Examen partiel

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6)
UE 3M245 – Probabilités Élémentaires
Licence de Mathématiques L3
Année 2015–16
Examen partiel du 26 octobre 2015 (cours A)
1. Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité et X une variable aléatoire sur cet espace
suivant la loi de Poisson de paramètre λ > 0.
a) Donner la loi de X et vérifier que c’est bien une loi de probabilité.
b) Soit A l’évènement {X est pair} et B l’évènement {X est impair}. Montrer les
égalités suivantes :
P(A) + P(B) = 1
P(A) − P(B) = e−2λ
c) En déduire P(X est pair) et P(X = 0|X est pair).
2. Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. On considère sur cet espace une variable
aléatoire réelle X, FX sa fonction de répartition, ainsi qu’une variable aléatoire U uniforme
sur [0, 1].
a) On suppose dans cette question que FX est strictement croissante et continue et
on notera FX−1 son inverse.
i) Quel est l’ensemble de définition de FX−1 ?
ii) Quelle loi suit la variable aléatoire Y = FX−1 (U ) ?
b) Application :
i) Rappeler l’expression de la fonction de répartition d’une variable exponentielle
de paramètre θ > 0.
ii) En déduire la loi de − 1θ log(U ).
iii) Comment pourrait-on simuler une variable exponentielle de paramètre θ à l’aide
d’une variable uniforme ?
3. La température sur une certaine planète est une variable aléatoire T suivant la loi
exponentielle de paramètre θ.
a) Quelle est la probabilité que la température T soit supérieure à t ≥ 0 ?
b) Montrer que
P (T ≥ t + t0 | T ≥ t0 ) = P(T ≥ t) ∀t, t0 ≥ 0.
1
4. On considère les performances successives d’un coureur au cours de l’année. Les
courses sont numérotées de 1 à n dans l’ordre chronologique. On peut représenter les
performances du coureur par une permutation Π de {1, · · · , n}, où Π(k) est le numéro de
course de sa k−ième meilleure performance de l’année. Par exemple, Π(n) est le numéro
de la course où l’athlète a réalisé son pire temps. À chaque fois qu’une performance est
meilleure que toutes celles qui précèdent, on dit que l’athlète bat son record.
a) Si on admet que l’athlète ne s’améliore pas au cours du temps, donner un espace de
probabilité correspondant à ce problème. On pourra prendre Ω l’espace de toutes
les permutations de {1, · · · , n}.
On cherche à calculer l’espérance du nombre Rn de fois où l’athlète a battu son
record.
b) Soit Ak l’évènement réalisé si à la k−ième course l’athlète bat son record. Calculer
P(Ak ).
c) Montrer que
Rn =
n
X
k=1
d) Calculer l’espérance de Rn .
e) Calculer limn→∞ E(Rn )/ log(n).
2
1Ak