Université Paris Diderot - Paris 7 Intégration et Probabilités L3 Maths Fondamentales 2010-2011 Travaux dirigés, feuille 9 : probabilités - 2 loi des grands nombres, théorème de la limite centrale Loi des grands nombres, convergence p.s. et en probabilité Exercice 1 Soit f : [0, 1] → R continue et (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi uniforme sur [0, 1], de densité 1[0,1] par rapport à la mesure de Lebesgue. Trouver P limn→∞ n1 ni=1 f (Xi ). Exercice 2 Soit f : R → R continue bornée. 1) On suppose que (Xn )n∈N est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées ! n 1X Xi de loi uniforme sur [0,1], de densité 1[0,1] par rapport à la mesure de Lebesgue. Trouver lim f n→∞ n i=1 " !# n 1X puis lim E f Xi . En déduire n→∞ n i=1 Z lim n→∞ [0,1]n f x1 + · · · + xn n dx1 · · · dxn . 2) On suppose que (Xn )n∈N est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées ! n X 1 de loi de Poisson de paramètre α - i.e., pour tout k ∈ N, P(X1 = k) = e−α αk /k!. Trouver lim f Xi n→∞ n i=1 !# " n 1X Xi . En déduire puis lim E f n→∞ n i=1 lim X n→∞ e k −αn (αn) k f . k! n k≥0 Exercice 3 : théorème de Weierstrass On considère tout au long de l’exercice une fonction f : [0, 1] → R continue. On définit sur [0, 1] le polynôme Qn (pour n ≥ 1) par n X k Qn (x) = f Cnk xk (1 − x)n−k , n k=0 où Cnk désigne le nombre de combinaison de k éléments parmi n, ou encore le nombre de tirages simultanés n! de k éléments parmi n, et vaut Cnk = . k!(n − k)! 1 1) Montrer à l’aide de la loi des grands nombres que ∀x ∈ [0, 1] , lim Qn (x) = f (x) . n→∞ Indication : on pourra introduire une suite (Xi )i≥1 de v.a. i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre x, i.e. P(X1 = 1) = x et P(X1 = 0) = 1 − x, et exprimer Qn (x) en fonction de Sn = X1 + · · · + Xn . 2) Montrer que Qn converge vers f uniformément sur [0, 1]. Indication : majorer E(|f ( Snn )−f (x)|) en découpant selon l’événement {| Snn −x| > δ} et son complémentaire, pour δ > 0. Exercice 4 Soit n ≥ 1. Soit (Xk (n))k≥1 une suite de v.a. i.i.d. de loi uniforme sur {1, 2, . . . , n}, i.e., pour tout i ∈ {1, ..., n} on a P(Xk (n) = i) = 1/n. Soit Tn = inf{m ≥ 1 | {X1 (n), . . . , Xm (n)} = {1, . . . , n}} le premier instant où toutes les valeurs possibles ont été observées. 1) Soit τkn = inf{m ≥ 1 | #{X1 (n), . . . , Xm (n)} = k}, pour k ∈ {1 . . . n}. Montrer que les variables n ) (τkn − τk−1 2≤k≤n sont indépendantes, et déterminer leur loi respective. 2) a) Calculer E(Tn ), et montrer que Var(Tn ) ≤ Cn2 où C est une constante. b) En déduire que Tn n ln n converge vers 1 en probabilité, c’est-à-dire que Tn − 1 > ε = 0 . ∀ε > 0 , lim P n→∞ n ln n Indication : on pensera à utiliser l’inégalité de Tchebychev. Exercice 5 Soient (Xn )n≥1 une suite de v.a. réelles et X une v.a. réelle définies sur (Ω, F, P). On suppose que Xn → X en probabilité sous P, i.e., ∀ε > 0 , lim P (|Xn − X| > ε) = 0 . n→∞ Soit Q une mesure de probabilité absolument continue par rapport à P, i.e., ∀A ∈ F , P(A) = 0 ⇒ Q(A) = 0 . 1) Montrer que pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que ∀A ∈ F , P(A) ≤ δ ⇒ Q(A) ≤ ε . Indication : on pourra raisonner par l’absurde. 2) Montrer que Xn → X en probabilité sous Q. Convergence en loi, fonction caractéristique et théorème de la limite centrale Exercice 6 Soient (Xn )n≥1 une suite de v.a. réelles et X une v.a. réelle définies sur (Ω, F, P). On suppose que Xn → X en loi. Montrer que f (Xn ) → f (X) en loi, pour toute fonction f : R → R continue et bornée. 