théorème de Bézout - Le Web Pedagogique

THÉORÈME DE BÉZOUT
Propriété : théorème de Bachet-Bézout
Soit a et b deux nombres entiers non simultanément nuls.
Deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe un couple d'entiers
relatifs u et v tels que au + bv = 1
dém :
Soit a et b deux entiers relatifs non simultanément nuls. Par exemple a.
Si a et b sont premiers entre eux, alors, par définition : PGCD (a ; b) = 1
Soit E l'ensemble des entiers de la forme au + bv, avec u et v entiers. Cet ensemble n'est pas vide, car il
contient a (avec u = 1 et v = 0) et - a (avec u = - 1 et v = 0). E contient a et - a, et l'un de ces deux entiers
est strictement positif, donc E contient au moins un entier strictement positif.
Soit d le plus petit d'entre eux ; il existe ainsi u0 et v0 entiers tels que :
d = au0 + bv0
La division euclidienne de a par d s'écrit : a = dq + r, avec 0 ≤ r < d
D'où : r = a - dq = a - (au0 + bv0)q = a(1 – qu0) + b(- v0q).
Ainsi, r appartient à E car il est de la forme au + bv avec u et v entiers u = 1 – qu0 et v = - v0q.
Comme d est le plus petit élément strictement positif de E, l'inégalité 0 ≤ r < d , montre que r est nul, d'où
a = dq et d divise a.
On montre de même que d divise b, d'où d = 1 car a et b sont premiers entre eux : il existe bien deux
entiers u0 et v0 tels que au0 + bv0 = 1
Réciproquement :
S'il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1, alors si d est le PGCD de a et b, il divise a et b , donc
au + bv, c'est-à-dire 1 : ainsi, d vaut 1, et a et b sont premiers entre eux.
Exemples:
1) 35 et 12 sont premiers entre eux, car on a l'égalité 35 × (- 1) + 12 × 3 = 1
2) Soit n un entier. Alors, n et n + 1 sont premiers entre eux, car on peut écrire (n + 1) + (- 1) n = 1.
Ainsi, deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux.
3) Puisque pour tout entier naturel n, on a 5(7n + 3) - 7(5n + 2) = - 1, les nombres 7n + 3 et 5n + 2
sont premiers entre eux.
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Identité de Bézout
Soit a et b deux nombres entiers non nuls.
Si d = PGCD (a; b), alors il existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv= d
dém :
Soit a et b des entiers non nuls dont le PGCD est d. Soit les entiers a' et b' tels que a = da' et b = db'.
a' et b' sont premiers entre eux, donc il existe des entiers u et v tels que ua' + vb' = 1. En multipliant les
deux membres de cette égalité par d, on obtient :
ua'd + vb'd = d, d'où au + bv = d
Remarque :
Contrairement au théorème de Bézout, la réciproque de cette propriété est fausse, si au + bv = d, l'entier d
n'est pas obligatoirement le pgcd de a et b.
Par exemple : 1 × 13 + (- 1 × 11) = 2, et pourtant le PGCD de 13 et 11 est 1
Si a est premier avec b, d’après le théorème de Bézout, il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1. On
multiplie les deux membres de cette égalité par c,
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