+1 ,
2n~
n
=
0, l, ... ,
nous pouvons écrire
00
avec cn=(-1)n+12ni~,
n!
n=O,l, .. .
Par conséquent, le théorème 21.1 peut encore s'énoncer de la façon suivante:
Théorème 21.2. ~es ultra-distributions à support compact sont les éléments
00
de U représentables comme séries
1:
o
Cn l5<n) ,
de dérivées de 15, dont les coefficients,
en, vérifient la condition
hm V-id Icnl < + 00
.
n
Cet énoncé reste évidemment encore vrai si l'on remplace 15 par l'une
quelconque de 86S translatées, 6(x ~ h), hE C.
Il est encore évident que
85
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
00
La convolution d'une ultra-distribution à support compact,
e= E
o
Cn !5(n),
par une ultra-distribution cp quelconque est donnée par la formule
e * cp = { Cncp(n) = ( { CnDn) cp .
Donc:
SCHOLIE. Les uUra-distributions à support compact, considérées comme
opérateurs de convolution, s'identifient à certains opérateurs différentiels d'ordre
fini ou infini.
Ces opérateurs, on le sait, ne pouvaient pas être utilisés dans le cadre des
distributions, l'emploie de toute série infinie de puissances de D étant interdit,
hors de l'espace des fonctions indéfiniment dérivables.
22. L'espace des ultra-distributions tempérées de support limité à gauche
Nous désignerons par Ck(k = 1,2, ... ) l'ensemble des nombres complexes z
dont la distance au demi-axe positif, R +, est ~ k, c'est-à-dire, tels que
15z1 ~ k,
si ~z ~ 0 ,
Izl
~ k,
si ~z ~ 0
et parQ(~+ la limite inductive des espacesQ(w (C k ), avec sa topologie d'espace (e 2 ).
D'autre part, nous désignerons par U+ l'espace des ultra-distributions
tempérées dont le support est limité à gauche. II est aisé de voir que
Proposition 22.1. L'espace U+ est algébriquement isomorphe au quotient de Q(~ +
par l'espace II des polynômes.
Nous munirons U+ de la topologie (plus fine que celle induite par U) qui
rend topologique cet isomorphisme. Alors U+ sera, lui aussi, un espace (e 2 ).
Nous désignerons encore par x l'application canonique Q(~+ -+ U+. Par
des procédés semblables à ceux que nous avons emplôyé dans des cas analogues,
on démontre que
Théorème 22.1. L'espace L (U+, E) des applications linéaires continues de U+
dans un espace localement convexe E, complet pour les suites, est isomorphe à
l'espace des fonctions entières f(Â) à valeurs dans E, à décroissance rapide à
droite sur les bandes horizontales, c'est-à-dire telles que, pour tout k, Âkf(Â) -+ 0,
lorsque ~Â -+ + 00 sur ces bandes. L'isomorphisme naturel est donné par les
formules
FCP=
2~{ff(Â)rp(Â)dA.,
èk
f(Â)=F(Â-Z) - l,
pour
CP=xrp,
q:>EQ(~+,
pour ÂECR+,
où k dépend de cp et la frontière, Ok' de C k , est orientée de façon à laisser R+
à droite. (L'intégrale est évidemment définie par prolongement continu à U+).
Ainsi que pour U, la formule d'intégration complexe peut être remplacée
par une formule d'intégration réelle sur R. Mais on démontre que tout élément
de U+ est la limite d'une suite de fOndions tempérées, de support contenu dans
86
J.
SEBASTIÀO E SILVA:
un intervalle [a, + 00[, ce qui permet de ramener toujours l'intégration à un
tel intervalle.
L'espace des fonctions que l'on peut multiplier par n'importe quel élément
de U + est constitué par toutes les fonctions entières T{z) à croissance lente à
droite sur les bandes horizontales, c'est-à-dire, à croissance lente pour
~z -+ + 00, avec tJz borné.
