Le phénomène d`induction électromagnétique

Le phénomène d’induction électromagnétique
I
Remarque :

Le nom officiel du champ B est l’« induction magnétique », qui peut porter confusion avec le
nom du phénomène qu’on va étudier.
(On utilise plus couramment le champ magnétique)
Mise en évidence expérimentale

B
A) Circuit déplacé dans un champ invariant
g
S
N
(g : galvanomètre, détecte un courant)
Lorsqu’on déplace la spire, g varie :
- Plus l’aimant est déplacé rapidement, plus g varie fort.
- Dès qu’on arrête l’aimant, g s’arrête.
- Lorsqu’on change le sens du déplacement, la variation se fait dans l’autre sens.
- Lorsqu’on inverse les pôles, tout est inversé.
Roue de Barlow :

B
g
Hg
Quand la roue tourne, g varie, et on a les mêmes phénomènes (selon la vitesse ou
le sens de rotation)

B
B) Circuit fixe dans un champ variable
g
S
N
On déplace cette fois l’aimant.
On observe les mêmes phénomènes.
g
On fait varier I dans la bobine ; on observe le même type de phénomène.
C) Cas mixte
…
D) Conclusion
II
On a un courant induit, même sans générateur. Ce courant dépend :
- Du sens de la variation/déplacement.
- De l’amplitude de la variation/du déplacement.
- De sa rapidité.
Origine du courant induit

A) Cas de Lorentz : circuit déplacé/déformé dans un champ B stationnaire

B

FL
e-

v

 
L’électron est alors soumis à une force de Lorentz FL  q (v  B) .
La composante transverse provoque un champ de Hall. La composante
longitudinale provoque un déplacement de l’électron dans le fil et donc un courant.

B
B) Cas de Neumann : circuit fixe dans un champ variable

 
Le champ B ( r , t ) induit un champ E , qui mettra alors en mouvement l’électron.

Ainsi, on observe des phénomènes similaires selon que B varie ou le circuit, mais les
phénomènes ne sont pas dus à la même cause.
III Etude quantitative de l’induction
A) Loi d’Ohm dans un champ magnétique
1) Introduction
On considère une distribution de charges, dans laquelle il y a n porteurs de
charge q par unité de volume.
On suppose ces charges initialement fixes dans R.

m
Elles seront soumises aux forces qE ,  v , et en négligeant le terme

 q 
E.
d’inertie devant ces deux termes, on aura v 
m

 nq 2 
On aura donc un courant j  nqv 
E
m
On considère un volume d de ces porteurs :

v
d
On note R* le référentiel propre de l’élément (en translation rectiligne

uniforme à la vitesse V par rapport à R)
2) Loi d’Ohm dans R*

Expression :
 


m
ma*  q( E * v *  B*)  v *


En négligeant encore ma * devant les autres termes :


q  
v* 
( E * v *  B*)
m


nq 2  
Donc j * 
( E * v *  B*)
m



-
Analyse :



j * est colinéaire à v * , donc il y a dans E * une composante colinéaire




à j , et une orthogonale à j qui annule v *  B * .
  



Donc j *   .E* , et 0  E//*  v *  B *


- Ordre de grandeur : en général, E//*  E* :
Pour un fil de section s  1mm 2 , parcouru par un courant I  1A ,
On aura un courant j  106 A.m 2 , et  ~ 106 S.m 1 , donc E//* ~ 1V.m 1 .

Et les porteurs on une vitesse moyenne v * ~ 105 m.s 1 ; pour un champ

B* ~ 1T , on aura E* ~ 105 V.m 1 .
*


- Ainsi, j *   .E//   .E * .
3) Loi d’Ohm dans R.

Expression :
   m

ma  q ( E  v  B)  v *

(Les chocs sont dus au mouvement des électrons par rapport au réseau)
Donc en négligeant le terme inertiel :
  

j *   ( E  v  B)

 
Mais j  j *   .V , et pour un conducteur   0 (les porteurs en trop
atteignent, même en régime variable, la surface en un temps de l’ordre de 10 18 s )
  

Donc j   ( E  v  B)
 Ordre de grandeur :


On a v  V  v *


Et v * ~ 105 m.s 1 , V ~ 1m.s 1
  

Donc j   ( E  V  B) .
B) Cas des circuits filiformes : théorème de Faraday
1) Cas de Lorentz (circuit déplacé dans un champ magnétique stationnaire)

Loi d’Ohm globale :
+
A

dl
B

d

On suppose B stationnaire.

