et i(t)
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Chapitre 5 ANALYSE TRANSITOIRE DES CIRCUITS ELECTRIQUES Objectifs • • • • • • • • • • reconnaître et comprendre les deux régimes (transitoire et permanent) d’une réponse à une excitation; retrouver l’équation différentielle unissant un paramètre d’un circuit électrique à une excitation; connaître et exploiter les propriétés des circuits électriques linéaires; déduire l’ordre d’un circuit électrique (1er ou 2e ordre seulement); calculer la réponse d’un circuit électrique du 1er ou 2e ordre à un échelon partir de l’équation différentielle, étendre cette réponse à une excitation apériodique quelconque; savoir distinguer la réponse forcée de la réponse naturelle; déduire la réponse d’un circuit électrique du 1er ordre par inspection; déterminer les paramètres d’un circuit de 2e ordre à partir de l’équation caractéristique; connaître les différentes réponses d’un circuit de 2e ordre selon l’équation caractéristique et ses racines; trouver le circuit équivalent avec des conditions initiales non-nulles. 2/51 Plan du cours § Excitation et réponse § Méthodes d’analyse transitoire § Analyse par équations différentielles § Circuits du premier ordre § Circuits du deuxième ordre § Circuits initialement excités 3/51 Excitation et réponse Excitation (Sources de tension et de courant) Circuit Électrique Réponse (Tensions et courants dans les éléments) 4/51 Régime transitoire et régime permanent V1 V2 Échelon de tension Transistoire t t Réponse Excitation Excitation Régime permanent t 0 Repos Régime transitoire Régime permanent 5/51 Excitations électriques communes (Tensions ou courants électriques) Continu Échelon Exponentielle Rampe Impulsion (et Porte) Sinusoïde 6/51 Méthodes d’analyse transitoire Analyse par équations différentielles La relation entre l’excitation x et la réponse y est décrite par une équation différentielle qu’on solutionne analytiquement d ny dy d mx dx an n + ... + a1 + a0 y = bm m + ... + b1 + b0 x dt dt dt dt Simulation numérique Saisie de schéma Équations d’équilibre Résolution numérique Réponse du circuit 7/51 Méthodes d’analyse transitoire Analyse par la transformation de Laplace Étape 1 La transformée de Laplace est appliquée aux éléments électriques et aux tensions et courants Étape 2 Résolution des équations algébriques dans l’espace de Laplace pour déterminer la transformée de Laplace de la réponse Y(s) Étape 3 Transformation inverse (analytique ou numérique) de Laplace de Y(s) pour déterminer le vecteur de sortie y(t) dans l’espace temps 8/51 Analyse par équations différentielles… Loi des tensions de Kirchhoff N ∑v k =1 Loi des courants de Kirchhoff M ∑i k =1 Équations caractéristiques v-i k k = vs = is v =Ri di v =L dt v=sL i i =C dv dt v= 1/(sC) i d ny dy d mx dx an n + ... + a1 + a0 y = bm m + ... + b1 + b0 x dt dt dt dt 9/51 Analyse par équations différentielles Exemple Écrire l’équation différentielle qui permet de déterminer i1(t) d 2i1 dv s di1 1 L 2 +R + i1 = dt C dt dt 10/51 Résolution des équations différentielles des circuits électriques… Équation différentielle d’un circuit initialement au repos: d ny dy an n + ... + a1 + a0 y = x dt dt Excitation x à t = 0 