Loi d`échantillonnage

Loi d’échantillonnage
Exercice 1
Un traitement médical est administré à 20 personnes souffrant de la même maladie.
Une étude a permis de savoir qu’avec ce traitement 65 % des personnes malades guérissent.
1. En admettant que chaque malade a la même probabilité de guérir, quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y mesurant le nombre de personnes guéries ?
2. On suppose qu’on administre le traitement à des groupes de n personnes malades, on considère la variable aléatoire fn égale à la fréquence des personnes guéries.
(a) Montrer qu’on peut approcher la loi de probabilité de fn par une loi normale à déterminer.
(b) Calculer n tel P (fn > 0, 56) = 0, 97.
Exercice 2
Une machine fabrique en grande série des pièces cylindriques. Les diamètres de ces pièces sont
exprimés en millimètres. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque pièce choisie au hasard dans
la production, associe son diamètre. On admet que X suit la loi normale de moyenne m = 50 et
d’écart-type σ = 0, 4.
Pour contrôler la fabrication, on prélève des échantillons aléatoires de 100 pièces ; ce prélèvement
est assimilé à un tirage avec remise.
On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 100 pièces associe la moyenne
des diamètres des pièces de cet échantillon.
1. Justifier que X suit une loi normale. En préciser les paramètres.
2. Déterminer le nombre b positif tel que P (50 − b ≤ X ≤ 50 + b) = 0, 95.
Exercice 3
Une machine fabrique des pièces pour automobiles. Lorsque la machine est bien réglée, la variable aléatoire X, mesurant le diamètre des pièces fabriquées, suit la loi normale de moyenne
m = 50 et d’écart-type σ = 0, 5.
1. Calculer la probabilité que le diamètre des pièces fabriquées par la machine, supposée bien
réglée, soit compris entre 49,8 et 50,4 mm.
2. Soit X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 36 pièces pris dans le lot, associe le
diamètre moyen des pièces de cet échantillon.
σ
.
6
(b) Entre quelles limites m − h et m + h doit être situé X pour que la machine puisse être
considérée comme bien réglée avec une probabilité de 0,95 ?
(a) Montrer que X suit la normale de paramètre m et s =
1
Exercice 4
Une machine fabrique des pièces de forme circulaire en série. A chaque pièce tirée au hasard,
on associe son diamètre exprimé en millimètres. On définit ainsi une variable aléatoire X. On
suppose que X suit la loi normale de moyenne m = 32 et d’écart-type σ = 1 ( en mm).
Pour contrôler la fabrication, on prélève à intervalles réguliers des échantillons de 20 pièces. On
appelle X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de n = 20 pièces, associe la moyenne
des diamètres des pièces de cet échantillon.
1. Montrer que cette variable aléatoire X suit alors la loi normale de moyenne m = 32 et
1
d’écart-type s = √ .
20
2. Entre quelles limites m − h et m + h doit être situé X pour que la machine puisse être
considérée comme bien réglée avec une probabilité de 0,99 ?
Exercice 5
Une machine fabrique des pièces dont la longueur est une variable aléatoire X qui suit une loi
normale de moyenne m = 28,20 mm et d’écart-type σ = 0,027 mm.
On admet que les moyennes des échantillons de même taille n suivent également une loi normale
σ
de moyenne m et d’écart-type √ .
n
1. Une pièce est "bonne" si sa longueur appartient à l’intervalle [28,15 ; 28,27]. Calculer le
pourcentage de pièces "bonne".
2. On prélève un échantillon (non exhaustif) dans cette production. Quelle doit être la taille
de l’échantillon pour que la moyenne des longueurs des pièces prélevées appartienne à
l’intervalle [28,195 ; 28,205] avec une probabilité de 0,95 ?
3. L’usine possède 40 machines de cette sorte. La probabilité qu’une machine tombe en panne
au cours d’une journée est p = 0,05. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de machines en panne au cours d’une journée.
(a) Quelle est la loi de probabilité de Y ? Justifier l’emploi de la loi de Poisson.
(b) Calculer alors la probabilité d’avoir au moins 35 machines en marche au cours d’une
journée ?
2