j   
On a  E  v  B
 

    
j  dl
 E  dl  (v  B)  dl
Donc
 

Soit ( j // dl ) :
 B   
B jdl
B 
A   A E  dl  A (v  B)  dl


 dl d
 

Mais v  v * V 
dt dt

 B d  

B Idl
B
Donc 
   V  dl   (
 B)  dl
A s
A
A dt
 
B 
Soit iAB RAB  VA  VB  eAB , avec eAB   (V  B)  dl
A
Ou iAB RAB  u AB  eAB (on est en ARQP magnétique)
 Champ électromoteur de Lorentz
 :

 
 d
On pose Em  V  B , avec V 
.
dt

Em est homogène à un champ électrique, mais n’est pas un champ électrique

On dit qu’il est électromoteur car c’est comme si une force qEm s’appliquait
sur le circuit pour mettre les porteurs en mouvement.
 Force électromotrice d’induction :

B
eAB   Em  dl
A


Pour tout le circuit, e   Em  dl .

Théorème de Faraday :
-
Portion de circuit AB :


 
  
 d
 d
On a V 
, soit (V  B)  dl  
 dl   B
dt
 dt

Donc

 
 
B d
1 B 
e AB    
 dl   B    d  dl  B
A dt
dt A


1 B  
1
    2 S c  B   dc
A
dt
dt
d
Soit e AB   c .
dt
d
- Pour le circuit tout entier, e   c
dt

d
Comme B est stationnaire, dc  d et donc e  
.
dt
 Exemples :
- Déplacement d’une tige conductrice :

V
 BB

A+ V

B

 
(1) On a Em  V  B
(2) Il y a de plus un champ électrique à cause des charges qui s’accumulent,

jusqu’à compenser Em .
(3) En régime permanent, iAB  0 et u AB  0 .
On a RABiAB  u AB  eAB , donc on devrait avoir eAB  0 :
Théorème de Faraday :
Calcul de dc :

l

dS c

B
A
d
dc
 0.
dt
Déplacement d’un cadre rectangulaire :
On a donc dc  0 , et e AB  
-
C
D
B
A

B
V
C

Em

Em
D

Em
B

 B
Em
A

 
(1) On a Em  V  B
Dans les branches CB, DA, on a un effet Hall
Dans les branches CD, BA, les charges + s’accumulent en bas, les – en haut.

(2) Si B est uniforme, on aura une tension entre A, B, C et D, mais pas de
d
 0)
courant ( e  
dt


(3) Si par exemple B est décroissant dans le sens de V , on aura une
circulation des électrons de C vers B et donc un courant i positif (de B
d
0.
vers C…) : Ri  u  e  
dt
2) Cas de Neumann
 
On prend cette fois un circuit fixe dans un champ B ( r , t ) variable.



A
On aura E  V 
t
 Loi d’Ohm globale
  

On a j   ( E  v  B)
Donc entre deux points A et B du circuit :


 B A  B   

B j
B

d
l



V

d
l
    dl   v  B  dl
A 
A
A
A
t
Soit, en ARQP magnétique :

 dl
)
RABiAB  u AB  eAB  0 (on a v 
dt
On retrouve donc la même loi.
 Champ électromoteur de Neumann :


A
On a Em  
.
t
- C’est une partie du champ électrique.
- Il dépend du choix de jauge, donc on peut obtenir éventuellement des
paradoxes…
 Force électromotrice
d’induction :


B A
e AB   
 dl
A
t
On a RABiAB  u AB  eAB , donc u AB  eAB ne dépend pas du choix de jauge,
alors que chacun des termes indépendamment en dépend.
En fait, on ne parle du cas de Neumann que lorsqu’on travaille avec un
circuit entier.

A 
On a ainsi Ri  0  e et e   
 dl , indépendant du choix de jauge.
t
 Théorème de
 Faraday : comme le circuit est fixe,
  
A 
d  
d
On a e     dl    A  dl      A  dS
t
dt
dt
d
Soit e  
.
dt
 Exemple :
I

B
+
solénoïde
On a   0 nI (t ). .R 2 (en ARQP magnétique)
On débranche le solénoïde.
Ainsi, I (t ) passe de I à 0.
Pendant la décroissance de  , on aura i  0 dans la spire.
3) Cas général
C’est lorsque le circuit se
 déplace dans un champ variable.

d
A  
 V  B , et on aura toujours e  
On aura alors Em  
(admis).
dt
t
4) Courant et quantité d’électricité induits

