Algorithme d`Euclide. Calcul de PGCD et de - Epsilon 2000

Algorithme d’Euclide. Calcul de PGCD et de coefficient de Bézout.
Applications
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PGCD
Définition 1.1
Soient n ∈ N∗ , (x1 , . . . , xn ) ∈ Zn . On appelle pgcd de x1 , . . . , xn , noté x1 ∧ · · · ∧ xn ou pgcd(x1 , . . . , xn )
le nombre défini de la manière suivante :
• si x1 = x2 = · · · = xn = 0, x1 ∧ · · · ∧ xn = 0 ;
• si les xi ne sont pas tous nuls, x1 ∧ · · · ∧ xn est le plus grand diviseur commun à x1 , . . . , xn .
Remarque 1.2
Si les xi ne sont pas tous nuls, x1 ∧ · · · ∧ xn est bien défini car l’ensemble des diviseurs communs à
x1 . . . , xn est une partie non vide de Z (car elle contient 1) et finie (car elle est incluse dans l’ensemble
{k ∈ Z, |k| 6 max(|x1 |, . . . , |xn |)}), donc l’ensemble des diviseurs communs à x1 , . . . , xn admet un plus
grand élément.
Proposition 1.3
Soient n ∈ N∗ , (x1 , . . . , xn ) ∈ Zn , d = x1 ∧ · · · ∧ xn . Alors
n
X
xk Z = dZ.
k=1
Proposition 1.4
Soient n ∈ N∗ , λ ∈ N∗ , x1 , . . . , xn ∈ Z∗ , a ∈ Z∗ .
(i) pgcd(λx1 , . . . , λxn ) = |λ| pgcd(x1 , . . . , xn ) ;
(ii) (∀k ∈ J1 ; nK, a | xk ) ⇐⇒ a | pgcd(x1 , . . . , xn ).
Remarque 1.5
pgcd(x1 , . . . , xn ) est aussi le plus grand diviseur commun de x1 , . . . , xn au sens de la relation d’ordre de
divisibilité.
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L’algorithme d’Euclide
Remarque 2.1
Si a, b ∈ Z, a ∧ b = |a| ∧ |b| car l’ensemble des diviseurs dans Z de a est égal à l’ensemble des diviseurs
dans Z de |a|. On peut donc se limiter aux entiers naturels.
Algorithme d’Euclide. Calcul de PGCD et de coefficient de Bézout. Applications
Proposition 2.2
Soient (a ; b) ∈ (N∗ )2 , q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b. Alors a ∧ b = b ∧ r.
a et b désignent toujours des entiers naturels non nuls. On effectue la suite de divisions euclidiennes suivantes
jusqu’à obtenir un reste égal à 0 (on note r0 = a et r1 = b) :
r0 = r1 q1 + r2
r1 = r2 q2 + r3
...
rn−2 = rn−1 qn−1 + rn
rn−1 = rn qn
Par construction, r2 < r1 , r3 < r2 , . . .
On est sûr qu’il existe un entier N ∈ N∗ , N > 2 tel que rN = 0, sinon (rn )n∈N serait une suite d’entiers
naturels strictement décroissante à partir du rang 2, ce qui n’a pas de sens. En notant n = N − 1, on a bien
les égalités ci-dessus. Cette suite d’égalités constitue l’algorithme d’Euclide.
D’après la proposition précédente, on a :
r0 ∧ r1 = r1 ∧ r2 = · · · = rn−1 ∧ rn .
Or rn |rn−1 donc rn−1 ∧ rn = rn et donc a ∧ b = rn (a ∧ b est donc le dernier reste non nul dans la suite des
divisions euclidiennes).
Proposition 2.3
Pour tout k ∈ J2 ; n − 1K, il existe (uk ; vk ) ∈ Z2 tel que auk + bvk = rk .
Corollaire 2.4
Si a, b ∈ Z∗ et d = a ∧ b, alors il existe (u ; v) ∈ Z2 tel que au + bv = d.
Remarque 2.5
Les coefficients u et v peuvent être calculés à l’aide de l’algorithme d’Euclide étendu :
Entrée : a, b ∈ N∗ .
Sortie : r ∈ N, u, v ∈ Z tels que r = a ∧ b et au + bv = r.
r ← a,
u ← 1,
v ← 0,
r0 ← b,
u0 ← 0,
v0 ← 1
0
tant que r 6= 0 faire
q ← quotient de la division euclidienne de r par r0
raux ← r,
0
uaux ← u,
0
r←r, u←u,
r0 ← raux − qr0 ,
vaux ← v
v ← v0
u0 ← uaux − qu0 ,
v 0 ← vaux − qv 0
fin tant que
retourner r, u, v.
Théorème 2.6 (de Lamé)
Soient a, b ∈ N, tels que 1 6 b 6 a. Le nombre de divisions nécessaires pour calculer a ∧ b à l’aide√de
ln b
1+ 5
l’algorithme d’Euclide est inférieur ou égal à
+ 1, où φ est le nombre d’or, c’est-à-dire φ =
.
ln φ
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Théorème 2.7 (de Bézout)
Soient a, b ∈ Z∗ . Alors a ∧ b = 1 si et seulement si il existe (u ; v) ∈ Z2 tel que au + bv = 1.
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Applications
3.1
Les inversibles de Z/nZ
Proposition 3.1
Soit k ∈ Z. k est inversible dans Z/nZ si et seulement si k ∧ n = 1.
Corollaire 3.2
Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier.
Exemple 3.3
−1
(Z/nZ)∗ = {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Calculer 17
3.2
.
Théorème des restes chinois et systèmes de congruences
Théorème 3.4
Soient p ∈ N∗ , n1 , . . . , np des entiers naturels deux à deux premiers entre eux et (a1 , . . . , ap ) ∈ Zp . Alors
le système de congruences défini par : ∀k ∈ J1, pK, x ≡ ak (mod nk ) admet une unique solution modulo
p
P
N = n1 . . . np , donnée par x ≡
uk Nk ak , où pour tout k ∈ J1, pK, Nk = nNk et uk ≡ Nk−1 (mod nk ).
k=1
Exemple 3.5
Résoudre dans Z le système suivant :

 x ≡ 4 (mod 5)


x ≡ 3 (mod 6)



x ≡ 2 (mod 7).
Exemple 3.6
Résoudre
dans Z le système suivant :

 x ≡ 3 (mod 4)
 x ≡ 5 (mod 6).
3.3
Equation diophantienne
Théorème 3.7 (de Gauss)
Soient a, b, c ∈ Z∗ . Si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c.
Exemple 3.8
Résoudre dans Z2 l’équation 18459x + 3809y = 879.
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