A son tour, l'espace des opérateurs de convolution sur U + est constitué
par les éléments cp = " T de U tels que T est à décroissance rapide à gauche
sur un, au moins, des ensembles Ok' En particulier la convolution cp * lJI existe
pOli! tout couple CP, lJI d'éléments de U+.
Proposition 22.2. L'espace U+ est une algèbre par rapport à la convolution
(sans diviseurs de zéro).
23. La transformation de LAPLACE pour les éléments de U+
par
La transformation de LAPLACE dans U+ - que nous désignerons encore
~ - sera définie, au moins formellement, par
~
J e- ztCPt dt ,
cP =
pour tout cP E U + .
R
Il n'est pas difficile d'interpréter cette formule. Si l'on remplace z par la
variable réelle x, ~ coïncide avec la transformation de FOURIER, suivie du
changement de variable z -+ iz. Il sera donc plus commode de commencer
par étudier la restriction de 'J à U + :
'J cP =
(23.1 )
J ë xt CPt dt ,
pour cP E U+
It
et de caractériser le sous-espace 'J (U+) de A oc . Maintenant la forme complexe
de (23.1) peut s'écrire
'J cP =
J eiid T (,1.) d,1. ,
CJk
où T et k sont tels que cP =" T, T{Z) /Zk holomorphe bornée dans 0k-l (k
= 2,3, ... ). Alors, si l'on pose 1p(z) = T(Z) jZI<-t-2, on aura
'J cP = (_i)k +2 D! + 2 J eiXÀ 1p{,1.) d,1.
Ok
où Ok peut être remplacée par la réunion des demi-droites tlz
et du segment ~z = - k, ItJzl ~ k. On aura donc
Je
iZÀ
Ük
J
-k
± k, ~z
~
- k
+00
1p{t..)d,1.=
J
eiZ (u +ik)1p(u + ik)du +
-k
+ 00
+
=
k
eiZ (" - ik)1p(u-ik)du + i
Je iZ (lV-k)1p(iv-k)dv
-k
pour toute valeur de z qui rende convergentes les trois intégrales du deuxième
membre. Or, en tenant compte de ce que la fonction Z21p(Z) est bornée sur Ok'
on voit aisément que ces intégrales sont simultanément convergentes pour
87
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
Sz ~ 0 et qu'elles définissent dans ce demi-plan fermé trois fonctions continues,
resp. Xl' X2' Xa, holomorphes dans \jz > O. On voit d'ailleurs que les fonctions
de z
e(l +i)kZX1(z), e(i-l)kz X2 (z), ek<iz+ l ~zl ) Xa(Z) ,
sont bornées sur le demi-plan \jz ~ O. Il en découle que la fonction X = Xl+
+ X2 + Xa est du type exponentiel dans le demi-plan \j z ~ 0, c'est-à-dire
qu'il existe un IX (= k V2) tel que
e-ex lzl X(z) est bornée pour \jz ~ 0_
Il est aisé de voir que les dérivées de X vérifient la même condition pour
'iJ z >
et que, X étant continue sur \j z ~ 0, ces dérivées sont à croissance
lente [par rapport aux fonctions (z - IX)- k] vers la frontière, \j z =
D'ailleurs,
la distribution D~ +2 X(x) coïncide avec i k \3' cp E .1
Et, puisque (~CP) (z) =:' (\3' CP) (iz), on voit, en conclusion, que
Proposition 23.1. Les images de LAPLACE des ultra-distributions de suppùrt
limité à gauche sont des fonctions holomorphes de type exponentiel pour -nz > O·
et à croissance lente vers l'axe imaginaire.
Nous allons établir la réciproque. Désignons par Bo l'espace de ces fonctions
et considérons CE Bo. En raisonnant comme dans la dém. du th. 12.1, on
voit qu'il existe un entier k tel que la primitive P~ Cest prolongeable au demiplan fermé 0\z ;;;:; comme fonction, 'IjJ, continue et encore du type exponentiel.
Alors, si l'on pose X (z) = 'IjJ (- iz), la restriction de 'IjJ à R appartient à .1 00 et,
par conséquent, l'image réciproque
°
°.