Courant induit :
d
1 d
, donc i  
, ce qui explique tous les résultats
dt
R dt
expérimentaux observés.
 Quantité d’électricité induite :
On a Ri  e  
+
Si à t1 on a un flux 1 , à t 2 un flux 2 , alors la quantité de charge traversant
t2
 1 t2 d
1
le circuit est q   idt 
dt  (1  2 ) , indépendante de la variation de

t1
t
R 1 dt
R
flux pendant le déplacement.
C) Cas des courants volumiques et surfaciques
Ce cas là est plus complexe :
- On ne peut déjà pas appliquer le théorème de Faraday.
- Quand on déplace un fil, on déplace en même temps la ligne de courant, alors
que pour un volume ou une surface, on a un ou deux degrés de liberté
supplémentaires :
Exemple :
Roue de Barlow :

B

B
g
g
Hg
Hg
On suppose que la deuxième roue est faite de telle sorte que dès qu’un rayon quitte
le mercure, le suivant arrive, afin de ne pas ouvrir le circuit.
Ainsi, le deuxième circuit correspond à un circuit filiforme, et le premier
surfacique.
Quand la deuxième roue tourne, les lignes de courant se déplacent avec le
conducteur, alors que pour le premier, en régime permanent, le trajet des électrons ne
varie plus, et donc la ligne de courant n’est pas fixe par rapport au conducteur.
Dans ces cas là, on est obligé de revenir aux calculs classiques :
  

j   ( E  v  B)



A
E  V 
t
 
B
E  
t
IV Loi de Lenz
A) Enoncé
Le phénomène d’induction agit en sens tel qu’il s’oppose aux causes qui lui ont
donné naissance.
B) Exemples 
1) Champ B et flux induit
S
N
+
On rapproche l’aimant de la spire.
dext
 0 , soit
Ainsi, le flux ext créé par cet aimant va augmenter, et donc
dt

i  0 . Donc la spire va créer un champ Bpropre dirigé vers la gauche.


Ainsi, en voulant augmenter B , on a créé un champ B opposé au champ
extérieur.
Ou, avec les flux : on aura propre  0 , donc la spire tempère l’augmentation
de flux.
2) Force de Laplace induite

Fop
v
+

B

g
Lorsqu’on déplace le rail,  diminue, donc e  
d
 0 , et on aura un
dt
courant i positif dans le circuit.
 

Force de Laplace induite sur la tige : Fl  i.l  B
Donc opposée au déplacement.
Remarque :
La loi de Lenz est une loi de modération, qui traduit la stabilité du système :
Si on imagine un monde « anti-Lenz », on aurait par exemple pour un petit
déplacement de la tige précédente une force de Laplace qui pousserait la tige
encore plus…
V Application des phénomènes d’induction
A) Générateurs
1) Principe

Le déplacement d’un circuit dans un champ B stationnaire provoque un
courant i.
2) Exemple



S

B
.t B
A B
On a ainsi un dipôle électrocinétique :
A
e AB
RAB
B
Et u AB  eAB  Ri AB
d
d
Où e AB   c  
(en supposant A et B très proches)
dt
dt
 
On a   B  S  BS cos .t
Donc eAB  BS sin .t
3) Bilan énergétique
 Analyse :
- Lorsque le générateur est en circuit ouvert, on a iAB  0 .
Donc u AB  eAB
Il n’y a pas de puissance électrique.
Et pas non plus de force de Laplace, donc le cadre tourne sans être ralenti.
- En circuit fermé :
On a iAB  0
Donc il y a une puissance électrique
Mais aussi une force de Laplace induite résistance.

-
Travail électrique fourni par le générateur au circuit extérieur :
Rappel électrocinétique :
D
A
B
On note PAB la puissance reçue par le dipôle D.
Lorsqu’une charge dq traverse D, elle a en A une énergie dqVA , en B une
énergie dqVB
Donc l’énergie varie de dq(VB  VA )  dq.u AB
Donc D a reçu une énergie dq.u AB .
dq
Donc PAB  .u AB
dt
Ou PAB  iAB .u AB .
- Pour le générateur :
La puissance électrique fournie est Pf   Preçue  u ABi AB
Mais Ri AB  u AB  eAB .
2
Donc Pf  eABiAB  r.iAB
.
 Travail mécanique reçu par le cadre (fourni par l’opérateur)
On a Wop  M op d
D’après le principe fondamental de la dynamique,
d
0  J
 M op  M L , donc M op   M L
dt
Donc Wop  WL .
Mais d’après le théorème de Maxwell :

WL  iABd  eABiABdt ( B est stationnaire)
Donc Pf ,op  e ABi AB .
 Bilan :
On a perdu de l’énergie liée à la résistivité dans le cadre.
Mais l’énergie mécanique est transformée intégralement en énergie
électrique (puis cette énergie est perdue un peu par effet Joule)
B) Moteurs
Moteur asynchrone monophasé :

S
N spires 
uz


B
t
On prend N spires, de résistance totale R, et d’auto-inductance L.



