∫∫ ∫∫ ∫ ∫ soit
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G eθ z MILMAG22 1) On considère le dispositif ci-contre qui comporte un circuit magnétique torique et un conducteur rectiligne supposé infini, parcouru par un courant i(t), placé sur l’axe de révolution du tore. Le tore est à section rectangulaire de hauteur L, les côtés sont distants de a et b de l’axe de révolution ; a et b sont donc les rayons intérieur et extérieur du tore. On a b = 2a et L = 1 cm. Le matériau magnétique constituant le tore est supposé homogène, linéaire, de perméabilité magnétique relative μr = 106. G er i(t) L 2a Calculer l’expression du flux magnétique Φ à travers une section droite du circuit magnétique. 2) Un disjoncteur différentiel se compose de deux circuits électriques couplés par le circuit magnétique précédent. La ligne électrique bifilaire EDF (230 Veff, 50 Hz qui assure le transport aller et retour du courant) est placée au centre du circuit magnétique précédent. Une autre bobine, assimilable à un circuit ouvert, comporte N spires enroulées autour du circuit magnétique. 2b Un usager touche accidentellement un seul des deux fils de la ligne centrale bifilaire, par exemple le conducteur aller, en même temps que ses pieds sont reliés à la terre. Il y a alors un courant de fuite : tout le courant véhiculé par le conducteur aller ne repart pas par le conducteur retour. Pour qu’il n’y ait pas d’accident grave, l’intensité efficace du courant qui traverse l’usager doit être inférieure à 30 mA. Expliquer pourquoi ce dispositif permet de détecter une électrocution. La bobine précédente alimente un électroaimant qui coupe l’alimentation EDF à partir d’un seuil de tension: Vseuil = 5 V. Combien doit-elle comporter de spires ? ialler(t) Corrigé JG JJG G 1) Le matériau est linéaire donc B = μ 0μ r H . L’excitation H JG Bobine de N spires possède donc les mêmes propriétés de symétrie que B , celles d’un de section L(b – a) pseudo vecteur. L’excitation est crée par l’intensité qui circule dans le fil et le milieu magnétique qui canalise les lignes de champ. On iretourt) appelle « source » l’ensemble fil + milieu. La source est invariante par symétrie par rapport au plan ligne bifilaire EDF contenant l’axe Oz et passant par le point d’observation M. Le JJG champ H ( M ) est donc perpendiculaire à ce plan. Dans la base cylindrique d’axe Oz, on peut écrire JJG G H ( M ) = H ( r , θ, z ) eθ ( M ) . La source est invariante par rotation d’un angle θ quelconque autour de Oz donc la valeur JJG G algébrique H ne dépend pas de θ. Il reste donc H ( M ) = H ( r , z ) eθ ( M ) puis JG G B ( M ) = B ( r , z ) eθ ( M ) . G G D’après ce qui précède, les lignes de champ de H et B sont des cercles centrés sur Oz. On utilise le théorème d’Ampère sur un tel cercle de rayon r à l’intérieur du matériau, orienté comme G JJG eθ ( M ) , noté Γ : CΓ H = iΓ soit ici H ( r , z , t ) 2πr = i ( t ) . ( ) On en déduit B ( r , z , t ) = μ 0μ r i ( t ) à l’intérieur du matériau. 2πr μ 0i ( t ) . 2πr JG G G G Par définition du flux magnétique Φ ( t ) = ∫∫ B ( t ) ⋅ n S dS avec n S = e z si l’on envisage une À l’extérieur, μr = 1 et il reste B ( r , z , t ) = S G G section droite perpendiculaire à Oz. On obtient donc Φ ( t ) = ∫∫ B ( r , z , t ) eθ ( M ) ⋅ e z dS soit Φ (t ) = 0 . Envisageons donc une section parallèle à Oz telle que r ∈ [ a, b ] (correspondant donc à un G μ μ i (t ) G μ μ i ( t ) b dr L demi tore). On a alors Φ ( t ) = ∫∫ 0 r eθ ( M ) ⋅ e ( M ) drdz = 0 r dz soit 2πr 2π ∫a r ∫0 page 1/2 Φ (t ) = μ 0μ r ⎛b⎞ i ( t ) L ln ⎜ ⎟ . 2π ⎝a⎠ 2-a) Le champ magnétique crée par les courants varie dans le temps donc il crée une f.é.m. d Φ (t ) d’induction dans la bobine e ( t ) = − d’après la loi de Faraday. dt Les courants circulent en sens contraire donc ils créent des flux de signes opposés. Tant que les courants sont égaux en valeur absolue, le flux total est nul et la f.é.m. aussi. Dans le cas où il existe un courant de fuite, le flux n’est pas nul et il apparaît une f.é.m. qui se traduit par une tension aux bornes de la bobine. b) Le flux total à travers les N spires de la bobine est μμ ⎛b⎞ Φ ( t ) = N 0 r ( ialler ( t ) − iretour ( t ) ) L ln ⎜ ⎟ 2π ⎝a⎠ μ 0μ r ⎛ b ⎞ d ( Δi ( t ) ) L ln ⎜ ⎟ en notant 2π dt ⎝a⎠ Δi ( t ) = ialler ( t ) − iretour ( t ) . Ces courants étant sinusoïdaux de même pulsation ω, on peut écrire et la f.é.m. d’induction Δi ( t ) = ΔiMAX cos ( ωt ) d’où e ( t ) = N e (t ) = − N μ 0μ r ⎛b⎞ L ln ⎜ ⎟ ωΔiMAX sin ( ωt ) . 2π ⎝a⎠ La valeur efficace de la tension aux bornes de la bobines est donc μμ ⎛b⎞ VB,eff = N 0 r L ln ⎜ ⎟ ω Δieff . L’électroaimant se déclenche si VB,eff = Vseuil. On doit donc 2π ⎝a⎠ 2π Vseuil avoir Δieff < Δieff,max pour cette tension soit N > . ⎛b⎞ μ 0μ r L ln ⎜ ⎟ ω Δieff, max ⎝a⎠ A.N. N MIN = 2π 5 = 383 spires. −2 ( 4π×10 )(10 )(10 ) ln ( 2 )( 2π× 50 ) ( 30 ×10−3 ) −7 6 dB maximum au voisinage de L = 0 car la variation de B donc de flux sera dH grande pour un Δi petit, ce qui permet donc une plus grande sensibilité du disjoncteur. 6) On veut page 2/2