00 '
°
\3'-1(-i k Dk X) =
(-;!)k f e-iitx(t)dt
R
est un élément de ll, que nous désignerons par CP. Il reste à montrer que CPEll+
et que ~ cP = C.
A cet effet, observons que 'IjJ étant du type exponentiel, il est possible
de choisir un entier m et deux fonctions "lfl (z) et 'ljJ2(Z) holomorphes pour
9Zz > 0, tels que
'IjJ(z) = e(1-i)fflZ 'ljJdz) ,
lim1pl(z)=O,
pour \jz;;;:; 0,
z-+oo
pour \jz
~
0.
z-+oo
Alors on voit que les intégrales (prises sur les demi-axes imaginaires):
+ooi
f
+00\
ezt'IjJ(t)dt=
o
o
f
f
e<z+m-mi)t'IjJl(t)dt
0
ezt 'IjJ (t) dt
- coi
0
=
f
e(Z +m+mi)t 'ljJ2 (t) dt
- roi
définissent deux fonctions holomorphes et bornées de z, respectivement
pour \jz > m, \jz < - m. Désignons par Cl et C2 , respectivement, les
quotients de ces deux fonctions par 2 n i. De même, l'intégrale (prise sur le
demi-axe positif):
+00
-k J
o
ezt 1p(t) dt
= 2~i
+00
J
e(Um-mi)t 1pl(t) dt=
0
2~i
+00
J
e(z+m+mi)t1pS(t)dt
0
88
J.
SEBASTIAO E SILVA:
représente une fonction holomorphe et bornée de z pour 9\z < - m. Or on
voit aisément que cette fonction coïncide avec Cl (z) [resp. C2 (z)], pour
6z > m [resp. 6z < -m] et 9\z < - m; il suffit d'observer que, si rI et Fz
sont des arcs de cercle de centre 0, situés respectivement dans le 1er quadrant
et dans la 4 e, les intégrales
f ezt 1p(t) dt,
r,
pour 6z > m [resp. 6z < - m] et 9\z < - m, convergent vers 0, lorsque les
rayons de rI et r 2tendent vers 1'00.
n en résulte que les deux composantes associées de (/J:
se prolongent, comme fonctions holomorphes à croissance lente, au demi-plan
9\z < - m et que, par suite, (/J E U+.
Pour reconnaître que ~ (/J = l;, il suffit de rappeler que, sur l'axe imagi.
naire, (~ (/J) (z) = (5' (/J) (iz) et de tenir compte de la formule d'inversion de ff.
Nous avons donc démontré:
Théorème 23.1. La transformation de LAPLACE ~, définie dans U+ par
~ (/J
=f
e- Zt (/JI dt ,
R
ou par
~ (/J
f
=
e- ÎÂ <p(À) dÀ ,
èk
où (/J = x <p et k dépend de <p, est un isomorphisme de l'espace vectoriel U+ sur
l'Mpace 30 des fonctions holomorphes de type exponentiel dans 9\z > et à
croissance lente vers l'axe imaginaire .
Nous munirons 80 de la topologie qui rend bicontinu cet isomorphisme
et que l'on peut expliciter de la façon suivante: Soit 3o. dk = 1,2, ... )
l'espace des fonctions f(z) continues sur 9\z ~ 0, holomorphes dans 9\z > 0
et telles que e- kzj(z) reste bornée dans 9\z ~ 0, avec la norme suivante
°
Ilfllk =
sup
le- klzl
j(z)1 .
~z>o
Alors l'espace vectoriel topologique 80 sera la limite inductive des espaces
images, Dk 80. k' des 3 o• k' par les opérateurs de dérivation.
