Test d entrée en Seconde Mathématiques 2015 (barème sur 30 points) Corrigé Sujet A Exercice 1 : /10,5 1. a) Écrire la somme du double de x et de 3 : 2 x + 3 b) Écrire la différence de l inverse de x et du carré de x : – x2 2. Ecrire sous forme d’une fraction irréductible : a/ A = + d/ D= + = + = = b/ B = c/ C = = = = - = = 3. Calculer : a/ F = 12 – (2 – 4) = b/ Simplifier le plus possible : G c/ Ecrire sous la forme a = =2 = où a et b sont deux entiers : H = 4. Développer et réduire au maximum les expressions suivantes : a/ A (3x 2) b/ B (x 3)(2x 5) c/ C (2 x-1) 2 = x x+10 x x x x x x 5. Factoriser les expressions suivantes : ( x + 2) 2 a/ A x 2 4x 4 b/ B (2x 3)(x 4) 4(x 4) c/ C x2 4 (x )(x 6. Résoudre les équations suivantes : a/2x 5 0 2x 5 2x 3 - 4) (x 4) = 2x - 1) (x 4) ) b) ( x 5)(3x 7) - x 5 = 0 ou 3x 7 = 0 0 =2 x x = 5 ou 3x L’ensemble solution est S = { } x = 5 ou x 7 L’ensemble solution est S = {5 ; } y Exercice 2 : / 6 3 Partie A : 2 1. L'image de 1 par la fonction f : f(1) = 3 1 2. f(-1) = 1 -3 -2 -1 0 et f(5) = - 2 -1 3. Les antécédents de 0 par la fonction f sont : 3 et 7 -2 1 2 3 4 5 6 7 8x 4. Trois nombres ont pour image 1 par la fonction f Ces nombres sont : -1 ; 2,4 ; et 7,7 5. -3 n'a pas d'antécédent par la fonction f . Partie B : Soit g la fonction définie par g(x) x²+3 1. Cette fonction n’est pas affine car elle ne s’écrit pas sous la forme g(x) = a x + b où a et b sont deux réels. 2. g(2) = 11 et g(-1)= 5 Exercice 3: /5 Partie A 1. L effectif total N est pair :N =30 Pour calculer Q1 : on calcule Pour calculer Q3 : on calcule Pour calculer Me : on calcule donc Q1 est la 8ème valeur : Q1= 14,8 donc Q3 est la 23ème valeur : Q3= 16 donc la médiane est la valeur moyenne entre la 15ème et la 16ème valeur Donc Me= 2. environ 75% des températures ont été supérieures à …14,8……°C ( par définition au moins 25 % des valeurs sont inférieures à Q1 donc environ 75% lui sont supérieures) environ …50....% des températures ont été supérieures à 15,1 ° C. car 15,1 est la médiane Partie B 1°) Comme il y a 30 jours au total et 3 jours à 13,5 °C , on a p1= = 2°) Comme il y a 30 jours au total et 10 jours inférieurs à 14,8 °C , on a p2= Exercice 4 : /3 1. La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu. Figure 2. Dans le triangle EFG, I appartient à [EF], J appartient à [EG], les droites (FG) et (IJ) sont parallèles d'après le théorème de Thalès on a : EI/EF=EJ/EG=IJ/FG d'où : 4/6=EJ/7,5 soit EJ=7,5*4/6=7,5*2/3=5. Exercice 5 : / 2,5 1. Dans le triangle ABE rectangle en A d'après le théorème de Pythagore on a : BE2=AB2+AE2 soit BE2=32+62 BE2=45 d'où : BE = = 2. Le quadrilatère EBCH est un rectangle car c’est la section d’un pavé droit par un plan parallèle à une de ses arrêtes.. 