énoncé

Spé y 2010-2011
Devoir n°5
CONVERSION DE PUISSANCE
Une locomotive électrique moderne est capable de circuler avec deux types de tension
d’alimentation rencontrés sur le réseau ferroviaire : 25 kV à 50 Hz et 1,5 kV continu.
Les trois parties de ce problème peuvent être traitées indépendamment.
Pour les grandeurs électriques, les lettres minuscules représentent des valeurs instantanées
et les majuscules des grandeurs efficaces ou continues.
PREMIERE PARTIE
Étude du transformateur, alimentation 25 kV, monophasée, 50 Hz (figure 1).
Le primaire est alimenté à partir du réseau 25 kV, 50 Hz, et le secondaire est constitué de quatre enroulements considérés comme identiques,
débitant le même courant dans des charges identiques.
Sa puissance apparente totale (c’est-à-dire pour tous les enroulements secondaires) est de 5,76 MVA.
Des essais ont donné les résultats suivants :
Essai à vide : U10 = U1N = 25,0 kV ; U20 = 1,60 kV (par enroulement).
Essai en court-circuit (les enroulements secondaires sont tous en
court-circuit) : U1CC vaut 37% de U1N, I2CC = 900 A (par enroulement),
P1CC = 120 kW.
On néglige le courant primaire absorbé à vide.
i1
·
·
n2
i21
·
i22
n2
u1 n1
·
n2
·
n2
i23
i24
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u22
u23
u24
figure 1
I-1) Que signifient les points sur la figure 1 ?
I-2) Quelle est la valeur de m, rapport de transformation par enroulement ?
I-3) Quelle est l’intensité du courant nominal I2N pour un enroulement secondaire ?
I-4) Dans un fonctionnement quelconque du transformateur, exprimer i1(t) en fonction des
courants i2k(t) avec (k = 1, 2, 3, 4).
Le schéma équivalent du transformateur est donné fii1
RP
RS
gure 2 pour un des enroulements secondaires. L’enroulement
LS
primaire possède une résistance RP. Les résistances RP et RS
Ÿ Ÿ
sont proportionnelles à la longueur des fils des enroulements, u1 u1, PARF
u2, PARF
m
c’est-à-dire à leurs nombres de spires, avec le même coefficients de proportionnalité pour toutes.
figure 2
P1CC représente la puissance totale absorbée au primaire lorsque les quatre secondaires sont en court-circuit.
I-5) Donner l’expression de P1CC en fonction de RS et de I2CC, valeur efficace commune aux
quatre courants de court-circuit. En déduire la valeur de RS.
Pour la suite, on négligera l’impédance de l’enroulement primaire.
I-6) Calculer ZS la valeur de l’impédance de chaque enroulement secondaire et en déduire
LS.
Pour la suite, on négligera la résistance RS devant LSw et l’on prendra LS = 2,1 mH
(LSw = 0,66 W ).
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u21
Devoir n°5
i2k
u2
I-7) Combien valent la valeur efficace U2 de la tension u2(t) et le déphasage d de u2(t) par
rapport à i2k(t) lorsque les trois conditions suivantes sont réalisées :
Ÿ U20 vaut 1,6 kV;
Ÿ I2k = 689 A (k = 1, 2, 3, 4);
Ÿ le déphasage de i2k(t) par rapport à u20(t) est nul.
(On peut utiliser un diagramme de Fresnel représentant les vecteurs associés aux amplitudes
complexes des grandeurs étudiées).
I-8) Que valent alors le courant I1 et le facteur de puissance au primaire lorsque les grandeurs électriques des quatre enroulements secondaires sont dans les conditions décrites en I-6.
DEUXIÈME PARTIE
Alimentation en 1500 V continu
Étude du hacheur élévateur en conduction ininterrompue.
Sous caténaire 1,50 kV continu, des hacheurs associés dans une configuration élévateur de
tension maintiennent la tension d’alimentation des onduleurs triphasés à 2750 V continu. Ces onduleurs sont nécessaires pour la motorisation, étudiée dans la partie suivante.
Les interrupteurs sont supposés parfaits.
Étude du hacheur simple (figure 3).
i1
iD2
D2
L
G1 est commandé à la fermeture de l’instant
iG1
t = 0 à l’instant t = aT, et à l’ouverture de t = aT
E C0
charge
G1
V uG1
jusqu’à T où T est la période de fonctionnement
(f = 1/T = 300 Hz).
figure 3
E
sera
considéré
comme
constant
(E = 2,75 kV) et i1 ininterrompu, variant entre les valeurs extrêmes I1,MIN et I1,MAX.