Il en découle que l'espace image de 80 par la rotation z -+ - iz est identifiable
à un sou.s-espace vectoriel de Aoc et que l'injection 30 -+ Aoc est continue. On aura
donc, pour toute fonction <p E 30:
~-l
<p
= 5'-1 <p* ,
où <p*(E Aoc) est la «distribution de frontière» de la fonction-<p(- iz). En
outre, l'expression même de la transformation de LAPLACE montre que l'espace
vectoriel engendré par {e- i thER est dense dans 30. Alors, compte tenu de l'expres·
sion deff-l on arrive au résultat suivant:
89
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
Théorème 23.2. L'inverse de la transformation de
donnée par
~-1q:>=2~i
jeiJ..q:>(Â)dÂ,
LAPLACE ~ :
U+ ---+ 30 est
pourq:>E80,
Ri
où l'intégrale par rapport à q:> est définie par prolongement continu à 30 et rapportée à la topologie de U+.
24. L'espace
3
Nous désignerons par 8k(k = 1,2, ... ) l'image de l'espace vectoriel topologique 8 0 par la translation i k :
8k = Tk30,
et nous désignerons par 3 la limite inductive des espaces 3k' Donc 3 est
l'espace des fonctions holomorphes de type exponentiel sur des demi-plans droits.
Dans [11] nous l'avions désigné par Q{w et défini (ce qui revient au même)
A
A
•
comme limite inductive des Q{k' où Q{k est l'espace (de BANACH) des fonctions
rp(z) holomorphes pour 9\z > k, telles que e- k1zl q:>(z) reste bornée sur 9\z > k,
avec la norme
Il q:>llk = sup le- k1zl q:>(z)1 .
A
~z>k
C'est là encore un espace (E'5 2 ) qui contient l'espace
des espaces ekz Q{;;;, k = 0, 1,2, ...
Qi;;;,
limite inductive
25. Les ultra-distributions de type exponentiel sur R
Désignons par Œdk = 0,1, ... ) l'espace (de BANACH) des fonctions q:>
holomorphes dans l'ensemble 16z1 > k et telles que Z-k e - k l~zlq:>(z) résulte
bornée sur cet ensemble, avec la norme
11q:>lIk = sup Iz-
k
e - k l~zi q:>(z)1
l\:1zl >k
ct soit Œ", la limite inductive des Œk' Il s'agit encore ici d'un espace (E'5 2 ). On
peut dire que Œw est l'espace des fonctions holomorphes dans des ensembles
du type 16 zl > k, à croissance lente sur les bandes verticales et à croissance
exponentielle sur les bandes horizontales.
Cela posé, soit m le sous-espace vectoriel fermé de Œw engendré par l'ensemble
{ehzhER' Puisque l'on a, par rapport à la topologie de Œ""
dn
dF ehz = zn eh' , n = l, 2, ... ,
on voit que m) Il. [On peut même reconnaître que mest formé par les fonctions
cntières à croissance lente sur les verticales et de type exponentiel sur les
horizontales]. Alors nous poserons:
Ç[5
= (f",/m.
Or on a Il = m(\ Q{~; par conséquent U C ~ et on voit que l'injection naturelle
U ---+ ~ est continue.
90
J.
SEBASTIAO E SILVA:
Nous dirons que les éléments de Q3 sont les ultra-distributions de type
exponentiel sur R, et nous désignerons encore par u l'application canonique
de (fw sur Q3. On pourrait maintenant essayer de réproduire pour Q3 une théorie
analogue à celle que nous avons développée pour U. Nous y reviendrons au
nO. 29; alors on verra quP Q3 s'identifie au dual de l'espace des fonctions entières,
à décroissance sous-exponentiel sur R. Nous désignerons par Q3t l'espace des
ultra-distributions ifJ E Q3 de frontière, dual de l'espace des fonctions holomorphes à décroissance sous-exponentielle sur R (cf. nO. 10).
En particulier, on peut définir «ultra-distribution nulle dans un ouvert de
U», en remplaçant, dans la déf. 20.1, «fonction holomorphe à croissance lente
(par rapport aux polynômes)>> par «fonction holomorphe à croissance lente
par 'rapport aux fonctions zkekl'Rzl». Il en résulte une notion de support pour
les éléments de <n o
26. Les ultra· distributions de type exponentiel sur R
et de support limité à gauche
Nous désignerons par Q3+ le sous-espace vectoriel de Q3 constitué par les
ultra-distributions de support limité à gauche. On peut définir directementQJ +
de la façon suivante:
Soit (fk+ l'espace (de BANACH) des fonctions rp holomorphes à l'intérieur
de l'ensemble Ok (défini au nO. 22) et telles que le quotient de rp(z) par Zk ek l'1\zl
soit prolongeable à Ok> comme fonction continue bornée, avec la norme
Ilrp llk= sup IZ-k e-kl",lzl rp(z)l.
