1 Échantillonnage : Loi des moyennes

Statistiques Inférentielles - Feuille 2
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Échantillonnage : Loi des moyennes
Exercice 1
Une usine produit des disques en grande série. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque
disque, pris au hasard, associe son diamètre. On suppose que X suit la loi normale de moyenne
µ = 50 et d’écart-type σ = 0, 5. On prélève au hasard des échantillons de 36 disques. On note Y la
variable aléatoire qui pour chaque échantillon associe la moyenne des diamètres des 36 disques.
1. Quelle est la loi suivie par Y ?
2. Déterminez a pour que p(µ − a 6 Y 6 µ + a) = 0, 9.
Réponse : a = 0, 1371 - Même question avec µ = 40 et σ = 0, 6, Réponse : a = 0, 1645
Correction :
1. D’après la loi des moyennes, Y suit approximativement la loi N µ; √σ36 ≈ N (50; 0, 083).
2. On pose t =
Y −50
0,083 .
t suit la loi normale centrée réduite. On aura alors :
p(µ − a 6 Y 6 µ + a) = p(50 − a 6 Y 6 50 + a)
Y − 50
50 + a − 50
50 − a − 50
6
6
=p
0, 083
0, 083
0, 083
a
a
=p −
6t6
0, 083
0, 083
a
= 2Π
0, 083
a
= 0, 9. On sait que cela sera vrai si 0,083
= 1, 645 (c’est une des valeurs
a
= 0,9+1
= 0, 95 et le formulaire
qu’il est bon de connaître par cœur, sinon on écrit Π 0,083
2
donne le résultat)
Il faut donc 2Π
a
0,083
On en déduit donc :
a
0,083
= 1, 645 donc a = 1, 645 × 0, 083 = 0, 1371.
Exercice 2
Un traceur produit des cartouches ayant une forme de rectangle dont la longueur doit être de
10cm. Pour tester le réglage du traceur, on prélève 100 feuilles. Soit X la variable aléatoire qui pour
chaque feuille associe la longueur du cartouche. On suppose que X suit la loi normale de moyenne
m = 10 et d’écart-type σ = 0, 03. On note X100 la variable qui à chaque échantillon associe la
moyenne des longueurs.
1. Quelle est la loi suivie par X100 ?
2. Déterminez le réel positif h tel que p m − h 6 X100 6 m + h = 0, 95.
Réponse : h = 0, 0059 - Même question avec m = 20 et σ = 0, 1, Réponse : h = 0, 0196
Correction :
σ
1. D’après la loi des moyennes, X1 00 suit la loi N m; √100
= N (10; 0, 003). (ce n’est pas
approximatif car X suit une loin normale)
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2. On pose t =
X1 00−10
0,003 .
t suit la loi normale centrée réduite. On aura alors :
p(m − h 6 X1 00 6 m + h) = p(10 − h 6 X1 00 6 10 + h)
10 − h − 10
X1 00 − 10
10 + h − 10
=p
6
6
0, 003
0, 003
0, 003
h
h
=p −
6t6
0, 003
0, 003
h
= 2Π
0, 003
h
0,003
h
= 0, 95. On sait que cela sera vrai si 0,003
= 1, 96 (c’est une des valeurs
h
= 0,95+1
= 0, 975 et le formulaire
qu’il est bon de connaître par cœur, sinon on écrit Π 0,003
2
donne le résultat)
Il faut donc 2Π
On en déduit donc :
h
0,003
= 1, 96 donc h = 1, 96 × 0, 003 ≈ 0, 0059.
Exercice 3
Une machine fabrique un très grand nombre de pièces, de longueur moyenne m = 4, 2mm et
d’écart-type σ = 0, 2. On prélève des échantillons de taille n avec n > 30. Soit X la variable qui à
chaque échantillon de n pièces associe la moyenne de longueurs.
1. Quelle est la loi suivie par X ? Précisez les paramètres de cette loi.
2. Trouvez la taille n de l’échantillon pour que p 4, 17 < X < 4, 23 = 0, 95.
3. Trouvez la taille n de l’échantillon pour que p 4, 17 < X < 4, 23 = 0, 99.
Réponses : n = 171 puis n = 296
Correction :
1. D’après la loi des moyennes,
X suit approximativement la loi normale de moyenne m et d’écart
0,2
σ
type √n : N 4, 2; √n .
√
2. On pose t = X−4,2
n. t suit une loi normale centrée réduite.
= X−4,2
0,2
0,2
√
n
4, 17 − 4, 2 √
X − 4, 2 √
4, 23 − 4, 2 √
n<
n<
n
0, 2
0, 2
0, 2
√
√ = p −0, 15 n < t < 0, 15 n
√ = 2Π 0, 15 n − 1
p 4, 17 < X < 4, 23 = p
Or on souhaite que cette probabilité soit égale à 0, 95. On se souvient 2Π(t) − 1 = 0, 95 pour
2
√
t = 1, 96 et donc ici 0, 15 n = 1, 96 ce qui donne : n = 1,96
≈ 170, 7. Il faut donc n = 171.
