Rappel sur les nombres complexes

MAT2190
Calcul des EDO et EDP
Hiver 2017
Rappel sur les nombres complexes
Un nombre
complexe est un nombre de la forme z = x + iy avec x et y des nombres réels
√
et i := −1 est un nombre ayant la propriété que son carré donne −1 : i2 = −1. On dénote
par C l’ensemble des nombres complexes. On identifie souvent C avec le plan cartésien R2 en
envoyant z = x + iy ∈ C sur (x, y) ∈ R2 . L’addition de deux nombres complexes z1 = x1 + iy1
et z2 = x2 + iy2 se fait comme pour l’addition de vecteurs dans R2 :
z1 + z2 := (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ).
Comme on suppose que i2 = −1, on peut aussi multiplier deux nombres complexes et obtenir à
nouveau un nombre complexe :
z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) := (x1 x2 + i2 y1 y2 ) = i(x1 y2 + y1 x2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
Définition 1.
Le conjugué complexe de z = x + iy ∈ C, dénoté z, est le nombre complexe donné par
z := x − iy.
Définition 2.
Les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe z = x + iy, dénotées respectivement
Re z et Im z, sont données par
z−z
z−z
z+z
, Im z = y =
= −i
.
Re z = x =
2
2i
2
Définition
3. Le module d’un nombre complexe z = x + iy, dénoté par |z|, est donné par
p
|z| := x2 + y 2 .
Exercice 1. Soit z = x + iy un nombre complexe.
(a) Montrer que |z|2 = zz ;
(b) Si |z| =
6 0, montrer que z possède un inverse multiplicatif donné par
1
z
x − iy
:= 2 = 2
;
z
|z|
x + y2
i+1
sous la forme z = x + iy avec x, y ∈ R ;
i−1
(d) Si z1 et z2 sont deux nombres complexes, montrer que |z1 z2 | = |z1 ||z2 |.
(c) Mettre le nombre complexe z =
Pour θ ∈ R, la formule d’Euler nous dit que
eiθ = cos θ + i sin θ.
1
(1)
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Définition 4. Plus généralement, pour un nombre complexe z = x + iy, on pose
ez := ex eiy
Alternativement, on peut montrer qu’on obtient le même nombre complexe en posant
z
e :=
∞
X
zk
k=0
k!
.
En prenant ce point de vue, il est aussi possible de montrer que pour z1 et z2 deux nombres
complexes, on a la propriété que
ez1 +z2 = ez1 ez2 ,
généralisant ainsi la formule bien connue ex1 +x2 = ex1 ex2 pour x1 et x2 des nombres réels.
Exercice 2. Montrer que pour tout nombre complexe z = x + iy, on a que
|ez | = ex
Exercice 3. Soient (r, θ) les coordonnées polaires dans le plan cartésien R2 telles que
x = r cos θ,
y = r sin θ.
(a) montrer que du point de vue des nombres complexes, le rayon r est donnée par
r = |z|
où z = x + iy.
(b) Pour z = x + iy un nombre complexe, montrer qu’en termes des coordonnées polaires
(r, θ), on a que
z = r(cos θ + i sin θ) = |z|eiθ .
Définition 5. Un argument d’un nombre complexe z avec |z| =
6 0 est un nombre réel θ tel que
z = |z|eiθ
Dans ce cas, les autres arguments de z sont donnés par θ + 2πk pour k ∈ Z. L’argument
principal de z est celui situé dans l’intervalle [0, 2π). On le dénote parfois par arg(z).
Exercice 4. Soient z1 = r1 eiθ1 et z2 = r2 eiθ2 deux nombres complexes.
(a) Montrer que
z1 z2 = (r1 r2 )ei(θ1 +θ2 ) .
iπ
(b) Montrer que i = e 2 .
(c) Lorsqu’on identifie C avec le pan cartésien R2 , montrer que la multiplication par i correspond à effectuer une rotation d’un angle π2 (mesuré en radians) dans le sens anti-horaire.
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(d) Montrer que les racines n-ièmes de z = reiθ , c’est-à-dire les nombres complexes ζ ∈ C
tels que ζ n = z, sont données par
1
ζk := r n e
iθ+2πik
n
pour k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
Exercices supplémentaires :
i−z
.
i+1
2. Donner une description géométrique de l’ensemble des solutions de l’équation 2 Re z <
|z|2 .
1. Trouver les parties réelle et imaginaire de
3. Considérons l’équation quadratique z 2 + bz + c = 0 avec a, b ∈ R.
(a) Si z0 = x0 + iy0 est une racine complexe de cette équation avec y0 6= 0, montrer que
l’autre racine est nécessairement z 0 = x0 − iy0 .
(b) En déduire que b = −2 Re z0 et c = −|z0 |2 .
4π
4π
4. Trouver le module et l’argument principal du nombre complexe 3 cos
+ i sin
.
3
3
5. Si z ∈ C a une partie imaginaire positive, quel est l’argument principal de z − z ?
√
6. Trouver deux nombres réels a et b tels que (1 − i 3)85 = a + ib.
4π
4π
7. Trouver les racines 8-ièmes de 256 cos
+ i sin
.
9
9
4π
4π
+ i sin
8. Calculer la somme des carrés des racines 4-ièmes de 625 cos
.
100
100
Indice : Le calcul est plus simple que ce qu’on pourrait penser à première vue.
9. Trouver les nombres réels x et y satisfaisant à l’équation |x + iy − 2i| = i(x − iy − 4).
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