Les vecteurs S (vecteur surface) et B tournent autour de uz .
1) Analyse physique


 
Si S , B ne vont pas à la même vitesse, le flux à travers les spires varie.

La loi de Lenz indique déjà que si la spire tourne plus vite que B , elle
sera freinée et vice-versa.
2) Etude du fonctionnement en régime permanent
On suppose que   .t avec   cte .
 Intensité induite :
- Equation d’évolution :
On a Ri  e
d
Et e  
, avec   ext  propre .
dt
On admet (pour l’instant) que lorsqu’un circuit a une auto-inductance,
propre  Li .
Ainsi,   NBS cos(t  t )  Li  0 cos( gt )  Li
Où 0  NBS et g     (« glissement »)
Ainsi, l’équation d’évolution donne :
di
Ri  L  0 g sin( gt )
dt
- En régime sinusoïdal :
On cherche une solution de la forme i  I m cos( gt   )
Donc en complexe I  I m e j , et l’équation s’écrit I ( R  jLg)  0 g. j
 Moment induit :
- Instantané :
 


(1) On a M L  NiS  B  0i sin( gt )uz
(2) Autre méthode :

On a M   i

On fait varier  en maintenant tout le reste fixé :

  NSB cos(  t ) et
 0 sin(   t ) …

- Moyen :
1
1
 M    Re I  (0 j ) *   Re( j I0 )
2
2
2
1   jg0 
1
R
  Re 
j    02 g 2
2  R  jLg 
2
R  L2 g 2
 M 
g
C'est-à-dire pour  et avec un travail moteur :
 M



3) Fonctionnement
 Charge :
On suppose qu’on a un moment résistant M c  0 constant (plus la charge
est importante, plus la résistance est importante)
 Evolution séculaire du rotor (c'est-à-dire du cadre) :
d
J
 M    M c
dt
 Différents régimes :
d
0
- Régime permanent :
dt
M1
M0
 M 


Si M c  M1 : pas de fonctionnement possible.
Si M c  M 0 : un seul point de fonctionnement possible.
Si M 0  M c  M 1 : deux régimes de fonctionnement possibles.
- Stabilité :
Le régime à gauche est instable :
Si on a un point de fonctionnement à gauche, une petite diminution de 
donnera  M    M c , et donc ddt  0 , puis  va chuter jusqu’à 0.
Si au contraire la perturbation se fait dans le sens de l’augmentation de  ,
 va continuer à augmenter jusqu’à atteindre l’autre point de fonctionnement.
Pour la raison inverse, le régime de fonctionnement à droite est stable.
Condition de démarrage :
d
0)
dt
Pour M 0  M c  M 1 , il faut aider le moteur au début pour atteindre un point
de fonctionnement.
Il faut pour pouvoir démarrer M 0  M c (
4) Evolution séculaire
On a     cte
 Evolution instantanée :
J   M   M c
 Temps caractéristique :
- En régime établi :
(1)  dépend de t (  varie périodiquement avec une période T1 )
(2) On a    
- En régime lentement variable :
(1) On a   T1  
(2)  varie avec un temps caractéristique T2  T1
(t )
 (t )

T1
T2

Equation séculaire :
d
 M    M c
On a J 
dt
 Condition de démarrage :
d
 0 , soit M 0  M c
Il faut qu’à   0 , on ait
dt
On a donc une condition de démarrage plus restrictive que la condition de
fonctionnement.
5) Réalisation d’un champ tournant
Bobines de Helmholtz :
R
R
On suppose les bobines parcourues par un même courant i1 .

A l’intérieur, B est sensiblement uniforme, et si i1  i0 cos t , on aura


B1  B0 cos t.ux
Et si on ajoute deux autres bobines identiques orthogonalement aux autres,


parcourues par un courant i2  i0 sin t , on aura un champ B2  B0 sin t.u y
  
Et donc par superposition B  B1  B2 , qui sera un champ tournant.
C) Courants de Foucault
1) Définition
Ce sont les courants d’induction volumiques (ou surfaciques) :