2 Exercice 7 On dit qu’une variable aléatoire Y suit une loi de Poisson de paramètre l si Y est à valeurs dans N et pour tout k ∈ N, P(Y = k) = lk e−l /k!. 1) On suppose que (Xn )n∈N est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi de Poisson de paramètre 1. On pose Sn = X1 + · · · + Xn . a) Montrer que Sn suit une loi de Poisson de paramètre n. Indication : penser à la caractérisation de la loi par la fonction caractéristique. P k b) Exprimer e−n nk=0 nk! en fonction de la loi de Sn . c) Montrer en utilisant le théorème de la limite centrale que lim e −n n→∞ n X nk k=0 k! 1 = . 2 2) On suppose que (Xn )n∈N est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de carré intégrable. Pour tout α ∈ R calculer limn→∞ P (X1 + · · · + Xn ≤ nα). Exercice 8 On suppose que (Xn )n∈N est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi µ. On suppose que Var(Xn ) < ∞. Soient Y1 = X1 1 1 , Y2 = (Y1 + X2 ) , ... , Yn = (Yn−1 + Xn ) . 2 2 2 1) Calculer E(Yn ) et Var(Yn ). √ 2) On suppose que Xn suit une loi gaussienne N (m, σ 2 ), de densité x 7→ exp[−(x−m)2 /2]/ 2πσ 2 par rapport à la mesure de Lebesgue. Montrer que Yn suit aussi une loi gaussienne, dont on donnera les paramètres. Montrer que Yn converge en loi vers une variable aléatoire Y que l’on précisera. Indication : penser aux fonctions caractéristiques. Exercice 9 Soient (Xn )n≥1 une suite de v.a. constantes, c’est-à-dire que pour tout n, il existe xn ∈ R tel que Xn = xn p.s., et soit X une v.a. réelle. Montrer que Xn → X en loi si et seulement si il existe x ∈ R tel que X est de loi δx et xn → x quand n tend vers l’infini. Exercice 10 : formule de Stirling 0) Soit X une v.a. réelle de carré intégrable définie sur (Ω, F, P). Montrer que, pour tout a > 0, on a p E(|X − inf(X, a)|) ≤ E(X 2 )P(X ≥ a) . Soit (Xn )n≥1 une suite de v.a. indépendantes définies sur (Ω, F, P), de même loi de Poisson de paramètre 1 - i.e., pour tout k ∈ N, P(X1 = k) = e−1 /k!. On pose, pour tout n ≥ 1, Sn = n X Xi et i=1 On note x− = sup(−x, 0) pour tout x ∈ R. 3 Yn = Sn − n √ . n 1) Pour tout n ≥ 1, vérifier que Sn suit une loi de Poisson de paramètre n, i.e. pour tout k ∈ N, P(Sn = k) = nk e−n /k!. Calculer E(Yn2 ) et en déduire que pour tout a > 0, P(Yn− ≥ a) ≤ 1 . a2 2) Soit Y une v.a. de loi normale N (0, 1), de densité y 7→ e−y Montrer que la suite (Yn− )n≥1 converge en loi vers Y − . 2 /2 √ / 2π par rapport à la mesure de Lebesgue. 3) Montrer à l’aide de la question 0) que lim E(Yn− ) = E(Y − ) . n→∞ 4) En déduire la formule de Stirling : n! ∼ n n √ e quand n → ∞ . 2πn Exercice 11 1) Soit m une mesure de probabilité sur (R, B(R)). Pour tout n ≥ 1, on définit une mesure de probabilité mn sur (R, B(R)) par X k k + 1 mn = m , δk/n . n n k∈Z Montrer que (mn )n≥1 converge étroitement vers m. Indication : étudier le comportement de variables aléatoires de loi mn . 2) En déduire que si (Xn )n≥1 est une suite de v.a., avec Xn de loi géométrique de paramètre e−1/n - i.e., pour tout k ∈ N, P(Xn = k) = (1 − e−1/n )e−k/n - alors la suite (Xn /n)n≥1 converge en loi vers une variable aléatoire exponentielle de paramètre 1. Exercice 12 Soit (Xn )n≥0 une suite de variables aléatoires réelles définies sur (Ω, F, P). Onsuppose Xn ∼ N (mn , σn2 ) 1 (x − mn )2 avec mn ∈ R et σn ∈ R+∗ , i.e. la loi de Xn admet pour densité x 7→ p exp − par rapport 2σn2 2πσn2 à la mesure de Lebesgue. Montrer que cette suite converge en loi vers une variable réelle Y si et seulement si les deux suites (mn )n≥0 et (σn )n≥0 convergent dans R, et identifier la loi limite. Exercice 13 Soit (Xn )n≥1 une suite de v.a. réelles définies sur (Ω, F, P), i.i.d. suivant la loi uniforme sur [0, 1] (de densité 1[0,1] par rapport à la mesure de Lebesgue). On pose Mn = max(X1 , . . . , Xn ). Montrer que la suite (n(1 − Mn ))n≥1 converge en loi quand n tend vers l’infini et expliciter la loi limite. 4