énoncé

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Spé y 2010-2011 Devoir n°5
CONVERSION DE PUISSANCE
Une locomotive électrique moderne est capable de circuler avec deux types de tension
d’alimentation rencontrés sur le réseau ferroviaire : 25 kV à 50 Hz et 1,5 kV continu.
Les trois parties de ce problème peuvent être traitées indépendamment.
Pour les grandeurs électriques, les lettres minuscules représentent des valeurs instantanées
et les majuscules des grandeurs efficaces ou continues.
PREMIERE PARTIE
Étude du transformateur, alimentation 25 kV, monophasée, 50 Hz (figure 1).
Le primaire est alimenté à partir du réseau 25 kV, 50 Hz, et le se-
condaire est constitué de quatre enroulements considérés comme identiques,
débitant le même courant dans des charges identiques.
Sa puissance apparente totale (c’est-à-dire pour tous les enroule-
ments secondaires) est de 5,76 MVA.
Des essais ont donné les résultats suivants :
Essai à vide : U
10 = U1N = 25,0 kV ; U 20 = 1,60 kV (par enroule-
ment).
Essai en court-circuit (les enroulements secondaires sont tous en
court-circuit) : U
1CC vaut 37% de U 1N, I 2CC = 900 A (par enroulement),
P1CC = 120 kW.
On néglige le courant primaire absorbé à vide.
I-1) Que signifient les points sur la figure 1 ?
I-2) Quelle est la valeur de m, rapport de transformation par enroulement ?
I-3) Quelle est l’intensité du courant nominal I2N pour un enroulement secondaire ?
I-4) Dans un fonctionnement quelconque du transformateur, exprimer i1(t) en fonction des
courants i2k(t) avec (k = 1, 2, 3, 4).
Le schéma équivalent du transformateur est donné fi-
gure 2 pour un des enroulements secondaires. L’enroulement
primaire possède une résistance RP. Les résistances RP et RS
sont proportionnelles à la longueur des fils des enroulements,
c’est-à-dire à leurs nombres de spires, avec le même coeffi-
cients de proportionnalité pour toutes.
P1CC représente la puissance totale absorbée au pri-
maire lorsque les quatre secondaires sont en court-circuit.
I-5) Donner l’expression de P1CC en fonction de RS et de I2CC, valeur efficace commune aux
quatre courants de court-circuit. En déduire la valeur de RS.
Pour la suite, on négligera l’impédance de l’enroulement primaire.
I-6) Calculer ZS la valeur de l’impédance de chaque enroulement secondaire et en déduire
LS.
Pour la suite, on négligera la résistance R
S
devant LS w et l’on prendra L
S
= 2,1 mH
(LS w = 0,66 W ).
u1
i1
i21
i22
i23
i24
u21
u22
u23
u24
n1
n2
n2
n2
n2
·
·
·
·
·
figure 1
u2, PARF u2
i2k
R
S
L
S
u1, PARF u1
R
P
figure 2
m
i1
Ÿ
Ÿ

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I-7) Combien valent la valeur efficace U2 de la tension u2(t) et le déphasage d de u2(t) par
rapport à i2k(t) lorsque les trois conditions suivantes sont réalisées :
Ÿ U20 vaut 1,6 kV;
Ÿ I2k = 689 A (k = 1, 2, 3, 4);
Ÿ le déphasage de i2k(t) par rapport à u20(t) est nul.
(On peut utiliser un diagramme de Fresnel représentant les vecteurs associés aux amplitudes
complexes des grandeurs étudiées).
I-8) Que valent alors le courant I1 et le facteur de puissance au primaire lorsque les gran-
deurs électriques des quatre enroulements secondaires sont dans les conditions décrites en I-6.
DEUXIÈME PARTIE
Alimentation en 1500 V continu
Étude du hacheur élévateur en conduction ininterrompue.
Sous caténaire 1,50 kV continu, des hacheurs associés dans une configuration élévateur de
tension maintiennent la tension d’alimentation des onduleurs triphasés à 2750 V continu. Ces on-
duleurs sont nécessaires pour la motorisation, étudiée dans la partie suivante.
Les interrupteurs sont supposés parfaits.
Étude du hacheur simple (figure 3).
G1 est commandé à la fermeture de l’instant
t = 0 à l’instant t = a T, et à l’ouverture de t = a T
jusqu’à T où T est la période de fonctionnement
(f = 1/T = 300 Hz).
E sera considéré comme constant
(E = 2,75 kV) et i1 ininterrompu, variant entre les valeurs extrêmes I1,MIN et I1,MAX.
V = 1,50 kV ; L = 5,0 mH (bobine idéale)/
II-1) Exprimer uG1(t) pour 0 < t < T.
II-2) En exprimant
G1
u
la valeur moyenne de uG1, en fonction de V d’une part, en fonction
de a et de E d’autre part, établir l’expression de E en fonction de a et V. Calculer la valeur de a qui
permet d’avoir E = 2,75 kV lorsque V = 1,50 kV.
II-3) Déterminer l’expression de i1 lorsque 0 < t < T. Tracer les chronogrammes de i1(t) et
iG1(t).
II-4) Trouver l’expression de l’ondulation de i1, définie par la relation
1,MAX1,MIN
1
2
II
i
-
D= .
Calculer Di1 pour a = 0,45.
Étude de deux hacheurs à commandes décalées.
Afin de réduire les harmoniques de courant côté ligne, on double le montage étudié à la
question II-1 d’un deuxième hacheur dont la commande sera décalée.
La configuration est représentée figure 4.
G1 est commandé à la fermeture de l’instant t = 0 à
l’instant t = a T et à l’ouverture de t = a T jusqu’à T.
G3 est commandé à la fermeture de l’instant t = T/2
à l’instant t = T/2 + a T, et à l’ouverture de t = T/2 + a T
jusqu’à T + T/2.
T est la période de fonctionnement avec
f = 1/T = 300 Hz.
E sera considérée comme constante (E = 2,75 kV). V = 1,50 kV.
uG1 C0
i1
iG1
iD2
E
L
V G1
D2
figure 3
charge
uG3
iG1
uG1
C0
i1
iD2
E
L
V G1
D2
figure 4
charge
L
G3
i1’ D4 iD4
iG3
i uG3