.
ZECk
Cela étant, désignons par (fw+ la limite inductive des espaces (fk+' On
voit aisément queQ3 + est algébriquement isomorphe au quotient de (fw + par Q't.
Alors, nous munirons Q3+ de la topologie qui rend bicontinu cet isomorphisme .
Observons que la formule
(26 .1)
s!'ifJ= Je-zÀrp(Â.)dÂ.,
pourifJ=urp, rp E(fk+,
6t
où l'intégrale a le sens usuel, définit un prolongement de S!, : U+-+ Bo en une
application linéaire continue s!': <n+ ~ B. Pour s'en convaincre il suffit de
remarquer que, en posant tp (z) = e- kz rp (z), l'intégrale
J e- z ), tp (Â.) d Â.,
pour 9tz > 0,
6k
détermine un élément de Bo (on le voit en raisonnant comme au nO. 23).
En outre, on voit d'une façon analogue que
-k+ooi
j'e-""'tp(Â.)dÂ.=
J
e-""'tp(Â.)dÂ.,
Ck
-k-ooi
pour tout x > 0 où la deuxième intégrale par rapport à tp est définie par
prolongement continu à l'espace
il;,
image de Qi~ par symétrie (cf. 24)9) ;
') Il va. sans dire que 'f w + s'identifie à un sous-espa.ce de il;;; et que l'injection canonique
'f",+ _~;;; est continue.
91
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
cette remarque permet de reconnaître que l'on a
J e- zÀ(;l(À) dÀ = 0, dans 3, avec (;l E Œw+,
èk
si , et seulement si, (;l est l'image de LAPLACE d'une distribution T de support
compact, c'est-à-dire si (;l appartient à m.
D'autre part, il est aisé de voir que la formule
k + oo i
J
~-l X = 2~i
(26.2)
k - oo i
pour X E 8k' k = 0,1, . . ., définit bien l'inverse de ~ :m +~ 3 et que ~ -1: 3 ~m +
est continue.
En conclusion:
Théorème 26.1. La transformation de LAPLACE définie par la formule (26.1)
d'intégration complexe ou par la correspondante formule d'intégration réelle
+00
J e-
-
Z
t
</J t dt
00
est un isomorphisme bicontinu de Q3+ sur 8. Son inverse est donnée par la
formule (26.2).
Il est d'ailleurs facile de voir que ce nouveau prolongement de la transformation de LAPLACE possède les propriétés caractéristiques
~ (D </J)
=
z~ </J, ~ (eh"'</J)
= 'rh ~ </J, pour tout hE R .
On démontre aussi sans difficulté que
ehx x rp = x (eh Z rp),
pour toute fonction rp E Œ+ .
D'autre part, la convolution s'étend à g}+ suivant la formule usuelle, rapportée
à la topologie de ~ + . AlorsQ3+ devient une algèbre par rapport à convolution,
isomorphe à l'algèbre 8 par rapport à la multiplication usuelle, c'est-à-dire:
~(</J*lJI)=(~</J) . (~lJI),
pour </J, lJIEg}+
Enfin, si l'on observe que tout élément X de
3
admet la représentation
J e-zt</Jt dt ,
X=
R
où </J = ~-l X,
et que, en outre, e- z  est une fonction entière de À à valeurs dans 8, telle
que ekÀ . e- z À ~ 0 lorsque <;l{À ~ + 00 sur les bandes horizontales, pour tout
k = 1,2, ... , on obtient le résultat suivant:
Théorème 26.2. Il existe une correspondance biunivoque F +-> f entre les
applications linéaires continues F de 8 dans un e8pace localement convexe E,
complet pour les suites, et les fondion8 entières f (À) à valeurs dans E et à décroissance sous-exponentielle pour <;l{ À ~ + 00, avec '3 À borné. Cette correspondance
est donnée par les formules
+00
F(x)
=
J f(t) </Jtdt ,
où </J = ~-1 XE g}+
-00
f(À) =F(e- ÂÎ
),
pour tout). E C.