V = 1,50 kV ; L = 5,0 mH (bobine idéale)/
II-1) Exprimer uG1(t) pour 0 < t < T.
II-2) En exprimant uG1 la valeur moyenne de uG1, en fonction de V d’une part, en fonction
de a et de E d’autre part, établir l’expression de E en fonction de a et V. Calculer la valeur de a qui
permet d’avoir E = 2,75 kV lorsque V = 1,50 kV.
II-3) Déterminer l’expression de i1 lorsque 0 < t < T. Tracer les chronogrammes de i1(t) et
iG1(t).
I
-I
II-4) Trouver l’expression de l’ondulation de i1, définie par la relation Di1 = 1,MAX 1,MIN .
2
Calculer Di1 pour a = 0,45.
Étude de deux hacheurs à commandes décalées.
Afin de réduire les harmoniques de courant côté ligne, on double le montage étudié à la
question II-1 d’un deuxième hacheur dont la commande sera décalée.
La configuration est représentée figure 4.
D4
L
i1’
iD4
G1 est commandé à la fermeture de l’instant t = 0 à
i
G3
l’instant t = aT et à l’ouverture de t = aT jusqu’à T.
L i uuG3
D2
1
G3 est commandé à la fermeture de l’instant t = T/2
iG3 iD2
iG1
C0
E
à l’instant t = T/2 + aT, et à l’ouverture de t = T/2 + aT
V uG1
G1
G3
jusqu’à T + T/2.
T est la période de fonctionnement avec
figure 4
f = 1/T = 300 Hz.
E sera considérée comme constante (E = 2,75 kV). V = 1,50 kV.
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charge
II-5) i1(t) est représenté sur la figure 5 ; en déduire la représentation graphique de i1’(t).
II-6) En déduire la représentation graphique de
i(t). Préciser la fréquence de i et la comparer à celle de
i1 du montage étudié à la question III-1.
II-7) Déterminer l’expression de
di ( t )
dt
I1,MAX
i1(t)
I1,MIN
aT T/2
t
T
figure 5
en fonc-
I MAX - I MIN
.
2
Calculer Di pour a = 0,45 et comparer le résultat avec celui de la question III-6).
tion de a, V et L pour 0 < t < aT. En déduire l’expression de Di, défini par Di =
TROISIÈME PARTIE
Moteur synchrone autopiloté
Étude du rotor
On considère une spire circulaire de centre O,
de rayon R, contenu dans le plan Oxy, orthogonal à
l’axe Oz et parcourue par un courant électrique
constant I. Elle est située dans l’air assimilable magnétiquement à du vide. Elle est orientée dans le sens
trigonométrique comme le montre la figure 6. On
considère un point M, de cote z, situé sur l’axe Oz.
III-1) Par des considérations de symétrie, déur
terminer la direction du champ magnétique B ( M ) ,
créé par la spire au point M. Déterminer ensuite son
expression en fonction de I, R, z et de la perméabilité
magnétique du vide m0.
figure 6
Étude du stator
Le stator est constitué de trois bobines, dont les axes principaux contenus dans le plan xOy
sont décalés de 2p/3 les uns par rapport aux autres. Elles sont alimentées par un système de courant triphasé d’amplitude maximale IM, (de
valeur efficace IEFF) et de fréquence fS (de
pulsation wS). On a :
ìi1 ( t ) = I M cos ( wSt + j )
ï
íi2 ( t ) = I M cos ( wSt + j - 2p / 3)
ï
îi3 ( t ) = I M cos ( wSt + j + 2p / 3)
Chaque bobine crée dans la machine un
champ magnétique proportionnel au courant
qui la traverse et dirigé suivant son axe principal.
On note K le coefficient de proportionnalité
ur
r
et on a : B j ( t ) = K i j ( t ) e j avec j = 1, 2 ou 3
r r
r
r
r
et e1 = e x ; e2 et e3 se déduisent de e1 par
les rotations d’angle respectif 2p/3 et –2p/3.
III-2) Donner l’expression du champ
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figure 7
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r r
ur
magnétique BS ( t ) créé par le stator à l’intérieur de la machine dans la base e x , e y . On exprimera
(
)
chaque composante en fonction de K, IM, wSt et j.
