Lycée du Parc 831 année 2006–2007 Cours : Nombres complexes Table des matières Proposition 7. Soit z un nombre complexe non nul. Alors il existe un unique nombre complexe z ′ tel que zz ′ = 1. On note ce nombre z −1 ou 1/z. De plus : 1 Le corps des nombres complexes 1.1 Définition, conjugaison, module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 2 Forme trigonométrique 2.1 Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Applications à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 3 Racines d’un nombre complexe 3.1 L’équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Racines n-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 1 Le corps des nombres complexes 1.1 z 1 = 2 z |z| Proposition 8. Soit z un nombre complexe non nul. Alors : 1 1 1 1 = et = z z z |z| Proposition 9. Soit z ∈ C et n ∈ N. Alors : – z¯n = z̄ n n – |z n | = |z| Ces relations restent vraies lorsque z est non nul et que n est un entier relatif. 1.3 Définition, conjugaison, module Le carré de tout nombre réel étant positif, l’équation : Re z 6 |Re (z)| 6 |z| x2 = −1 Im z 6 |Im (z)| 6 |z| Proposition 11. Soit z1 et z2 deux nombres complexes. Alors : |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 | De plus l’égalité a lieu si et seulement si z1 et z2 sont positivement liés, c’est-à-dire lorsque z1 = 0 ou lorsqu’il existe λ ∈ R+ tel que z2 = λz1 . Proposition 12. Soit z1 et z2 deux nombres complexes. Alors : Définition 1. On appelle corps des nombres complexes l’ensemble des nombres a + ib où a et b sont réels. Proposition 1. L’ensemble C est stable pour les opérations d’addition et de multiplication. Définition 2. Pour tout nombre complexe z, il existe un unique couple de réels (a, b) tel que z = a + ib. Les réels a et b sont respectivement appelés partie réelle et partie imaginaire de z. On note : et et De plus Re z = |z| si et seulement si z est réel positif. n’admet pas de solution réelle. Nous admettrons qu’il existe un ensemble de nombres A vérifiant les propriétés suivantes : – R⊂A – On peut additionner et multiplier les éléments de A en utilisant les règles usuelles de l’algèbre. – L’équation x2 = −1 admet au moins une solution sur A. On note i une solution de cette équation. a = Re z Inégalité triangulaire Proposition 10. Soit z ∈ C. Alors : ||z1 | − |z2 || 6 |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 | 2 2.1 Forme trigonométrique Forme trigonométrique Définition 6. Pour tout réel θ, on définit l’exponentielle de iθ par : eiθ = cos θ + i sin θ b = Im z Proposition 2. Soit z1 et z2 deux nombres complexes, λ et µ deux réels. Alors : – Re (λz1 + µz2 ) = λ Re z1 + µ Re z2 – Im (λz1 + µz2 ) = λ Im z1 + µ Im z2 Un nombre complexe z est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire le sont. Proposition 13. Soit θ1 et θ2 deux réels. Alors : ei0 = 1 ei(θ1 +θ2 ) = eiθ1 eiθ2 et Proposition 14. Soit θ un réel et n ∈ Z. Alors eiθ est non nul et : 1 = e−iθ eiθ Définition 3. On dit qu’un nombre complexe z est imaginaire pur lorsque Re z = 0. L’ensemble des nombres imaginaires purs est noté iR. et einθ = eiθ n Proposition 15. Soit θ un réel. Alors on a les formules dites formules d’Euler : Définition 4. Soit z un nombre complexe. On appelle conjugué de z et on note z le nombre complexe : z = a − ib où a et b sont respectivement la partie réelle et imaginaire de z. cos θ = eiθ + e−iθ 2 et sin θ = eiθ − e−iθ 2i Pour n ∈ Z on a la formule dite formule de Moivre : cos (nθ) + i sin (nθ) = (cos θ + i sin θ)n Proposition 3. Soit z1 , z2 ∈ C. Alors : – z1 + z2 = z1 + z2 – z1 z2 = z1 z2 De plus, pour tout nombre complexe z, z = z. Proposition 16. – Soit θ ∈ R. Alors eiθ = 1 si et seulement si θ ≡ 0 [2π]. – Plus précisement, étant donnés θ1 et θ2 ∈ R, eiθ1 = eiθ2 si et seulement si θ1 ≡ θ2 [2π]. Proposition 4. Soit z un nombre complexe. Alors : Re z = z+z 2 et Im z = z−z 2i En particulier : – z est réel si et seulement si z = z. – z est imaginaire pur si et seulement si z = −z. 1.2 Définition 7. On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1. Proposition 17. L’application qui à θ associe eiθ est une surjection de R dans U. Autrement dit : – Si θ ∈ R, eiθ ∈ U. – Réciproquement, pour