92
J.
SEBASTIAO E SILVA:
Nous dirons alors que f()') est l'indicatrice laplacienne de F.
Evidemment, la formule d'integration réelle, dans cet énoncé, peut être
remplacée par la formule d'intégration complexe. D'autre part, si l'on pose
pour toute FEL (3, E) ,
F sera une application linéaire continue de Ç[S+ dans E et réciproquement.
Donc, le th. 26.2 donne aussi l'expression générale des applications F EL(Ç[S+, E).
Nous dirons alors que f()') est l'indicatrice canonique de F. En particulier:
Corollaire. Le dual de Ç[S + est (algébriquement) isomorphe à l'espace des fonc.
tions numériques entières à décroissance sous-exponentielle sur les bandes
horizontales à droite.
On peut rendre bicontinu cet isomorphisme, en définissant, explicitement,
la topologie convenable dans le sus-dit espace de fonctions entières. Alors
étant donné que Ç[S+ est réflexif, on peut définir Ç[S+ comme le dual tort de cet espace
de fonctions entières.
27. Le calcul opérationnel basé sur
3
En employant le th. 26.2, on peut maintenant définir un calcul opérationnel
modelé sur 3, comme nous l'avons fait pour 2i~ (cf. [11] et [12]).
Soit A une algèbre commutative complexe, munie d'un élément unité,
e, et d'une topologie d'espace localement convexe, par rapport à laquelle
le produit soit hypocontinu pour les parties compactes. Supposons en outre que
l'espace A soit complet pour les suites. Alors on établit, comme dans [12],
le théorème suivant:
Théorème 27.1. Il existe une correspondance biunivoque F ..... a entre les
homomorphismes continus F de l'algèbre 3 dans A, tels que F (1) = e, et les éléments
a de A vérifiant les conditions suivantes:
EL L'équation v'().) = - av().) admet, pour). complexe quelconque, une
solution v(À) [que l'on désignera par e-.<a ou par exp (- À a)] telle que v(O) = e
et que:
E 2. Les valeurs de v().) sont des éléments réguliers de A, commutant avec a;
E 3. v(À) est à décroissance sous-exponentielle pour g{À -+ + 00 avec '0).
borné.
Cette correspondance est définie par les formules
a= F
î,
F rp =
J exp (- À a) "o/(À) dÀ,
<\
où rp E3 et ~(x"o/) = rp, avec "0/ E (fk+ .
Nous poserons alors, par définition
rp(a)=Frp.
En particulier, a peut être l'opérateur de dérivation D E L(Ç[S+). Alors il
est aisé de voir que
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
93
pour toute ultra-distribution cp E Q3+, et
qJ(D) '!fl
= ~-l(qJ)
* '!fl,
quelles que soient qJ E3 et '!fl E Q)+.
D'ailleurs, il s'agit là de l'isomorphisme, déjà signalé, entre l'algèbre multiplicative 3 et l'algèbre de convolution Q)+, puisque DCP = b' * cp et que
b * cp = CP.
28. Le calcul opérationnel basé sur l'espace des fonctions entières du type
exponentiel. Exemples
Soit 3* l'espace des fonctions entières du type exponentiel muni de
sa topologie usuelle d'espace (10 2 ), On a évidemment 3* C 30 et
l'injection 3* -+ 30 est continue. Il est aisé de voir que la restriction de ~ - l à 3*
est un isomorphisme topologique de l'algèbre multiplicative 3* sur l'algèbre
de convolution U c' des ultra-distributions de support compact (nO. 21).