0 t Trois étapes Réponse y=z pour les temps négatifs Réponse y=z pour les temps positifs Prise en compte des conditions initiales 11/51 Conditions initiales (ou aux limites) important S’il y a une discontinuité dans le membre droit à t=0, il faut absolument que n cette discontinuité apparaisse uniquement dans le terme an d y du membre gauche. dt n 12/51 Propriétés des circuits électriques linéaires… d ny dy d mx dx an n + ... + a1 + a0 y = bm m + ... + b1 + b0 x dt dt dt dt Linéarité Si y=z1 est la réponse à l’excitation x1 et si y=z2 est la réponse à l’excitation x2 y=(A z1+ B z2 ) est la réponse à l’excitation (A x1+ B x2 ) 13/51 Propriétés des circuits électriques linéaires… d ny dy d mx dx an n + ... + a1 + a0 y = bm m + ... + b1 + b0 x dt dt dt dt Si y=z est la réponse à l’excitation x y= d nz dt n sera la réponse à d nx dt n t y= ∫ z(τ ) dτ −∞ t sera la réponse à ∫ x(τ ) dτ −∞ y = z(t − to ) sera la réponse à x(t − to ) 14/51 Propriétés des circuits électriques linéaires… d ny dy d mx dx an n + ... + a1 + a0 y = bm m + ... + b1 + b0 x dt dt dt dt Si y=z est la réponse à l’excitation complexe x y = z * sera la réponse à x * y = Re[z] sera la réponse à Re[x] y = Im[z] sera la réponse à Im[x] 15/51 Propriétés des circuits électriques linéaires… Équations différentielles Solution dny dy an n + ... + a1 + a0 y = x dt dt an dny dt n + ... + a1 z dy + a0 y = b0 x dt dny dy dx an n + ... + a1 + a0 y = b1 + b0 x dt dt dt dny dy d mx dx an n + ... + a1 + a0 y = bm m + ... + b1 + b0 x dt dt dt dt b0 z b1 dz + b0 z dt d mz dz bm m + ... + b1 + b0 z dt dt 16/51 Partie 1 Circuits du premier ordre 17/51 Circuits du premier ordre Équation du premier ordre a1 dy dx + a0 y = b1 + b0 x dt dt Circuit du premier ordre ou non ??? Le-Huy, Circuits Électriques Circuit de base 18/51 EXEMPLES D’ANALYSE PAR EQUATIONS DIFFERENTIELLES 19/51 Réponse à un échelon d’un circuit RC Déterminer v(t) et i(t) V0 −V0e −t /RC V0 −t /RC e R 20/51 Réponse à un échelon d’un circuit RL Déterminer i(t) et v(t) possibilité: remplacement de la fermeture de l’interrupteur par une source tension ayant – vinter(t=0-) à ses bornes 0.6 21/51 ANALYSE PAR INSPECTION 22/51 Principe de l’analyse par inspection Réponse d’un circuit RC Réponse d’un circuit RL 0.6 Court circuit à t = 0+ àt ∞ Circuit ouvert Circuit ouvert à t = 0+ àt ∞ Court circuit 23/51 Procédure d’une analyse par inspection Étape 1 Déterminer la constante de temps τ à partir du circuit de base τ = RC τ = L/R Étape 2 pour un circuit RC pour un circuit RL Chercher la réponse y(t) sous la forme: t ⎡ − ⎤ τ y(t) = ⎢ A + B e ⎥ u(t) ⎢⎣ ⎥⎦ A et B sont des constantes et τ étant la constante de temps du circuit Étape 3 Déterminer A et B à partir des condition aux limites aux temps courts (t = 0+) et aux temps longs ( t ∞ ) de la réponse y(t). Condition initiale y(0+) = A + B Court-circuiter les condensateurs « Ouvrir » les inductances Condition finale y( ∞) = A Court-circuiter les inductances « Ouvrir » les condensateurs 24/51 a) Réponse à un échelon Déterminer puis tracer par une analyse par inspection i1a et v2a R1 + + i1a Vsa = 120 u(t) C - R2 v2a - R1 = 100 Ω R2 = 200 Ω C = 500 µF Courant dans R1 t ⎡ − ⎤ i1a (t) = ⎢0.4 + 0.8 e τ ⎥ u(t) ⎢⎣ ⎥⎦ Tension aux bornes de R2 t ⎡ − ⎤ v 2a (t) = 80 ⎢1− e τ ⎥ u(t) ⎢⎣ ⎥⎦ 25/51 b) Réponse à une porte Déterminer i1b et v2b vsb(t)=0.5Vsa(t)-0.5Vsa(t-3) R1 + + i1 C Vsb (t) R2 v2 - - R1 = 100 Ω R2 = 200 Ω C = 500 µF 60 0 3 t (s) Courant dans R1 t t −3 ⎞ ⎡⎛ ⎤ ⎛ − ⎞ − τ τ i1b (t) = 0.5 ⎡⎣i1a (t) − i1a (t − 3) ⎤⎦ = 0.5 ⎢⎜ 0.4 + 0.8 e ⎟ u(t) − ⎜ 0.4 + 0.8 e ⎟ u(t − 3) ⎥ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎢⎜⎝ ⎥ ⎣ ⎦ Tension aux bornes de R2 t t −3 ⎞ ⎡⎛ ⎤ ⎛ − ⎞ − τ τ ⎢ v 2b (t) = 40 ⎜ 1− e ⎟ u(t) − ⎜ 1− e ⎟ u(t − 3) ⎥ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎢⎜⎝ ⎥ ⎣ ⎦ 26/51 c) Réponse à une impulsion de Dirac Déterminer i1c et v2c vsc(t)=A/120dvsa/dt R1 + + i1 C Vsc (t) - R2 v2 - R1 = 100 Ω R2 = 200 Ω C = 500 µF A 0 t Courant dans R1 t ⎤ − A ⎡ 0.8 τ ⎢1.2δ (t) − e u(t) ⎥ i1c (t) = τ 120 ⎢ ⎥⎦ ⎣ Tension aux bornes de R2 t 2A − τ v 2c (t) = e u(t) 3τ 27/51 d) Réponse à une rampe Déterminer i1d et v2d vsd(t)=V0/120 R1 + + i1 R2 C Vsd (t) v2 - - R1 = 100 Ω R2 = 200 Ω C = 500 µF t ∫−∞ v sa ( t )d t v0 0 t 1 Courant dans R1 t ⎤ − v0 ⎡ τ ⎢ i1d (t) = 0.4t − 0.8 τ e + 0.8 τ ⎥ u(t) 120 ⎢ ⎥⎦ ⎣ Tension aux bornes de R2 t ⎤ − 2v 0 ⎡ τ ⎢t + τ e − τ ⎥ u(t) v 2d (t) = 3 ⎢ ⎥⎦ ⎣ 28/51 REPONSE A UNE EXCITATION EXPONENTIELLE 29/51 Réponse à une exponentielle Exemple Déterminer i vvss((tt))==VV0o ee−−atatuu( (t t) ) V0 t Si a ≠ R/L Si a = R/L R − t⎞ Vo ⎛ −at i(t) = e − e L ⎟ u(t) ⎜ R −La⎝ ⎠ Vo − RL t i(t) = t e u(t) L 30/51 REPONSE A UNE EXCITATION SINUSOIDALE 31/51 Réponse d’un circuit RL à une excitation sinusoïdale… Déterminer i Vs (t) = V0 cos(ω t) u(t) vs(t) vs ( t ) = V0 cos( ω t ) u( t ) t R ⎡ − t ⎤ i(t) = I0 ⎢cos(ω t + ϕ ) − cos ϕ (e L ) ⎥ u(t) ⎣ ⎦ Réponse forcée Réponse naturelle 32/51 Réponse d’un circuit RL à une excitation sinusoïdale AN: V0 = 50 V R = 10 Ω L = 5 mH ω = 2000π rad/s Réponse forcée τ= 0.5 ms 5τ = 2.5 ms Réponse naturelle Durée du régime transitoire Réponse totale Le-Huy, Circuits Électriques 33/51 Discussion sur la réponse des circuits du premier ordre Réponse composée de: Réponse forcée Réponse naturelle (Solution particulière) (Solution de l’équation homogène) Déterminée par la nature du circuit + Même nature que l’excitation Exponentielle décroissante de constante de temps τ τ = RC pour un circuit RC τ= L/R pour un circuit RL Excitation Réponse naturelle + Réponse forcée 5τ 0 REPOS Réponse forcée RÉGIME TRANSITOIRE t RÉGIME PERMANENT 34/51 Partie 2 Circuits du deuxième ordre 35/51 Réponse d’un circuit du deuxième ordre de base a2 d 2y dt 2 + a1 dy + a0 y = f (t)u(t) dt Réponse particulière (Réponse forcée) - Même nature que l’excitation y P = B f (t) Réponse homogène (Réponse naturelle) - Déterminée par la nature du circuit - Caractérisée les fréquences naturelles s1 et s2 Circuits RCC et RLL s1 et s2 sont réelles négatives: durée du régime transitoire = 5τ, la plus grande de 5/s1 et 5/s2 y H = A1 e s1t + A2 e s2t 36/51 Circuits du deuxième ordre Équation du deuxième ordre d 2y dy d 2x dx a2 2 + a1 + a0 y = b2 2 + b1 + b0 x dt dt dt dt Circuit de base: - circuit RCC: deux condensateurs et des résistances - circuit RLL: deux inductances et des résistances - circuit RLC: une inductance, un condensateur et des