0,15
2
√
3. Pour que 2Π(t) − 1 = 0, 99 il faut t = 2, 58, donc 0, 15 n = 1, 96 ce qui donne : n = 2,58
≈
0,15
295, 8. Il faut donc n = 296.
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Échantillonnage : Loi des fréquences
Exercice 4
Une entreprise produit une grande série de pièces pour le bâtiment. Pour analyser la qualité de la
production, on prélève au hasard un échantillon de n = 64 pièces. On suppose que le pourcentage de
pièces défectueuses dans la production est de 4%. Soit F la variable aléatoire qui à tout échantillon
de n pièces associe la fréquence de pièces défectueuses dans cet échantillon.
1. quelle est, approximativement, la loi suivie par F ? Précisez-en les paramètres.
2. Quel est la probabilité que sur un échantillon donné, la fréquence de pièce défectueuses soit
comprise entre 3% et 5% ?
3. Déterminez le réel a tel que p(0, 04 − a 6 F 6 0, 04 + a) = 0, 95.
4. Quelle valeur doit-on donner à n pour que p(0, 03 6 F 6 0, 05) = 0, 99 ?
Réponses : 96, 3% ; a = 0, 0094 = 0, 94% ; n = 99
Exercice 5
Dans une population, on constate qu’il y a 28% de fumeurs. On prend un échantillon de 400
personnes.
1. Quel est la probabilité d’avoir dans cet échantillon un pourcentage de fumeurs compris entre
26% et 30% de fumeurs ?
2. Quelle est la probabilité d’avoir dans cet échantillon un pourcentage de fumeurs inférieur à
22% ?
3
Estimation par intervalle de confiance
Exercice 6
Une entreprise fabrique des tiges métalliques. Leur longueur et leur diamètre sont exprimés en
millimètres. On prélève au hasard un échantillon de 50 tiges dans la production d’une journée. Soit
D la variable aléatoire qui, à tout
de 50 tige, associe le diamètre moyen de ces tiges.
échantillon
σ
√
On suppose que D suit la loi N µ; 50 , avec sigma = 0, 19 et µ inconnu. Sur l’échantillon, on a
observé µe = 9, 99.
1. Á partir de ces informations, donnez une estimation ponctuelle de la moyenne µ des diamètres
des tiges produites dans une journée.
2. Déterminez un intervalle de confiance de la moyenne µ à 95%.
3. On considère l’affirmation : « µ appartient obligatoirement à l’intervalle de la question précédente ». Cette affirmation est-elle vraie ?
Exercice 7
On a contrôlé le dosage d’un produit dans un mélange à la sortie d’une chaîne de conditionnement.
On a prélevé un échantillon de 100 lots de 5kg dans la production d’une journée. On a obtenu
les résultats suivants, où Pi représente la masse de produit exprimée en grammes, et ni l’effectif
correspondant.
Pi
ni
142
1
144
5
146
6
148
21
150
32
152
22
154
7
156
4
158
1
160
1
1. Calculez la moyenne et l’écart-type de des masses de produit dans l’échantillon.
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2. Á partir des résultats obtenus pour cet échantillon, donnez une estimation ponctuelle de la
moyenne m et de l’écart-type σ de masse de produit dans la production de la journée.
3. Soit P la variable aléatoire qui a tout échantillon de 50 lots associe la moyenne de la masse de
produit dans cet échantillon. Quel loi suit approximativement la variable P ?
4. Donnez un intervalle de confiance de la moyenne m avec le coefficient de confiance de 5%.
5. même question avec un coefficient de confiance de 90% ; de 99%.
Correction :
1. Avec la calculette, on trouve la moyenne et l’écart-type de l’échantillon : xe = 150, 1 et σe ≈
3, 05, avec un effectif total n = 100.
2. Une estimation ponctuelle de la moyenne de la population
est m = xe = 150, 1. Une estimation
q
n
ponctuelle de l’écart-type de la population est σ = n−1 σe ≈ 3, 07.
3. D’après la loi des moyennes, P suit approximativement la loi N m; √σ50 ≈ N (150, 1; 0, 43).
4. Un intervalle de confiance de m avec un coefficient de confiance de 95% est :
3, 07
3, 07
√
√
I = 150, 1 − t
; 150, 1 + t
50
50
avec 2Π(t) − 1 = 0, 95, soit t = 1, 96, donc :
I = [149, 25; 150, 95]
5. On refait le calcul avec t = 1, 645 puis t = 2, 58 et on obtient :
I90% = [149, 39; 150, 81]
I99% = [148, 98; 151, 22]
Exercice 8
La proportion P de ménages de la ville V qui possède au moins un téléviseur est inconnue.