D'ailleurs, cette restriction de ~-1 coïncide, à une rotation et un facteur
constant près, avec la transformation de FOURIER l3' : 3* -+ U C •
Il n'est pas difficile d'obtenir un résultat tout à fait analogue au th. 27.1,
en remplaçant 3 par 3*, Œk+ par Q{k(oo), C k par un cercle convenable, et
en supprimant la condition E 3, la fonction v(À) = exp. (- À a) devant être
simplement une fonction entière.
En particulier, A pourra être l'espace des applications linéaires continues
de en dans lui-même, avec une topologie convenable, et a l'opérateur D de
dérivation. On aura encore e-).D = pour tout À E C et
T"
qJ(D) '!fl
=
* "P
~-l(qJ)
pour toute qJ E3* et toute '!fl E Q).
Nous n'avons pas l'intention d'étudier ici les applications de ces calculs
opérationnels. Mais il sera instructif de considérer ici quelques exemples
tr~s simples. Soit d'abord l'équation
~-i~-O
Gy
GX ,
avec la condition initiale u(x, 0) == CP(x). Si l'on interprète u(x, y) comme
fonction u (y) de y à valeurs dans Q) et cp comme élément de Q), cette équation
prend la forme
du
'D u
dij='"
ce qui, avec u (0)
=
a:
,
CP, conduit à la solution (unique):
u(y)
= eillD cp == Lit/CP.
Il est encore aisé d'établir le résultat suivant: Étant donné e > 0, pour que,
pour Iyl < e, 'l'-ill cP soit égale à une distribution (du type exponentiel) daM
Un ouvert A de R, il faut et il suffit que cP s'identifie daM A à une fonction f(z)
analytique pour ~z E A, 16z1 < ej on aura alors, pour Iyl < e
'l'II/CP == I(x
(cf. nO. 16, Remarque).
+i
y),
daM
A
94
J.
SEBASTIÀO E SILVA:
Analoguement, on obtient l'intégrale générale de l'équation de LAPLACE
à'u
àx'
+
à'u
ày'
= 0,
sous la forme
~t = Till rp
+ T-ill P,
avec rp, P E 'n;
et on retrouve les fonctions harmoniques complexes ,si l'on impose à u(x, y)
de se réduire, dans un ouvert de R, à une distribution en x, pour certaines
valeurs de y. On peut résoudre le probleme de CAUCHY pour cette équation,
avec u(x, 0) = rpoE 'n, ull(x,O) = rpl E 'n, en posant u(y) = u(x, y) . Alors on
obtient la solution (unique):
u(y)
== cos(yD)
~~
l
rpo + nsen (y D) rpl
[(Till + Till) rpo +
!
(Ti1l - Lill) (Prpl)] ,
où P rpl désigne une primitive de rpl' On a, en effet:
~-1
z
cos Y z
=
o(x+iy)+o(x-iy)
~ - 1 senyz _ H(x+iy)-JI(x-iy)
2
'z
Z
2i
On peut aussi résoudre le problème de DIRICHLET dans un demi-plan,
avec la donnée rp E'nI sur la frontière. La solution (harmonique) est déterminée à une fonction y près, de la forme y (x, y) == e (x + i y) - e (x - i y),
avec () E m; elle est unique, si, par exemple, on impose à rp d'être une distri·
bution bornée, et à u(x, y) d'être bornée dans le demi-plan considéré (cf. nOs 10,
Il, 12).
29. La transformation de
FOURIER
dans 'n
Les résultats du nO. 26 nous permettent de prolonger la transformation
de FOURIER à l'espace 'n des ultra-distributions de type exponentiel sur R.
Soit ~~ (resp. ~;;;), pour k = 0, 1,2, ... , l'espace des fonctions cp E Œw
nulles pour Sz < 0 (resp. S z > 0). Alors ~w ~ ~~ x~;;; et tout élément <P
de ~ = ~"IR. peut s'écrire sous la forme rp = cp+- cp- , où cp+E ~~ et cp- E Œ;;;
ces fonctions cp+ et cp- étant déterminées à une fonction E près. Designons
encore par 'n o+ l'espace des ultra-distributions rp =" cp, avec cp E ~w+, telles
que cp se prolonge au demi-plan ~z < 0 comme fonction holomorphe à crois·
sance lente vers l'axe imaginaire; et par ~o- l'image de ~o+ par symétrie.
