Régime transitoire équation différentielle

Etudes des circuits linéaires en régime transitoire
Régime transitoire  équation différentielle.
I/ Régime permanent – Régime transitoire.
1) Régime permanent :
On s’est placé jusqu'à présent en régime permanent : la tension ou le courant du circuit de
t ]   ;  [ .
Exemple : régime sinusoïdal.
2) Régime transitoire :
En réalité il existe une période de « mise en route » au moment ou l’utilisateur allume le
générateur, courant et tension vont évoluer avant d’atteindre le régime permanent. Cette phase
correspond au régime transitoire.
Plus généralement, il existe un régime transitoire entre deux régimes permanents.
Exemple :
Régime transitoire
Régime permanent
Page 1 sur 11
17/04/2017
M.M.
Etudes des circuits linéaires en régime transitoire
u(t)
t
Régime
transitoire
Régime
permanent
sinusoïdal
L’étude du régime transitoire d’un circuit permet de déterminer de nombreuses
caractéristiques de ce circuit.
II/ Circuit électrique de premier ordre.
1) Rappel :
 Résistance :
i(t)
u(t)
R
u (t )  R.i (t )
 Condensateur :
i(t)
q(t ) 
du (t )
C 
i (t )  C.

dq(t ) 
dt
i(t ) 
dq 
u (t ) 
u(t)
C
Remarque :
du (t ) i (t )

dt
C
C est différent de zéro, donc
du (t )
ne peut pas être infinie.
dt
Page 2 sur 11
17/04/2017
M.M.
Etudes des circuits linéaires en régime transitoire
Cas impossible
(saut de tension)
Par conséquent la tension aux bornes d’un condensateur varie de façon continue.
 Inductance :
i(t)
u(t)
di (t )
u (t )  L.
dt
L
Remarque :
di(t ) u (t )

dt
L
L est différent de zéro, donc
di(t )
ne peut pas être infinie.
dt
L’intensité du courant traversant une inductance varie de façon continue.
2) Circuit du premier ordre :
Circuit n°1 :
i(t)
R
uR(t)
e(t)
uC(t)
C
Maille du circuit : e(t )  u R (t )  uC (t )  Ri (t )  uC (t )
di (t )
Or i (t )  C
dt
du (t )
 u C (t )
On a donc : e(t )  RC
dt
duC (t )
1
e(t )

uC (t ) 

dt
RC
RC
Page 3 sur 11
17/04/2017
M.M.
Etudes des circuits linéaires en régime transitoire
Circuit n°2 :
i(t)
R
u R (t )
e(t)
L
u L (t )
On a :
e(t )  u R (t )  u L (t )  u R (t )  L
Or u R (t )  R.i(t ) 
di(t ) 1 du R (t )
 .
dt
R dt
On a donc : e(t )  u R (t ) 

di (t )
dt
L du R (t )
.
R dt
du R (t ) 1
e(t )
 u R (t ) 
L
L
dt
R
R
Un circuit électrique du premier ordre est un circuit dont les variations de tension aux bornes
d’un composant vérifient une équation différentielle linéaire du premier ordre.
Remarque :
Il existe des circuits de deuxième ordre (pas au programme).
3) Méthode de résolution d’une équation différentielle du premier ordre :
Les deux équations différentielles en 2) sont de la forme :
dx(t ) 1
1
 x(t )  y (t )
dt


Page 4 sur 11
17/04/2017
M.M.
Etudes des circuits linéaires en régime transitoire
Remarque :
- t est homogène à un temps (seconde).
-
 continu

y(t) dépend du type de génération utilisé  sinus
 carré






La solution générale de cette équation s’écrit :
x(t )  x1 (t )  x2 (t )
dx1 (t ) 1
 x1 (t )  0
dt

Et x2(t) solution particulière de l’équation qui dépend de la nature de y(t).
Avec x1(t) solution de l’équation sans second membre (ESSM) :
Cherchons l’expression de x1(t) :
dx1 (t ) 1
 x1 (t )  0
dt







 (ESSM)
dx1 (t )  x1 (t )

dt

dx1 (t )  dt

x1 (t )

dx1 (t )
 dt
 x1 (t )   
t
ln x1 (t )  K1 
 K2
1
t
ln x1 (t ) 
 K3
(K3 = K2 – K1)
1
x1 (t )  e
t
 K3
1
Page 5 sur 11
17/04/2017
M.M.
Etudes des circuits linéaires en régime transitoire
t

x1 (t )  e .e
K3
1
t
Soit :
x1 (t )  Ke 1
avec K =
e K3
Finalement : x(t )  x1 (t )  x2 (t )
t
x(t )  Ke 1  x2 (t )
 Circuit du 2) :
duC (t )
1
e(t )

uC (t ) 
dt
RC
RC
t
 u C (t )  K C e RC  u C 2 (t )
du R (t ) 1
e(t )
 u R (t ) 
L
L
dt
R
R

u R (t )  K R e
t
L
R
 u R 2 (t )
Pour connaître parfaitement uc(t) et uR(t), il faut :
- Déterminer KC et KR à partir de conditions expérimentales.
- Déterminer uC2(t) et uR2(t) à partir du type de générateur utilisé.
III/ Charge d’un condensateur sous une tension constante à
travers une résistance.
R
E
u R (t )
2
1
u C (t )
C
à t = 0, on commute l’interrupteur. Il passe alors en position 2.
Page 6 sur 11
17/04/2017
M.M.
Etudes des circuits linéaires en régime transitoire
1) Equation différentielle du circuit :
 t < 0 : interrupteur en position 1.
uc(t) = 0
 t = 0 : interrupteur passe ne position 2.
E = uc(t) + uR(t)
= uc(t) + Ri(t)
du (t)
= RC C  u C (t)
dt
du C (t) 1
1
avec t = RC en seconde.