III-3) Montrer que ce champ est de norme constante et porté par un vecteur unitaire dont on
r r
précisera le sens et la direction dans la base e x , e y . Justifier l’appellation de champ tournant et
(
)
préciser son sens de rotation.
III-4) Que se passe–t–il si on inverse les phases 1 et 2 de la machine c’est à dire si l’on a :
ìi1 ( t ) = I M cos ( wSt + j - 2p / 3)
ï
íi2 ( t ) = I M cos ( wSt + j )
ï
îi3 ( t ) = I M cos ( wSt + j + 2p / 3)
III-5) On donne K = 0,05 T×A–1, IEFF = 15 A, fS = 50 Hz. Calculer la valeur numérique de
ur
BS et la vitesse de rotation de ce champ tournant en tr/min.
Couple exercé sur le rotor :
ur
r
Dans la suite du problème, on pose BS ( t ) = BS u ( t ) , où Bs est l’amplitude du champ mar r
r
gnétique créé par le stator et u ( t ) le vecteur unitaire de la base e x , e y tel que l’angle
r r
e x , u = wSt + j .
ur
r
Le rotor tourne autour de l’axe Oz, à la vitesse angulaire constante W = W e z . D’un point de
vue électrique, il est assimilable à une bobine plate rectangulaire de surface géométrique
S = 2r0 H, de largeur 2r0 et de longueur H suivant Oz. Cette bobine comporte p spires en série.
Elles sont géométriquement confondues. Chaque spire est parcourue par le courant continu
r r
r
d’intensité I. Soit n ( t ) le vecteur unitaire de la base e x , e y , normal à la surface S orientée du
r r
rotor. On note q l’angle e x , n . On pose q ( t ) = q0 + W t .
(
(
)
(
(
)
)
)
figure 8
ur
r
III-6) Déterminer le moment mécanique G ( t ) = G ( t ) e z des actions électromagnétiques,
exercé sur le rotor .
III-7) La pulsation wS étant imposée et constante, établir, suivant les valeurs de W, le couple
moyen GSYN, associé à G(t). Pourquoi ce type de moteur est–il qualifié de synchrone ? Ce type de
moteur, connecté à un réseau de fréquence fixe peut–il démarrer seul ?
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III-8) Tracer la courbe représentant GSYN en fonction du décalage angulaire y = j – q0. Délimiter les intervalles de y correspondant aux fonctionnements moteur et générateur. Que vaut y
lorsque GSYN est maximum ? Donner l’expression de ce couple maximum, noté GMAX .
ur
Que vaut le flux magnétique FMAG créé par le stator, c’est à dire le flux de BS à travers le
rotor lorsque GSYN = GMAX ?
III-9) Pour un couple 0 £ GSYN £ GMAX donné, il existe deux valeurs (éventuellement une valeur double) de l’écart angulaire y = j – q0. Discuter de la stabilité du fonctionnement de la machine pour chacune de ces deux valeurs. Cette étude doit aussi prendre en compte la valeur double.
On étudiera l’effet sur le couple moteur d’une perturbation (motrice ou non) de la position
du rotor, c’est–à–dire la répercussion d’une variation de l’angle y sur le couple moteur.
$$$$$$$$$ FIN DU DEVOIR EN TEMPS LIMITÉ $$$$$$$$$$
QUATRIÈME PARTIE
Autopilotage de la machine synchrone
Le principe de l’autopilotage de la machine consiste à mesurer, à l’aide d’un capteur de position angulaire, appelé résolveur, la position q du rotor de la machine. On alimente alors le stator
de la machine par un onduleur (ou alimentation à fréquence variable) qui délivre trois courants
triphasés : i1(t), i2(t) et i3(t). Ces courants sont asservis en fréquence et en phase de sorte que :
p
ws = W et que j = q0 + . On obtient alors un fonctionnement intrinsèquement stable de la ma2
chine et un couple maximum.
Dans toute cette partie, on supposera que la machine tourne à une vitesse angulaire
ur
r
d q (t ) r
W = W ez =
e z . Compte tenu de l’inertie de la machine et des échelles de temps considérées
dt
ici, W sera supposée constante. W Î [0, WMAX], WMAX est la vitesse maximale de rotation de la machine.
On supposera la relation q = Wt + q0 toujours valable.