Pour un conducteur immobile dans un champ B variable, ou en mouvement

dans un champ B stationnaire (ou en mouvement dans un champ variable)
2) Effets

-
Effet Joule :
Fours à induction, cuisinières à induction :
i  i0 cos .t
On se retrouve ici dans un cas de Neumann.
- Chauffage des pièces métalliques dans un moteur.
Pour l’éviter, on fait un feuilletage :
Courants de
Foucault
On coupe le cylindre en tranches dans le sens vertical, et on ajoute des
feuillets isolants :
Ainsi, la pièce conduit toujours dans le bon sens (vertical), mais les courants
de Foucault ne passent plus.
 Freinage :
- Principe :
C’est le cas de Lorentz : les forces de Laplace s’opposent au mouvement.
- Caractéristique :
Il est d’autant plus efficace que les courants de Foucault sont importants.
Pour un freinage efficace, il faut donc une vitesse plus grande.
Application : poids lourds :
Freins de Foucault :
On produit un champ magnétique autour des disques des roues pour freiner
la rotation du disque.
Mais il faut en plus un frein classique (les freins de Foucault ne sont plus
assez efficaces à petite vitesse)
Intérêt :
Le frein classique est lié au frottement, et donc diminue rapidement lorsque
la température augmente.
Le frein de Foucault lui n’en dépend pas (ou très peu)
VI Compléments
A) Résolution des problèmes d’induction
1) Conducteurs filiformes
 Cas de Neumann :
On a affaire à un problème d’électricité :
 Ri  e
 e   d

dt
 Cas de Lorentz :
On a un problème de mécanique et d’électricité (« électromécanique »)
- Equation électrique :
On a RABiAB  u AB  eAB
Ou Ri  e
d
d
Et e AB   c ou e  
.
dt
dt
- Equation mécanique :
Principe fondamental de la dynamique.
2) Conducteurs non filiformes

Loi d’Ohm locale :
  

j   ( E  v  B)
 Equation de Maxwell–Faraday :

 
B
, donc sur un contour  fixe :
E  
t


 E  dl


d
dt
3) Mouvement de charges électrostatiques

 
Un champ B ( r , t ) variable va induire un champ E , et une charge ponctuelle
q sera mise en mouvement par ce champ :
- On utilise le principe fondamental de la dynamique :
  

ma  q( E  v  B)

  
B
- Et l’équation de Maxwell–Faraday pour déterminer E :   E  
t
B) Tige chargée dans un solénoïde infini
z
n,I

On fait passer l’intensité de I à 0 dans le solénoïde.
On observe alors une rotation de la tige.
1) Analyse physique
-
La tige ne se mettra pas en mouvement


Ca ne peut être que sous l’action de E induit par la variation de B .
2) Symétries


Pour B : tout plan orthogonal à Oz est de symétrie pour j , donc

d’antisymétrie pour B .

 

B
On a   E  
, donc un plan de symétrie pour B sera d’antisymétrie
t



pour E . Donc E  E(r, , z , t )u .


On a en ARQP magnétique : B  0 nIuz .

E
3) Calcul de .
On prend un disque de rayon r centré sur l’axe :

 
  
B 
On a  E  dl     E  dS   
 dS
t
di
Donc 2 .r.E   0 n  .r 2
dt

di r 
Donc E    0 n
u .
dt 2
4) Rotation de la tige
l /2
l/2
O
x


On a dF  dx.E , donc
di 
1
di
 1
dM   xdx.E  .xdx   0 nx     0 nx 2 dx
dt 
2
dt
 2
l/2
1
di  x 3 
1
di
   0 nl 3
Puis M    0 n  
2
dt  3  l / 2
24
dt
D’après le théorème du moment cinétique,
J   M 
ml 2 
1
di
   0 nl 3
12
24
dt

n

l
1
di
0
Puis   
2 m dt
A t  0 ,   0 et i  I
Quand t   ,    f et i  0 .
Soit
1 0 nl
I.
2 m
La vitesse angulaire trouvée est indépendante de la vitesse avec laquelle i
passe de I à 0.
On a alors  f 
C) Entraînement par induction
A

g

B

i i
A’
m,R
O m,R
a
'
Résistance
négligeable
La tige OA est manipulée par l’opérateur, et OA’ est libre.
 On commence par déplacer OA à vitesse angulaire 0 constante.
- Analyse physique :
Déjà, on aura une variation de flux, donc une force électromotrice.
La loi de Lenz indique que OA’ va suivre OA.
On est dans le cas de Lorentz.
- Equation électrique :
On a 2Ri  0  e (il n’y a pas de résistance dans le cerceau)
D’après le théorème de Faraday,
B.a 2
d
  '
, et   B   .a 2 
e
 0 (   ' ) où 0 
dt
2
2