 u c (t )  E
dt


2) Solution de l’équation différentielle :
uC (t )  uC1 (t )  uC 2 (t )
uC (t )  uC1 (t )  uC 2 (t )
Régime
transitoire
Régime
permanent
uC1 (t ) : cette tension est solution de :
duC1 (t ) 1
 uC1 (t )  0
dt

t
 u C1 (t )  Ke 
-
uC1 (t ) croit de façon exponentielle jusqu’à atteindre le régime permanent.
u C 2 (t ) , le générateur délivre une tension constante. E  u C 2 (t ) (régime permanent).
Donc :
du C 2 (t ) 1
E
 u C 2 (t ) 
dt


u C 2 (t ) est une constante

uC 2 (t )  E
Page 7 sur 11
17/04/2017
M.M.
Etudes des circuits linéaires en régime transitoire
uC (t )  uC1 (t )  uC 2 (t )
t
 Ke   E
Que vaut K :
On utilise les conditions initiales :
à t = 0-, interrupteur en position (1) et uC(t = 0) = 0.
La tension aux bornes d’un condensateur ne peut pas connaître de discontinuité.
 u C (t  0  )  u C (t  0  )  0
 u C (t  0  )  0
 t

uC (t  0 )   Ke  E   K  E  0

 t 0
 K  E

Par conséquent
t


uC (t )  E 1  e  


3) Représentation :
a) Représentation de uC(t) :
t = 0, uC(t = 0) = 0
t   , uC(t   ) = E
t = t, y(t) = E
La vitesse à laquelle uC(t) atteint la régime permanent € dépend du paramètre t=RC (en
seconde).
Page 8 sur 11
17/04/2017
M.M.
Etudes des circuits linéaires en régime transitoire
-
Comment déterminer t sur ce graphe :
 du (t ) 
Déterminons l’équation de la tangente à l’origine y(t)=at, avec a   C  ,
 dt  t 0
t
 E t 
E
à u C (t )  E  Ee  , donc a   e   



 t 0 
E
par conséquent y (t )  t

équation de la tangente à l’origine :
A t = t, u C ( )  E 1  e 1   0,63E , la tension uC a atteint 63% de sa valeur finale.
A t = 3t, u C (3 )  E 1  e 3   0,95E
A t = 5t, u C (5 )  E 1  e 5   0,99 E
On peut considérer que le circuit se trouve en régime permanent au bout de t = 5t.
Remarque :
Pourrait-on prévoir (sans calcul) qu’en régime permanent uC(t) = E ?
i(t)
R
Avec i(t )  C
uR(t)
e(t)
uC(t)
C
duC (t )
dt
Régime permanent 
du C
 0 ,  i(t) = 0
dt
Le circuit est équivalent (en régime permanent) à :
i(t)
R
uR(t)
e(t)
uC(t)
E  u R (t ) u C (t )  uC(t) = E
0
Page 9 sur 11
17/04/2017
M.M.
Etudes des circuits linéaires en régime transitoire
b) Représentation de i(t) :
t
Aux bornes du condensateur i (t )  C
i(t )  C
E

du C (t )
E
 C e  , avec t = RC.
dt

t
e
homogène.
E
R
i (t  )  0
i (t  0) 
Remarque :
La tension aux bornes d’un condensateur ne peut être
discontinue, ce qui n’est pas le cas du courant qui le
traverse.
IV/ Etablissement du courant dans une bobine.
R
2
1
u R (t )
E
u L (t )
L
1) Mise en équation :
E  u R (t )  u L (t )
di(t )
dt
di(t ) 1 E
 

dt
 
 Ri (t )  L
avec  
L
R
Page 10 sur 11
17/04/2017
M.M.
Etudes des circuits linéaires en régime transitoire
2) Résolution :
t
i(t )  Ke   E
Le courant traversant une bobine ne peut pas connaître de discontinuité.
 i(t  0  )  i(t  0  )  0
 K
E
E
0 K 
R
R
t
E
i (t )  (1  e  )
R
t
di(t )
1 E
u L (t )  L
 L . e
dt
 R
t
R E
 L . e
L R
t
u L (t )  E.e 
Pour une bobine :
- Continuité du courant.
- Discontinuité de la tension.
En régime permanent i (t ) 
 u L (t )  L
E
= constante.
R
i(t)
di(t )
0
dt
R
uR(t)
e(t)
uL(t)
Page 11 sur 11
17/04/2017
M.M.