1. On note F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 400 ménages de la ville V , associe
le pourcentage de ménages de cet échantillon ayant au moins un téléviseur. Pour un de ces
échantillons, F vaut 80%.
(a) En utilisant cet échantillon, donnez une estimation ponctuelle de p.
(b) Quelle loi suit approximativement la variable F ?
(c) Donnez alors la probabilité que dans un échantillon F soit inférieur à 78%.
(d) Donnez la probabilité que dans un échantillon, F soit compris entre 78 et 82%.
(e) Donnez une estimation de p par intervalle de confiance avec le risque 5%.
2. On note Fn la variable aléatoire qui pour un échantillon de n ménages associe la proportion
de ménages de cet échantillon ayant au moins
q un téléviseur. On approxime la loi de Fn par la
loi normale de moyenne p et d’écart-type p(1−p)
n . Quelle doit être la taille minimale n0 pour
estimer p à ±2% près par intervalle de confiance, avec le risque 1% ?
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Tiré du BTS 2012 : Intervalle de confiance
Un producteur fourni des bottes de paille pour l’isolation. On considère les bottes produites le
22 juillet 2011. On prélève au hasard un échantillon de 50 bottes de paille dans cette production.
La production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec
remise.
On constate que 37 bottes de pailles de cet échantillon sont conformes aux normes d’isolation.
1. Donnez une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue p des bottes de paille de cette
production qui sont conformes aux normes d’isolation.
2. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 bottes ainsi prélevé dans cette production, associe la fréquence des bottes de cet échantillon qui sont conformes aux normes
d’isolation.
On suppose que F suit la loi normale de moyenne inconnue p et d’écart type
q
p(1−p)
50 .
(a) Déterminez un intervalle de confiance de la fréquence p au niveau de confiance de 95%.
(b) On considère l’affirmation suivante : « la fréquence p est obligatoirement dans l’intervalle
de confiance obtenu à la question 2 a) »
Cette affirmation est-elle vraie ?
Tiré du BTS 2011
On considère une grande quantité de plaques devant être livrées à une chaîne de montage de
véhicules électriques. On considère un échantillon de 100 plaques prélevées au hasard dans cette
livraison. La livraison est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec
remise. On constate que 94 plaques sont sans défaut.
1. Donnez une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue p des plaques de cette livraison
qui sont sans défaut.
2. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 plaques prélevées au hasard et avec
remise dans cette livraison, associe la fréquence des plaques de cet échantillon qui sont sans
défaut.
q
On suppose que F suit la loi normale de moyenne p et d’écart type p(1−p)
100 ,où p est la fréquence
inconnue des plaques de la livraison qui sont sans défaut.
Déterminez un intervalle de confiance de la fréquence p avec le coefficient de confiance 95%.
Tiré du BTS 2008
Une entreprise fabrique en grande série des pièces de bois. Ces pièces sont prévues pour s’encastrer
les unes dans les autres. Elle ont une cote x et une cote y.
A. Loi normale
Une pièce de type est conforme lorsque sa cote x, exprimée en millimètres, appartient à l’intervalle
[9, 5 ; 10, 5] et lorsque sa cote y appartient à l’intervalle [10, 5 ; 11, 5].
1. On note X la variable aléatoire qui, à chaque pièce de ce type prélevée au hasard dans la
production d’une journée, associe sa cote x. On suppose que la variable aléatoire X suit la loi
normale de moyenne 10 et d’écart type 0, 21. Calculez p(9, 5 6 X 6 10, 5).
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2. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque pièce de ce type prélevée au hasard dans la
production d’une journée, associe sa cote y. On admet que p(10, 5 6 Y 6 11, 5) = 0, 985.
On suppose que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes. On prélève une pièce au
hasard dans la production d’une journée. Déterminez la probabilité qu’elle soit conforme.
Correction :
1. On pose t =
X−10
0,21 .
t suit la normale centrée réduite. On aura :
X − 10
10, 5 − 10
9, 5 − 10
6
6
p(9, 5 6 X 6 10, 5) = p
0, 21
0, 21
0, 21
= p(−2, 38 6 t 6 2, 38)
= 2Π(2, 38) − 1
= 2 × 0, 9913 − 1 = 0, 9826
Conclusion : p(9, 5 6 X 6 10, 5) = 0, 9826.