tout élément u de U, il existe un réel θ tel que u = eiθ . Définition 5. Pour tout nombre complexe z, le nombre zz est réel positif. On appelle module de z et on note |z| le réel défini par : √ |z| = zz Définition 8. Soit z un nombre complexe non nul. On appelle argument de z tout réel θ tel que : z = |z| eiθ Proposition 5. Soit z1 , z2 , z ∈ C. Alors : – |z1 z2 | = |z1 | |z2 | – |z| = |z| De plus |z| = 0 si et seulement si z = 0. On note alors : Inverse Proposition 6. Si z1 et z2 sont deux nombres complexes tels que z1 z2 = 0, alors z1 = 0 ou z2 = 0. On dit que C est intègre. Si θ est un argument de z, l’ensemble de ses arguments est : θ + 2πZ = {θ + 2kπ : k ∈ Z} arg z ≡ θ [2π] Proposition 18. Soit ρ1 , ρ2 deux réels non nuls et θ1, θ2 deux réels tels que ρ1 eiθ1 = ρ2 eiθ2 . Alors : ρ1 = ρ2 et θ1 ≡ θ2 [2π] ou ρ1 = −ρ2 et θ1 ≡ θ2 + π [2π] Proposition 19. Soit z1 , z2 , z ∈ C∗ et n ∈ Z. Alors : – arg z1 z2 ≡ arg z1 + arg z2 [2π] – arg z1 /z2 ≡ arg z1 − arg z2 [2π] – arg z n ≡ n arg z [2π] Proposition 26. Soit a, b, c ∈ C avec a 6= 0. – On considère l’équation : az 2 + bz + c = 0 On appelle discriminant le nombre complexe ∆ = b2 − 4ac. – Si ∆ = 0, le trinôme admet une et une seule racine appelée racine double : z0 = − 2.2 Applications à la trigonométrie 2.3 Exponentielle complexe – Si ∆ 6= 0, le trinôme admet exactement deux racines distinctes : z1 = −b + δ 2a on utilise le discriminant réduit ∆′ = b2 − ac. Dans ce cas : – Si ∆′ = 0, le trinôme admet une et une seule racine appelée racine double : z0 = − Proposition 20. Soit z1 et z2 deux nombres complexes. Alors : ez1 +z2 = ez1 ez2 Proposition 21. Soit z un nombre complexe, et n ∈ Z . Alors ez est non nul et : et nz e et −b + δ ′ a z2 = et −b − δ ′ a où δ ′ est une racine carrée de ∆′ . z n = (e ) Proposition 27. Soit a, b, c ∈ C avec a 6= 0 et z1 , z2 deux nombre complexes. Alors z1 et z2 sont les deux racines, éventuellement égales, de l’équation az 2 + bz + c = 0 si et seulement si : Proposition 22. Soit z un nombre complexe. Alors : ez = ez b a – Si ∆′ 6= 0, le trinôme admet exactement deux racines distinctes : z1 = 1 = e−z ez −b − δ 2a az 2 + 2bz + c = 0 ez = ea (cos b + i sin b) et z2 = et où δ est une racine carrée de ∆. – Lorsque l’équation s’écrit sous la forme : Définition 9. Soit z = a + ib un nombre complexe où a et b sont respectivement la partie réelle et imaginaire de z. On appelle exponentielle de z et on note ez le nombre complexe défini par : e0 = 1 b 2a z1 + z2 = − b a z1 z2 = et c a |ez | = eRe z 3.2 Proposition 23. – Soit z ∈ C. Alors ez = 1 si et seulement si il existe un entier k ∈ Z tel que z = ik2π. – Plus précisement, étant donnés z1 et z2 deux nombres complexes, ez1 = ez2 si et seulement si il existe un entier k ∈ Z tel que z1 = z2 + ik2π. Proposition 24. L’exponentielle est une surjection de C dans C∗ . Autrement dit : ′ ∀z ∈ C∗ ∃z ′ ∈ C ez = z Racines n-ièmes Définition 11. Étant donné n ∈ N∗ et a ∈ C, on appelle racine n-ième de a tout nombre complexe z tel que z n = a. Les racines n-ièmes de 1 sont appelées racines n-ièmes de l’unité et l’ensemble de ces racines est noté Un . 2π Proposition 28. Soit n ∈ N∗ et ω = ei n . Alors les n nombres complexes 1, ω, . . . , ω n−1 sont deux à deux distincts et sont exactement les racines n-ièmes de l’unité. Proposition 29. Soit n ∈ N∗ et ζ une racine n-ième de l’unité différente de 1. Alors : 1 + ζ + · · · + ζ n−1 = 0 2π En particulier pour ζ = ei n , on en déduit que la somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle. 3 3.1 Racines d’un nombre complexe Proposition 30. Soit a ∈ C∗ et n ∈ N∗ . Si a = reiθ avec r > 0 et θ ∈ R z0 = L’équation du second degré Définition 10. Soit a un nombre complexe. On appelle racine de a tout nombre complexe z tel que : z2 = a √ n θ rei n est une racine n-ième de a. Proposition 31. Soit a ∈ C∗ et n ∈ N∗ . On suppose que z0 est une racine n-ième de a. Alors les n nombres complexes z0 , ωz0 , . . . , ω n−1 z0 Proposition 25. Soit a un nombre complexe non nul. Alors a admet exactement deux racines distinctes opposées l’une à l’autre. i 2π n où ω = e a. sont deux à deux distincts et sont exactement les racines n-ièmes de