Evidemment, les éléments de'no+ sont certaines ultra-distributions de support
contenu dans [0, + 00[ . Cela posé, un raissonnement semblable à celui du
nO. 23 nous conduit au résultat suivant:
Proposition 29.1. Par le changement de variable z--,>-iz, l'espace ~~ s'identifie
au 8ous-espace (fermé) de 8, dont l'image par ~-l est 'n o+'
Essayons donc de définir l'image de FOURIER, 5' rp, d'une ultra-distribution
rp = cp+ - cp- E'n par la formule du nO. 24:
em
5' (/J = f eiz ). cp (À.) dÀ.
(29.1)
,
LfJ:
où l'on suppose (/J
=" cp,
cp E ~k et
Ak
la frontière de l'ensemble ISzl < k,
95
Ultra-distributions dans le calcul opérationnel
orientée de façon à laisser à droite l'axe réel. Alors on aura évidemment
(tr cp+) (-
z)
=
2 n ~ -1 cp+(iz) ,
d'où tr cp+ Esn&-
,
et on voit de même que tr cp-E ':Il o+' On aura donc
tr <1) = tr cp+ - tr cp-E sn
et il est maintenant aisé de voir que tr définit ainsi une application (linéaire)
continue de sn dans sn.
On peut, de la même façon, prolonger tr- 1 en une application continue
® : ':Il-?- sn, et il n'est pas difficile de reconnaître que
pour toute <1) Esn,
ce qui permet d'écrire encore, au sens usuel:
®=tr-1 .
Donc
Théorème 29.1. La formule (29.1) définit un isomorphisme, tr, de l'espace
vectoriel topologique sn dans lui-même, et on a
1
tr- 1 <1) =2
17,
J
eiz ;' cp(À)dÀ,
Llj
pour (/J =" cp, cp E G:j , j = 1,2, ...
Il est encore facile de reconnaître les propriétés usuelles de la transformation
de FOURIER pour ce prolongement.
Observons d'autre part que l'image de FOURIER de la restriction d'une
fonction (9 E m à un des demi-plans Sz > 0, S < 0 (remplacée par la fonction
nulle dans l'autre demi-plan) est une ultra-distribution de support compact
(no. 21) que l'on peut identifier à une «distribution sur l'axe imaginaire, à
support compact». Alors, puisque (/J = ty-1 tr <1), les raisonnements précédents
montrent que
Théorème 29.2. Toute ultra-distribution <1) ECJ.3 peut s'écrire sous la forme
cp = (/J+ - <1)-, avec (/J+ ECJ.3 o+ et (/J- Esn o-, les ultra-distributions (/J+ et (/J- étant
déterminées à une même «distribution sur l'axe imaginaire, à support compact»
près.
Enfin, ce théorème permet de faire, commodément, la recherche des
applications linéaires continues de CJ.3 dans un espace localement convexe.
En particulier, on démontre aisément que CJ.3 est le dual de l'espace des fonctions
entières à décroissance sous-exponentielle sur les bandes horizontales, muni
d'une topologie convenable. Donc, pour obtenir un espace qui contienne à
la fois sn et l'espace D' de EHRENPREIS (voir [2] et l'introduction), il suffirait
de considérer le dual de l'espace des fonctions entières de type exponentiel
sur les verticales et à décroissance sous-exponentielle sur les horizontales (muni
d'une topologie convenable).
Bibliographie
[1] DOETSCH, G.: Handbuch der Laplace-Transformation. 1. Band. Basel 1950. r2) ElIRENPREIS, L.: Analytic functions and the Fourier transform of distributioIl.'l. 1. [3] GROTHENDIECK, A.: Sur les espaces (F) et (DF), Summa Brasiliensis Math. 3, 57-122
96
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(Eingegangen am 1. April 1958)