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II-5) i1(t) est représenté sur la figure 5 ; en dé-
duire la représentation graphique de i1’(t).
II-6) En déduire la représentation graphique de
i(t). Préciser la fréquence de i et la comparer à celle de
i1 du montage étudié à la question III-1.
II-7) Déterminer l’expression de
(
)
dit
dt
en fonc-
tion de a, V et L pour 0 < t < aT. En déduire l’expression de Di, défini par
MAXMIN
2
II
i
-
D= .
Calculer Di pour a = 0,45 et comparer le résultat avec celui de la question III-6).
TROISIÈME PARTIE
Moteur synchrone autopiloté
Étude du rotor
On considère une spire circulaire de centre O,
de rayon R, contenu dans le plan Oxy, orthogonal à
l’axe Oz et parcourue par un courant électrique
constant I. Elle est située dans l’air assimilable ma-
gnétiquement à du vide. Elle est orientée dans le sens
trigonométrique comme le montre la figure 6. On
considère un point M, de cote z, situé sur l’axe Oz.
III-1) Par des considérations de symétrie, dé-
terminer la direction du champ magnétique
( )
BM
ur
,
créé par la spire au point M. Déterminer ensuite son
expression en fonction de I, R, z et de la perméabilité
magnétique du vide m0.
Étude du stator
Le stator est constitué de trois bobines, dont les axes principaux contenus dans le plan xOy
sont décalés de 2 p /3 les uns par rapport aux autres. Elles sont alimentées par un système de cou-
rant triphasé d’amplitude maximale I
M
, (de
valeur efficace IEFF) et de fréquence fS (de
pulsation w
S). On a :
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
1MS
2MS
3MS
cos
cos2/3
cos2/3
itIt
itIt
itIt
ì
=w+j
ï=w+j-p
í
ï=w+j+p
î
Chaque bobine crée dans la machine un
champ magnétique proportionnel au courant
qui la traverse et dirigé suivant son axe prin-
cipal.
On note K le coefficient de proportionnalité
et on a :
( ) ( )
j
j
j
BtKite
=
urr
avec j = 1, 2 ou 3
et 1
x
ee
=
rr
;
2
e
r
et
3
e
r
se déduisent de
1
e
r
par
les rotations d’angle respectif 2 p /3 et –2 p /3.
III-2) Donner l’expression du champ
figure 6
figure 7
i1(t)
t
a
T T
T/2
figure 5
I
1,MAX
I
1,MIN

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magnétique
( )
S
Bt
ur
créé par le stator à l’intérieur de la machine dans la base
(
)
,
xy
ee
rr
. On exprimera
chaque composante en fonction de K, IM, wSt et j.
III-3) Montrer que ce champ est de norme constante et porté par un vecteur unitaire dont on
précisera le sens et la direction dans la base
(
)
,
xy
ee
rr
. Justifier l’appellation de champ tournant et
préciser son sens de rotation.
III-4) Que se passe–t–il si on inverse les phases 1 et 2 de la machine c’est à dire si l’on a :
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
1MS
2MS
3MS
cos2/3
cos
cos2/3
itIt
itIt
itIt
ì
=w+j-p
ï=w+j
í
ï=w+j+p
î
III-5) On donne K = 0,05 T×A–1, IEFF = 15 A, fS = 50 Hz. Calculer la valeur numérique de
S
B
ur
et la vitesse de rotation de ce champ tournant en tr/min.
Couple exercé sur le rotor :
Dans la suite du problème, on pose
( ) ( )
SS
BtBut
=
urr
, où Bs est l’amplitude du champ ma-
gnétique créé par le stator et
( )
ut
r
le vecteur unitaire de la base
(
)
,
xy
ee
rr
tel que l’angle
(
)
S
,
x
eut
=w+j
rr
.
Le rotor tourne autour de l’axe Oz, à la vitesse angulaire constante
z
e
W=W
urr
. D’un point de
vue électrique, il est assimilable à une bobine plate rectangulaire de surface géométrique
S = 2r0 H, de largeur 2r0 et de longueur H suivant Oz. Cette bobine comporte p spires en série.
Elles sont géométriquement confondues. Chaque spire est parcourue par le courant continu
d’intensité I. Soit
( )
nt
r
le vecteur unitaire de la base
(
)
,
xy
ee
rr
, normal à la surface S orientée du
rotor. On note q l’angle
(
)
,
x
en
rr
. On pose
(
)
0
tt
q=q+W
.
III-6) Déterminer le moment mécanique
( ) ( )
z
tte
G=G
urr
des actions électromagnétiques,
exercé sur le rotor .
III-7) La pulsation wS étant imposée et constante, établir, suivant les valeurs de W, le couple
moyen GSYN, associé à G(t). Pourquoi ce type de moteur est–il qualifié de synchrone ? Ce type de
moteur, connecté à un réseau de fréquence fixe peut–il démarrer seul ?
figure 8