3. V=(AB*AE)/2*AD=(3*6)/2*2=18 soit 18 cm3. Exercice 6 : (calcul mental) : /3 A= 45 = 30 D= (-4)2 = 16 B=-5+16 = 11 C=3−3×(-3) = 12 E=2% de 300 = 6 F=( 5 - 2)( 5 + 2) = 1 Test d entrée en Seconde Mathématique 2015 (barème sur 30 points) Corrigé Sujet B Exercice 1 : /10,5 1/ a) Écrire la somme du double de x et de 4 : 2 x + 4 b) Écrire la différence de l inverse de x et du carré de x : – x2 2/ Ecrire sous forme d’une fraction irréductible : a/ A = + + = + = = b/ B = c/ C = = = = d/ D= = - = 3/ Calculer : a/ F = 12 – (2 – 4) = b/ Simplifier le plus possible : G c/ Ecrire sous la forme a = = = où a et b sont deux entiers : H = 4/ Développer et réduire au maximum les expressions suivantes : a/ A (5x 2) x + 6 b/ B (2x 3)(x 5) x c/ C (3 x-1) 2 = x x x x x x 5/ Factoriser les expressions suivantes : ( x + 3) 2 a/ A x 2 6x 9 b/ B (2x 3)(x 4) 4(x 4) c/ C x 2 16 (x )(x 6/ Résoudre les équations suivantes : a/ 3x 7 0 2x 3 - 4) (x 4) = 2x - 1) (x 4) ) b) ( x 7)(3x 5) 0 = 3x - x 7 = 0 ou 3x 5 = 0 7 x x = 7 ou 3x L’ensemble solution est S = { } x = 7 ou x 5 L’ensemble solution est S = {7 ; } y Exercice 2 : / 6 3 Partie A : 2 1. L'image de 2 par la fonction f est: f(2) = 2 1 2. f(-3) = 4 -3 -2 -1 et f(4) = - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8x -1 -2 3. Les antécédents de -1 par la fonction f sont: 4 et 6 4. Combien de nombres ont pour image 2 par la fonction f ? trois Quels sont ces nombres? -2 ; 0 ; 2 5. Donner un nombre qui n'a pas d'antécédent par la fonction f : - 3 Partie B : 1/ Soit g la fonction définie par g(x) x²+5 Cette fonction n’ est pas affine car elle ne s’écrit pas sous la forme g(x) = a x + b où a et b sont deux réels. 2/ g(2) = 17 et g(-1)= 8 Exercice 3: /5 Partie A 1. L effectif total N est pair :N =30 Pour calculer Q1 : on calcule Pour calculer Q3 : on calcule Pour calculer Me : on calcule donc Q1 est la 8ème valeur : Q1= 14,8 donc Q3 est la 23ème valeur : Q3= 16,1 donc la médiane est la valeur moyenne entre la 15ème et la 16ème valeur Donc Me= 2. environ 75% des températures ont été supérieures à …14,8……°C ( par définition au moins 25 % des valeurs sont inférieures à Q1 donc environ 75% lui sont supérieures) environ …50....% des températures ont été supérieures à 15,1 ° C. car 15,1 est la médiane Partie B 1°) Comme il y a 30 jours au total et 1 seul jour à 14,6 °C , on a p1= 2°) Comme il y a 30 jours au total et 15 jours inférieurs à 15 °C , on a p2= Exercice 4 : /3 1. La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu. figure 2. Dans le triangle EFG, I appartient à [EF], J appartient à [EG], les droites (FG) et (IJ) sont parallèles d'après le théorème de Thalès on a : EI/EF=EJ/EG=IJ/FG d'où : 9/12=EJ/14 d'où EJ=14*9/12=14*3/4=10,5. Exercice 5 : / 2,5 1. Dans le triangle ABE rectangle en A d'après le théorème de Pythagore on a : BE2=AB2+AE2 soit BE2=22+62 BE2=20 d'où : BE = = 2. Le quadrilatère EBCH est un rectangle car c’est la section d’un pavé droit par un plan parallèle à une de ses arrêtes.. 3. V=(AB*AE)/2*AD=(2*4)/3*2=12 soit 12 cm3. Exercice 6 : (calcul mental) : /3 35 = 14 A= 2 D= (-7) = 49 B=-7+13= 6 C=5−5×(-5)= 30 E=3% de 300= 9 F=( )( ) = -2