Ainsi, e  0 ( '0 )
Autre méthode : champ électromoteur de Lorentz :


  
E

d
l

v
m

  B  dl
Donc


A'
0






 Em  dl   (r'.u '  Bu z )  dr.u 'r   (r.u  Bu z )  dr.ur
0
A'
1 2 1 2
Ba  ' Ba 0
2
2
Ainsi, en reportant l’expression de e : 2 Ri  0 ('0 )

- Equation mécanique :
D’après le théorème du moment cinétique appliqué à OA' par rapport à l’axe Oz,
J '  M L .
(Tous les moments de réaction sont nuls : pour le centre, il est sur Oz, et pour le
cerceau, la droite d’action passe toujours par l’axe)
Calcul direct :

dF
 

On a dF  idl  B
Donc
  

dM L  (r.ur  (idl  B))  u z




 (r.ur  (dr.ur  Bu z ))  u z
 r.i.dr.B
Puis en intégrant, M L  i0
On pouvait aussi utiliser le théorème des travaux virtuels :
  
M L  i

  ' 
- Mouvement :
J
On a alors 2 R 2  ' '  0 où  '  ' .
0
2 RJ 
Donc  '  0 1  e t /  où  
02
- Discussion :
Le résultat est déjà satisfaisant d’après l’analyse.
Au bout d’un temps infini, les deux tiges vont a la même vitesse, donc
d
0,
dt
soit i  0 , et donc la deuxième tige tourne toute seule.
Si la résistance est infinie, il n’y a pas de mouvement
Si le champ devient très faible, on a le même effet.
Lorsque R  0 , on a  '  0 , donc la deuxième tige se met à tourner dès que la
première démarre.
- Bilan énergétique :
Puissance cinétique :
dE
Pc  c  J '' ( Ec  J '2 )
dt
Puissance Joule :
Pj  2Ri 2
Puissance de l’opérateur :
On applique le théorème du moment cinétique à OA :
d 0
J
 M L  M op
dt
Donc M op   M L  i0
(i est inversé dans OA par rapport à OA’, donc M L ,OA   M L ,OA' )
Donc Pop  M op  0  i00
On doit avoir Pop  Pc  Pj , et on peut vérifier que le résultat est cohérent…
 A t  0 , les tiges sont au repos :   '  0
Pour t  0 , on fait un mouvement quelconque avec la tige OA, et on note

   dt
0
On cherche alors  '
On a 2 Ri  0 (') , donc J ' 
02  
(   ' )
2R

Donc en intégrant, J ' f 
(   ' ) .
2R
Alors ' f  0 .
En effet, en supposant que '  0 , on aurai construit un radiateur perpétuel,
2
0
f
Ou :
Si ' f est fini non nul, alors  ' est aussi fini..?
D’où    '
Bilan énergétique :
Wop  W j .
D) Mesure de tension au voltmètre
A
R
R
R
i
B
D
R
C
Solénoïde infini de section S
parcouru par I(t)
On suppose que I (t )  I 0 (t0  t ) .
On est ici dans un cas de Neumann.
1) Force électromotrice, courant induit
On a 4 Ri  e0  
Donc i 
 0 nSI 0
4R
2) Mesure de tension
d
dI
   0 n S  0 nSI 0
dt
dt
i1
A
V1
j
B
D
i1  j
C
Analyse :
On considère que le voltmètre est en fait un modèle qui a une résistance R1
très importante, et qui mesure le courant i1 (très faible pour le coup).
Dans la maille AV1BA :
On a R1i1  R. j  e  0 . Donc R. j  R1i1
Dans la maille ABCD , 4 R. j  3Ri1  e0 .
On néglige 3Ri1 devant 4 R. j :
e
e
On a ainsi R1i1  Rj  0 c'est-à-dire u1  0
4
4
3) Autre mesure de la tension
A
D
V2
j
i2  j
B
C
i2
On suppose que R2  R1 .
 Maille AV2 BA : R2i2  Rj  e0
 Maille ABCDA : 4 Rj  3Ri 2  e0
e
 3e0
Donc Rj  0 , d’où R2i2 
 u2
4
4
On trouve un résultat différent !
E) Supraconductivité
1) Propriétés des supraconducteurs
 Résistivité nulle pour T  TC :    .
Découverte en 1911 par Heike Kamerlingh Onnes.
Il a découvert que pour le mercure, quand T  4,15K , la résistivité chutait en
dessous du seuil de détection.
Pour l’étain, il a trouvé Tc  3,8K
Et pour HgBa 2Ca 2Cu3O8 , la température critique atteint
Tc  135K  138C
 Effet Meissner :

Un supraconducteur expulse B :
B0
On place une boule
supraconductrice
En fait, des courants sont créés à la surface de la boule et créent un champ

B1 de façon à avoir un champ nul à l’intérieur.