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III-8) Tracer la courbe représentant GSYN en fonction du décalage angulaire y = j – q0. Dé-
limiter les intervalles de y correspondant aux fonctionnements moteur et générateur. Que vaut y
lorsque GSYN est maximum ? Donner l’expression de ce couple maximum, noté GMAX .
Que vaut le flux magnétique FMAG créé par le stator, c’est à dire le flux de
S
B
ur
à travers le
rotor lorsque GSYN = GMAX ?
III-9) Pour un couple 0 £ GSYN £ GMAX donné, il existe deux valeurs (éventuellement une va-
leur double) de l’écart angulaire y = j – q0. Discuter de la stabilité du fonctionnement de la ma-
chine pour chacune de ces deux valeurs. Cette étude doit aussi prendre en compte la valeur double.
On étudiera l’effet sur le couple moteur d’une perturbation (motrice ou non) de la position
du rotor, c’est–à–dire la répercussion d’une variation de l’angle y sur le couple moteur.
$$$$$$$$$ FIN DU DEVOIR EN TEMPS LIMITÉ $$$$$$$$$$
QUATRIÈME PARTIE
Autopilotage de la machine synchrone
Le principe de l’autopilotage de la machine consiste à mesurer, à l’aide d’un capteur de po-
sition angulaire, appelé résolveur, la position q du rotor de la machine. On alimente alors le stator
de la machine par un onduleur (ou alimentation à fréquence variable) qui délivre trois courants
triphasés : i1 (t), i2 (t) et i3 (t). Ces courants sont asservis en fréquence et en phase de sorte que :
w
s
= W et que j = q
0 +
p
2
. On obtient alors un fonctionnement intrinsèquement stable de la ma-
chine et un couple maximum.
Dans toute cette partie, on supposera que la machine tourne à une vitesse angulaire
(
)
zz
dt
ee
dt
q
W=W=
urrr
. Compte tenu de l’inertie de la machine et des échelles de temps considérées
ici, W sera supposée constante. W Î [0, W
MAX],
W
MAX est la vitesse maximale de rotation de la ma-
chine.
On supposera la relation q = W t + q
0 toujours valable.
Le résolveur s’insère autour de l’arbre reliant la machine et sa charge. Il est composé d’une
partie tournante, solidaire de l’arbre de la machine, appelée roue polaire, et de deux autres bobi-
nes fixes dans le référentiel (O, x, y, z) lié au stator de la machine. On définit le référentiel (O, u, v,
z) lié à l’arbre de la machine et qui se déduit du référentiel (O, x, y, z) par la rotation autour de
l’axe Oz.
La roue polaire, solidaire de l’arbre de la machine, est assimilable à une bobine B0 parcourue par
un courant j. Cette bobine crée à l’intérieur du résolveur un champ magnétique
B
ur
, dont l’intensité
est proportionnelle au courant j et dont le sens et la direction dépendent de la position de l’arbre.
On pose
( ) ( )
Btjut
=a
urr
où a est un coefficient de proportionnalité connu et
( )
ut
r
est le vecteur
unitaire de l’axe Ou du référentiel (O, u, v, z) lié à l’arbre de la machine, en rotation à la vitesse
angulaire W par rapport au référentiel fixe (O, x, y, z) lié au stator. On a
( ) ( )
(
)
,
x
teut
q=
rr
.
Les deux autres bobines B1 et B2 sont fixes, identiques et ont pour axe principal respectif Ox
et Oy. Les spires de ces bobines ont pour vecteur normal respectif
x
e
r
et
y
e
r
. Elles ne sont parcou-
rues par aucun courant. Elles possèdent chacune n spires de surface S .
IV-1) La bobine B0 est ici alimentée par un courant continu j = J0 . Déterminer en fonction
de a, J0, q, n et S les expressions des tensions V1(t) et V2(t) aux bornes des bobines B1 et B2. Ces
deux tensions permettent–elles toujours de déterminer la position q du rotor ?