résistances Circuit du deuxième ordre ou non ??? L R C2 C1 is 37/51 Réponse d’un circuit RCC à un échelon V1(t) = ? Va=10 V Vb=6 V C1 R1=1 s C1 R2=1 s C2R3=1 s C2 R2= ½ s ⎡ 1 −4t 26 −t ⎤ v1(t) = ⎢9 − e − e ⎥ u(t) 3 3 ⎣ ⎦ 38/51 Réponse d’un circuit RLL à un échelon Déterminer les courants i1 en supposant le circuit au repos aux temps négatifs. i1 V = 0.5 V d 2I1 dt 2 +6 R1 = R2 = 2 Ω L 1= L2=1 H dI1 dV + 4I1 = 2V (t) + 2 dt dt 39/51 Réponse d’un circuit RLC série à un échelon équation différentielle entre i1(t) et vs(t) ? Δ = (5R)2 − 4(1)(105 ) R = 200 Ω Δ=+600000 racines s1,2 réelles R = 50 Ω Δ=-337500 racines s1,2 complexes conjugées R = 126.5 Ω Δ=0 racines s1=s2 réelles 40/51 Réponse d’un circuit du deuxième ordre de base (suite) Circuits RLC a) s1 et s2 réelles négatives b) s1 et s2 réelles négatives identiques: durée du régime transitoire est 5/s1 y H = A1 e s1t + A2 e y H = (B1 + B2t) e s2t s1t c) s1 et s2 sont complexes conjuguées s1 = -α + jβ, s2 = -α - jβ : durée du régime transitoire est 5/α y H = A1 e s1t + A2 e s2t y H = A1 e −α t cos( β t + ∠A1) + A2 e −α t cos( β t − ∠A2 ) = Ce −α t cos( β t + ϕ ) N.B.: dans le cas où f (t) = Ku(t) , on a normalement A2 = A1 * donc C=2 A1 et ϕ =∠A1 41/51 Fréquence naturelle non amortie et coefficient d’amortissement Coeff. d’amortissement Équation caractéristique s2 2ζ + s +1= 0 2 ωn ω as +bs+c =0 2 n S1 S2 Fréquence naturelle non amortie = −ζ ω n ± ω n ζ − 1 2 fréquence propre (ζ<1) s 2 + 2ζω ns + ω n2 = 0 ζ >1 Réponse naturelle sur-amortie ζ =1 Amortissement critique ζ <1 Réponse naturelle sous-amortie ζ =0 Réponse naturelle oscillatoire 42/51 Réponse d’un circuit RLC parallèle à un échelon s2 2ζ + s +1= 0 2 ωn ω L LC s + s + 1 = 0 R 2 ωn = n 1 LC 1 L ζ= 2R C 43/51 Réponse d’un circuit RLC parallèle: v(0) = 1 V et i(0) = 0 A Réponse sur-amortie ζ >1 Amortissement critique Réponse sous-amortie ζ <1 ζ =0 ζ =1 Réponse oscillatoire 44/51 Lieu des pôles du 2e ordre dans plan complexe s2+bs+c Im b2<4c b2>4c s2 b2=4c è s1=s2=-b/2 +ωn s1 -ωn Re -ωn 45/51 Localisation des pôles du 2e ordre et réponse à l’échelon =ωp =α 46/51 Amortissement d’un circuit RLC série à un échelon coefficient d’amortissement selon R, L et C ? Δ = (5R)2 − 4(1)(105 ) coef. d’amortissement R = 50 Ω ζ=0.4 R = 200 Ω ζ=1.58 R = 126.5 Ω ζ=1.0 47/51 Régime continu permanent (RCP) Source continue CC dv/dt=0 et di/dt=0 On remplace les condensateurs par un circuit ouvert On remplace les inductances par un court-ciruit Exemple i1 et v2 i1 = 0.4 A v2 = 80 V 48/51 Circuits initialement excités Condensateur: a a + C b - C Vc(0-) + - Vc(0-)u(t) b Inductance: a a L L b iL(0-) iL(0-)u(t) b 49/51 Circuits initialement excités Méthode d’analyse Étape 1 Déterminer les tensions aux bornes des condensateurs et les courants aux bornes des inductances à t = 0-. Étape 2 Remplacer les condensateurs et les inductances par leurs circuits équivalents = Éléments au repos + sources échelon. Étape 3 Analyser le circuit obtenu à l’étape 2 comme étant un circuit initialement au repos. 50/51 Circuits initialement excités Déterminer la tension dans le condensateur LC d 2V2 dt 2 di L L dV2 + + V2 = L + Vs R dt dt V2 = ⎡⎣120.48 e −40t cos(444.5t − 3.05) + 120 ⎤⎦ u(t) 51/51