2. Appelons A l’évènement « 9, 5 6 X 6 10, 5 » et B l’évènement « 10, 5 6 Y 6 11, 5 ». Comme
X et Y sont indépendants, A et B le sont également, et alors la probabilité que la pièce soit
conforme est :
p(A ∩ B) = p(A) × p(B) = 0, 9826 × 0, 985 = 0, 968
B. Loi binomiale et loi de Poisson
On considère un stock important de pièces.
On note E l’évènement : « une pièce prélevée au hasard dans le stock est défectueuse ».
On suppose que p(E) = 0, 03.
On prélève au hasard 50 pièces dans le stock de pièces pour vérification. Le stock est suffisamment
important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 pièces. On
considère la variable aléatoire Z qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de pièces de
ce prélèvement qui sont défectueuses.
1. Justifiez que la variable aléatoire Z suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2. Calculez p(Z = 0) et p(Z 6 2).
3. On considère que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire Z peut être approchée
par une loi de Poisson.
(a) Déterminez le paramètre λ de cette loi de Poisson.
(b) On désigne par Z1 une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ, où λ a
la valeur obtenue précédemment. En utilisant cette loi de Poisson, calculez la probabilité
que, dans un tel prélèvement de 50 pièces, au plus deux pièces soient défectueuses.
Correction :
On peut déjà remarqué que p(E) = 0, 03 est conforme avec p E = p(A ∩
B) ≈ 0, 97 trouvé précédemment.
1. On a l’expérience élémentaire : Choisir une pièce au hasard dans le stock. Le succès est l’évènement E. Les pièces sont identiques et le stock est assez grand pour que l’on puisse assimiler
ce choix à un tirage avec remise. On a donc un schéma de Bernoulli avec p = p(E) = 0, 03 et
n = 50.
Z est la variable aléatoire représentant le nombre de succès de ce schéma de Bernoulli. Z suit
donc la loi binomiale B(50; 0, 03).
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0 0, 030 0, 975 0 ≈ 0, 218.
2. p(Z = 0) = C50
p(Z 6 2) = p(Z = 0) + p(Z = 1) + p(Z = 2)
0
1
2
= C50
0, 030 0, 975 0 + C50
0, 031 0, 974 9 + C50
0, 032 0, 974 8
≈ 0, 218 + 0, 337 + 0.256
≈ 0, 811
Ce qui se confirme en faisant, par exemple avec une TI :2nd+Vars binomialFRép(50,0.03,2).
On obtient : 0, 810798.
3. Pour retrouver l’approximation, il faut se rappeler que l’espérance avec une loi de poisson de
paramètre λ est tout simplement λ, tandis que l’expérience avec la loi B(n; p) est np. Donc il
faut prendre : λ = np.
On prendra λ = np = 50 × 0, 03 = 1, 5.
4. On cherche p(Z1 6 2).
p(Z1 6 2) = p(Z1 = 0) + p(Z1 = 1) + p(Z1 = 2)
1, 51
1, 52
1, 50
+ e−1,5
+ e−1,5
0!
1!
2!
≈ 0, 223 + 0, 335 + 0, 251
= e−1,5
≈ 0, 809
L’approximation est de bonne qualité. En effet on trouve une valeur très proche de la précédente.
C. Intervalle de confiance
Dans cette partie, on considère une grande quantité de pièces devant être livrées à une chaîne
d’hypermarchés. On considère un échantillon de 100 pièces prélevées au hasard dans cette livraison.
La livraison est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On
constate que 96 pièces sont sans défaut.
1. Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue p des pièces de cette livraison qui
sont sans aucun défaut.
2. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 pièces prélevées au hasard et avec
remise dans cette livraison, associe la fréquence des pièces de cet échantillon qui sont sans
défaut.
q
p(1−p)
On suppose que F suit la loi normale de moyenne p et d’écart type
100 , où p est la
fréquence inconnue des pièces de la livraison qui sont sans aucun défaut.
Déterminez un intervalle de confiance de la fréquence p avec le coefficient de confiance de 95%.
Correction :
96
1. Sur l’échantillon, on a une fréquence f = 100
= 0, 96 de pièces sans défauts. L’estimation
ponctuelle de la fréquence de pièce de défaut pour l’ensemble de la population est donc p =
f = 0, 96.
q
q
p(1−p)
2. l’intervalle de confiance de p avec le coefficient de confiance de 95% est I = p − t p(1−p)
;
p
+
t
,
100
100
avec 2Π(t) − 1 = 0, 95, soit t = 1, 96. On en déduit :
#
"
r
r
0, 96 × 0, 04
0, 96 × 0, 04
I = 0, 96 − 1, 96
; 0, 96 + 1, 96
= [0, 9216; 0, 9984]
100
100
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Statistiques Inférentielles - Feuille 2
Je rappelle que la proportion réelle de pièce sans défaut dans la population n’appartient pas
forcément à l’intervalle I, mais on a 95% de chances que ce soit le cas.
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