(En fait, B pénètre quand même un peu)


Si r  R , on aura B1   B0
  
Si r  R , B  B1  B0

 
Et B( R )  0 js  n
Remarque :
L’effet Meissner n’est pas réservé aux supraconducteurs.
 Champ critique :
- Supraconducteur de première espèce :

La température critique dépend en fait du champ B , et plus précisément de
l’excitation magnétique (c'est-à-dire du champ gouverné par les courants libres)
H
Et on a la relation Tc  Tc0 1  c :
H c0
T
Tc0
Tc  f ( H c )
Conducteur normal
H
H c0
supraconducteur
Tous les métaux sont supraconducteurs et ont ce comportement.
(A quelques exceptions près, dont le Niobium)
- Supraconducteurs de deuxième espèce (non métaux)
(1) Ils peuvent rester supraconducteurs même pour des excitations
magnétiques très supérieures à celles des conducteurs de première
espèce.
(2) Leur résistivité est très faible, mais mesurable.

(3) B peut pénétrer plus profondément à l’intérieur.
2) Conduction
 Conducteur ordinaire :
Les électrons ont un spin ½entier et obéissent donc à la statistique de Fermi–
Dirac (ce sont des fermions)
 Supraconducteurs :
Les électrons sont ici appariés : paire de Cooper.
Ils ont donc un spin entier, et obéissent à la statistique de Bose–Einstein (ce
sont alors des bosons)
~ 1m
La distance entre les électrons appariés est très importante. Comment sont ils
appariés alors ?
En fait, l’électron qui est « devant » va modifier le réseau autour de lui.
L’autre électron un peu plus loin va en fait être favorisé par cette modification et
suivre l’autre sans problème.
(Théorie de la supraconductivité : BCS, Bardeen Cooper Schieffer)
3) Application



Transport d’électricité
Intensités plus importantes dans les machines.
Stockage d’électricité (par des courants surfaciques dans les matériaux
sans atténuation)
 Lévitation supraconductrice :
On prend un aimant au dessus d’un supraconducteur.
Lorsqu’on le lâche, l’aimant tombe (!), mais il va provoquer des courants sur
le supraconducteur qui vont créer un champ et freiner l’aimant.
Si les courants ne s’amortissent pas (supraconducteur !), l’aimant peut être
freiné jusqu’à s’arrêter et rester en lévitation.
S
N
-
Pour une boucle résistante :
d
On a Ri  e  
, avec   ext  Li
dt
d
di
Donc Ri  L   ext : on a un courant amorti
dt
dt
- Pour une boucle supraconductrice :
d
di
On a cette fois L   ext , c'est-à-dire   cte : on a en quelque sorte
dt
dt
une loi de Lenz à 100%.
F) Chute d’une tige
D

g
m
+
x
z

B
l
On néglige la résistance de la tige et des rails.
1) Si D est une résistance R.

Equation électrique :
d
Ri  e  
dt
Pendant dt , on a un flux d  Bldz coupé, c'est-à-dire Ri  Bl z
 Equation mécanique :
 

mz  mg  il (u x  B)  u z
 

ilBu z
Soit mz  mg  ilB
 Mouvement :
On a alors en remplaçant i dans l’équation :
B 2l 2
z 
z  g , soit z  vl 1  e  t / 
mR
mRg
mR
Avec vl  2 2 ,   2 2
Bl
Bl
 Intensité :
Bl
Bl
On a ainsi i   z   vl 1  e t /   0
R
R
 Bilan énergétique :
dEc dE p

 Ri 2  0
dt
dt
2) Si D est une bobine d’inductance L.

Equation électrique :
d
On a 0  
, avec   ext  propre  ext  Li
dt
di
  Bl z
dt
C'est-à-dire L  Blz  cte
Mais à t  0  , z  0 , i  0
Et à t  0  , z  0 et comme on a une bobine, i est continu : i  i(0 )  0
Donc Li  Blz
 Equation mécanique :
l 2 B2
mz  mg  ilB  mg 
z
L
l 2 B2
Et z 
z  g , soit z  A(1  cos(t ))
mL
 Bilan énergétique :
dEc dE p d ( 12 Li 2 )