Le résolveur s’insère autour de l’arbre reliant la machine et sa charge. Il est composé d’une
partie tournante, solidaire de l’arbre de la machine, appelée roue polaire, et de deux autres bobines fixes dans le référentiel (O, x, y, z) lié au stator de la machine. On définit le référentiel (O, u, v,
z) lié à l’arbre de la machine et qui se déduit du référentiel (O, x, y, z) par la rotation autour de
l’axe Oz.
La roue polaire, solidaire de l’arbre de la machine, est assimilable à une bobine B0 parcourue par
ur
un courant j. Cette bobine crée à l’intérieur du résolveur un champ magnétique B , dont l’intensité
est proportionnelle au courant j et dont le sens et la direction dépendent de la position de l’arbre.
ur
r
r
On pose B ( t ) = a j u ( t ) où a est un coefficient de proportionnalité connu et u ( t ) est le vecteur
unitaire de l’axe Ou du référentiel (O, u, v, z) lié à l’arbre de la machine, en rotation à la vitesse
r r
angulaire W par rapport au référentiel fixe (O, x, y, z) lié au stator. On a q ( t ) = e x , u ( t ) .
(
)
Les deux autres bobines B1 et B2 sont fixes, identiques et ont pour axe principal respectif Ox
r
r
et Oy. Les spires de ces bobines ont pour vecteur normal respectif e x et e y . Elles ne sont parcourues par aucun courant. Elles possèdent chacune n spires de surface S.
IV-1) La bobine B0 est ici alimentée par un courant continu j = J0 . Déterminer en fonction
de a, J0, q, n et S les expressions des tensions V1(t) et V2(t) aux bornes des bobines B1 et B2. Ces
deux tensions permettent–elles toujours de déterminer la position q du rotor ?
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IV-2) On alimente maintenant la bobine B0 par un courant sinusoïdal de fréquence fP ou de
pulsation wP. On a j ( t ) = J 0M cos ( wP t ) .
Dans le cas où la pulsation wP est très grande devant W, montrer
V1 ( t ) = n S a wP J 0M sin ( wP t ) cos ( q ) . Puis, déterminer l’expression de la tension V2(t).
que
Dans toute la suite du problème on supposera wP >> W.
IV-3) Tracer les deux graphes représentant l’allure des tensions V1(t) et V2(t) lorsque la machine est à l’arrêt. On choisira une valeur quelconque de q.
IV-4) Reprendre ces graphes lorsque la machine tourne à vitesse constante. On donnera la
valeur numérique de l’amplitude de ces tensions. On prendra a = 4T / A, J0M = 200mA, n = 10,
S = 0,1 cm3 et fP = 10 kHz.
IV-5) On rappelle que pour un multiplieur de constante multiplicative k, on a
Vs(t) = k.Ve1(t).Ve2(t).
Préciser l’unité et la valeur numérique de k, pour le multiplieur que vous avez
utilisé en travaux pratiques.
IV-6) On considère le montage de
la figure 10. Donner l’expression de la tension de sortie sm(t) et représenter son specfigure 9
tre en amplitude.
IV-7) Quelle est l’opération de
traitement du signal nécessaire pour retrouver un signal proportionnel à cos(q)
? Proposer un montage ne comportant
que des composants passifs permettant
d’effectuer cette opération.
IV-8) Donner la (ou les)
contraintes) sur les composants, pour
que les composantes résiduelles hautes
fréquences soient atténuées de 40 dB.
figure 10
IV-9) Donner alors l’expression
de la tension relevée, en pratique, en sortie de ce dernier montage. On précisera son amplitude et sa
phase. En déduire la valeur de l’erreur commise sur q lorsque la machine tourne à W = 3000 tr/min .
IV-10) Quelle est alors la perte relative de couple, exprimée en %, par rapport à un autopilotage parfait où j vaut exactement q0°+p/2. Commenter.
Formulaire :
æ p+qö
æ p-q ö
cos ( p ) + cos ( q ) = 2 cos ç
÷ cos ç
÷
è 2 ø
è 2 ø
æ p+q ö æ p-q ö
cos ( p ) - cos ( q ) = -2sin ç
÷ sin ç
÷
è 2 ø è 2 ø
cos ( 2q ) = 1 - 2sin 2 ( q )
cos ( a + b ) = cos ( a ) cos ( b ) - sin ( a ) sin ( b )
sin ( a + b ) = sin ( a ) cos ( b ) + cos ( a ) sin ( b )
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