0
dt
dt
dt
Donc L
3) Si D est un condensateur de capacité C.
g
, c'est-à-dire un mouvement
B 2l 2C
1
m
uniformément accéléré (mais moins accéléré que la chute libre)
z 
On obtient après calcul
G) Roue de Barlow
uC

i
O

B
u
C

uz
uR
R
A
On suppose qu’à l’instant t  0  , la roue tourne à la vitesse   0 , et que le
condensateur est déchargé. A t  0 , on ferme l’interrupteur.
(On considère que la roue est un conducteur parfait :    )
1) Analyse
La roue va ralentir (loi de Lenz)
On est dans le cas de Lorentz d’un circuit en mouvement dans un champ
stationnaire.
Comme on a une résistance, l’intensité va tendre vers 0 dans le circuit.
2) Equation mécanique
D’après le théorème du moment cinétique par rapport à Oz, on a
1
J   M L  Br 2i  0i
2
(Le calcul du moment des forces de Laplace a déjà été fait, grâce au
théorème des travaux virtuels)
3) Equation électrique
On a d’après la loi des mailles :
0  uR  uC  u Avec :
1
uR  Ri , uC   idt
C

O 
Et u   E  dl
A
  


De plus, d’après la loi d’ohm, j   ( E  V  B) , et j est fini, donc

 
E  V  B




On a ainsi E  ru  Buz  rBuR
0
Et donc u    r ' Bdr '  12 Br 2  0
R
1
Ainsi, Ri   idt  0  0
C
di 1
C'est-à-dire en dérivant R  i  0  0
dt C
4) Intensité
On a grâce aux deux équations :
di  1  2 
R    0 i  0
dt  C J  
RC
Donc i  i0 e t / où  
 2C
1 0
J
Comme uC ,  sont continus, on a à t  0  : uC (t  0  )  0 ,  (t  0 )  0 .

Donc Ri0  00  0 , soit i0   0 0 .
R
5) Vitesse angulaire
On a  
0
J
i
Donc   l  (0  l )e t /
Avec l 
0
02C
1
J
On retrouve le fait que  décroît :
0

l
t
H) Bêtatron
On considère en coordonnées cylindriques un champ magnétique à symétrie de


révolution de la forme B(r , t )  B(r , t )u z
On étudie le mouvement d’un électron, de masse m, de charge q  e dans ce

  
champ : il est soumis à une force de Lorentz F  q( E  v  B) .
1) Champ électrique induit

 
 
B
On a d’après les équations de Maxwell   E  0 ,   E  
t
 Symétries, invariances :

On a E (r , t )


Tout plan contenant uz est de symétrie pour B . On admet que c’est un plan



d’antisymétrie pour E . Ainsi, E(r, t )  E(r, t )u .
(On ne connaît pas à priori la répartition de charges et courants)

D’après l’équation de Maxwell Faraday, en faisant circuler le champ E
sur un contour circulaire centré sur l’axe, on a :

 
B 
d
 E  dl    t  dS   dt

r
Avec    B(r ' , t )  2 .r ' dr '  Bm   .r 2 où on a noté Bm le champ moyen
0
sur le disque (dépend du temps et du rayon de ce disque)
dB
Ainsi, E  2 .r   .r 2 m
dt


dB
Puis E   12 r 2 m u
dt
2) Condition de trajectoire circulaire
 D’après le principe fondamental de la dynamique,
  

ma  q( E  v  B)
  0   r   0  
 r  r 2 
    

  e 
   2r dBm    r    0  
Soit  2r  r 
dt      

 m  
  z   B  
z

0





2
e


 r  r   m rB

dB


C'est-à-dire en projetant 2r  r   me   2r m  rB 
dt



z  0

 Condition nécessaire :
On veut avoir r  r0  cte
Avec la première égalité, il reste juste   e B
m
e dB e r0 dBm
dB 1 dBm
, soit
.


m dt m 2 dt
dt 2 dt
Donc B(r0 , t )  12 Bm (r0 , t )  K
 Condition initiale :
A t  0 , on doit avoir r  r0 , r0  0 , 0  me B(r0 ,0) , z0  0 .
Avec la deuxième, r0
 Exemple :
Si on lâche la particule sans vitesse initiale, et qu’on fait en sorte d’avoir un
champ magnétique vérifiant la condition voulue (au moins en r0 ) à tout instant, la
particule va accélérer…
3) Variation de moment cinétique
On a    m.r02
er02 dBm
d 
2 
 m.r0  
Soit
dt
2 dt
2
er
e

Et donc    0 Bm 
2
2
4) Intérêt
Cela permet d’accélérer une particule chargée tout en gardant une orbite fixe
(par exemple dans les accélérateurs)